Sabers

En relació amb els sabers concrets d’aquest bloc, cal tenir en compte que a 2n d’ESO ens centrem en la resolució d’equacions senzilles; per tant, pel que fa al saber #2.ALG.ID.A, cal posar l’èmfasi en l’equivalència d’expressions i la justificació d’aquesta equivalència. Tal com ja dèiem a 1r d’ESO, cal tenir molta cura en els primers passos de l’aprenentatge de l’àlgebra per evitar bloquejos i facilitar aprenentatges posteriors, com per exemple, la traducció d’enunciats de problemes que correspon al saber #2.ALG.ID.C.

De manera semblant, en resoldre equacions senzilles per mitjà de transformacions en altres equacions equivalents, saber #2.ALG.ID.B, ens fixarem en el significat de cadascun dels passos i la relació amb les operacions aritmètiques, evitant donar receptes sense sentit, la validesa de les quals és difícilment verificable. La pràctica en la resolució d’equacions a aquest nivell és necessària però enfront d’una pràctica reproductiva sense cap altre sentit que el de la mateixa pràctica. Proposem la realització d’activitats que anomenem de «pràctica productiva», en què aquesta pràctica serveix per a alguna cosa, és a dir, on l’objectiu de l’activitat va més enllà que el de trobar la solució d’una equació (veure recursos proposats). Com ja dèiem a 1r, la comprovació de la validesa de les solucions trobades a l’hora de resoldre una equació continua essent fonamental per entendre la idea d’incògnita i cal continuar fent aquesta feina sempre que es resolguin equacions sigui quina en sigui la dificultat.

El saber #2.ALG.ID.C pretén mostrar la potència de les equacions per resoldre problemes. En aquest sentit, si bé els primers problemes poden ser senzills per tal que siguin resolubles per altres mètodes (tempteig, assaig i error), si tal com ho proposem ja s’ha fet a 1r, ara caldrà proposar alguns problemes en què els mètodes alternatius no siguin prou útils, altrament l’alumnat no entendrà per què els fem plantejar i resoldre equacions. Per aconseguir això no cal proposar problemes molt enrevessats, sinó que sovint s’aconsegueix fent que les dades involucrades en el problema tinguin valors no enters (fraccions, decimals o situacions amb nombres molt grans/molt petits). És en aquests casos on es veu que els mètodes alternatius són insuficients i que les equacions són una eina molt potent per resoldre problemes de contextos molt diversos. Com ja dèiem a 1r d’ESO, ens permetem repetir el que es diu en el text «Orientacions per a la millora de la geometria» (Quaderns d’Avaluació núm. 31, pàgina 104) (7) on s’indica el següent:

A vegades, davant d’un problema, es construeix molt ràpidament el model algebraic, es manipula (com qui manipula una calculadora) seguint tècniques algebraiques independents del context i, finalment, quan s’obté el resultat, s’interpreta en funció de la situació que el problema planteja. De la mateixa manera com és important que en els processos de càlcul no es perdi el sentit del que representen les expressions aritmètiques, també sembla important que en el treball sobre models algebraics no es perdi el sentit del que representen els símbols i les expressions que es manipulen. Cal anar educant algunes capacitats en aquest camp, entre les quals es poden assenyalar les següents: valoració, en cada cas, de la conveniència d’emprar models algebraics; disseny d’expressions simbòliques adequades i càlcul algebraic eficient; manteniment al llarg del procés del sentit contextual dels símbols i, fins al punt que es pugui, de les expressions algebraiques; etc. En aquest propòsit de donar tan sentit intuïtiu com sigui possible al treball algebraic ens pot ajudar molt la visualització que ofereix la geometria.

El saber #2.ALG.ID.D, que, com s’ha comentat, es proposa d’ampliació, fa referència a la introducció de les desigualtats. Passar de condicions que expressen desigualtats amb paraules a llenguatge matemàtic és l’objectiu fonamental relacionat amb aquest saber, al qual cal afegir el fet que habitualment les solucions d’una inequació no corresponen a un sol nombre, com passa amb les equacions senzilles, sinó que s’expressen per mitjà d’intervals o també amb representacions de segments i semirectes sobre una recta. Aquesta idea clau relacionada amb el nombre de solucions és especialment rellevant, tant pel que fa al treball posterior amb equacions i inequacions, com per a la resolució de problemes.

Finalment, el saber #2.ALG.ID.E és una primera aproximació a l’àlgebra com a llenguatge per expressar funcions (de moment elementals, com les constants, les lineals i les afins). Ara la idea de variable se separa clarament de la d’incògnita, de manera que les igualtats expressen una relació entre dues variables. La connexió d’aquest saber amb el bloc Variable #ALG.VA, Relacions i funcions #ALG.RF, i Model matemàtic #ALG.MM és total. Entendre que la igualtat algebraica que expressa una funció és diferent que una equació, en el sentit que ara no es tracta de trobar cap valor desconegut, sinó d’establir una relació entre variables és un punt clau. També ho és adonar-se que no totes les funcions poden ser representades per mitjà d’igualtats algebraiques. En expressar les igualtats en situacions contextualitzades caldrà insistir en quines són les variables concretes relacionades en aquella situació i emprar lletres diferents de les habituals x i y.

També en relació amb el saber #2.ALG.ID.E, com ja dèiem a 1r d’ESO, cal tenir en compte el tema dels contextos. Puig Adam, en el seu decàleg (1960) diu: «No oblidar l’origen concret de les matemàtiques i els processos històrics de la seva evolució». Uns anys abans Lobachevski (1792-1856) havia afirmat: «No hi ha cap branca de les matemàtiques, per abstracta que sigui, que no es pugui aplicar algun dia a l’estudi dels fenòmens del món real». Totes dues cites, des de punts de vista ben diferents, apel·len a la relació entre les matemàtiques i els diferents contextos.

Rellevància i tipologia dels contextos

En l’ensenyament de les matemàtiques, les característiques de les activitats d’aprenentatge són un punt clau. Si aquestes activitats tenen com a objectiu la construcció de sabers matemàtics de naturalesa abstracta, cal partir de concrecions d’aquests sabers. D’altra banda, si el que es vol és mostrar les diferents utilitats de les matemàtiques i aplicar-les per resoldre problemes diversos, també cal concretar aquells contextos en què és possible i té sentit aplicar les matemàtiques del currículum. És precisament en l’aplicació de sabers a contextos diferents on es manifesta una part important de la competència matemàtica.

Per tant, en el procés d’aprenentatge matemàtic hi ha com a mínim dos moments en què els contextos són rellevants:

1. En l’inici del procés, d’una banda, per interessar a l’alumnat, creant reptes que vulgui intentar resoldre i, de l’altra, per proporcionar-li un suport concret i significatiu per construir nou coneixement.
2. En la part final del procés, per mostrar que les matemàtiques són útils per analitzar i resoldre situacions d’àmbits molt diversos i, al mateix temps, per consolidar i aplicar els aprenentatges realitzats.

Per tal d’aportar orientacions sobre quins contextos poden ser els més adequats per introduir a les classes de matemàtiques, pensem que cal anar més enllà de les classificacions generals com els anomenats contextos quotidians o contextos reals, expressions que sembla que incloguin tot allò que no és directament matemàtic, ja que, si no precisem una mica, podria semblar que tot context no matemàtic pot ser adequat. Presentem, sense ànim d’exhaustivitat una tipologia de contextos:

• Context proper a l’alumne. Interessos, vivències i necessitats dels alumnes. Són aquelles situacions que interessen a l’alumnat perquè els afecten directament. S’inclouen aquí les situacions en les quals es reclama a l’alumne una participació directa i vivencial (teatralitzacions, jocs de rol, etc.) i també les experimentacions a partir de materials manipulatius. Aquest context se situa, majoritàriament, en la part introductòria del procés d’aprenentatge.
• Context quotidià. Entorn social, local, laboral i cultural proper a l’alumnat. Són situacions que es poden comprendre per la proximitat i, per aquest motiu, és important analitzar-les i conèixer-les emprant les matemàtiques. Són especialment adequades aquelles que, a més de socialment rellevants, s’han produït en un moment pròxim al del treball a classe (eleccions, fenòmens apareguts en mitjans de comunicació, actes culturals, esportius, etc.).
• Context històric. Molts dels sabers del currículum de l’ESO van ser creats fa molts segles per resoldre problemes que tenen sentit quan s’emmarquen en l’època en què es van desenvolupar. Utilitzar aquests problemes i les solucions originals pot servir per donar sentit als sabers involucrats, veure’n l’origen i també conèixer altres maneres de fer matemàtiques d’acord amb els coneixements del seu temps.
• Context lúdic. Les recreacions matemàtiques, els reptes i els jocs són un context molt extens que es pot relacionar amb la majoria dels sabers matemàtics. Tot i que podria entrar dins del context quotidià (jugar és una activitat humana rellevant i adequada a l’adolescència), és molt ampli i permet dissenyar activitats de durada molt diversa. La idea de repte i l’interès intrínsec de moltes recreacions i jocs és un dels punts clau de la rellevància d’aquest context.
• Context científic i tecnològic. Les relacions entre les diferents ciències experimentals, ciències de la salut i la tecnologia amb les matemàtiques són moltes i, per tant, els contextos científics poden ser apropiats tant per construir conceptes matemàtics i comparar-los amb els seus equivalents en altres ciències, com també per aplicar sabers matemàtics ja construïts. Cal tenir en compte que tant aquest context com els dos següents tenen relació amb altres matèries del currículum, motiu pel qual, és adequat introduir-los d’acord amb el treball realitzat en les matèries relacionades.
• Context social. Moltes problemàtiques de les ciències socials (geografia, història, economia, etc.) i del món d’avui dia (desigualtats, guerres, pandèmies, canvi climàtic, etc.) necessiten les matemàtiques per ser analitzades i, al mateix temps, ajuden a donar sentit a molts sabers, especialment el sentit estocàstic.
• Context humanístic. L’art, la fotografia, la música, la literatura i la resta de disciplines dites humanístiques comparteixen totes elles relacions amb les matemàtiques, en els dos sentits esmentats: ajudar a construir conceptes matemàtics a través de plasmacions artístiques i proporcionar activitats d’aplicació de les matemàtiques en l’anàlisi de problemàtiques d’aquestes disciplines.
• Context matemàtic. Fer matemàtiques és, moltes vegades, treballar en el context pròpiament matemàtic i en les connexions internes que hi ha entre els diferents sabers; mantenir la idea de repte, que porta a voler fer allò que es proposa, i basar-se en aquells sabers que ja poden considerar-se concrecions, per tal de construir-ne d’altres.

Entenem que una tipologia de contextos com aquesta pot ajudar a trobar exemples de situacions per ser treballades a l’aula, procurar que els contextos abastin l’ampli ventall proporcionat i també ser compartides amb el treball en altres matèries, sempre tenint en compte les característiques i els interessos de l’alumnat.