Blocs de competències: processos matemàtics i gestió socioemocional | Orientacions curriculars de matemàtiques de l’ESO

El conjunt de sabers que constitueixen el sentit espacial, com tots els altres sentits, s’ha de relacionar amb el conjunt de competències del currículum. Sense un coneixement dels sabers, difícilment es poden desenvolupar els processos per avançar en l’assoliment de les competències i, d’altra banda, la manera com s’introdueixen, es construeixen i s’utilitzen els sabers és clau per dur a terme un treball competencial.

Així doncs, tots els sabers poden contribuir a desenvolupar qualsevol competència si es treballen en activitats adequades. Igualment, un saber pot contribuir a desenvolupar diverses competències.

Es presenta la relació entre els sentits i les competències específiques a través dels processos: resolució de problemes (competències específiques CE 1 i CE 2); raonament i prova (competències específiques CE 3 i CE 4); connexions, en què distingim les internes (competència específica CE 5) i les externes (competència específica CE 6); comunicació i representació (competència específica CE 7), i gestió socioemocional (competències específiques CE 8 i CE 9).

Aquesta relació, pel que fa al sentit espacial, es concreta, en el marc d’aquest exemple, de la manera que es descriu en els apartats següents, tot i que poden existir altres anàlisis igualment vàlides.

Resolució de problemes (CE 1 i CE 2)

El treball dels sabers del sentit espacial a 2n d’ESO propicia que l’alumnat investigui dibuixant, visualitzant, transformant, comparant i classificant objectes geomètrics. Si escollim bons problemes podem aconseguir que l’alumnat comprengui a fons les idees geomètriques més rellevants del curs. La proporcionalitat geomètrica i el teorema de Pitàgores ens proporcionen molts contextos de resolució de problemes i investigacions, amb varietats d’estratègies de resolució per mostrar i treballar a l’aula.

Sabers

A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar la resolució de problemes són, entre altres:

El saber #2.ESP.FG.B, que permet plantejar situacions en què es necessita el teorema de Tales per arribar a la solució i, per tant, contribueix al desenvolupament de la CE 1 i la CE 2.
El saber #2.ESP.FG.D, que interpel·la directament al desenvolupament de la CE 1 i la CE 2.
El saber #2.ESP.FG.E, en què es treballen la classificació i les propietats dels cossos geomètrics, i això permet plantejar reptes entorn dels poliedres i els cossos geomètrics, fet que contribueix al desenvolupament de les competències CE 1 i CE 2.

Recursos

Molts dels recursos esmentats per treballar diversos sabers fan referència directa al procés de resolució de problemes. Per exemple:

L’activitat «Tales, ombres i altures», on es treballa el saber #2.ESP.FG.B, planteja el repte de trobar una altura inaccessible. Un context ideal per treballar tant la CE 1 com la CE 2.
L’activitat «Mirallet, mirallet, per què m’has fet tan petitet?», per treballar també el saber #2.ESP.FG.B a través d’un context real, planteja situacions i preguntes que requereixen l’ús d’eines conegudes per trobar-ne la solució, de manera que s’afavoreix el desenvolupament de la CE 1.
L’activitat «Poliedres amb brics» (saber #2.ESP.FG.E) pot ser la base de bones investigacions, donat que es pot estirar o ampliar i, per tant, contribueix al desenvolupament de la CE 1 i la CE 2.
L’activitat «Dissenyem una llauna de refresc» (saber #2.ESP.FG.F) proporciona un context que genera un problema que permet a l’alumnat realitzar una investigació i fomenta el treball de la CE 1 i, sobretot, la CE 2.
Als problemes de la Prova Cangur hi trobem múltiples propostes per treballar diversos sabers del bloc #2.ESP.FG a través de la resolució de problemes, que contribueixen, per tant, al desenvolupament de la CE 1 i la CE 2.

Raonament i prova (CE 3 i CE 4)

La geometria proporciona un context excel·lent per treballar el raonament matemàtic. L’estudi i classificació dels objectes geomètrics permet proposar activitats de cerca de patrons i detecció de regularitats, formular conjectures i generalitzacions sobre el que s’ha observat, validar les conjectures i construir arguments matemàtics. Un exemple clar n’és l’estudi de la característica d’Euler. A més, el teorema de Pitàgores proporciona l’espai idoni per començar a treballar demostracions matemàtiques a l’aula.

Sabers

A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar el raonament són, entre altres:

El saber #2.ESP.FG.B, que implica la comprensió del teorema de Tales, fet que porta implícit cert grau de raonament matemàtic i, per tant, promou especialment el desenvolupament de la CE 3.
Anàlogament, la comprensió del teorema de Pitàgores també contribueix a la CE 3. Per reforçar aquesta contribució, el saber #2.ESP.FG.C incorpora la demostració del teorema.
El saber #2.ESP.FG.E, que inclou l’estudi i la classificació de cossos geomètrics i, a més, permet el treball de la demostració que només hi ha cinc poliedres regulars, per tant, afavoreix el treball de la CE 3 i la CE 4.

Recursos

Molts dels recursos esmentats per treballar diversos sabers fan referència directa al procés de raonament i prova. Per exemple:

L’activitat «Figures semblants» (saber #2.ESP.FG.A) promou el raonament i la comunicació d’aquest raonament preguntant sobre la semblança, o no, d’un conjunt de figures, de manera que es treballa la CE 3. A més, promou l’ús i, per tant, l’aprenentatge dels programes de geometria dinàmica, que treballen també la CE 4.
L’activitat «Descoberta del teorema de Pitàgores» (saber #2.ESP.FG.C), si es fa amb programes de geometria dinàmica, contribueix a la CE 4. Aquest estudi pretén que, amb un conjunt de dades prou gran, els alumnes cerquin patrons i facin conjectures, i acaba amb un treball entorn de les demostracions del teorema. Aquestes dues accions promouen el treball de la CE 3.
La seqüència d’activitats «Un tangram diferent»” (saber #2.ESP.FG.C) aborda la cerca de criteris de classificació de les peces d’un tangram i, per tant, afavoreix el desenvolupament de la CE 3 i la CE 4.
L’activitat de construcció de sòlids platònics (saber #2.ESP.FG.E) proposa trobar-los tots. Mitjançant un procediment exhaustiu s’arriba a demostrar que només n’existeixen cinc. La mateixa demostració i el mètode utilitzat contribueixen a la millora de la CE 3.
L’activitat «Quin és l’intrús?» (saber #2.ESP.VM.A) pretén que s’argumenti de manera raonada el motiu pel qual totes les imatges poden ser la que no pertany al conjunt, de manera que es potencia la CE 3.
L’activitat que busca construir amb un programa de geometria dinàmica la imatge del teorema de Pitàgores (saber #2.ESP.VM.B) fomenta la millora de la CE 4.

Connexions amb altres parts de la matemàtica (CE 5)

El treball de les figures i cossos geomètrics connecta directament amb el sentit de la mesura, atès que ens permet el càlcul de longituds, àrees i volums. Amb el treball de proporcionalitat geomètrica, el sentit espacial connecta amb el sentit numèric, per una banda, però també amb el sentit algebraic. Amb aquest últim sentit s’estableix una altra connexió forta quan es treballen les coordenades cartesianes, eina fonamental per representar funcions.

Sabers

A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar les connexions internes són, entre altres:

El saber #2.ESP.FG.B, que connecta de manera directa amb el raonament proporcional que es treballa des del sentit numèric, i potencia d’aquesta manera al desenvolupament de la CE 5.
El saber #2.ESP.FG.E, que desembocarà en la mesura de les magnituds dels cossos geomètrics, de manera que contribueix a la CE 5 amb una connexió evident entre el sentit espacial i el de la mesura.
De la mateixa manera, el saber #2.ESP.FG.F també promou al desenvolupament de la CE 5.
El saber #2.ESP.LS.A, que afavoreix el desenvolupament de la CE 5 connectant els sentits espacial i algebraic.
El saber #2.ESP.VM.A, que connecta determinats tipus de funcions amb una representació geomètrica concreta, i impulsa, així, el desenvolupament de la CE 5.

Recursos

Molts dels recursos esmentats per treballar sabers aporten o utilitzen connexions internes. Per exemple:

L’activitat de descoberta del teorema de Pitàgores (saber #2.ESP.FG.C) requereix la mesura d’àrees, per tant, connecta amb el sentit de la mesura. A més, pretén que l’alumnat cerqui patrons en unes dades obtingudes. Aquests dos aspectes col·laboren a la millora de la CE 5.
La seqüència «Un tangram diferent» (saber #2.ESP.FG.C) s’inicia estudiant i classificant polígons, però requereix també un treball de mesura de perímetres, àrees i angles. També relaciona les fraccions amb la superfície i, a la segona part, hi ha treball de patrons i llenguatge algebraic. És evident, per tant, el treball de la CE 5.
L’activitat de descoberta de la relació d’Euler (saber #2.ESP.FG.E) proposa una investigació entorn de diferents poliedres i, cercant patrons, descobrir la característica d’Euler. Treballar els patrons en un entorn geomètric contribueix al treball de la CE 5.
L’activitat de localització de punts al pla «A Cartesian puzzle» (saber #2.ESP.LS.A) connecta la localització de punts amb les propietats de les figures simètriques, i propicia així la millora de la CE 5.

Connexions amb altres matèries i amb l’entorn (CE 6)

A través del reconeixement, la descripció i la representació de figures planes i tridimensionals, és a dir, a través del coneixement espacial, es pot descriure i interpretar el món on vivim. El treball del sentit espacial a 2n d’ESO ens obre les portes per poder connectar les matemàtiques amb altres matèries i disciplines de formes molt diverses. El treball dels teoremes de Tales i de Pitàgores ens proporciona contextos històrics on poder establir connexions interessants i la interpretació de plànols i mapes i la creació de maquetes ens pot ser molt útil a les matèries de tecnologia, física i química, biologia, educació visual o en molts projectes STEAM.

Sabers

A tall d’exemple, esmentem alguns sabers d’aquest sentit que, entre altres poden ajudar a reforçar les connexions externes:

El saber #2.ESP.FG.B proposa treballar el teorema de Tales a través de problemes d’escales i altres contextos, de manera que s’estableixen connexions amb situacions externes i s’afavoreix el desenvolupament de la CE 6.
El saber #2.ESP.FG.D pretén resoldre problemes en contextos tant matemàtics com no matemàtics i, per tant, potencia el desenvolupament de la CE 6.
El saber #2.ESP.FG.E estudia les propietats dels poliedres i permet establir connexions amb les formes del nostre entorn i així aprofundir en el treball de la CE 6.
El saber #2.ESP.LS.A connecta amb la vida quotidiana dels alumnes i amb altres àrees parlant d’altres tipus de coordenades diferents de les cartesianes, com podrien ser les geogràfiques, treballant així la CE 6.
El saber #2.ESP.VM.C promou la geometrització de qualsevol àrea del coneixement i, per tant, el desenvolupament de la CE 6.

Recursos

Molts dels recursos descrits per treballar sabers del sentit espacial ofereixen oportunitats per fer connexions externes. Per exemple:

Les activitats sobre escales, mapes i plànols (saber #2.ESP.FG.B) plantegen contextos en què treballar la proporcionalitat geomètrica i el teorema de Tales, per tant, fomenten el treball de la CE 6.
L’itinerari «La volta al món en 8… edificis» (saber #2.ESP.FG.E) proposa cercar edificis amb forma de cossos geomètrics i fer-ne un estudi. Així, es connecta la geometria amb l’entorn i es contribueix a la mirada matemàtica i al desenvolupament de la CE 6.

Comunicació i representació (CE 7)

L’alumnat estudia les característiques i propietats de les figures i cossos geomètrics i, amb l’ús de diversos tipus de representacions, pot conceptuar i també argumentar sobre les seves troballes. A 2n d’ESO es fa un petit pas per dotar de més formalisme el treball geomètric, i aprendre a comunicar els raonaments de manera precisa esdevé necessari de cara a crear uns bons fonaments per als cursos posteriors.

Sabers

A tall d’exemple, hi ha alguns sabers d’aquest sentit que, entre altres, poden ajudar a reforçar la comunicació i la representació:

El saber #2.ESP.FG.E implica un treball profund de raonament que a la vegada s’ha d’argumentar, per tant, propicia el treball en comunicació i representació, és a dir el treball de la CE 7.
El saber #2.ESP.FG.F és, en si mateix, una representació concreta d’un objecte matemàtic, per tant, treballant aquesta representació s’afavoreix el desenvolupament de la CE 7.
El saber #2.ESP.VM.B pretén comunicar el teorema de Pitàgores amb una representació concreta que n’afavoreixi la comprensió i potencia, així, el desenvolupament de la CE 7.

Recursos

Molts dels recursos esmentats per treballar sabers del sentit espacial fan referència al procés de comunicació i representació. Per exemple:

Les activitats sobre figures semblants «Figures semblants» i «Propietats de les figures semblants» (saber #2.ESP.FG.A) promouen el raonament i la comunicació d’aquest raonament preguntant sobre la semblança, o no, d’un conjunt de figures, i treballen així la CE 7.
La seqüència d’activitats «Un tangram diferent» (saber #2.ESP.FG.C) inclou parts que, en si mateixes, impliquen que s’estableixin converses matemàtiques a l’aula, de manera que es provoca un treball de comunicació profund i, per tant, es desenvolupa la CE 7.
L’activitat «Introducció a les coordenades» (saber #2.ESP.LS.A) impulsa la comunicació d’idees matemàtiques rellevants entre l’alumnat amb un dictat, cosa que contribueix a la CE 7.
L’activitat “Quin és l’intrús?” (saber #2.ESP.VM.A) afavoreix la comunicació de conceptes matemàtics mitjançant l’argumentació sobre quina de les imatges és la que no pertany al conjunt, i potencia així la CE 7.
L’activitat de visualització del teorema de Pitàgores (saber #2.ESP.VM.B) és en si mateixa la representació d’un concepte matemàtic, fet que contribueix a la CE 7.

Gestió socioemocional (CE 8 i CE 9)

D’una banda, com ja s’ha tractat al punt anterior, el treball dels sabers del sentit espacial afavoreix la comunicació i l’argumentació i permet, així, fer una reflexió sobre la comprensió individual i sobre les idees dels altres, i també crea l’oportunitat de valorar les estratègies pròpies i les dels companys. D’altra banda, el treball del sentit espacial dona peu a l’alumnat a proposar i poder treballar molt bones investigacions. Aquestes investigacions permeten treballar en equip, fomentant la col·laboració entre iguals, i també suposen un repte, el treball del qual pot ajudar a adquirir confiança en les pròpies capacitats i desenvolupar actituds positives.

A més, el sentit espacial és un espai idoni per a la manipulació, que és una eina important per vèncer els possibles bloquejos i afavorir la inclusió de tot l’alumnat.

La gestió socioemocional està vinculada a dues competències específiques:

CE 8, relacionada amb el desenvolupament d’habilitats personals com les creences, les actituds i les emocions envers les matemàtiques.
CE 9, centrada en el desenvolupament d’habilitats socials com el treball en equip i la presa de decisions.

A continuació s’indiquen alguns aspectes que, treballats des del sentit espacial, poden contribuir al desenvolupament de les competències CE 8 i CE 9.

Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 8

Les activitats de resolució de problemes faciliten el treball socioemocional en tant que pretenen ser accessibles a tothom i, per tant, evitar els bloquejos, però també tenir diferents enfocaments possibles i fins i tot anar una mica més enllà, amb la qual cosa són motivadores també per a l’alumnat més avançat. La resolució de problemes és un entorn ideal per treballar la perseverança, la tolerància a la frustració o la gestió positiva de l’error. N’és un exemple l’activitat «Tales, ombres i altures» (saber #2.ESP.FG.A).
La sorpresa també és un bon element per despertar la curiositat i fomentar una bona actitud de cara a les matemàtiques, i una bona activitat per provocar-la és «Mirallet, mirallet, per què m’has fet tan petitet?» (saber #2.ESP.FG.B).
Les activitats del tipus «Quin és l’intrús?» (saber #2.ESP.VM.A) estan pensades perquè es pugui contestar qualsevol de les quatre opcions i no hi hagi una única argumentació correcta. D’aquesta manera, qualsevol proposta dels alumnes ben argumentada, encara que sigui diferent de la dels companys, és bona, i es potencia així la participació i la confiança de l’alumnat.
Les activitats del tipus «què observes i què et preguntes» que podem trobar dins la seqüència «Un tangram diferent» (saber #2.ESP.FG.C) acostumen a provocar més participació i una valoració més bona de les diverses perspectives que aporten els companys i companyes, un fet que implica l’alumnat activament.
Un altre tipus d’activitat que ajuda a trencar falses creences i actituds negatives són les investigacions. En l’activitat «Construcció de sòlids platònics» (saber #2.ESP.FG.E) partim de la manipulació de materials, la qual cosa facilita l’entrada a tot l’alumnat, per anar construint un raonament que va trobant els poliedres possibles i descartant els altres casos. Previsiblement, tot l’alumnat trobarà alguna figura mentre va manipulant i construint. És una activitat en què tothom podrà dir alguna cosa i que, per tant, fomenta la participació i la confiança. El mateix passa amb les activitats més contextualitzades en forma de miniprojectes, com «Dissenyem una llauna de refresc».
La gestió que es faci de les activitats és molt important quant al desenvolupament de la CE 8. Quan, en el marc d’una investigació com l’anterior, proposem treballar en equip, tenim l’oportunitat d’observar les troballes de cada grup i, a l’hora de posar-les en comú, podem donar veu a tots els grups, començant per les troballes més senzilles, que podem demanar que expliqui el grup que no ha arribat als raonaments més complexos.
Quan el que busquem és una solució única, com per exemple la característica d’Euler, es pot pensar en un format més «competitiu», de manera que no s’expliquin els descobriments que van fent d’un grup a l’altre i tots tinguin, així, l’oportunitat d’arribar a la solució.
Tot el bloc Visualització i modelització geomètrica (#2.ESP.VM) és clau. Els models geomètrics són una eina que afavoreix la comprensió dels sabers, ja que són una forma propera d’acostar aquests sabers a l’alumnat i fer que les activitats siguin atractives, d’inici, per a tothom. Poden esdevenir una eina poderosa per vèncer pors.

Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 9

Les activitats que promouen la recerca de patrons, com per exemple la descoberta del teorema de Pitàgores (saber #2.ESP.FG.C) o la característica d’Euler (saber #2.ESP.FG.E), són un bon context per fer un treball col·laboratiu en gran grup. En aquests casos, la feina de tot l’alumnat és necessària per tenir una base de dades prou gran que permeti fer observacions per arribar a concloure les propietats que es busquen (o altres que poden aparèixer).
Els sabers del bloc de figures geomètriques (saber #2.ESP.FG) que treballen la classificació i l’estudi de propietats són una bona font d’inspiració per trobar investigacions que permeten el treball col·laboratiu. Les investigacions proposades, com «Propietats de les figures semblants» (saber #2.ESP.FG.A), treballades de manera col·laborativa poden ajudar a construir coneixement de manera col·lectiva. L’alumnat ha d’escoltar l’opinió dels altres membres de l’equip i ha d’arribar a acords valorant l’opinió i les argumentacions dels companys i companyes, per tal de trobar la solució del repte plantejat.
Els projectes amb connexions externes, com ara el projecte «Home (Casa)» (saber #2.ESP.FG.B), «Tales, ombres i altures» (saber #2.ESP.FG.A), «Sistema solar a escala» (saber #2.ESP.FG.B), «Poliedres amb brics» (saber #2.ESP.FG.E) o «Dissenyem una llauna de refresc» (saber #2.ESP.FG.F), promouen el treball col·laboratiu amb un objectiu comú, que és el de dissenyar i construir un producte final de manera col·laborativa. Això requerirà una feina d’equip en la qual s’haurà de planificar, arribar a acords o distribuir tasques, entre d’altres.