Tal com també es comenta al document de 2n d’ESO, identificar patrons ajuda a desenvolupar la capacitat de raonament lògic i permet a l’alumnat descobrir i comprendre seqüències i regularitats en àmbits diversos, fet essencial en la resolució de problemes. A més, l’estudi de regularitats en diferents contextos (numèrics o algebraics) pot contribuir a un millor assoliment dels conceptes que es van treballant durant el curs.
Fins a arribar a 3r, l’alumnat ha treballat patrons tant numèrics com geomètrics. Des de primària, demanem a l’alumnat que sigui capaç d’identificar clarament el patró i explicar-lo de múltiples maneres (bé mitjançant representacions o bé amb llenguatge oral o escrit propi). A 3r arriba el moment que l’alumnat descobreixi la potència del llenguatge algebraic (que s’haurà introduït gradualment a 1r i 2n d’ESO) i cerqui l’expressió algebraica que generalitzi un determinat patró treballat. Estudiant patrons, l’alumnat desenvolupa el pensament algebraic, que és clau per arribar a la idea de funció, i també fomenta la capacitat d’abstracció.
Cal remarcar també que moltes successions aritmètiques, geomètriques, és a dir, patrons de creixement en què la relació d’un terme i el següent és +k o ·k, o d’altres tipus (com per exemple, la de Fibonacci), són presents en contextos reals. Els patrons són, per tant, una bona eina per connectar les matemàtiques amb el món quotidià i natural, i ens poden ser de gran ajuda per despertar l’interès de l’alumnat i veure tant la utilitat com la bellesa de les matemàtiques.
Tal com s’esmenta a altres cursos, cal remarcar la diferència entre una seqüència o successió, que és un conjunt ordenat d’elements, i un patró, que és la regularitat, si hi és, que marca l’estructura d’una successió. També cal recordar que un model adequat per treballar seqüències és, en primer lloc, buscar el següent terme; després buscar un terme proper; a continuació, un terme llunyà i, finalment, si es considera oportú, el terme general. Per tal de determinar aquest terme general es fa molt necessari un treball ordenat. L’ús de taules per recollir les dades serà, en molts casos, determinant a l’hora de buscar el patró que segueix la seqüència, i per fer-ho caldrà fixar-se no només en el resultat de cada terme sinó també en el procés que s’ha seguit per obtenir-lo.
Tot i que es poden trobar connexions amb diversos sentits del currículum, l’estudi de successions permet establir fortes connexions amb el sentit numèric ( #3.NUM.CO) i l’espacial ( #3.ESP.VM). És evident que l’estudi de successions implica l’estudi de patrons numèrics. D’altra banda, la visualització i modelització geomètrica pot ser de gran ajuda en la cerca de la regla de formació de patrons.
Per últim, cal destacar la connexió interna dins del sentit algebraic amb el bloc Variable( #3.ALG.VA). L’estudi de successions ens porta directament a l’estudi de funcions (ja que una successió és una funció que relaciona la variable nombre natural n i la variable nombre real an).
Com també es troba reflectit als documents de 1r i 2n d’ESO, identificar patrons ajuda l’alumnat a desenvolupar la capacitat de raonament lògic. L’estudi de patrons implica observar regularitats en diferents contextos (saber #3.ALG.PA.B), fer conjectures, generalitzar, és a dir, accions que permeten treballar tots els processos matemàtics, des del raonament i prova, la comunicació i representació, les connexions (tant intramatemàtiques com extramatemàtiques) fins a la resolució de problemes, present sempre a tots els blocs dels sabers del currículum.
El saber #3.ALG.PA.A, estudi de diferents tipus de successions, com per exemple les aritmètiques, les geomètriques o la de Fibonacci, pot ajudar a comprendre les matemàtiques del món que ens envolta perquè les successions s’apliquen en moltes àrees diferents: economia, informàtica, ciència o art. D’altra banda, estudiar diferents tipus de successions ajuda a fer connexions entre diversos conceptes matemàtics. Per aquest motiu, s’ha destacat aquest saber com a essencial.
Estudi de diferents tipus de successions, com per exemple, les aritmètiques, les geomètriques o la de Fibonacci. Càlcul del terme general.
Observació de regularitats en diferents contextos matemàtics que permetin extreure conclusions o descobrir propietats.
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
Un recurs per treballar el saber #3.ALG.PA.A és l’activitat Patrons en estructures que podem trobar a les Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria (Aubanell, 2015). Es proposa fer el treball per parelles i, com a material, només calen les imatges de les estructures, encara que també es poden fer servir escuradents i construir-les. L’activitat consisteix a explorar estructures (similars a les de les construccions industrials metàl·liques formades per barres i connectors) i determinar, en funció d’un paràmetre, el nombre de barres i de connectors necessaris per construir-les. S’hauran de trobar els termes generals 𝑎𝑛, 𝑏𝑛... de successions definides a partir de figures geomètriques en les quals s’agafarà com a paràmetre 𝑛 el nombre de barres de la base de l’estructura. Es plantegen cinc casos corresponents a estructures diferents i es pren sempre 𝑎𝑛 com el nombre de barres necessàries per construir una estructura de 𝑛 barres de base i 𝑏𝑛 com el nombre de connectors necessaris per construir una estructura d’𝑛 barres de base.
Veiem, per exemple, com es treballa la primera estructura proposada.
L’estructura de la següent imatge té 6 barres a la base (𝑛 = 6) i, per construir-la, es necessiten 23 barres (𝑎6 = 23) i 13 connectors (𝑏6 = 13). Es demana trobar una expressió general que doni 𝑎𝑛 i 𝑏𝑛 per a tots els valors naturals d’𝑛.
S’espera que l’alumnat descobreixi els termes generals d’aquestes successions. El treball en parelles pot propiciar la conversa i que argumentin entre ells. Per part del professorat, podem demanar que conjecturin i cerquin contraexemples a fi de descobrir que es tracta de dues progressions aritmètiques de diferències respectives 4 i 2, els termes generals de les quals són: 𝑎𝑛 = 4𝑛 − 1 i 𝑏𝑛 = 2𝑛 + 1.
La successió de Fibonacci, inclosa en el saber #3.ALG.PA.A, es pot treballar des de nombrosos punts de vista i molta varietat de recursos. Un vídeo que pot ser font d’inspiració per la bellesa de les imatges, la música i per com deixa explícita la connexió d’aquesta successió amb la natura i que pot servir com a activitat d’escalfament si es pregunta a l’alumnat què han observat i quines preguntes els venen al cap un cop vist, és Nature by Numbers de Cristóbal Vila.
Trobem un recurs interessant de la Victòria Oliu per treballar la successió de Fibonacci amb Scratch en aquest enllaç, en què un dels exemples emprats per aprofundir en el treball de llistes amb Scratch és aquesta successió. Al web de l’Ateneu trobem també propostes per treballar-la amb Snap!.
També es pot introduir la successió a partir d’una fal·làcia geomètrica. Tot seguit es detalla com seria la seqüència d’activitats. En primer lloc, es demana a l’alumnat que dibuixi un quadrat com el de la figura a la llibreta. Ha de tenir un costat de 13 unitats.
Després se li demana que el retalli per les marques que es mostren a la imatge i, amb les peces que queden, han de construir un rectangle de 21 per 8 unitats. Un cop fet, se’ls demana que calculin l’àrea del rectangle i l’àrea del quadrat i que expliquin què hi observen. L’activitat causa molta sorpresa i ganes d’esbrinar què ha passat. Una explicació de la diferència entre les dues àrees la podem trobar molt ben il·lustrada al blog Calaix +ie del Joan Jareño, dins de l’activitat Fantasmes geomètrics, en la qual s’observa que queda un espai vermell molt prim al llarg de tota la diagonal del rectangle. Doncs bé, aquest «forat» té exactament l’àrea d’un quadrat.
Però, què té a veure això amb la successió de Fibonacci? Per respondre a aquesta pregunta es proposa a l’alumnat que visualitzi el capítol Fibonacci, la magia de los números de la sèrie Más por menos. Al vídeo es mostra que el fet que 8, 13 i 21, les dades de les nostres figures, siguin tres termes consecutius de la successió explica el cas del quadrat desaparegut. Com s’exposa al vídeo, si es multipliquen dos termes consecutius situats en una posició parell de la successió, el resultat és el quadrat del terme del mig menys 1 : 8 · 21 = 132 - 1. Aquesta pot resultar una manera curiosa d’introduir la successió a classe, connectant patrons i geometria.
Una altra manera d’introduir-la és a partir d’una bona lectura, com és el cas de l’article El origen poético de los números de Fibonacci del web Cultura Científica. S’hi donen moltes informacions i curiositats sobre la successió, que poden esdevenir la llavor per al treball posterior.
També es pot treballar la successió a partir d’una espiral formada per quadrats els costats dels quals són els nombres de la successió. Es pot demanar a l’alumnat que la construeixi amb instruments de dibuix o bé amb algun programa de geometria dinàmica:
Per treballar la successió de Fibonacci, no podem obviar la bateria de reptes que se’ns proposa des de NRICH. Hi trobem tot un apartat per treballar la successió amb una tipologia de propostes molt diverses: des de la creació de successions similars fins a la de Fibonacci, l’estudi i deducció de propietats, reptes numèrics, etc., però totes elles amb un denominador comú: activitats riques en resolució de problemes i raonament.
Ja per acabar, podem fer referència a l’activitat del joc de rol sobre fer fotografies a un nombre de persones amb totes les opcions perquè es donin la mà, en què també surt Fibonacci i està explicada per en Joan Jareño i en Lluís Mora al vídeo enllaçat.
Un applet interessant per treballar el saber #3.ALG.PA.A és, per exemple, el Missing Terms del web Transum.
Un tipus de patrons que es treballa poc freqüentment a les escoles i instituts són els patrons de moviment. Una molt bona activitat per treballar aquest tipus de patrons la trobem al blog del Joan Jareño, i s’anomena Amebes patronals. Tal com comenta l’autor del blog, Brian Bolt, al llibre Aún más actividades matemáticas (Bolt, 1988) anomena aquest tipus de patrons «formes ameboides». L’activitat pot consistir a presentar un conjunt d’imatges successives a l’alumnat i demanar quines seran les següents imatges, després descriure’n la llei i, finalment, esbrinar si la sèrie farà un cicle tornant en algun moment a la primera posició i, en aquest cas, quant es trigarà. En Joan Jareño ens proposa l’exemple següent:
Per endevinar el patró, l’alumnat s’haurà de fixar en el que es manté entre cada pas de la imatge i en el que varia i en com varia. En el cas anterior, la solució és la següent:
Per tal que es vegi més clar, l’autor del blog ens mostra una animació on es poden veure de color gris les caselles fixes:
Per trobar quin serà el cinquè pas, se’ns presenten dues alternatives diferents: que els dos quadrats mòbils inverteixin el moviment (que el que ha pujat comenci a baixar i que el que ha baixat pugi) o bé que els dos quadrats continuïn girant en sentit antihorari.
Al blog també se’ns mostra una animació de tots dos casos:
L’entrada del blog també dona idees de com portar l’activitat a l’aula: resoldre diferents casos, fer que l’alumnat s’inventi problemes nous i intercanviar-los, donar algun tipus de material com ara fitxes sobre una quadrícula per tal d’observar millor els canvis, fer explicar les regles de moviment per justificar les solucions o descriure la regla i investigar possibles continuacions de problemes que quedin indefinits, o amb diverses opcions possibles.
La geometria fractal pot resultar especialment interessant per treballar el saber #3.ALG.PA.B. Les fractals són un exemple molt bo per entendre la recursió, idea fonamental tant en informàtica com en matemàtiques. L’estudi de fractals ens permetrà connectar el treball de patrons amb mesura, numeració i el sentit espacial, i esdevé un recurs molt potent a l’aula. Però la geometria fractal no només és interessant des d’un punt de vista matemàtic, sinó que també ofereix una gran oportunitat per entendre millor el món que ens envolta i entendre com certs patrons es repeteixen a la natura.
L’activitat Fractals és un petit tast sobre algunes fractals i pot servir per introduir aquest tipus de geometria a les aules. Amb els matisos pertinents, es podria ubicar perfectament a 2n o 4t d’ESO. A l’activitat es presenten dues fractals, el triangle de Sierpinski i el conjunt de Cantor. En el primer cas, l’alumnat ha de trobar la relació entre les àrees dels triangles blancs i els negres respecte del total:
Respecte al conjunt de Cantor, primer es demana fer algunes iteracions donada la longitud del segment inicial i, a continuació, es treballa sobre un segment de longitud 1 per cercar-hi regularitats:
També es podria treballar el floc de neu de Koch, dibuixar diverses iteracions, per exemple, sobre fulls de trama isomètrica o amb un programa de geometria dinàmica, i observar què està passant: un perímetre infinit tanca una superfície finita. Aquest fet causa molta sorpresa a l’alumnat.
Font: elaboració pròpia
Les fractals es poden treballar de moltes maneres diferents. A l’entrada “Treballem les fractals”, el professor Manel Martínez ens explica com va involucrar tot l’alumnat de secundària i batxillerat de La Salle Bonanova per participar en el projecte Catifa de Sierpinski, en què diferents centres educatius i altres entitats de tot el món van col·laborar per tal de crear aquesta fractal en la setena iteració l’any 2016.
Al blog s’hi poden trobar activitats per diferents nivells per acompanyar la creació de la catifa. Tot seguit es pot veure la imatge de la catifa a la cinquena iteració:
L’arbre pitagòric també pot esdevenir un bon recurs per treballar les fractals. Tot seguit, es mostren dues imatges del concurs Fem Matemàtiques de Girona del 2020, on se’n va construir un de gegant i on, a més, aquesta fractal formava part del logo del concurs:
Per treballar-ho a classe, hi ha moltes idees interessants. Per exemple, al web del professor Lawrence H. Riddle, trobem les següents propostes. Es pot començar demanant a l’alumnat que construeixi l’arbre amb estris de dibuix o amb un programa de geometria dinàmica seguint unes indicacions:
Se n’obté la construcció següent:
Tot seguit, es demana a l’alumnat que repeteixi la construcció de forma recursiva sobre cadascun dels dos quadrats obtinguts. A continuació, podem veure el resultat de les iteracions següents:
I, a partir d’aquí, podem estirar tant com vulguem la proposta i cap a camins ben diversos. Per exemple, podem demanar a l’alumnat com s’imaginen un arbre fet amb triangles rectangles d’angles aguts de 30 i 60 graus. El resultat és el següent:
Vegem-ne un altre exemple. Etiquetem els quadrats de la manera següent: l’inicial té etiqueta 1 i, a la iteració n, al quadrat de l’esquerra li posem etiqueta 2n i, al de la dreta, li posem etiqueta 2n + 1. Podem pintar tots els quadrats amb etiqueta parell de color vermell i tots els quadrats amb etiqueta senar de color blau. Obtindrem així la següent imatge:
Un fet interessant és que fent servir notació binària es pot localitzar qualsevol quadrat a l’arbre. Per exemple, podem preguntar-nos on estarà situat el quadrat amb etiqueta 45. Aquest nombre, en binari, s’escriu 101101. El primer nombre, començant pel dígit de més a l’esquerra, sempre serà 1 i correspon al quadrat inicial. Per la resta de dígits, un 0 significa gir cap a l’esquerra (quadrat vermell) i un 1 significa gir cap a la dreta (quadrat blau). Així, per localitzar el 45, el camí que s’ha de fer és esquerra, dreta, dreta, esquerra, dreta. Vegem-ho a la següent imatge:
On és el quadrat 116? Com que 116, en binari, seria 1110100, començant pel quadrat inicial, girem a la dreta, dreta, esquerra, dreta, esquerra i, finalment, esquerra:
I ja, gairebé per acabar amb l’arbre pitagòric, la imatge següent mostra els quadrats amb etiquetes 1, 2, 4, 8, és a dir, les potències de 2. Aquests quadrats formen una espiral logarítmica. Però el fet interessant és que si comencem per qualsevol quadrat de l’arbre i seguim els quadrats des d’aquest punt sempre cap a la dreta o sempre cap a l’esquerra, també s’obtenen espirals logarítmiques. Per tant, a l’arbre s’hi troben espirals infinites.
Com s’ha pogut veure, l’arbre pitagòric dona molt joc per proposar activitats que permeten establir connexions dins de les mateixes matemàtiques. Però no només podem establir connexions internes; tot seguit podem veure, a través d’unes imatges de l’Anton Aubanell, la creació d’un arbre pitagòric al monestir de Sant Pere de Rodes a partir de les dimensions de l’església mateixa:
Font: Anton Aubanell
I ja per acabar amb les fractals, un últim exemple. Una manera d’involucrar una bona part de l’alumnat pot ser la creació d’un arbre de Nadal matemàtic, en concret, el tetraedre de Sierpinski. Al web Think Maths trobem les plantilles per crear un tetraedre de Sierpinski com el que es pot veure a la imatge següent, fet a l’Institut Dertosa el 2018:
A partir de la creació de l’arbre, poden sortir moltes preguntes interessants: quants tetraedres calen per fer cada iteració, quines dimensions té el tetraedre resultant de cadascuna, etc. I sempre es pot fer servir alguna d’aquestes preguntes per participar al vídeoMAT. Aquest és un projecte en el qual l’alumnat crea vídeos en què es responen preguntes que posen de manifest les aplicacions de les matemàtiques o la seva presència en l’entorn. A l’edició del 2019, el treball guanyador en la categoria de 1r, 2n i 3r d’ESO portava per nom Quants tetràedres de 10 cm d’aresta calen per fer un tetraedre de Sierpinski tan alt com l’institut?. Qualsevol ocasió és bona per fer matemàtiques per respondre preguntes!
Per treballar el saber #3.ALG.PA.B, les construccions fetes amb cubs ens poden donar moltes idees. A l’ARC hi trobem l’activitat Quants cubs formen la torre i també trobem una proposta molt similar a les Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria (Aubanell, 2015), amb l’activitat Patrons i policubs. Es presenta a l’alumnat un conjunt de policubs tal com es mostra a la imatge següent:
Es poden veure torres d’un cub d’altura (𝑛 = 1), de 2 cubs (𝑛 = 2), de 3 cubs (𝑛 = 3) i de 4 cubs d’altura (𝑛 = 4). Es pot convidar l’alumnat a construir, amb el mateix patró, una torre de 5 o de 6 cubs d’altura. Un cop estan familiaritzats amb aquestes figures, estem en disposició de plantejar la pregunta que volem investigar en l’activitat: Podríem trobar una expressió que, en funció de l’altura n de la torre, ens doni el nombre de cubs que la componen? D’entrada, sembla natural fer una taula amb el nombre de cubs de les primeres torres. En l’elaboració d’aquesta taula és probable que l’alumnat ja comenci a descobrir regularitats que després seran importants en la deducció de l’expressió buscada. Si s’apliquen aquestes regularitats, es pot demanar que calculin el nombre de cubs que formaran torres semblants de 5, 6, 7 o 8 cubs d’altura. S’obtindrà la taula següent, en la qual s’ha indicat per cn el nombre de cubs de la torre d’altura 𝑛:
La pregunta inicial ara ja es pot formular en termes més algebraics: Per a un valor 𝑛 general, quina expressió donarà cn? Ara és el moment d’investigar, de conjecturar, de contrastar opinions, de reflexionar i d’argumentar les troballes. Es pot emprar el full de càlcul o algun programa de geometria dinàmica per fer una taula i construir una representació gràfica com es mostra a la imatge següent, en la qual s’ha suposat que els càlculs s’havien fet fins a una torre d’altura 10:
Tant si s’ha introduït l’estudi de la paràbola com si encara no, es pot apuntar que la relació és quadràtica, fent esment de la representació gràfica de funcions de segon grau o del fet que el canvi del canvi (la variació dels increments) és constant.
A partir d’aquí hi ha diversos camins per continuar l’exploració. Un camí amb un fort component algebraic pot consistir a observar que cada torre està formada per un nombre de cubs que és la suma dels cubs que conformen cada pis: el pis de dalt sempre té 1 cub, el segon pis començant per dalt sempre té 5 cubs (4 més que l’anterior, ja que s’hi afegeixen els 4 dels extrems de les ales), el següent pis sempre té 9 cubs (4 més que l’anterior, ja que, de nou, s’hi afegeixen els 4 dels extrems de les ales)… Així cada pis té quatre cubs més que el pis que té immediatament per sobre. Pot sorgir la pregunta de quina serà l’expressió que dona el nombre de cubs del pis inferior en la figura d’𝑛 pisos (en realitat, el que estem fent és buscar el terme general d’una progressió aritmètica de diferència 4). Aquest nombre de cubs serà igual al nombre de cubs del pis superior (1) més tantes vegades 4 cubs com salts hàgim fet entre la planta superior i la planta inferior (si hi ha 𝑛 plantes haurem fet 𝑛-1 salts per anar de la planta superior a la inferior). En termes algebraics, tenim que el nombre de cubs de la planta inferior de la torre d’𝑛 cubs d’altura serà 1 + 4 · (𝑛 − 1) = 4𝑛 − 3. Per tant, el nombre total de cubs de la torre d’𝑛 cubs d’altura serà:
\( c_n = 1 + 5 + 9 + 13 + ⋯ + (4𝑛 − 3) \)
Ens trobem, doncs, davant de la necessitat de calcular la suma d’una progressió aritmètica. En funció del que estigui planificat treballar durant el curs, potser l’alumnat no sap l’expressió algebraica per fer-ne el càlcul. A la fitxa de l’activitat Patrons i policubs, es troben diversos exemples de com abordar aquest càlcul raonadament.
Sigui com sigui, la idea és arribar a l’expressió:
\( c_n = [1+(4n-3)] \cdot \dfrac n2= (4n-2) \cdot \dfrac n2 = 2n^2-n \)
Ara seria el moment de comprovar que aquesta expressió ajusta bé tots els valors de la taula construïda inicialment.
Un altre camí, no tan algebraic i molt més geomètric i visual, per arribar al mateix resultat és el següent. A les imatges que hi ha a continuació, s’hi mostra el procediment per la torre d’altura 4, però treballarem el cas general d’altura 𝑛. Considerem la torre d’altura 𝑛 i separem les quatre ales. D’aquesta manera aconseguim tenir quatre figures triangulars de dimensions (𝑛-1)·(𝑛-1) i la columna central que tindrà altura 𝑛. Podem agrupar les ales, dues a dues, com es mostra a la imatge següent:
S’observa que les parelles d’ales encaixen bé tot formant dos rectangles de dimensions (𝑛-1)·𝑛 com mostra la imatge:
S’aconsegueixen tres rectangles, tots d’altura 𝑛 i dos amb base 𝑛-1 i un amb base 1. Si els ajuntem tindrem un rectangle també d’altura 𝑛 i de base la suma de les bases: (𝑛-1) + (𝑛-1) + 1 = 2𝑛 - 1. A la imatge següent es mostra aquest rectangle per a 𝑛 = 4:
El nombre total de cubs que té aquest rectangle s’obtindrà multiplicant el nombre de cubs de la base pel de l’altura. Així tindrem que el nombre total de cubs serà:
\( c_n =(2n-1) \cdot n= 2n^2-n\)
D’una manera ben bonica i elegant, s’ha aconseguit arribar al mateix resultat sense la necessitat d’aspectes algebraics que poden resultar complicats per a part de l’alumnat. Serà el professorat qui decideixi quin camí, o quins, treballar a classe en funció de la tipologia d’alumnat i el grup-classe. Una opció possible seria treballar l’activitat ’visualment a 3r i de manera més algebraica a 4t.
Com també es va comentar al document de 2n d’ESO, al web Visual patterns hi trobem moltes imatges que poden desencadenar un treball de patrons interessant. En aquest cas, ens referim al número 22, que ens serveix per treballar també el saber #3.ALG.PA.B per mitjà, també, d’un patró de creixement no constant. Presentem a l’alumnat la imatge següent i els demanem com serà el quart pas i quants cascs hi haurà, i que trobin una expressió algebraica per al cas general:
Es pot observar que, a cada pas, afegim al rectangle dues columnes i una fila; per tant, al quart pas hi haurà un rectangle format per 9x4 = 36 cascs. Ara arriba el moment d’organitzar les dades en una taula i, com en l’activitat anterior, en podem fer el gràfic i observar que l’expressió buscada és quadràtica:
Si organitzem la informació com a la taula següent, podem observar-hi regularitats:
| Pas | Nombre de cascs |
| 1 | 3 (3x1) |
| 2 | 10 (5x2) |
| 3 | 21 (7x3) |
| 4 | 36 (9x4) |
Veiem que les bases dels rectangles que formen els cascs són: 3, 5, 7, 9…, és a dir, el rectangle del pas 𝑛 tindrà base 2𝑛 + 1. I observem també que les altures dels rectangles són: 1, 2, 3, 4…, és a dir, el rectangle del pas 𝑛 tindrà altura 𝑛. Així, arribem a la conclusió que el rectangle del pas 𝑛 tindrà (2𝑛 + 1)·𝑛 cascs, o sigui, 2𝑛2 + 𝑛.
Una altra manera de veure la informació és la següent:
| Pas | Nombre de cascs |
| 1 | 3 = 3 |
| 2 | 3 + 7 = 10 |
| 3 | 3 + 7 + 11 = 21 |
| 4 | 3 + 7 + 11 + 15 = 36 |
I, com a l’activitat anterior Patrons i policubs, podem emprar tota la potència del llenguatge algebraic per identificar la progressió aritmètica, calcular-ne la suma, i arribar a l’expressió 2𝑛2 + 𝑛.
També es pot optar per buscar la solució més visualment. Fixem-nos en la imatge següent en la qual busquem formar quadrats dins del rectangle de cascs:
I podem arribar a la conclusió que al pas 𝑛 hi haurà 𝑛2 + 𝑛2 + 𝑛 cascs, és a dir, 2𝑛2 + 𝑛.
Hem pogut arribar a trobar l’expressió algebraica de formes diverses i aquest és el gran potencial d’aquests tipus d’activitats: són abordables amb més o menys ús del llenguatge algebraic i esdevenen accessibles i adaptables a tot l’alumnat.
Al web PuntMat se’ns presenten activitats de descoberta de regularitats a través de la resolució d’equacions i sistemes. Dues d’aquestes activitats, també esmentades al bloc Igualtat i desigualtat d’aquest curs (#3.ALG.ID), són Pràctica productiva: equacions de segon grau i Pràctica productiva: sistemes d’equacions.
Tal com comenten els autors del web, l’alumnat aprèn a resoldre equacions i sistemes i, a continuació, cal que practiquin. Aquestes activitats proposen posar el focus en la cerca de patrons i regularitats i l’establiment de conjectures, a més de posar en pràctica les destreses apreses per resoldre les equacions i sistemes. Es pot trobar l’activitat d’equacions de segon grau en format fitxa a l’enllaç Fitxa 1, i l’activitat de sistemes d’equacions a l’enllaç Fitxa 2.
Llicenciat sota la Llicència Creative Commons Reconeixement CompartirIgual 4.0