Tacte

Per treballar el saber #1.ESP.FG.B, proposem fer un petit joc d’endevinar figures en tres dimensions, partint només del sentit del tacte. Es tracta de disposar un conjunt ben divers de figures (regulars i irregulars, còncaves i convexes, cossos rodons…), en una bossa opaca. Una noia o noi n’ha de triar una i, sense treure-la de la bossa, descriure-la amb el màxim detall possible fins que una companya o company endevina quina és. Ara serà aquest nou alumne qui triarà una nova peça i la descriurà. Aquesta activitat és molt adequada per treballar la competència específica 7, pel que fa a la part de comunicació, posant atenció a l’adequació de la terminologia emprada.

Quelis

Les «Quelis» (quin és l’intrús) proporcionen una bona eina per treballar qualsevol concepte matemàtic, en aquest cas les propietats dels quadrilàters i les seves diagonals. Es tracta de plantejar als estudiants quatre imatges i demanar-los quina és la que no es correspon amb les altres tres. Si estudiem amb deteniment les figures, veurem que totes quatre poden destacar de les altres per alguna raó, i es tracta de tenir un diàleg amb l’alumnat per fer-ne emergir com més millor. Aquesta activitat, a més de fomentar la comunicació matemàtica, permet que tot l’alumnat s’atreveixi a participar, n’enforteix així l’autoconfiança i promou un ambient de motivació a l’aula alineat amb el que es proposa en el sentit socioemocional. L’exemple que tenim tot seguit ens serveix per treballar també el saber #1.ESP.FG.B.

Aquest exemple s’ha extret de la pàgina del PuntMat, on a més d’exemples també podem trobar el resum de la presentació que el David Obrador i la Cecília Calvo van fer al C2EM 2016 analitzant aquest tipus d’activitats i la seva potencialitat. També podem trobar informació interessant sobre les Quelis a la campanya Dimensió web del CREAMAT.

Mirada Matemàtica

Una altra proposta per treballar el saber #1.ESP.FG.B i que connecta amb l’àrea de llengües i també amb l’entorn proper de l’alumnat és el projecte Mirada matemàtica de M. del Pilar Menoyo i que podem trobar a la campanya Matemàtiques i projectes del CREAMAT. La proposta relaciona la creació de microhistòries relacionades amb una fotografia, en format piulada de Twitter (màxim 280 caràcters), que mostrin elements matemàtics. Es tracta d’utilitzar la imatge com a recurs i connectar el treball d’expressió escrita amb el treball de les idees matemàtiques que es poden veure a la fotografia. Es pot posar la condició a l’alumnat que els elements matemàtics de la fotografia siguin figures geomètriques i així se’n poden treballar les propietats i la classificació.

Tangram de Brügner

També per treballar el saber #1.ESP.FG.B, tenim el recurs de Joan Jareño El Tangram mínim de Brügner. El Tangram mínim, inventat l’any 1984 pel matemàtic Georg Brügner, està format per només tres peces que són triangles rectangles semblants. Amb totes les peces del tangram xinès clàssic es poden construir només 13 polígons convexos, mentre que amb les tres úniques peces del Tangram mínim s’obté una quantitat que se li acosta molt. Aquest tangram pot ser un bon recurs per estudiar les propietats dels polígons.

Pattern Blocks

Els pattern blocks ens ofereixen moltes oportunitats per treballar el saber #1.ESP.FG.B. A la campanya Laboratori de matemàtiques del CREAMAT trobem com a proposta fer un estudi complet de totes les peces:

Joc ADEMGI

També hi trobem referenciat un joc molt interessant que podem consultar al web d’ADEMGI i que tracta de construir composicions simètriques a partir d’una proposta de Pattern Block Lessons to Meet Common Core State Standards, de The Math Learning Center.

Les explicacions i imatges següents són les que podem trobar al web d’ADEMGI. Es necessita un dau i algunes peces de cada tipus. S’adjudica un número a cada peça:

Cada jugador tira el dau tres vegades i pren cada vegada dues peces iguals que es corresponguin al nombre obtingut. Així, cadascú tindrà sis peces, o millor encara, tres parelles de peces de pattern blocks.

Amb les peces obtingudes s’ha de configurar damunt la taula una composició simètrica.

S’obté un punt:

• Per cada eix de simetria
• Per cada ordre de gir

Per comprovar els eixos de simetria és convenient tenir miralls. Posant el mirall damunt l’eix, la figura reflectida ha de coincidir amb l’original. Per comprovar l’ordre de gir és pràctic treballar damunt un full de paper, de manera que puguem girar el full una volta sencera damunt la taula. Cada vegada que, durant el gir, la figura coincideix amb l’original, tindrem un punt més.

Així, la primera figura obtindria 4 punts: té dos eixos de simetria (horitzontal i vertical) i una simetria de gir d’ordre 2. En canvi, les figures 2 i 3 només tenen un eix de simetria (vertical en els dos casos) i la quarta figura té un gir d’ordre 2, però no té cap eix de simetria.

Però podríem aconseguir 6 punts amb aquesta figura, que té tres eixos de simetria i ordre de gir 3:

Es juga a tres rondes. Al cap de les tres rondes, guanya el jugador que ha obtingut més punts.

Classifiquem logos

A la campanya del CREAMAT Mates take away, hi ha la proposta Classifiquem logos i tapaboques de cotxes per treballar el saber #1.ESP.FG.B. La proposta presenta els Grups de Leonardo, que ens serveixen per classificar figures segons la quantitat de girs invariants i els eixos de simetria que presenten. La proposta és interessant perquè porta l’alumnat a observar l’entorn amb una mirada matemàtica, ja que el fa cercar invariàncies per simetria o gir en logotips i tapaboques (encara que també es pot aplicar a rajoles, rosasses…).

Com a ampliació, es pot demanar a l’alumnat que busqui el motiu mínim de cada logotip o tapaboques, és a dir, el tros més petit de la figura que, per reproducció (fent simetries, girs o combinant-los tots dos), permet reconstruir la figura sencera.

Una versió completa d’aquesta proposta es pot trobar al blog de Joan Jareño sota el nom Lletres, logos, rosasses, rajoles….

Sempre, de vegades o mai

Una altra activitat per treballar el saber #1.ESP.FG.B, així com altres sabers del bloc del sentit espacial de 1r d’ESO, és la de l’NRICH Sempre, de vegades o mai. Es donen unes targetes on hi ha una afirmació (per exemple: «els triangles tenen un eix de simetria») i l’alumnat ha de discutir si el que hi ha escrit a la targeta passa sempre, només de vegades o mai, donant arguments i buscant contraexemples, si fa falta. Sovint fem afirmacions matemàtiques que només són certes en determinats contextos i és important que l’alumnat sigui capaç de llegir i entendre de manera crítica les afirmacions. Podeu trobar l’activitat traduïda al català a l’enllaç.

Monestir de Poblet

Ja per acabar aquest bloc, comentem un projecte que combina l’estudi de propietats com ara la simetria (saber #1.ESP.FG.B) i la mesura: Matemàtiques al monestir de Poblet, de Josep Lluís Cañadilla i que es pot trobar a l’ARC. Aquesta activitat pot servir com a model per contextualitzar qualsevol sortida i fer que l’alumnat focalitzi la mirada matemàtica, alhora que es poden reforçar i aprofundir els sabers que s’estan treballant a classe.

El projecte de Poblet està format per un conjunt de 18 activitats en el context històric de l’edat mitjana i del monestir de Poblet. El conjunt està dividit en dues parts. La primera, són unes activitats per fer a classe, preparatòries de la sortida al monestir, i la segona part és el treball de camp que es fa durant la visita. A part de la simetria i de les figures geomètriques, també es treballen números romans, orientació, escales, unitats de mesura de longitud i de temps, etc.

Euclid: The Game

Per treballar el saber #1.ESP.FG.C, pot resultar interessant construir figures geomètriques en el context de la Grècia antiga. Una activitat relacionada amb aquest saber i que es pot trobar explicada al document Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria (Aubanell, 2015) és «Euclid: The Game», una mena de joc creat per Kasper Peulen sobre la versió de GeoGebra en línia, que consisteix en el plantejament successiu de construccions gràfiques amb regle i compàs. S’inicia l’aventura amb un menú d’eines molt petit i cal anar passant nivells, fent les construccions que es proposen. Cada vegada que es fa una construcció el programa entén que ja se sap fer i l’afegeix com una nova eina en el menú, de manera que es podrà emprar per fer construccions posteriors. Així, de mica en mica, es va construint la geometria euclidiana. Tot un poema geomètric que es troba en aquest enllaç.

Construïm i classifiquem Triangles

Una activitat que ens permet treballar els sabers #1.ESP.FG.C i #1.ESP.FG.D és l’activitat de l’ARC de Jordi Payró Construïm i classifiquem triangles. Aquí, i amb ajuda de material, l’alumnat podrà arribar a la conclusió que, donats tres costats, no sempre es pot construir un triangle. També treballarà la classificació dels triangles segons els seus costats i segons els seus angles, per concloure que no es poden construir tots els triangles tenint en compte les dues característiques alhora. Finalment, l’alumnat aprèn a construir triangles amb regle i compàs.

Triangles amb llumins

Hi ha moltes activitats interessants per treballar el saber #1.ESP.FG.D. A la campanya Geometria del CREAMAT s’hi troba l’activitat Construïm triangles amb llumins, amb la idea de descobrir, com amb la proposta anterior, quan es pot construir un triangle. Però l’activitat va molt més enllà, es pot estirar i fer un treball de patrons amb molta profunditat. L’activitat proposa investigar quants triangles es poden fer en el pla amb sis, set, vuit, nou, deu… llumins, també proposa cercar la «norma» per saber numèricament, sense construir-lo, si un triangle es pot fer i, ja per acabar, proposa buscar una regla per endevinar quants triangles es poden fer sense haver-los de construir.

Plegant triangles

Per treballar el saber #1.ESP.FG.D, a l’ARC podem trobar, per exemple, Descobrim els punts notables plegant els triangles, d’Enric Brasó, una activitat manipulativa que té com a objectiu entendre els conceptes de bisectriu, mediatriu, altura, mediana, incentre, circumcentre, ortocentre i baricentre d’un triangle. Es poden trobar vídeos explicatius a l’enllaç següent.

Roleplaying

També per treballar el saber #1.ESP.FG.D, si cal reforçar el concepte de mediatriu, podem fer una activitat de joc de rol. Es demana a tot l’alumnat que se situï en una posició elevada, per exemple, a dalt d’unes escales o a les finestres que donen al pati. Tot seguit, es demana que un grup d’uns vuit alumnes vagi al pati o al passadís; és important que la resta d’alumnat que és a la posició elevada pugui veure bé el que passarà. El professorat demana a dos dels vuit alumnes que són a baix que se separin, els anomenarem alumne A i alumne B. A un tercer alumne, se li demana que se situï en un lloc que estigui a la mateixa distància dels alumnes A i B. Tot seguit, a un quart alumne li demanem el mateix i així successivament a tots els alumnes que hi ha a baix. Llavors es pregunta a l’alumnat que està a la posició elevada què observa. De seguida diuen que tots els alumnes estan alineats, és un bon moment per definir aquesta recta, la mediatriu. Tot seguit es pot fer una foto de la situació per posteriorment projectar-la a classe i acabar de definir i treballar el concepte de mediatriu. També es pot demanar a l’alumnat que faci una petita explicació per escrit de les seves descobertes.

Teorema de Viviani

També a l’ARC, hi ha el Teorema de Viviani, d’Anton Aubanell, que tracta el saber #1.ESP.FG.D, una proposta que sempre engresca i sorprèn l’alumnat i a través de la qual es treballen diversos conceptes de figures geomètriques al pla, demostracions visuals i raonament geomètric. Podem trobar una descripció molt detallada de com portar l’activitat a classe a l’article del número 35 de Noubiaix Visitem un edifici construït o vivim l’experiència de construir-lo?, també d’Anton Aubanell (2014). El professor Manel Martínez té una construcció feta amb el GeoGebra per treballar-lo.

Suma d'angles

Una altra proposta per treballar el saber #1.ESP.FG.D fa referència a la suma dels angles interiors dels triangles. L’autor és Manel Martínez i el títol, Quant sumen els angles d’un triangle?. En aquesta, l’alumnat descobreix que la suma dels angles interiors d’un triangle és de 180°, cosa que posteriorment permetrà calcular la suma dels angles interiors de qualsevol polígon, triangulant. És interessant per la manera com el professor la porta a terme a l’aula: cada estudiant treballa amb el seu propi triangle seguint les indicacions del professor/a, però al final s’exposen tots els de la classe i s’aconsegueix una gran varietat de triangles, però tots complint la mateixa propietat. Un bon exemple d’activitat de descoberta i conceptuació.

La pizzeria més propera

I, ja per acabar amb les propostes, per treballar el saber #1.ESP.FG.D parlarem de «La pizzeria més propera», inspirada en l’activitat de l’NCTM anomenada «Dividint una ciutat en regions de repartiment de pizzes», que serveix per introduir els diagrames de Voronoi. Es planteja la situació següent a l’alumnat. S’han d’imaginar que són els propietaris de cinc pizzeries a la ciutat de Squaresville. Per garantir uns terminis mínims de lliurament, s’ha ideat un sistema en què els clients truquen a una central i després la comanda es transfereix a la pizzeria més propera al seu domicili. Aquí hi ha el mapa de Squaresville amb les cinc pizzeries. S’ha de dividir la ciutat en cinc regions, perquè als clients els portin la pizza des de la pizzeria més propera.

Es pot fer una primera posada en comú en gran grup de possibles idees per abordar el problema. El professorat pot aportar la idea que, de vegades, per resoldre un problema complicat, pot ajudar a començar amb una versió més senzilla. Així que es començarà atacant el problema amb només dues pizzeries.

Podem fer aquesta pregunta a l’alumnat: les dues regions compartiran una frontera. Què tindran d’especial els punts d’aquesta frontera? Estaran a la mateixa distància de les dues pizzeries, és a dir, formen la mediatriu. Tot seguit l’alumnat, amb el GeoGebra, construirà la mediatriu. Se’ls pot facilitar un full ja preparat.

Amb dues pizzeries s’ha construït la mediatriu entre A i B per dividir la ciutat. Com es pot dividir la ciutat entre B i C? A i C?

La idea és que l’alumnat vegi que s’han de fer tres mediatrius. Aquestes mediatrius es tallen en un punt, com es diu aquest punt?

És un bon moment per treballar o recordar què és el circumcentre d’un triangle, el punt que equidista de cada vèrtex, és a dir, és el centre de la circumferència circumscrita al triangle.

Es poden anar projectant les imatges anteriors mentre va avançant la classe per acompanyar les explicacions. Ara és el moment que l’alumnat faci la construcció amb tres pizzeries, per exemple sobre aquest full de treball. Els preguntem si han d’utilitzar tota la mediatriu per a cadascuna d’aquestes regions o només fem servir una semirecta per tal que quedin les regions ben clares a la construcció. El resultat ha de ser similar al següent:

I si ara es treballa amb quatre pizzeries? El problema es complica. Deixem uns minuts perquè l’alumnat comenti com es podria resoldre i se’ls mostra com trobar la resposta, que porta una mica de feina:

Llavors, se’ls explica que el GeoGebra té un comandament que fa aquesta feina, el comandament Voronoi, i se’ls convida a trobar la solució amb aquest full de treball.

Acabem de descobrir què són els diagrames de Voronoi. A partir d’aquí, es poden veure diferents aplicacions d’aquests diagrames.

Joc dels quadrilàters

Per treballar el saber #1.ESP.FG.E, proposem l’activitat de l’NRICH anomenada El joc dels quadrilàters. A través del joc, l’alumnat treballa les propietats dels quadrilàters. Aquest és un joc per a dos o més jugadors on fan falta unes cartes que es poden imprimir directament del web de l’activitat. Després de barrejar bé les cartes, se’n reparteixen vuit a cada jugador (de cara avall) i la resta es col·loquen en una pila al mig de la taula, també de cara avall. Es gira la carta superior de la pila. Cada jugador ha d’observar molt bé les vuit cartes que li han tocat. L’objectiu és aconseguir fer dos grups de quatre cartes, on a cada grup hi ha d’haver una imatge d’una figura, un nom que la descrigui i dues propietats de la figura. Per exemple, un grup pot consistir en una imatge d’un estel, la paraula estel i després dues propietats d’un estel. Però també podríem tenir un grup format per una imatge d’un estel, la paraula quadrilàter i després dues propietats d’un estel. Es juga per torns. A cada jugada, un jugador pot agafar la carta superior de la pila o la carta que hi ha tot seguit a la pila (que estarà de cara avall). Aleshores, el jugador pot decidir quina de les nou cartes descartarà i la posarà a la part superior de la pila (de cara amunt). A continuació, passa el torn al jugador següent. El joc s’acaba quan algú té dos grups complets. Podeu trobar les cartes del joc traduïdes al català a l’enllaç.

Fem volar estels

A la campanya Geometria del CREAMAT trobem la proposta Fem volar estels, també per treballar el saber #1.ESP.FG.E. Tal com s’explica a la descripció de la proposta, la classificació de quadrilàters acostuma a ser complexa perquè normalment es barregen criteris de paral·lelisme i comparació de longituds de costats. Així, es poden donar situacions en què es veu el quadrat com un rombe o el rectangle com un romboide determinat, per exemple. Molts cops, als quadrilàters que no presenten cap paral·lelisme se’ls qualifica de trapezoides, però no es va més enllà. Aquesta proposta permet trobar altres vies de classificació ben interessants. La proposta estudia els deltoides, polígons que tenen els costats iguals dos a dos, però en què, a diferència de rectangles i romboides, els costats iguals concorren en un mateix vèrtex.

Geometria Dinàmica

Ja gairebé per acabar el bloc de formes geomètriques, proposem treballar el saber #1.ESP.FG.F a través dels programes de geometria dinàmica. En concret, podem trobar moltes construccions fetes amb GeoGebra per treballar aquest saber. Per exemple, podem treballar els elements de la circumferència a través d’aquesta construcció de Bernat Ancochea i Isabel Sorigué: Elements d’una circumferència. També es pot fer un treball a fons a partir d’una imatge, com en la proposta Buscant geometria en una imatge, on tot el treball es fa a partir d’una imatge d’una rosassa del Museu de l’Aquitanià a Bordeus (França). Aquests programes també ens poden ajudar a descobrir relacions entre alguns elements de la circumferència, com en la proposta de Manel Martínez Angles en la circumferència, on s’estudia quina relació hi ha entre l’angle inscrit a una circumferència, l’angle central i es pregunta en quins casos es pot assegurar que l’angle inscrit serà de 90°. Tot seguit, per aplicar el que s’ha treballat amb el programa de geometria dinàmica, es podria proposar l’activitat següent a l’alumnat: amb només un escaire o cartabó i un llapis, com podem trobar el centre d’una circumferència? La solució consistiria a situar l’escaire o el cartabó amb el vèrtex de l’angle recte a sobre de la circumferència i dibuixar les dues cordes situades sobre els costats de l’instrument de mesura (línies blaves). Com que l’angle inscrit és de 90°, l’angle central serà de 180°, es dibuixa la corda vermella i es pot assegurar que es tracta d’un diàmetre. Es repeteix el procediment, posant el vèrtex de l’escaire a un altre punt de la circumferència i s’obté un segon diàmetre. El punt de tall dels dos diàmetres serà el centre de la circumferència.

Descobrim pi

I per acabar amb el treball del saber #1.ESP.FG.F, fem un esment a la descoberta del nombre pi. Es pot aprofitar l’efemèride del Dia Internacional de les Matemàtiques o Dia Pi, el 14 de març, per fer-la, o qualsevol altre moment del curs. La proposta és d’Anton Aubanell, s’anomena Descobrim pi i la trobem a l’ARC. A l’activitat cada parella d’alumnes portarà un objecte cilíndric rígid i tan gran com pugui (una cassola, un pot, una caixa d’ensaïmades...). També disposaran d’un tros llarg de cordill fi, d’unes tisores i d’una cinta mètrica. Fent servir aquest material, cada parella obtindrà una aproximació del nombre pi.