Florence Nightingale

El curs de 3r d’ESO és un bon nivell per introduir un dels gràfics estadístics més famosos: el diagrama polar de Florence. En podeu trobar una activitat per a l’anàlisi del gràfic a L’estadística més enllà dels paràmetres del grup Vilatzara: Florence Nightingale. Al gràfic es representen en vermell els morts en combat per ferides de guerra; en blau, els morts per ferides infeccioses o contagioses que es creia que eren provocades per un organisme anomenat zyme i, en negre, la resta de morts per altres causes.

El «gràfic de rosa» o «diagrama polar» mostra les causes de mort dels soldats britànics durant la Guerra de Crimea (1853-1856). Aquest gràfic il·lustrava que la majoria de les morts no eren causades per les ferides de combat, sinó per malalties prevenibles com el còlera i la disenteria, que es podien reduir amb millores sanitàries. Utilitzant una representació visual clara, Nightingale va mostrar que les condicions sanitàries feien augmentar dramàticament les taxes de mortalitat.

La seva feina va marcar un abans i un després en la medicina, la gestió hospitalària i la salut pública, ja que va demostrar la importància de prendre decisions informades per dades. A més, la seva contribució va ser fonamental per establir la infermeria moderna i va ajudar a avançar en el camp de l’estadística aplicada a les ciències socials.

Aquest gràfic no només és un exemple d’una eina potent de comunicació de dades, sinó que també va ser una forma d’influir en les polítiques públiques, ja que va mostrar que les visuals estadístiques poden portar a un canvi social real. Per tant, podem entendre la importància per treballar-lo a classe. Això sí, a l’hora de presentar-lo, convé explicar-ne els fets i el context social i polític de l’època. Es pot trobar més informació al web del museu de Londres.

Gràfic de la campanya de Napoleó a Rússia 

Un altre gràfic que el nostre alumnat hauria de conèixer és el famós gràfic de Charles Joseph Minard, que mostra la campanya de Napoleó a Rússia (1812-1813). Aquest diagrama és considerat una obra mestra de la visualització de dades per la seva claredat i la seva capacitat de representar múltiples variables alhora.

El gràfic de Minard descriu el nombre de soldats de Napoleó que van iniciar la campanya, els que van sobreviure en diferents moments del viatge, la ruta que van seguir, les condicions meteorològiques i els obstacles geogràfics. La línia ampla del gràfic mostra el nombre de soldats i com es va anar reduint a mesura que avançaven cap a Moscou i, posteriorment, durant la retirada. També inclou un gràfic de línia a la part inferior que mostra les temperatures extremes durant la retirada.

Quants hi van anar? Quants en van tornar?

A l’Estadística més enllà dels paràmetres del grup Vilatzara podeu trobar l’activitat Quants hi van anar? Quants en van tornar?, i, tot i que està proposada per a 2n d’ESO, donada la complexitat del gràfic que representa fins a 6 variables i les connexions històriques que s’estableixen entre la invasió russa de Napoleó i l’operació Barba-roja de Hitler, és perfectament adaptable a 3r d’ESO.

Gapminder Card Game

Un altre recurs per a l’anàlisi i la interpretació de dades és el web Gapminder, una eina en línia gratuïta que permet visualitzar dades estadístiques d’una manera interactiva i dinàmica. La seva missió és ajudar a comprendre el desenvolupament humà a través de gràfics animats que representen dades com la mortalitat infantil, el PIB per càpita o l’esperança de vida, entre altres. Aquests gràfics són molt intuïtius, ja que fan servir bombolles que representen diferents països codificades per colors segons el continent i permet explorar les dades històriques i comparar l’evolució dels països al llarg del temps, cosa que facilita l’aprenentatge de temes com l’economia, la salut pública o la sostenibilitat d’una manera entretinguda i visualment atractiva.

Una de les activitats que es pot trobar als materials de Gapminder és el Gapminder Card Game, en què es demana a l’alumnat, sense ser gaire específic, que classifiqui els països segons el nivell de desenvolupament (probablement haurà de buscar en un mapa on se situen alguns dels països); després se li pot demanar que expliqui quines variables pensa que ha utilitzat per fer la classificació, com per exemple els ingressos, el nivell de salut o el desenvolupament econòmic.

Un cop acabada la primera discussió, és el moment de distribuir el gràfic Gapminder World Map als grups i explicar el gràfic, és a dir, que cada bombolla és un país, la mida de la bombolla és la població, el color del continent, l’eix Y és l’esperança de vida (és a dir, la salut) i l’eix X és la renda per persona, i aclarir ràpidament què signifiquen els dos indicadors. Posteriorment, podem demanar-los que cerquin i marquin els països al gràfic i discutir si hi ha resultats que ens criden l’atenció o que surten de les nostres primeres conjectures. Finalment, podem acabar mostrant l’evolució del gràfic Esperança de vida respecte a la renda per càpita al llarg dels anys al vídeo que apareix al web o al vídeo de la BBC de Hans Rosling’s 200 Countries, 200 Years, 4 Minutes.

Slow Reveal Graphs 

A 3r d’ESO continuen sent un bon recurs els gràfics de Slow Reveal Graphs i l’anàlisi de gràfics del web del New York Times what’s going on the graph, que permet analitzar l’impacte de les dades científiques, tecnològiques, socials, artístiques i culturals de les notícies d’actualitat dels darrers 6 anys.

Base d’orientació

Per altra banda, per aprofundir en l’anàlisi de gràfics i ajudar l’alumnat a entendre dades relacionades amb contextos reals i, donat que a 3r de l’ESO es treballa una anàlisi més profunda, que inclou interpretar les implicacions, les relacions entre variables i la capacitat de detectar tendències o anomalies en un gràfic, és essencial treballar els comentaris de gràfics dins de l’àrea de matemàtiques, per tal de fomentar la capacitat comunicativa: saber explicar en paraules els patrons i les conclusions que es deriven d’un gràfic millora les capacitats de raonament verbal i escrit i facilita la connexió amb altres disciplines, com la ciència, la geografia o l’economia, en què les representacions gràfiques són fonamentals. Això no només promou l’aprenentatge interdisciplinari, sinó que també ajuda l’alumnat a veure la utilitat de les matemàtiques més enllà de l’aula.

Podem treballar el comentari de gràfics a través de la base d’orientació següent:

Proposta base d’orientació per al comentari d’un gràfic.

Mathematics Assessment Project

Per treballar el saber #3.EST.DI.C es proposa Mathematics Assessment Project, que, com ja hem comentat, són un conjunt de materials que es van generar el 2015 en col·laboració entre la Universitat de Califòrnia, Berkeley i l’equip del Shell Center de la Universitat de Nottingham. Com totes les lliçons proposades, hi podem trobar els materials per a l’alumnat, així com les indicacions i els suports per al professorat en el moment de dur l’activitat a l’aula. Totes les tasques s’inicien amb una preactivitat que l’alumnat ha de fer individualment a casa. A l’inici de la lliçó es revisen els resultats per detectar la comprensió de la situació i possibles dificultats. A continuació se segueix un esquema de treball individual, debats en petits grups i posada en comú a tota la classe. Al final de la lliçó es proposa una petita avaluació o una activitat reflexiva per tal que l’alumnat sigui conscient del que ha après.

L’activitat indicada en aquest cas és Representing Data With Grouped Frequency Graphs and Box Plots, la pretasca que es proposa en aquest cas, per fer a casa, correspon a un gràfic de freqüències agrupades de l’alçada d’un grup de noies. Segons la proposta de Mathematics Assessment Project, no cal que l’alumnat sàpiga contestar totes les preguntes al treball inicial, sinó que cal explicar que sabran fer-ho quan acabin l’activitat. Aquesta primera tasca es recull, però no es puntua. En lloc d’això, es formula una sèrie de preguntes basades en el treball dels estudiants per ajudar-los a progressar. Les seves dificultats es resumeixen en una llista de preguntes, que servirà com a guia per al seu desenvolupament. A l’activitat apareix una llista de possibles preguntes que poden ajudar l’alumnat a millorar la tasca, com per exemple: si l’alumnat proporciona valors de la mediana i del quartil llegits d’un diagrama de caixa com a intervals, no valors exactes; podem preguntar a l’alumnat: Què representa cada interval de l’escala del diagrama de caixa? Podem llegir el valor exacte de la mediana del diagrama de caixa?

Ja a l’aula, podem treballar l’activitat següent basada en els resultats d’un examen de ciències en què la màxima puntuació, que ningú ha obtingut, és de 50 punts. Els alumnes poden reflexionar primer individualment i després per parelles sobre les diferents representacions: Què ens diu una determinada barra del diagrama? Quantes puntuacions dels estudiants representa una determinada barra? Quines podrien ser les puntuacions d’aquesta barra? [La segona barra representa les puntuacions de quatre alumnes. Les puntuacions podrien ser, per exemple, 10, 10, 10 i 10; 19, 19, 19 i 19; 10, 12, 15 i 17; o qualsevol altre grup de quatre nombres del rang 10 - 19? Quins valors podria prendre la marca de classe? Quins dels dos diagrames de caixa correspon a l’histograma?

Mathematics Assessment Project. Representing Data With Grouped Frequency Graphs and Box Plots

Com que possiblement l’alumnat no està familiaritzat amb el concepte i la relació dels termes mediana i quartil superior i inferior, podem explicar llavors que el quartil inferior es refereix al 1r quartil, la mediana es refereix al 2n quartil i el quartil superior es refereix al 3r quartil. Aquests valors divideixen el conjunt de dades en quatre grups de freqüències iguals. L’alumnat pot suposar que l’interval de les dades sempre va des del valor més baix del primer interval fins al valor més alt de l’últim interval, de manera que demanar-los que pensin en el rang mínim i màxim possible de puntuacions pot ser útil per treballar les propietats d’un gràfic de freqüències agrupades.

Un cop feta la discussió inicial, passem al treball central en grups de dos o tres alumnes, en què a cada grup els repartim el conjunt de cartes retallades amb els diferents histogrames i els diagrames de caixa. Aleshores han de buscar a quin histograma correspon cada diagrama de caixa. Amb tot, alguns histogrames poden tenir més d’un diagrama de caixa que coincideixi i hi pot haver alguns diagrames de caixa que no coincideixin amb cap dels histogrames. En aquest cas, l’alumnat pot utilitzar una quadrícula en blanc per construir el diagrama corresponent.

Proposta d’emparellament histograma- diagrama de caixa.

Representing Data With Grouped Frequency Graphs and Box Plots

Mathematics Assessment Project

En el treball autònom en grup, el professor ha de tenir en compte les dificultats que sorgeixen i les maneres en què es justifiquen i s’expliquen entre ells. Els alumnes comproven si la seva concordança és correcta? Se centren només en els valors màxim i mínim? Suposen que el valor de la mediana representada en un diagrama de caixa implica sempre que un alumne hagi aconseguit aquesta puntuació? Parlen de la dispersió de les dades? Cal, doncs, animar-los a utilitzar el llenguatge matemàtic correcte i fer-los preguntes per ajudar-los a raonar: Com saps que aquest diagrama de caixa podria representar les mateixes dades que aquest histograma? És interessant demanar a un altre membre del grup que respongui a la pregunta d’un company i, si tota la classe hi està d’acord, es poden escriure un parell de preguntes a la pissarra i discutir-ho breument.

Quan els diferents grups de treball acabin fent coincidir les seves targetes, cal donar l’oportunitat per comparar els diferents resultats a través d’un pòster i, en el cas que l’alumnat cregui que una targeta és al lloc equivocat, s’anima a dibuixar una fletxa al pòster per indicar cap a on creu que hauria d’anar i escriure una explicació del canvi.

Finalment, amb l’anàlisi de les diferents representacions es pot desenvolupar l’apreciació crítica dels potencials i les limitacions de les diferents maneres de resumir i representar dades.

Al web de l’NRICH també podeu trobar una activitat semblant, però en aquesta activitat cal relacionar els diagrames de caixa amb els diagrames de freqüències acumulades. L’activitat concretament és box plot match.

Alçada dels nois i noies de la classe

Una bona manera de treballar les taules de freqüència de variables contínues, saber #3.EST.DI.D, pot ser l’estudi de l’alçada dels nois i noies de la classe: mesurem en cm les diferents alçades i les registrem en una taula agrupant les dades en intervals o classes:

Un cop creada la taula, podem discutir amb l’alumnat quines són les alçades més comunes, parlar sobre què representa la marca de classe i per què és útil per fer estimacions dins d’un interval o analitzar-ne la distribució: És simètrica, asimètrica? Hi ha alumnes molt més alts o més baixos que la resta?

L’activitat també es podria fer buscant les alçades dels diferents jugadors d’un equip de bàsquet o dividir la classe en petits grups i que cada grup faci l’estudi d’un equip de bàsquet diferent i discutir posteriorment les diferències en les alçades mitjanes i la dispersió de les dades.

Temperatures a dues ciutats

Per treballar la marca de classe, recomanem l’activitat del grup Vilatzara, Temperatures a dues ciutats, en què es mostra un gràfic de barres de les temperatures de París i Nova York, però les temperatures estan donades en classes. Per tant, l’alumnat ha de fer servir la marca de classe correcta, així com utilitzar correctament les freqüències per ponderar i fer la mitjana. Una vegada obté dues mitjanes que són pràcticament iguals, ha de mirar amb més cura el gràfic per adonar-se de la dispersió de les dades.

Cubes on a boat

A 3r d’ESO, donat que en cursos anteriors s’ha treballat la representació de dades en diagrames polars, histogrames i polígons de freqüència, considerem convenient introduir l’ús i la representació de dades mitjançant diagrames de caixa. Una bona proposta per treballar aquestes representacions i el saber #3.EST.DI.E és la que apareix a Cubes on a boat de Nuria Serra, que proposa una activitat dividida en dues parts: la primera és una adaptació de l’activitat Bears on a Boat del NCTM (descripció de l’activitat només accessible per als socis del NCTM).

L’alumnat ha de treballar per parelles o grups de màxim tres persones i fer servir un quadrat de paper d’alumini de 15 cm de costat per construir una barca, plegant el paper de la manera que vulguin, però sense tallar-lo ni fer-hi cap forat. L’objectiu és dissenyar la barca de més capacitat possible (capacitat entesa com a major nombre de cubets que pot suportar la barca abans d’enfonsar-se, tal com s’explica a la fitxa de l’alumnat). És important no donar cap indicació més, així els dissenys de l’alumnat seran força diferents els uns dels altres i donarà més joc a parlar posteriorment de quin és el millor disseny. A continuació, l’alumnat passa per la «llacuna» i l’emplena de cubets per calcular la capacitat de la seva barca. Un cop hagin passat totes les parelles es recullen les dades i, posteriorment, l’alumnat pot introduir-les en una miniaplicació, com per exemple aquest GeoGebra, per trobar el seu diagrama de caixa corresponent.

En gran grup es discuteix quin és el significat de cadascuna de les dades que apareix al gràfic i es dona sentit a les línies que formen el diagrama de caixa. A continuació, és interessant que sota la pissarra digital, on hi ha projectat el diagrama de caixa, s’ordenin totes les barques per capacitat, de més petita a més gran, i es demanarà a l’alumnat que passi a observar totes les barques per parelles. Un cop hagin passat totes les parelles, se’ls preguntarà si pensen que poden millorar-ne el disseny. La resposta gairebé segur que serà afirmativa i el professor ha de lliurar aleshores un altre quadrat de paper d’alumini i repetirem el procés. És molt important que en fer el segon diagrama de caixa no esborrin el primer, per comparar els resultats. Un cop tenim els dos gràfics, és interessant veure què es manté igual (acostuma a ser el màxim) i què canvia. Cal fer notar a l’alumnat que, la major part de vegades, el mínim del segon intent és més gran que la mediana del primer, i preguntar-nos per què passa aquest fet.

Bar graph and chocolate

Una activitat de representació de dades a mig camí amb el disseny gràfic i amb fortes connexions amb el sentit espacial i artístic és la que presenta Don Stewart al seu blog, basada en l’obra de l’artista britànic contemporani Arthur Buxton, conegut pel seu treball en la visualització de dades, especialment en l’anàlisi cromàtica d’obres d’art. Buxton simplifica pintures famoses en gràfics que mostren la distribució dels colors predominants en aquestes obres. Un dels seus projectes més coneguts és la representació de les proporcions de color a les obres de pintors com Van Gogh o Monet, fent servir diagrames que redueixen les pintures a les seves composicions cromàtiques bàsiques.

L’activitat proposada consisteix a relacionar els embolcalls llampants de xocolatines amb el seu gràfic de color corresponent i animar l’alumnat a fer el gràfic d’altres embolcalls.

Arthur Buxton i Don Steward. Bar graph and chocolate

Una altra bona activitat per a la construcció de gràfics i l’anàlisi posterior la podem trobar també al blog de Don Stewart. L’activitat concretament s’anomena comparing two data sets, en què s’estudia la longevitat dels presidents nord-americans de les diferents èpoques i s’anima a resoldre el problema fent servir diferents tipus de representacions.

Don Steward. Comparing two data sets

DESMOS, Interpreting Box Plots

Per treballar el saber #3.EST.DI.E, també podeu fer servir l’activitat proposada a DESMOS, Interpreting Box Plots, que explora els diagrames de caixa i les seves característiques i es pot utilitzar com a introducció o com a repàs.

Ús de fulls de càlcul

A 3r d’ESO, l’alumnat ja hauria d’estar preparat en l’ús de fulls de càlcul per fer representacions gràfiques i tractament de dades. És interessant, per tant, ampliar l’horitzó de la programació de fulls de càlcul amb els comandaments típics per a les operacions estadístiques i treballar així el saber #3.EST.DI.F:

• El rang:=MAX(interval) - MIN(interval)
• La mitjana:=AVERAGE(interval)
• La mitjana ponderada: si els valors estan en un interval (per exemple, A2) i els seus pesos en un altre (per exemple, B2):=SUMPRODUCT(A2:A10, B2:B10) / SUM(B2:B10)
• La desviació típica: segons si les dades són una mostra o la població completa:

  Mostra:=STDEV.S(interval)

  Població:=STDEV.P(interval)

• El coeficient de variació: es calcula dividint la desviació típica per la mitjana i multiplicant per 100 per obtenir el percentatge:=(STDEV.S(interval) / AVERAGE(interval)) * 100

Ordenació dels alumnes

Una bona activitat per comprendre el significat dels quartils podria ser mitjançant la representació física de la distribució de les alçades de l’alumnat. Demanem als alumnes que facin una filera, ordenats de menor a major segons la seva alçada i, en el cas que hi hagi alumnes amb la mateixa alçada, es posaran l’un al costat de l’altre. Podem demanar als alumnes que s’ordenin en silenci comparant-se per parelles i intercanviant la posició si cal, repetint fins que tota la filera estigui ordenada. Realitzant aquest repte, podem aprofitar també per fer connexions en l’algoritme d’ordenació propi del pensament computacional Bubble Sort.

En funció del nombre total d’alumnes, dividirem la filera en quatre parts iguals (quartils). Si, per exemple, hi ha 20 alumnes, cada quartil tindrà 5 alumnes i assenyalarem clarament les posicions que corresponen a Q1 (el primer quartil, el 25% més baix), Q2 (la mediana, el 50%), i Q3 (el tercer quartil, el 75%).

Un cop indicats els quartils, podem reflexionar sobre què significa estar en cadascun dels quartils:

• Els que són al primer quartil (Q1) són els més baixos i representen el 25% d’alumnes amb l’alçada més baixa.
• Els que són al segon quartil (Q2) arriben fins a la mediana.
• Els alumnes del tercer quartil (Q3) tenen alçades per sobre de la mediana, però per sota del 75%.
• Els que són al quart quartil són els alumnes més alts, és a dir, el 25% amb les alçades més elevades.

Basant-nos en una activitat proposada per Don Steward també podem ordenar per separat nois i noies de la classe, fer el seu diagrama de caixa corresponent i analitzar el gràfic amb preguntes com les que es proposen a continuació:

Donat que l’ordenació per alçades pot suposar problemes per a alguns dels alumnes, també poden ordenar-se per data d’aniversaris:

Podem treballar llavors el gràfic humà amb preguntes com: Quina seria la mediana de la nostra distribució? Qui la representa en la fila? Com podem dividir la fila en quatre parts iguals? Qui representa el primer quartil (Q1) i el tercer quartil (Q3)? Si féssim un diagrama de caixa amb aquestes dades, on situaríem els bigotis? I els extrems? Hi ha algun valor atípic (per exemple, si hi ha un sol alumne amb data d’aniversari molt allunyada de la resta)? Com quedaria la longitud de la caixa en un diagrama? És simètrica o està més carregada cap a un costat?

Després podem passar a dibuixar el corresponent gràfic i fer-nos més preguntes, com ara per què l’alumnat ha nascut més en una època de l’any que en una altra? Podem dir que la distribució és uniforme? Si féssim aquest experiment en altres classes, creus que el resultat seria similar? Podem calcular la moda d’aquest conjunt de dades? (Si hi ha mesos o dies repetits).

També podem aprofitar i comparar les dues distribucions, la de les alçades i la dels aniversaris: Sembla que hi hagi relació entre la data de naixement i l’alçada? Podríem pensar que els alumnes nascuts a principi d’any són més alts?) Si féssim aquest estudi en diferents cursos (per exemple, de 1r a 4t d’ESO), creus que trobaríem diferències en la distribució de les alçades? I en les dates d’aniversari?

Després d’introduir la idea de quartil podem preguntar l’alumnat si poden pensar en altres contextos en què es podrien aplicar quartils (per exemple, en notes, ingressos o altres mesures).

Dry Erase Workmat for Finding Five Number Summary, IQR, and Outliers

Com que el càlcul de quartils pot resultar complicat per a una part del nostre alumnat, Sarah Carter proposa en l’entrada al seu blog Dry Erase Workmat for Finding Five Number Summary, IQR, and Outliers una plantilla esquemàtica per ajudar al càlcul de quartils i una pràctica basada en l’extracció de nombres aleatoris:

Sarah Carter. Dry Erase Workmat for Finding Five Number Summary, IQR, and Outliers

Calculadora alcula

Un recurs d’ajuda per al càlcul de quartils és la calculadora alcula, que pot fer-se servir per comprovar els càlculs.

Mean, Median, Mode, and Range Spider Puzzles

Si es desitja repassar els conceptes de mitjana, mediana i moda també podem trobar al blog de Sarah Carter el Mean, Median, Mode, and Range Spider Puzzles:

Unequal averages

Es pot aprofundir perfectament en el treball al voltant de la mitjana, mediana, moda i rang, fent l’activitat ja citada a 2n d’ESO Unequal averages del web NRICH, que parteix d’un conjunt de 5 nombres que compleixen que la mitjana és igual a la mediana, a la moda i al rang i repta l’alumnat a trobar altres conjunts de nombres que compleixin aquesta mateixa propietat.

L’ús de representacions visuals (dibuixar quadrets a la llibreta) o l’ús de materials manipulables com policubs, pot ser un bon suport per ajudar l’alumnat a ser sistemàtic i no deixar-se cap possibilitat.

L’activitat s’amplia buscant un conjunt de nombres que poden o no complir les propietats següents:

1. Moda < Mediana < Mitjana
2. Moda < Mitjana < Mediana
3. Mitjana < Moda < Mediana
4. Mitjana < Mediana < Moda
5. Mediana < Moda < Mitjana
6. Mediana < Mitjana< Moda

Comparing Data Using Statistical Measures

Una activitat per treballar inferències comparatives sobre dues poblacions i el càlcul i la interpretació dels paràmetres de dispersió estadístics, saber #3.EST.DI.H, és l’activitat proposada a Mathematics Assessment Project, anomenada Comparing Data Using Statistical Measures. Com és habitual en la metodologia de la Universitat de Nottingham, l’alumnat comença fent una tasca individual a casa i, donades un conjunt de dades corresponents al temps que necessita per desplaçar-se de la feina a casa, ha de donar arguments a favor del desplaçament en bicicleta o en cotxe.

Un cop recollida l’activitat el professor la retorna corregida als alumnes amb preguntes que afavoreixin la seva reflexió i la millora de la tasca. A l’activitat també hi ha exemples de les possibles preguntes que podem fer a l’alumnat:

Abans de tornar-los el full fet a casa, es proposa discutir sobre 4 conceptes estadístics: mitjana, mediana, rang i valor atípic i treballar altre cop, ara en grups, sobre el problema de James.

Aparcarem el problema de James per a més endavant, és hora de treballar en grup el problema d’arribada a la feina de Raj I i l’arribada a la feina de Raj II, en què l’alumnat ha de completar les dades que falten a la taula tenint en compte una sèrie d’informacions:

• Els temps mitjans en cotxe i en bicicleta són els mateixos.
• El temps mitjà del cotxe és de 23 minuts, mentre que el temps mitjà de la bicicleta és de 25 minuts.
• El rang de temps de bicicleta és de 6 minuts, mentre que el rang de temps de cotxe és de només 5 minuts, si exclou el valor atípic.
• Conclusió: Raj hauria d’anar amb cotxe.

Completeu la taula:

Un cop resolta la taula, els diferents grups s’intercanvien les taules, calculant la mitjana, la mediana, el rang i buscant els possibles valors atípics per comparar així les distribucions de dades. Tots els equips han arribat a la mateixa conclusió de com ha d’anar Raj a la feina? És un bon moment per introduir la desviació típica dels diversos conjunts de dades.

En una discussió a tota la classe, en funció de com ha anat la lliçó, animeu els alumnes a parlar sobre el que han après, les estratègies que han utilitzat i/o quines diferències han sorgit durant la comparació de descripcions i conclusions:

• Amb quina mesura heu treballat primer? Per què ha estat això? Llavors què heu fet?
• Algú ha utilitzat una estratègia diferent?
• Quines dificultats heu trobat? Heu superat aquestes dificultats? Com?

Animeu també l’alumnat a reflexionar sobre les decisions que van prendre en generar les dades, per exemple, els estudiants que treballen amb les mateixes descripcions poden haver optat per utilitzar un nombre contrastat de valors de dades per completar la taula:

• Sara, quins valors de dades heu utilitzat per completar el Cotxe/Horaris de bicicleta per a A1/B1?
• Mateu, quins valors tenies per a A1/B1?
• Els dos conjunts de dades coincideixen amb la descripció? Per què podem tenir diferents valors de dades que compleixin la mateixa descripció?
• Hem de completar la taula de dades amb 10 valors? Per què/Per què no?

Retorneu la tasca de James amb les preguntes individuals i animeu-los a ampliar les seves reflexions un cop fetes les activitats de la tasca de Raj.

L’alumnat ha d’analitzar en grup altre cop la tasca de James. Donada la petita quantitat de dades i la similitud dels valors mitjans, els estudiants poden observar que no hi ha gaire diferència i hi ha poca base per poder arribar a una conclusió ferma.

El cas d’anar en bicicleta podria basar-se en el fet que la mitjana és la (conjunta) més petita, juntament amb el fet que la difusió de les dades és menor. Això vol dir que en James pot estar més segur del temps que trigarà a posar-se a treballar, ja que els valors són més coherents. L’alumnat també pot comentar sobre el cost més barat i els beneficis ambientals i de fitness del ciclisme, la facilitat amb què pot superar els embussos de trànsit i la possibilitat que després de setmanes d’anar en bicicleta a la feina pugui fer el viatge encara més ràpidament, ja que es posa més en forma. No obstant això, aquests no són arguments basats en les dades.

El cas d’anar en cotxe d’entrada sembla feble, ja que la mitjana és superior a la dels altres mitjans de transport i les dades també estan disperses, la qual cosa fa que el temps de trajecte sigui molt variable i aquest mètode sigui bastant poc fiable. Tanmateix, gran part d’això és causat per l’únic valor atípic de 57 minuts. Aquest valor pot ser útil per introduir el concepte Cigne Negre, que fa referència a esdeveniments extremadament improbables, que no poden ser anticipats mitjançant la predicció estadística i, quan ocorren, tenen un impacte molt significatiu. Es pot deure a una catàstrofe o un canvi radical en el decurs dels esdeveniments i que sovint tenen conseqüències enormes, com per exemple la crisi financera global de 2008, quan els experts van ser incapaços de predir-la i, quan va succeir, els seus efectes van ser devastadors per a l’economia mundial. Un altre exemple podria ser l’aparició de la pandèmia de covid-19.

En el cas del problema d’anar en cotxe, el Cigne Negre, potser és causat per un embús de trànsit estrany. Sense saber amb quina freqüència es produeixen aquests esdeveniments, és possible que els estudiants no estiguin segurs de què cal fer amb aquesta dada. Si l’ometem, s’obtenen els resultats a la columna de la dreta de la taula anterior, donant el temps mitjà més petit al viatge en cotxe. No obstant això, encara hi ha el risc no quantificat del temps de viatge molt llarg ocasional. Tot i que no hi ha una regla clara sobre què cal fer amb els valors atípics, els estudiants han de ser conscients del problema i, sens dubte, haurien de comentar un valor atípic clar com aquest.

Es proposa llavors l’avaluació individual de l’alumnat a través de la tasca Running Times que es pot fer a classe o a casa.

Ànecs de dutxa

Per estudiar la dispersió de dades Don Stewart també proposa l’activitat d’ànecs de dutxa següent, amb el títol spread:

Les desviacions estàndard (2 decimals) són força properes:

1. 1,90
2. 2,28
3. 2,53
4. 1,79

així que classificar els ànecs en un ordre no és una tasca tan fàcil, donat que els rangs donen un ordre de classificació raonable, però no distingeixen entre el cas (a) i (d), tots dos de rang 5.

L’activitat resulta interessant perquè aquests quatre petits conjunts de dades comparteixen la mateixa mitjana i la mateixa desviació absoluta mitjana. S’espera que l’alumnat reflexioni sobre la necessitat de la desviació estàndard que, a més de convertir en positives les desviacions negatives, amplifica les diferències per donar més pes a les variacions més grans.

Sortida de cap de setmana

El grup Vilatzara també proposa dues activitats per treballar el concepte de desviació, saber #3.EST.DI.H. A l’activitat Sortida de cap de setmana es presenta una situació basada en el viatge que fan uns amics un cap de setmana i en tornar han de passar comptes. S’espera que el concepte de mitjana aparegui de manera automàtica i que els deutes o el que han de recuperar es calculi com la distància a la mitjana, mantenint el signe corresponent. A l’hora de portar l’activitat a classe, es demana que cada grup faci la representació que cregui més convenient i expliqui el seu gràfic. S’aconsella afrontar l’activitat sense presentar prèviament cap definició de desviació i al final formalitzar-la.

Sortida de cap de setmana

Un cop acomplerta l’activitat de sortida de cap de setmana, per introduir el concepte de desviació típica podem portar a terme a classe l’activitat La mida de les peces. L’activitat ens presenta un taller amb dues màquines amb les mateixes característiques tècniques i el mateix preu, però cal triar la que pugui construir un cilindre més a prop d’un diàmetre de 12,6 cm. En fer els càlculs, l’alumnat s’adona que els dos grups de dades tenen la mateixa mitjana, la qual cosa els fa equivalents. Necessitem llavors algun indicador que ens permeti discriminar una de les dues màquines i escollir la més adient. L’alumnat ha de fer una transferència d’informació respecte al que s’ha treballat a l’activitat Sortida de cap de setmana, però, en aquest cas, es comprova que la mitjana de les desviacions no aporta cap informació perquè la suma de les desviacions és nul·la; per tant, el professor haurà d’intervenir per preguntar possibles solucions perquè els signes no tinguin aquest efecte. La resposta s’ha de reconduir a les dues opcions: la de tractar les desviacions en valor absolut i la d’elevar al quadrat les desviacions. En cas de no sortir, elevar al quadrat i després fer l’arrel quadrada, és important comentar-ho a classe, i preparar la presentació de la fórmula de la desviació.

L’activitat s’amplia amb una segona part on s’augmenta la mida de la mostra i on l’alumnat s’ha d’adonar que la diferència en la mida de les mostres no afecta la decisió a l’hora d’escollir la màquina, i una tercera part on les dues màquines tenen mitjana diferent i on caldrà reflexionar sobre altres aspectes, no necessàriament estadístics (per exemple, si és preferible que les peces pequin per defecte que per excés).

Cronómetro humano

Per treballar el saber #3.EST.DI.H, també hi ha dues activitats DESMOS que poden servir per treballar a classe: Cronómetro humano que permet treballar la dispersió de dades i Cronómetro humano 2, que analitza la dispersió de dades a partir de la desviació mitjana.

Una altra activitat per treballar el saber #3.EST.DI.H és examinar dos diagrames de barres que representen la distribució de notes dels dos professors diferents com els que es mostren a continuació:

Podem proposar a l’alumnat que identifiqui si les notes tendeixen a concentrar-se en un rang específic o si estan més distribuïdes. Podem determinar la mitjana de les notes de cada professor i calcular la desviació estàndard per veure quin professor té una distribució més homogènia o més dispersa. Podem fer reflexionar el nostre alumnat sobre quin professor té una distribució de notes més uniforme? Quin tendeix a posar notes més altes o més baixes? Amb quin professor preferiríeu fer classe? Preferiríeu un professor que posés notes més variades o un amb una distribució més estable? Creieu que un professor amb una variació alta de notes és més objectiu o més subjectiu en l’avaluació?

La població de les comarques

L’activitat La població de les comarques presenta en forma de taula el nombre d’habitants en les diferents poblacions d’una mateixa comarca. Per afirmar que la població d’una comarca és més dispersa que la de l’altra, que és el que ens demana l’activitat, necessitarem comparar la desviació respecte a la seva mitjana, que en aquest cas és diferent i, per tant, aquesta activitat ens permet introduir el concepte Coeficient de Variació.

On hi ha més dispersió?

Per comparar diferents distribucions de dades, també podem portar a terme a l’aula l’activitat On hi ha més dispersió?, en la qual tenim les dades de les notes de dos grups de diferents països: en un les notes estan en escala de 0 a 10, i en l’altre, en escala de 0 a 100.

A la vista dels gràfics de barres, el primer grup presenta més dispersió que el segon; tanmateix, si calculem els paràmetres de dispersió usuals (variància, desviació mitjana i desviació típica), no reflecteixen aquest fet. L’objectiu de l’activitat és que l’alumnat s’adoni que els paràmetres de dispersió usuals només serveixen per comparar mostres que han fet servir el mateix sistema de mesura per quantificar les dades. Si no és així, cal utilitzar un nou paràmetre de dispersió: el coeficient de variació.

CoinMarketCap

Una activitat per treballar el saber #3.EST.DI.I i que permet als estudiants comprendre conceptes estadístics com la desviació estàndard i el coeficient de variació en un context real d’inversió i mercats financers, pot ser analitzar la dispersió del valor de diverses criptomonedes durant un any mitjançant el càlcul de la desviació estàndard i el coeficient de variació per intentar entendre la seva volatilitat. Podem preguntar-nos quina de les diferents criptomonedes té més risc d’inversió o com la volatilitat pot ser un factor positiu o negatiu per als inversors i per què. Podeu trobar les dades a CoinMarketCap. L’alumnat pot obtenir el preu mensual d’una criptomoneda durant un any (per exemple, Bitcoin, Ethereum o una altra de popular), organitzar les dades en una taula amb els mesos i els valors corresponents i calcular el coeficient de variació: un CV baix indicarà poca variabilitat i una criptomoneda estable, mentre que un CV alt indica una volatilitat alta i una inversió de risc més elevat.