Els sabers d᾽aquest bloc se centren en la utilització de factors primers, múltiples i divisors per resoldre problemes. La resta de continguts d᾽aquest bloc que marca el currículum es treballen específicament en cursos posteriors.
Es proposen activitats amb l᾽objectiu que l᾽alumnat es familiaritzi i domini els conceptes de múltiples i divisors i pugui aplicar-ho en diferents contextos.
Els sabers #1.NUM.RE.C, #1.NUM.RE.D i #1.NUM.RE.E es connecten amb el sentit algebraic, concretament amb el pensament computacional, ja que requereixen un procés sistemàtic, similar a com es divideixen tasques en programació.
Els sabers #1.NUM.RE.A i #1.NUM.RE.B es marquen com a essencials perquè contribueixen a la comprensió dels nombres i les seves relacions i, a més, per preparar els alumnes per treballar la resta dels sabers d᾽aquest bloc.
Es proposa introduir el saber #1.NUM.RE.A amb material manipulatiu, que permet la comprensió del concepte i l᾽adquisició de destreses necessàries per a la seva aplicació.
Respecte al saber #1.NUM.RE.B, l᾽alumnat ha d᾽aprendre a identificar nombres primers fins a cert valor (generalment fins a 100) i distingir-los dels nombres compostos mitjançant l᾽anàlisi dels seus divisors.
Els sabers essencials, juntament amb el saber #1.NUM.RE.C, permeten explorar la distribució dels nombres primers i la seva freqüència a mesura que els nombres creixen. Això els ajuda a desenvolupar el pensament lògic i a reconèixer regularitats en els nombres naturals.
Els sabers #1.NUM.RE.D i #1.NUM.RE.E permeten aprofundir en els conceptes treballats en tot el bloc i afavoreixen l᾽adquisició de les destreses necessàries per aplicar-los en diferents situacions.
Adquisició del concepte de múltiple i divisor d’un nombre.
Identificació de nombres primers i compostos.
Descomposició d’un nombre en factors primers.
Interpretació i càlcul del mínim comú múltiple i el màxim comú divisor de dos o més nombres.
Resolució de problemes mitjançant l’ús de factors primers, múltiples i divisors, emprant estratègies i/o eines diverses, inclosa la calculadora.
El material que Manel Martínez va presentar a les jornades d᾽Ademgi del 2024, Parlem i compartim dels sabers a les competències, és un bon recurs per treballar els sabers d᾽aquest bloc, especialment els tres primers, sabers #1.NUM.RE.A, #1.NUM.RE.B i #1.NUM.RE.C.
Es tracta de 2 jocs de cartes diferents:
El primer joc Cartes de multiplicació 10x10 són cartes de multiplicació amb productes de parelles de nombres entre 1 i 10. Per una cara tenen l᾽expressió aritmètica d᾽una multiplicació i la representació geomètrica com a rectangle i, per l᾽altra, el resultat d᾽aquesta multiplicació. A l᾽enllaç s᾽expliquen diferents activitats que es poden fer amb aquestes cartes.
El segon joc són Cartes de l᾽1 al 100. Les cartes són de 3 colors (blau, verd i vermell) i algunes de les cartes tenen un marc. A una de les cares trobem el nombre amb la seva descomposició factorial fet amb un codi de colors i a l᾽altra un esquema de la descomposició factorial en arbre, si es tracta d᾽un nombre compost, o una representació del garbell d᾽Eratòstenes, si es tracta d᾽un nombre primer.
Amb aquest segon joc de cartes es pot fer l᾽activitat de l᾽hotel de les 100 portes:
Un hotel disposa de 100 habitacions i 100 cambrers. Els cambrers acostumen a actuar de la manera següent:
El primer cambrer tanca les portes de totes les habitacions.
El segon obre les portes de les habitacions parells.
El tercer canvia l᾽estat de totes les portes que són múltiples de 3. Si la porta està tancada, l᾽obra, i si està oberta, la tanca.
El quart canvia totes les que són múltiples de 4.
…
Així fins a arribar a l᾽últim cambrer.
Quines portes quedaran tancades al final?
A l᾽enllaç de la presentació hi ha descrites diferents preguntes i es donen indicacions clares de com treballar i aprofitar aquest material a l᾽aula.
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
En l᾽entrada del CREAMAT Nombres amb nom propi es poden trobar propostes d᾽activitats de nombres amb propietats interessants per treballar a l᾽aula. Una de les activitats que permet treballar el saber #1.NUM.RE.A és la d᾽Abundants, deficients i perfectes i algunes relacions, en què es classifica un conjunt de nombres segons sigui la suma dels seus divisors propis (exclòs el nombre).
Per saber de quin tipus és un nombre s᾽han de sumar tots els seus divisors excepte ell mateix. Si aquesta suma és:
El 24 és abundant, ja que la suma dels seus divisors és 1+2+3+4+6+8+12=36 > 24.
El 15 és deficient, ja que la suma dels seus divisors és 1+3+5=9 < 1.
El 6 és perfecte: 1+2+3=6.
Explorar a quin tipus pertany un nombre és una bona excusa per buscar-ne tots els divisors amb algun objectiu clar. També l᾽alumnat pot cercar a Internet conjectures, llistes, propietats relacionades amb aquests nombres.
No és difícil (el que no vol dir que sigui fàcil) descobrir quins nombres queden destapats. Normalment es descobreixen dues pautes:
Es pot aprofitar per relacionar les dues descobertes amb una il·lustració com la següent:
Una altra activitat per treballar el saber #1.NUM.RE.A és la que ens proposen des de l᾽Institut Baix a Mar, Triangle de Pascal. A partir dels nombres del triangle, s᾽han de pintar o marcar aquelles caselles que estan ocupades per múltiples de 2, i observar què passa. Es pot fer amb els múltiples de 3, 4, 5 o qualsevol altre. Cal tenir en compte que com més gran sigui el nombre, més gran haurà de ser el triangle per poder extreure᾽n alguna conclusió.
Al web del PuntMat trobem el post Els primers nombres primers per treballar el saber #1.NUM.RE.B. La tasca de familiaritzar-se amb els nombres primers pot desenvolupar-se en un ambient de resolució de problemes.
En el post es comenten alguns exemples d᾽activitats que l᾽alumnat pot resoldre simplement coneixent els 30 nombres primers més petits que 120, però s᾽hi han afegit alguns comentaris d᾽aprofundiment per si es vol treure més suc d᾽uns problemes que en alguns casos tenen un rerefons matemàticament rellevant.
1) Primers i parells: escriu cada nombre parell entre 2 i 100 com a suma de dos nombres primers. Hi ha algun nombre senar que es pugui escriure com a suma de dos nombres primers?
2) Primers i quadrats: quin és el primer nombre quadrat que no es pot expressar com a suma de dos primers? Quins nombres primers de dues xifres no es poden expressar com a suma de dos quadrats?
3) Primers i múltiples de 6: quin és el primer múltiple de 6 que no té cap nombre primer com a veí?
4) Primers i potències de base 2: De Polignac creia que tots els nombres senars a partir del 3 es podien escriure com a la suma d᾽una potència de 2 i un nombre primer. Organitzeu-vos per confirmar aquesta creença per a tots els senars més petits que 120 i per trobar un exemple que mostri que estava equivocat.
5) Primers en espiral: continua l᾽espiral numèrica que apareix a la imatge i pinta les cel·les on apareixen nombres primers. Què hi observes?
Continuant amb el saber #1.NUM.RE.B, al número 40 de la revista NouBiaix, publicat el juliol de 2017, en l᾽article Nosaltres com a recurs: role-plays a classe de matemàtiques (i 2), es descriu un joc de rol molt interessant desenvolupat pel professor Albert Herrero amb el seu alumnat del club matemàtic Googolplex (Canet de Mar - Sant Cebrià de Vallalta - Sant Pol de Mar). Aquesta activitat està pensada per treballar visualment els conceptes de nombres primers i compostos.
L᾽activitat consisteix en una coreografia en la qual participen successivament 1 alumne, 2 alumnes, 3 alumnes, 4 alumnes, i així successivament. Quan el nombre d᾽alumnes correspon a un nombre primer, es formen en una única rotllana; en canvi, quan és un nombre compost, s᾽organitzen en diverses rotllanes amb el mateix nombre d᾽alumnes a cada grup.
Es tracta d᾽una proposta atractiva i dinàmica que es pot veure en un dels vídeos presentats al VideoMat 2016: Es pot veure la divisibilitat?
L᾽entrada Més sobre l᾽arbre de factors, que trobem al PuntMat, ens permet treballar el saber #1.NUM.RE.C. Un arbre de factors és un diagrama que s᾽utilitza per descompondre un nombre en els seus factors primers.
El procés per crear un arbre de factors és el següent:
L᾽arbre de l᾽exemple també podria ser:
A partir de qualsevol dels dos arbres podem escriure la descomposició: \(60=2^2\cdot3\cdot5\).
Un arbre de factors permet visualitzar de manera clara la descomposició d᾽un número i és útil per comprendre millor la relació entre els números i els seus factors primers. Fins i tot és útil per descobrir des de la pràctica la unicitat de la descomposició. Fem l᾽arbre que fem, fem el camí que fem, arribem a la mateixa descomposició en factors primers.
Els arbres de factors tenen una sèrie d᾽usos importants en matemàtiques. Per exemple, els podem utilitzar per:
Per treballar el concepte de màxim comú divisor, saber #1.NUM.RE.D, es pot fer la Pràctica productiva: Restes 1 següent, del PuntMat, en què es calcula el màxim comú divisor a partir de l᾽algorisme d᾽Euclides. En aquesta activitat, donats dos nombres marcats en una graella amb els nombres entre 1 i 100, l᾽alumnat ha de restar aquests nombres i marcar sobre la taula el seu resultat. A partir d᾽aquí han d᾽anar fent totes les restes dels nombres que estiguin acolorits en la graella i anar marcant els resultats.
En el vídeo del Creamat, Graella numèrica, de la Cecilia Calvo, s᾽explica al professorat com dur a terme l᾽activitat. El paper de les preguntes que fa el professorat durant l᾽activitat és essencial. És important que l᾽alumnat faci prediccions, ja que els permet apropar-se a la formulació de conjectures i la seva justificació.
Els algoritmes utilitzats i treballats per calcular el mcm i el mcd tenen molt a veure amb el pensament computacional. En aquest enllaç, Mcd, mcm i algorisme d᾽Euclides, hi ha exemples per programar el seu càlcul amb Snap!
També es pot treballar el mcm i el mcd amb policubs de colors. En els tres enllaços següents es mostra com fer-ho: Mcm/mcd amb policubs de Mireia Dosil, Divisibilidad con policubos d᾽Antonio Omatos i el vídeo de TikTok de @howie_hua.
Per treballar el saber #1.NUM.RE.E, presentem diferents situacions quotidianes en les quals podem utilitzar el mcm o el mcd. Un exemple el podem trobar en un fragment de la pel·lícula El pare de la núvia, que es pot veure en el web de Robert Kaplinsky, en el qual ens planteja el problema How Many Hot Dogs And Buns Should He Buy?, que es descriu a continuació:
En un fragment de la pel·lícula El pare de la núvia s᾽exposa la situació. Després de veure᾽l es fan les preguntes:
Font: How Many Hot Dogs And Buns Should He Buy?
Un altre context per treballar la resolució de problemes, referent al saber #1.NUM.RE.E el trobem a l᾽article Els «sona»: contes, geometria i nombres (1), del blog del Calaix +ie, que explora els «sona» o «lusona», uns dibuixos geomètrics utilitzats per alguns contacontes africans per acompanyar les seves històries. Aquests dibuixos tenen una estructura matemàtica interessant, ja que sovint es poden traçar d᾽un sol cop unint punts sobre una quadrícula.
A partir d᾽un exemple concret, El perro y el cazador, s᾽analitza com aquests traçats segueixen patrons geomètrics i es relacionen amb conceptes matemàtics com el màxim comú divisor (mcd). L᾽estudi dels lusona mostra que el nombre de voltes necessàries per recobrir tots els punts d᾽un rectangle correspon al mcd dels seus costats.
L᾽article també planteja activitats per a l᾽aula, com investigar els patrons dels lusona, justificar la relació amb el mcd, o col·locar miralls als punts interiors per modificar els trajectes.
També es pot treballar el saber #1.NUM.RE.E amb l᾽activitat Quants quadrets travessa la diagonal?. L᾽objectiu és descobrir una regla general per calcular quants quadrets travessa la diagonal d᾽un rectangle dibuixat en una quadrícula sense haver de comptar-los un a un.
Per fer-ho l᾽alumnat ha de:
Per ajudar-los a trobar la solució es poden fer les qüestions següents:
L᾽alumnat hauria d᾽arribar a la conclusió que quan la diagonal travessa una línia vertical o horitzontal, entra en un nou quadret. Si els costats del rectangle fossin nombres primers entre si, la diagonal mai passaria exactament per una intersecció de línies (només travessaria línies horitzontals o verticals, però no totes dues alhora). En canvi, si a i b tenen factors comuns, la diagonal travessarà alguns punts d᾽intersecció exactes, i es reduirà el nombre total de quadrets diferents per on passa. El màxim comú divisor mcd(a,b) ens indica quants punts d᾽intersecció exactes hi ha dins del rectangle, i és per això que el restem de la suma a + b.
El vídeo de Youtube How Many Squares does the Diagonal of an m x n Rectangle Cross? proporciona una demostració clara i intuïtiva d᾽aquesta fórmula, que ajuda a entendre millor la relació entre el recorregut de la diagonal i la dimensió del rectangle.
Llicenciat sota la Llicència Creative Commons Reconeixement CompartirIgual 4.0