El conjunt de sabers que constitueixen el sentit de la mesura, com tots els altres sentits, s’han de relacionar amb el conjunt de competències del currículum. Sense un coneixement dels sabers difícilment es poden desenvolupar els processos per avançar en l’assoliment de les competències i, d’altra banda, la manera com s’introdueixen, es construeixen i s’utilitzen els sabers és clau per dur a terme un treball competencial.
Així doncs, tots els sabers poden contribuir a desenvolupar qualsevol competència si es treballen en activitats adequades. Igualment, un saber pot contribuir a desenvolupar diverses competències.
Es presenta la relació entre els sentits i les competències específiques a través dels processos: Resolució de problemes (competències específiques CE 1 i CE 2), Raonament i prova (competències específiques CE 3 i CE 4), Connexions, en què distingim les internes (competència específica CE 5) i les externes (competència específica CE 6), Comunicació i representació (competència específica CE 7) i Gestió socioemocional (competències específiques CE 8 i CE 9).
Aquesta relació, pel que fa al sentit de la mesura, es concreta, en el marc d’aquest exemple, de la manera que es descriu en els apartats següents, tot i que poden existir altres anàlisis igualment vàlides.
Resolució de problemes (CE 1 i CE 2)
Per tal de treballar de manera significativa el conjunt de sabers relacionats amb el sentit de la mesura a 1r d’ESO, cal que les classes de matemàtiques estiguin fonamentades principalment en la resolució de problemes. És gairebé de compliment immediat presentar a l’alumnat escenaris de la vida quotidiana en què la mesura sigui protagonista de situacions, problemes i reptes que calgui resoldre. L’elecció adient d’unitats patrons i el seu establiment com a conveni permetrà a l’alumnat interpretar, comparar, calcular i comunicar mesures (directes o indirectes). El desenvolupament de les competències associades a aquest procés, la resolució de problemes, facilitarà que els mateixos alumnes desenvolupin diferents estratègies per a l’obtenció de mesures associades a les magnituds pròpies del curs: longituds, àrees, massa, angles…, de manera que es puguin evidenciar diferents raonaments que permetin l’obtenció de resultats. Per aquesta raó, recomanem proposar situacions on hi hagi un repte i que alhora es faci present un conflicte que provoqui la discussió entre iguals. Així doncs, és molt important la gestió de l’activitat, fent preguntes que interpel·lin l’alumnat i facin aparèixer nous reptes. La valoració i argumentació de la idoneïtat dels resultats obtinguts en situacions de mesurament, mitjançant el coneixement de l’error absolut i relatiu, si s’escau, propiciarà la resolució de situacions de la vida quotidiana pròpies de les matemàtiques, que poden suscitar noves preguntes. Entenem també que cal consolidar algunes tècniques i processos que van apareixent amb les propostes que es fan, com per exemple el canvi d’unitats tractat des de les taules de proporcionalitat. En aquests casos, però, preferim que es presentin a partir d’activitats de pràctica productiva i fer que aquest objectiu s’assoleixi de manera més indirecta ambientant-lo en la resolució d’un problema, en lloc de fer-ho amb activitats de pràctica reproductiva, només enfocades en l’automatització de les destreses bàsiques.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar la resolució de problemes són, entre altres:
- El saber #1.MES.MA.B permet el plantejament de situacions on l’alumnat ha d’establir unitats patró de mesura que en facilitin la resolució, amb la qual cosa es mobilitzen les competències específiques CE 1 i CE 2.
- Amb el saber #1.MES.ME.E s’evidencien diferents estratègies per obtenir mesures indirectes de longituds i àrees, ja sigui amb material manipulatiu o amb aplicacions de geometria dinàmica. El càlcul de mesures indirectes es fa partint dels coneixements matemàtics previs que té l’alumnat, i mitjançant els seus raonaments i el treball amb material, obtenen els resultats.
- De manera similar al cas anterior, però amb el mesurament d’angles, el saber #1.MES.ME.G, que és essencial, porta implícit el desenvolupament de les competències específiques CE 1 i CE 2.
- El saber #1.MES.ER.B permet el coneixement i ús de l’error relatiu i l’absolut. El treball de l’error contribueix a la CE 2, ja que dona arguments sobre la idoneïtat de les solucions en el mesurament.
Recursos
La majoria dels recursos esmentats, sinó tots, fan referència directa a les competències específiques de resolució de problemes. Si més no, creiem que cal emmarcar-los en aquest procés. Amb tot, a tall d’exemple podem esmentar que:
- En el projecte La mitad del cuadrado, de José Antonio Mora Sánchez, es veuen involucrats tots els processos, cosa que acostuma a passar en propostes riques de llindar baix, sostre alt i parets amples, que permeten que tot l’alumnat hi pugui participar i progressar. Surten diverses estratègies i raonaments per tal de dividir el quadrat en dues parts de la mateixa àrea. A més a més, existeixen unes primeres solucions prou simples perquè tot l’alumnat entri en el problema. És de fàcil entrada però alhora les diferents exploracions condueixen a aplicar raonaments que validen obtencions més complexes i fan que s’iniciïn noves preguntes.
- Les activitats del Fem Matemàtiques són bones propostes de resolució de problemes. En l’activitat Una escultura cúbica associada al saber #1.MES.ME.I els alumnes necessitaran treballar la interpretació de la situació inicial plantejada fent-se les seves pròpies representacions, ja sigui amb material manipulatiu, amb aplicacions informàtiques, etc. L’eficàcia d’aquestes representacions ajudaran a la resolució d’algunes parts del problema. De la mateixa manera, el fet de treballar-ho en grups de tres alumnes convida que puguin sorgir diverses estratègies de resolució i que calgui valorar quina cal seguir a partir de la discussió entre iguals. Naturalment, la validació de les solucions obtingudes i les preguntes a noves investigacions també hi són presents.
- Dins del conjunt de propostes presentades en el saber #1.MES.ME.E trobem l’activitat de NRICH Triangles in a Square, una investigació molt rica que facilita la construcció de coneixement matemàtic per part dels mateixos alumnes i en la qual treballa tant la CE 1 com la CE 2. La gestió de l’activitat per part del docent estirant-la amb noves investigacions o proposant bastides en el cas que hi hagi bloquejos en l’alumnat, servirà com a model perquè el mateix alumne posi l’accent en les estratègies de resolució i procediments emprats, i es familiaritzi a fer-se noves preguntes que el condueixin a estirar l’activitat.
Identificació d’atributs mesurables en objectes matemàtics o físics, en el nostre entorn.
Establiment d’unitats patró de mesura (a partir del propi cos, unitats antropomètriques o d’objectes coneguts propers a l’alumnat) adequades a cada situació.
Comparació de les diferents unitats de mesura per a un mateix atribut.
Adquisició, per consens, d’una unitat de mesura de referència comuna.
Avaluació de la importància de l’establiment del sistema mètric decimal (naixement del metre).
Adequació de la unitat de mesura als atributs dels objectes.
Elecció d’unitats de mesura adients per poder operar entre elles i, si escau, per generar-ne de derivades (per exemple, 1 m × 1 m = 1 m2).
Determinació del grau qualitatiu de certesa o incertesa associat a esdeveniments: segur, molt probable, poc probable, possible, impossible…
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) per mesurar de manera directa diferents magnituds de l’entorn.
Presa de mesures de les magnituds pròpies del curs i de l’entorn proper de l’alumne.
Esbós, representació a escala i afitament d’objectes a fi de calcular distàncies.
Distinció entre perímetres i àrees de regions planes.
Deducció, interpretació i aplicació de diferents estratègies per obtenir longituds i àrees a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Càlcul de superfícies de regions poligonals per descomposició en figures geomètriques d’àrea coneguda.
Mesurament i deducció dels angles relacionats amb polígons.
Descoberta de 𝜋 a través de la raó entre la longitud de la circumferència i el seu diàmetre.
Ús de representacions planes d’objectes generats per ortoedres per visualitzar i resoldre
problemes d’àrees, entre d’altres.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments simples en experiments aleatoris a través de la regla de Laplace.
Estimació de mesures a partir del propi cos, de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Elecció de l’instrument convenient en funció de la magnitud, el grau de precisió i la situació en context.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Establiment d’unitats de mesura adequades a cada situació per al càlcul de perímetres, àrees i volums.
Relació entre volum i capacitat d’un objecte per comparar les unitats de mesura corresponents.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de mesura d’una mateixa magnitud.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) per mesurar de manera directa diferents magnituds de l’entorn.
Presa de mesures de les magnituds pròpies del curs i de l’entorn proper de l’alumne.
Esbós, representació a escala i afitament d’objectes a fi de fer càlculs relacionats amb la presa de longituds i àrees.
Ús del teorema de Tales per representar a escala objectes plans i deduir mesures per mètodes indirectes.
Descoberta del teorema de Pitàgores a través d’àrees de quadrats construïts en els costats de triangles rectangles.
Ús del teorema de Pitàgores per calcular longituds d’elements de polígons.
Descoberta de l’expressió de l’àrea d’un cercle a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Ús de les relacions entre longituds, perímetres i àrees i càlcul de superfícies de regions poligonals i circulars per resoldre problemes en contextos diversos en el pla.
Distinció entre àrees i volums de cossos geomètrics (prismes i cilindres).
Representació plana d’objectes tridimensionals (prismes i cilindres) en la resolució de problemes.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments compostos en experiments aleatoris a través de la regla de Laplace.
Estimació de mesures de longituds, àrees i volums a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de volum i capacitat, adequades a cada situació.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) i unitats adequats per mesurar de manera directa angles i longituds.
Deducció, interpretació i aplicació de diferents estratègies (desplegament, descomposició en figures més senzilles…) per obtenir longituds o distàncies, àrees i volums a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Ús de la relació entre les longituds, superfícies o volums de figures semblants per resoldre problemes.
Ús dels teoremes de Tales i Pitàgores en el càlcul de mesures indirectes per resoldre problemes en contextos diversos.
Distinció entre àrees i volums de cossos geomètrics (piràmides i cons).
Representació plana d’objectes tridimensionals (piràmides i cons) en la resolució de problemes.
Estimació de mesures de longituds, àrees i volums a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de mesura d’angles i l’establiment del radian com a unitat internacional de mesura.
Descoberta del radian a través de la proporcionalitat geomètrica.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) i unitats adequats per mesurar de
manera directa angles i longituds o distàncies en situacions trigonomètriques.
Observació de les raons invariants entre els costats de triangles rectangles semblants: les raons trigonomètriques.
Utilització de les raons trigonomètriques i les seves relacions en la resolució de problemes que es poden representar amb triangles rectangles.
Investigació de l’origen i ús de la trigonometria al llarg de la història.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments en experiments aleatoris connectats amb la geometria.
Mesura de la probabilitat d’esdeveniments en experiments aleatoris, tenint en compte la seva independència o incompatibilitat.
Estimació de longituds i angles a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Raonament i prova (CE 3 i CE 4)
La deducció de relacions entre diferents magnituds i les seves expressions mitjançant material manipulatiu o tecnològic, a partir del raonament i l’argumentació, proporciona nou coneixement matemàtic. El desenvolupament de la CE 3 comporta que l’alumnat sigui capaç de formular les seves pròpies conjectures, i a partir del raonament avaluar-les i modificar-les, en cas que sigui necessari, per tornar-les a posar a prova.
Les diferents situacions de mesura directa mitjançant la resolució de problemes, l’organització de les dades obtingudes, la planificació per a aquesta obtenció, la corresponent descomposició en tasques simples, el tractament de les dades i la representació, tot amb l’objectiu d’arribar a la solució, comporta el desenvolupament del pensament computacional. De la mateixa manera, també es fa evident en la modelització de propostes de mesura directa i el seu pas o transició cap a la mesura indirecta, la qual cosa fa que l’alumnat trobi relacions entre el comportament de diferents magnituds que li permeti obtenir-ne la quantitat d’unes a partir del mesurament d’altres.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar el raonament són, entre altres:
- El saber #1.MES.MA.C permet el plantejament de situacions de la vida quotidiana on la comparació de les diferents unitats de mesura per a un mateix atribut, amb materials diversos, condueixi l’alumnat a formular-se conjectures senzilles, a partir del raonament i argumentació, i com a conseqüència a la construcció de nou coneixement matemàtic.
- La distinció entre perímetres i àrees de regions planes, prevista en el saber #1.MES.ME.D, és una invitació a presentar al nostre alumnat activitats que li generin conflicte, i on les dues magnituds intervinguin en cadascuna de les propostes. L’estudi del comportament de les dues variables conjuntament comportarà el treball de les competències CE 3 i CE 4.
- Des del saber #1.MES.ME.H, amb la descoberta de $\pi$ 𝜋 mitjançant la raó entre la longitud de la circumferència i el seu diàmetre, es contribueix a desenvolupar la CE 3.
- El saber #1.MES.ER.D porta implícit la formulació de conjectures, en aquest cas sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, a partir de l’estimació i l’experimentació. Com a conseqüència, contribueix directament en el treball de les competències CE 3 i CE 4.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers fan referència directa al procés de raonament i prova. Per exemple:
- En l’activitat Place your orders de NRICH, associada al saber #1.MES.MA.C, l’alumnat haurà de fer les seves pròpies conjectures, validar-les i argumentar-les per tal d’ordenar conjunts de quatre quantitats d’atributs mesurables no conegudes inicialment i molt relacionades amb la vida real. Per tant, contribueix especialment al desenvolupament de la competència específica CE 3.
- Amb Estimation 180, del professor Andrew Stadel i proposada per treballar el saber #1.MES.ER.A, l’alumnat fa estimacions a partir de comparacions amb objectes dels quals sí que en saben algun tipus d’informació. El raonament matemàtic és molt accessible i agradable per als alumnes, i es treballa també l’argumentació per validar aquests propis raonaments amb el que vol desenvolupar la CE 3.
- En el saber #1.MES.ER.D tenim l’activitat In the bag de NRICH, en la qual s’han introduït 10 bales de 4 colors en una bossa, i l’alumnat no sap quantes bales hi ha de cada color, i caldrà que faci una predicció. A partir de l’experimentació, fent extracció i observació d’una bala amb reposició, es fan modificacions argumentades de les prediccions inicials. A més a més, l’activitat inclou una variant en context de joc, en què a l’alumnat se li demana desenvolupar una estratègia eficaç per assolir el repte, amb la qual cosa es desenvolupa tant la competència CE 3 com la CE 4.
- L’activitat d’experimentació associada al saber #1.MES.ME.G Quant sumen els angles interiors d’un triangle? convida l’alumnat a fer les seves conjectures sobre la suma dels angles interiors d’un polígon qualsevol i, finalment, arribar a la descoberta. Així doncs, contribueix al desenvolupament de la CE 3.
Identificació d’atributs mesurables en objectes matemàtics o físics, en el nostre entorn.
Establiment d’unitats patró de mesura (a partir del propi cos, unitats antropomètriques o d’objectes coneguts propers a l’alumnat) adequades a cada situació.
Comparació de les diferents unitats de mesura per a un mateix atribut.
Adquisició, per consens, d’una unitat de mesura de referència comuna.
Avaluació de la importància de l’establiment del sistema mètric decimal (naixement del metre).
Adequació de la unitat de mesura als atributs dels objectes.
Elecció d’unitats de mesura adients per poder operar entre elles i, si escau, per generar-ne de derivades (per exemple, 1 m × 1 m = 1 m2).
Determinació del grau qualitatiu de certesa o incertesa associat a esdeveniments: segur, molt probable, poc probable, possible, impossible…
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) per mesurar de manera directa diferents magnituds de l’entorn.
Presa de mesures de les magnituds pròpies del curs i de l’entorn proper de l’alumne.
Esbós, representació a escala i afitament d’objectes a fi de calcular distàncies.
Distinció entre perímetres i àrees de regions planes.
Deducció, interpretació i aplicació de diferents estratègies per obtenir longituds i àrees a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Càlcul de superfícies de regions poligonals per descomposició en figures geomètriques d’àrea coneguda.
Mesurament i deducció dels angles relacionats amb polígons.
Descoberta de 𝜋 a través de la raó entre la longitud de la circumferència i el seu diàmetre.
Ús de representacions planes d’objectes generats per ortoedres per visualitzar i resoldre
problemes d’àrees, entre d’altres.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments simples en experiments aleatoris a través de la regla de Laplace.
Estimació de mesures a partir del propi cos, de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Elecció de l’instrument convenient en funció de la magnitud, el grau de precisió i la situació en context.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Establiment d’unitats de mesura adequades a cada situació per al càlcul de perímetres, àrees i volums.
Relació entre volum i capacitat d’un objecte per comparar les unitats de mesura corresponents.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de mesura d’una mateixa magnitud.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) per mesurar de manera directa diferents magnituds de l’entorn.
Presa de mesures de les magnituds pròpies del curs i de l’entorn proper de l’alumne.
Esbós, representació a escala i afitament d’objectes a fi de fer càlculs relacionats amb la presa de longituds i àrees.
Ús del teorema de Tales per representar a escala objectes plans i deduir mesures per mètodes indirectes.
Descoberta del teorema de Pitàgores a través d’àrees de quadrats construïts en els costats de triangles rectangles.
Ús del teorema de Pitàgores per calcular longituds d’elements de polígons.
Descoberta de l’expressió de l’àrea d’un cercle a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Ús de les relacions entre longituds, perímetres i àrees i càlcul de superfícies de regions poligonals i circulars per resoldre problemes en contextos diversos en el pla.
Distinció entre àrees i volums de cossos geomètrics (prismes i cilindres).
Representació plana d’objectes tridimensionals (prismes i cilindres) en la resolució de problemes.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments compostos en experiments aleatoris a través de la regla de Laplace.
Estimació de mesures de longituds, àrees i volums a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de volum i capacitat, adequades a cada situació.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) i unitats adequats per mesurar de manera directa angles i longituds.
Deducció, interpretació i aplicació de diferents estratègies (desplegament, descomposició en figures més senzilles…) per obtenir longituds o distàncies, àrees i volums a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Ús de la relació entre les longituds, superfícies o volums de figures semblants per resoldre problemes.
Ús dels teoremes de Tales i Pitàgores en el càlcul de mesures indirectes per resoldre problemes en contextos diversos.
Distinció entre àrees i volums de cossos geomètrics (piràmides i cons).
Representació plana d’objectes tridimensionals (piràmides i cons) en la resolució de problemes.
Estimació de mesures de longituds, àrees i volums a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de mesura d’angles i l’establiment del radian com a unitat internacional de mesura.
Descoberta del radian a través de la proporcionalitat geomètrica.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) i unitats adequats per mesurar de
manera directa angles i longituds o distàncies en situacions trigonomètriques.
Observació de les raons invariants entre els costats de triangles rectangles semblants: les raons trigonomètriques.
Utilització de les raons trigonomètriques i les seves relacions en la resolució de problemes que es poden representar amb triangles rectangles.
Investigació de l’origen i ús de la trigonometria al llarg de la història.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments en experiments aleatoris connectats amb la geometria.
Mesura de la probabilitat d’esdeveniments en experiments aleatoris, tenint en compte la seva independència o incompatibilitat.
Estimació de longituds i angles a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Connexions amb altres parts de la matemàtica (CE 5)
La presència de connexions entre el sentit de la mesura i altres parts de la matemàtica sorgeix de forma natural, ja sigui a partir de propostes en les quals la mesura és part del procés en el treball d’altres sabers —ho podem trobar especialment en activitats relacionades amb el sentit espacial o l’estocàstic— o en situacions en què la mesura és la finalitat però on altres sentits formen part del desenvolupament de les mateixes activitats, com per exemple les connexions que s’evidencien amb sabers propis del sentit numèric en el tractament de nombres i quantitats. Així doncs, l’ús de la proporcionalitat numèrica i geomètrica en situacions de mesura consolidaran els sabers comuns amb els sentits numèric i espacial. A més a més, les simulacions necessàries per mesurar la incertesa requeriran els processos associats al pensament computacional i, per tant, propis del sentit algebraic.
Presentar a l’alumnat situacions que fomenten la creació de connexions entre els diferents conceptes, procediments i idees matemàtiques permet que desenvolupin una visió més àmplia del propi coneixement i que percebin les matemàtiques no de forma compartimentada, sinó com un tot integrat. Aquesta visió i el desenvolupament de la competència facilitarà que l’alumnat generi diferents estratègies i idees per a la resolució de problemes.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar les connexions internes són, entre altres:
- El saber #1.MES.MA.G està ben connectat amb el sentit numèric, ja que l’elecció d’unitats de mesura adients per poder operar entre elles i la construcció de noves unitats de mesura derivades d’altres comportarà l’aparició i el maneig de nombres decimals, de potències, notació científica, etc.
- El treball de descomposició i composició de figures geomètriques per calcular superfícies present en el saber #1.MES.ME.F connecta amb el pensament computacional del sentit algebraic, ja que l’alumnat haurà d’identificar i analitzar estratègies, amb un seguit de passos ordenats, que li permetrà arribar a deduir quines transformacions en la figura inicial el condueixen a la solució.
- En el treball per a l’assoliment del saber #1.MES.ME.J, en què l’alumnat ha de ser capaç de copsar la relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments simples en experiments aleatoris a través de la regla de Laplace, a part de tenir una connexió evident amb el bloc de sabers de la predictibilitat i la incertesa, corresponent al sentit estocàstic, també s’estableix una connexió amb el pensament computacional, del sentit algebraic, en el disseny de simuladors aprofitant recursos TIC (full de càlcul, GeoGebra, Snap!…).
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers aporten o utilitzen connexions internes. Per exemple:
- En l’activitat La recepta, associada al saber #1.MES.MA.C, l’alumnat treballarà el canvi d’unitats, les operacions amb quantitats expressades en nombres decimals, etc. Així doncs, des de la mesura es fa present una connexió amb el sentit numèric i, per tant, es contribueix a la competència específica CE 5.
- Amb l’activitat Mesures antropomètriques recollida en l’exemplificació de propostes que treballen els sabers #1.MES.ER.A i #1.MES.ER.B, és present la necessitat de calcular l’error absolut i el relatiu en les diferents mesures que es van prenent de manera directa. Aquest càlcul i el tractament de l’error mobilitza també sabers propis del sentit numèric, i, per tant, la mateixa activitat s’afegeix en el desenvolupament de la CE 5.
- També trobem unes quantes propostes amb connexions internes, dins de la matemàtica, i en particular amb el sentit algebraic. Per exemple, en l’activitat rectangle areas, associada al saber #1.MES.ME.F, l’alumnat es troba davant de reptes en què, per tal de trobar la solució, emprarà sabers propis del sentit espacial i l’algebraic.
- En el saber #1.MES.ME.J tenim tot un seguit d’activitats sota el títol Tema 13: Estadística i probabilitat, en què, a part de les connexions evidents entre la mesura i l’estocàstica, s’evidencia la possibilitat de treballar amb simuladors que permetin fer estimacions sobre la mesura de probabilitat, i alhora hi és present de forma significativa el pensament computacional en el procediment d’estudi i anàlisi. Així doncs, aquestes activitats també contribueixen a desenvolupar la competència CE 5.
Identificació d’atributs mesurables en objectes matemàtics o físics, en el nostre entorn.
Establiment d’unitats patró de mesura (a partir del propi cos, unitats antropomètriques o d’objectes coneguts propers a l’alumnat) adequades a cada situació.
Comparació de les diferents unitats de mesura per a un mateix atribut.
Adquisició, per consens, d’una unitat de mesura de referència comuna.
Avaluació de la importància de l’establiment del sistema mètric decimal (naixement del metre).
Adequació de la unitat de mesura als atributs dels objectes.
Elecció d’unitats de mesura adients per poder operar entre elles i, si escau, per generar-ne de derivades (per exemple, 1 m × 1 m = 1 m2).
Determinació del grau qualitatiu de certesa o incertesa associat a esdeveniments: segur, molt probable, poc probable, possible, impossible…
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) per mesurar de manera directa diferents magnituds de l’entorn.
Presa de mesures de les magnituds pròpies del curs i de l’entorn proper de l’alumne.
Esbós, representació a escala i afitament d’objectes a fi de calcular distàncies.
Distinció entre perímetres i àrees de regions planes.
Deducció, interpretació i aplicació de diferents estratègies per obtenir longituds i àrees a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Càlcul de superfícies de regions poligonals per descomposició en figures geomètriques d’àrea coneguda.
Mesurament i deducció dels angles relacionats amb polígons.
Descoberta de 𝜋 a través de la raó entre la longitud de la circumferència i el seu diàmetre.
Ús de representacions planes d’objectes generats per ortoedres per visualitzar i resoldre
problemes d’àrees, entre d’altres.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments simples en experiments aleatoris a través de la regla de Laplace.
Estimació de mesures a partir del propi cos, de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Elecció de l’instrument convenient en funció de la magnitud, el grau de precisió i la situació en context.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Establiment d’unitats de mesura adequades a cada situació per al càlcul de perímetres, àrees i volums.
Relació entre volum i capacitat d’un objecte per comparar les unitats de mesura corresponents.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de mesura d’una mateixa magnitud.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) per mesurar de manera directa diferents magnituds de l’entorn.
Presa de mesures de les magnituds pròpies del curs i de l’entorn proper de l’alumne.
Esbós, representació a escala i afitament d’objectes a fi de fer càlculs relacionats amb la presa de longituds i àrees.
Ús del teorema de Tales per representar a escala objectes plans i deduir mesures per mètodes indirectes.
Descoberta del teorema de Pitàgores a través d’àrees de quadrats construïts en els costats de triangles rectangles.
Ús del teorema de Pitàgores per calcular longituds d’elements de polígons.
Descoberta de l’expressió de l’àrea d’un cercle a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Ús de les relacions entre longituds, perímetres i àrees i càlcul de superfícies de regions poligonals i circulars per resoldre problemes en contextos diversos en el pla.
Distinció entre àrees i volums de cossos geomètrics (prismes i cilindres).
Representació plana d’objectes tridimensionals (prismes i cilindres) en la resolució de problemes.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments compostos en experiments aleatoris a través de la regla de Laplace.
Estimació de mesures de longituds, àrees i volums a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de volum i capacitat, adequades a cada situació.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) i unitats adequats per mesurar de manera directa angles i longituds.
Deducció, interpretació i aplicació de diferents estratègies (desplegament, descomposició en figures més senzilles…) per obtenir longituds o distàncies, àrees i volums a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Ús de la relació entre les longituds, superfícies o volums de figures semblants per resoldre problemes.
Ús dels teoremes de Tales i Pitàgores en el càlcul de mesures indirectes per resoldre problemes en contextos diversos.
Distinció entre àrees i volums de cossos geomètrics (piràmides i cons).
Representació plana d’objectes tridimensionals (piràmides i cons) en la resolució de problemes.
Estimació de mesures de longituds, àrees i volums a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de mesura d’angles i l’establiment del radian com a unitat internacional de mesura.
Descoberta del radian a través de la proporcionalitat geomètrica.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) i unitats adequats per mesurar de
manera directa angles i longituds o distàncies en situacions trigonomètriques.
Observació de les raons invariants entre els costats de triangles rectangles semblants: les raons trigonomètriques.
Utilització de les raons trigonomètriques i les seves relacions en la resolució de problemes que es poden representar amb triangles rectangles.
Investigació de l’origen i ús de la trigonometria al llarg de la història.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments en experiments aleatoris connectats amb la geometria.
Mesura de la probabilitat d’esdeveniments en experiments aleatoris, tenint en compte la seva independència o incompatibilitat.
Estimació de longituds i angles a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Connexions amb altres matèries i amb l’entorn (CE 6)
El sentit de la mesura és present en molts entorns de la vida quotidiana. La presentació de diferents contextos no matemàtics en què la mesura és essencial enforteix les connexions de situacions matemàtiques amb el seu entorn. El coneixement, l’elecció i ús d’instruments de mesura, amb l’evolució de la tecnologia, i l’establiment del sistema internacional d’unitats, ens possibilita mesurar de forma consensuada el món que ens envolta. A més, la utilització d’estimacions, el control de l’error i la seva propagació connecten no només sabers amb altres àrees, sinó també procediments aplicats a la vida quotidiana. A la vegada, la història de les civilitzacions i la seva relació amb el sentit de la mesura ens dona un context que permet connectar fàcilment les matemàtiques amb la societat.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar les connexions externes són, entre altres:
- En el saber #1.MES.MA.A hi ha una connexió externa amb tot el món que ens envolta, ja que pretén la identificació d’atributs mesurables en objectes matemàtics o físics, en el nostre entorn, i per tant l’observació de matemàtiques en entorns propers de l’alumnat però no precisament matemàtics.
- El desenvolupament del saber #1.MES.MA.E permet fer una connexió externa amb la història i amb la societat, estudiant les dificultats que comportava no tenir un únic sistema de mesures, i com aquest s’acaba formalitzant en gran part del països, a excepció del món d’influència britànica.
- El treball i assoliment del saber #1.MES.ME.A connecta les matemàtiques amb altres àrees de coneixement con la tecnologia, les ciències de la naturalesa, etc.
- De la mateixa manera, el saber #1.MES.ER.C connecta amb la tecnologia, les ciències naturals i amb les activitats diàries del món que ens envolta (esport, cuina, etc.).
Recursos
Molts dels recursos descrits per treballar diferents sabers del sentit de la mesura ofereixen oportunitats per fer connexions externes. Per exemple:
- Les vuit propostes de mesura que trobem a la campanya del vídeoMAT-Plus i comentades en l’apartat de recursos associats a diferents sabers del bloc de mesurament, s’inicien amb una pregunta que fa referència a un context proper a l’alumnat i amb moltes connexions fora de les matemàtiques. Són petites investigacions en les quals la matemàtica permet donar resposta a aquestes qüestions.
- El projecte Pots dutxar-te amb un poal d’aigua? Dona-li una segona oportunitat a l’aigua associat al bloc de sabers de mesurament és una excel·lent proposta que connecta la matemàtica amb un problema ben actual.
- L’activitat Solar System Pathway del professor Jordi Domènech Casal i proposada en el saber #1.MES.MA.F connecta les matemàtiques amb les ciències experimentals i les socials.
- Amb l’activitat del CDEC Cuinats amb mesura, associada al saber #1.MES.ER.C, l’alumnat treballa el sentit que aquí es tracta a partir de la identificació i ús de diferents instruments de mesura. D’aquesta manera s’enforteixen les connexions de la matemàtica amb altres àrees de coneixement, com són les ciències naturals i la tecnologia, i on és freqüent el maneig d’aquests aparells.
- En el saber #1.MES.MA.E podem trobar el recurs El sistema mètric, en què, a partir del coneixement de la història, l’alumnat prendrà consciència de com la matemàtica ha donat solucions a dificultats i problemes socials, com són el comerç, la comunicació, etc. La localització de diferents vèrtexs geodèsics a Catalunya, utilitzats per a l’establiment del metre o d’altres referències locals, com la Meridiana o el Paral·lel a Barcelona, també contribuiran a fer que el nostre alumnat faci connexions externes.
Totes aquestes activitats contribueixen al desenvolupament de la competència CE 6.
Identificació d’atributs mesurables en objectes matemàtics o físics, en el nostre entorn.
Establiment d’unitats patró de mesura (a partir del propi cos, unitats antropomètriques o d’objectes coneguts propers a l’alumnat) adequades a cada situació.
Comparació de les diferents unitats de mesura per a un mateix atribut.
Adquisició, per consens, d’una unitat de mesura de referència comuna.
Avaluació de la importància de l’establiment del sistema mètric decimal (naixement del metre).
Adequació de la unitat de mesura als atributs dels objectes.
Elecció d’unitats de mesura adients per poder operar entre elles i, si escau, per generar-ne de derivades (per exemple, 1 m × 1 m = 1 m2).
Determinació del grau qualitatiu de certesa o incertesa associat a esdeveniments: segur, molt probable, poc probable, possible, impossible…
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) per mesurar de manera directa diferents magnituds de l’entorn.
Presa de mesures de les magnituds pròpies del curs i de l’entorn proper de l’alumne.
Esbós, representació a escala i afitament d’objectes a fi de calcular distàncies.
Distinció entre perímetres i àrees de regions planes.
Deducció, interpretació i aplicació de diferents estratègies per obtenir longituds i àrees a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Càlcul de superfícies de regions poligonals per descomposició en figures geomètriques d’àrea coneguda.
Mesurament i deducció dels angles relacionats amb polígons.
Descoberta de 𝜋 a través de la raó entre la longitud de la circumferència i el seu diàmetre.
Ús de representacions planes d’objectes generats per ortoedres per visualitzar i resoldre
problemes d’àrees, entre d’altres.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments simples en experiments aleatoris a través de la regla de Laplace.
Estimació de mesures a partir del propi cos, de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Elecció de l’instrument convenient en funció de la magnitud, el grau de precisió i la situació en context.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Establiment d’unitats de mesura adequades a cada situació per al càlcul de perímetres, àrees i volums.
Relació entre volum i capacitat d’un objecte per comparar les unitats de mesura corresponents.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de mesura d’una mateixa magnitud.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) per mesurar de manera directa diferents magnituds de l’entorn.
Presa de mesures de les magnituds pròpies del curs i de l’entorn proper de l’alumne.
Esbós, representació a escala i afitament d’objectes a fi de fer càlculs relacionats amb la presa de longituds i àrees.
Ús del teorema de Tales per representar a escala objectes plans i deduir mesures per mètodes indirectes.
Descoberta del teorema de Pitàgores a través d’àrees de quadrats construïts en els costats de triangles rectangles.
Ús del teorema de Pitàgores per calcular longituds d’elements de polígons.
Descoberta de l’expressió de l’àrea d’un cercle a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Ús de les relacions entre longituds, perímetres i àrees i càlcul de superfícies de regions poligonals i circulars per resoldre problemes en contextos diversos en el pla.
Distinció entre àrees i volums de cossos geomètrics (prismes i cilindres).
Representació plana d’objectes tridimensionals (prismes i cilindres) en la resolució de problemes.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments compostos en experiments aleatoris a través de la regla de Laplace.
Estimació de mesures de longituds, àrees i volums a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de volum i capacitat, adequades a cada situació.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) i unitats adequats per mesurar de manera directa angles i longituds.
Deducció, interpretació i aplicació de diferents estratègies (desplegament, descomposició en figures més senzilles…) per obtenir longituds o distàncies, àrees i volums a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Ús de la relació entre les longituds, superfícies o volums de figures semblants per resoldre problemes.
Ús dels teoremes de Tales i Pitàgores en el càlcul de mesures indirectes per resoldre problemes en contextos diversos.
Distinció entre àrees i volums de cossos geomètrics (piràmides i cons).
Representació plana d’objectes tridimensionals (piràmides i cons) en la resolució de problemes.
Estimació de mesures de longituds, àrees i volums a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de mesura d’angles i l’establiment del radian com a unitat internacional de mesura.
Descoberta del radian a través de la proporcionalitat geomètrica.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) i unitats adequats per mesurar de
manera directa angles i longituds o distàncies en situacions trigonomètriques.
Observació de les raons invariants entre els costats de triangles rectangles semblants: les raons trigonomètriques.
Utilització de les raons trigonomètriques i les seves relacions en la resolució de problemes que es poden representar amb triangles rectangles.
Investigació de l’origen i ús de la trigonometria al llarg de la història.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments en experiments aleatoris connectats amb la geometria.
Mesura de la probabilitat d’esdeveniments en experiments aleatoris, tenint en compte la seva independència o incompatibilitat.
Estimació de longituds i angles a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Comunicació i representació (CE 7)
La comunicació i l’ús precís del llenguatge és una part essencial de les activitats en què es posa de manifest el sentit de la mesura. L’intercanvi d’idees en situacions de resolució de problemes, la discussió i els acords convinguts en grup, l’expressió oral, escrita i gràfica, contribueixen a generar nou coneixement. La utilització escaient d’esbossos, escales, desplegaments…, amb l’ajut de programes gràfics o amb instruments de representació, donarà significat i permanència a les idees matemàtiques del sentit de la mesura i facilitarà la resolució de problemes. La tria de bones unitats de mesura ajudarà a la comprensió de les situacions de mesura plantejades i dels resultats obtinguts.
Cal que l’alumnat desenvolupi la competència per representar de manera precisa les dades obtingudes en processos de mesura directa, tenint en compte que en aquests tipus d’activitats la bona representació i exactitud ajuden a fer-ne la lectura i interpretació, com és en el cas de mapes, plànols, etc., i a la vegada a no incrementar l’error.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar la comunicació i la representació són, entre altres:
- El saber #1.MES.MA.D contribueix al desenvolupament de la competència CE 7 en tant que és el grup qui sent la necessitat de tenir una unitat de mesura de referència comuna per magnitud, la tria per consens i n’explica l’elecció.
- En el treball per a l’assoliment del saber #1.MES.MA.H l’alumnat representarà i comunicarà de diferents maneres, ja sigui de forma oral, escrita o gràfica, el grau qualitatiu de certesa o incertesa associat a esdeveniments, per tal de poder-los comparar i mesurar com en són de probables.
- En el saber #1.MES.ME.C és fonamental la representació per poder recollir la informació de la mesura directa, comunicar-la i, en cas que sigui necessari, prendre noves mesures, en aquest cas de forma indirecta. Així doncs, és significativa la seva contribució al desenvolupament de la CE 7.
- El treball per a l’assoliment del saber #1.MES.ME.I contribueix al desenvolupament de la competència CE 7, ja que l’alumnat necessitarà la representació 2D per resoldre problemes de mesura d’objectes en 3D.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers del sentit de la mesura fan referència al procés de comunicació i representació. Per exemple:
- En la proposta Maquetem Mataró, associat al saber #1.MES.ME.C, trobem un gran projecte en el qual la representació hi és present de forma notòria. Naturalment, com en totes les altres activitats esmentades, es desenvolupen moltes altres competències específiques, però des del disseny de maquetes fins a la seva confecció en 3D, el desenvolupament de la competència CE 7 és molt destacable.
- Les activitats de fotografies matemàtiques, Unitat de macromesura i Superfície de la petjada = suma dels quadrats, esmentades en l’exemplificació d’activitats dels sabers #1.MES.MA.D i #1.MES.ME.E són propostes en què la representació i comunicació tenen un paper destacat, tant a l’hora de fotografiar una propietat, objecte o contingut matemàtic, com a l’hora de tenir l’habilitat de posar un bon títol a la fotografia que convidi a pensar i educar la mirada matemàtica de la gent mentre l’observa.
- En l’activitat El joc dels nusos associada al saber #1.MES.MA.B, la comunicació és l’eix principal de la proposta. Els alumnes hauran de ser precisos amb el vocabulari que empren, i en cas de no ser-ho, en seran conscients amb el resultats que s’obtenen. D’aquesta manera, la proposta ajuda a desenvolupar la competència CE 7.
- En el saber #1.MES.MA.F tenim l’activitat Explorant els ordres de magnitud, en què es proposa la construcció de frisos per a les magnituds de longitud, massa i temps, amb l’objectiu que l’alumnat sàpiga adequar la unitat de mesura a l’atribut de l’objecte que cal mesurar. Aquestes construccions contribueixen al desenvolupament de la competència associada a la comunicació i la representació.
Identificació d’atributs mesurables en objectes matemàtics o físics, en el nostre entorn.
Establiment d’unitats patró de mesura (a partir del propi cos, unitats antropomètriques o d’objectes coneguts propers a l’alumnat) adequades a cada situació.
Comparació de les diferents unitats de mesura per a un mateix atribut.
Adquisició, per consens, d’una unitat de mesura de referència comuna.
Avaluació de la importància de l’establiment del sistema mètric decimal (naixement del metre).
Adequació de la unitat de mesura als atributs dels objectes.
Elecció d’unitats de mesura adients per poder operar entre elles i, si escau, per generar-ne de derivades (per exemple, 1 m × 1 m = 1 m2).
Determinació del grau qualitatiu de certesa o incertesa associat a esdeveniments: segur, molt probable, poc probable, possible, impossible…
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) per mesurar de manera directa diferents magnituds de l’entorn.
Presa de mesures de les magnituds pròpies del curs i de l’entorn proper de l’alumne.
Esbós, representació a escala i afitament d’objectes a fi de calcular distàncies.
Distinció entre perímetres i àrees de regions planes.
Deducció, interpretació i aplicació de diferents estratègies per obtenir longituds i àrees a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Càlcul de superfícies de regions poligonals per descomposició en figures geomètriques d’àrea coneguda.
Mesurament i deducció dels angles relacionats amb polígons.
Descoberta de 𝜋 a través de la raó entre la longitud de la circumferència i el seu diàmetre.
Ús de representacions planes d’objectes generats per ortoedres per visualitzar i resoldre
problemes d’àrees, entre d’altres.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments simples en experiments aleatoris a través de la regla de Laplace.
Estimació de mesures a partir del propi cos, de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Elecció de l’instrument convenient en funció de la magnitud, el grau de precisió i la situació en context.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Establiment d’unitats de mesura adequades a cada situació per al càlcul de perímetres, àrees i volums.
Relació entre volum i capacitat d’un objecte per comparar les unitats de mesura corresponents.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de mesura d’una mateixa magnitud.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) per mesurar de manera directa diferents magnituds de l’entorn.
Presa de mesures de les magnituds pròpies del curs i de l’entorn proper de l’alumne.
Esbós, representació a escala i afitament d’objectes a fi de fer càlculs relacionats amb la presa de longituds i àrees.
Ús del teorema de Tales per representar a escala objectes plans i deduir mesures per mètodes indirectes.
Descoberta del teorema de Pitàgores a través d’àrees de quadrats construïts en els costats de triangles rectangles.
Ús del teorema de Pitàgores per calcular longituds d’elements de polígons.
Descoberta de l’expressió de l’àrea d’un cercle a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Ús de les relacions entre longituds, perímetres i àrees i càlcul de superfícies de regions poligonals i circulars per resoldre problemes en contextos diversos en el pla.
Distinció entre àrees i volums de cossos geomètrics (prismes i cilindres).
Representació plana d’objectes tridimensionals (prismes i cilindres) en la resolució de problemes.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments compostos en experiments aleatoris a través de la regla de Laplace.
Estimació de mesures de longituds, àrees i volums a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de volum i capacitat, adequades a cada situació.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) i unitats adequats per mesurar de manera directa angles i longituds.
Deducció, interpretació i aplicació de diferents estratègies (desplegament, descomposició en figures més senzilles…) per obtenir longituds o distàncies, àrees i volums a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Ús de la relació entre les longituds, superfícies o volums de figures semblants per resoldre problemes.
Ús dels teoremes de Tales i Pitàgores en el càlcul de mesures indirectes per resoldre problemes en contextos diversos.
Distinció entre àrees i volums de cossos geomètrics (piràmides i cons).
Representació plana d’objectes tridimensionals (piràmides i cons) en la resolució de problemes.
Estimació de mesures de longituds, àrees i volums a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de mesura d’angles i l’establiment del radian com a unitat internacional de mesura.
Descoberta del radian a través de la proporcionalitat geomètrica.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) i unitats adequats per mesurar de
manera directa angles i longituds o distàncies en situacions trigonomètriques.
Observació de les raons invariants entre els costats de triangles rectangles semblants: les raons trigonomètriques.
Utilització de les raons trigonomètriques i les seves relacions en la resolució de problemes que es poden representar amb triangles rectangles.
Investigació de l’origen i ús de la trigonometria al llarg de la història.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments en experiments aleatoris connectats amb la geometria.
Mesura de la probabilitat d’esdeveniments en experiments aleatoris, tenint en compte la seva independència o incompatibilitat.
Estimació de longituds i angles a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Gestió socioemocional (CE 8 i CE 9)
A 1r d’ESO cal tenir en compte la transició que es produeix entre les dues etapes educatives i el fet de vetllar per aquells aspectes socioemocionals que hi intervenen. Trobarem diversitat en l’estil en què l’alumnat ha après matemàtiques, en la manera de treballar, en els nivells de desenvolupament de les competències específiques, i en aquelles que són pròpies de les característiques individuals de tots i cadascun del nostres alumnes, construïdes a partir de les experiències viscudes. És per això que cal crear un clima de confiança i respecte que aculli a tothom, on se sumi aquesta diversitat i que faci que l’alumnat se senti còmode i segur per desenvolupar les seves habilitats matemàtiques.
Per tal que els nostres alumnes desenvolupin una bona gestió socioemocional respecte de les matemàtiques amb el treball des de tots els sentits, i en particular des de la mesura, hem de considerar dues vessants a l’hora de planificar propostes i gestionar-les a l’aula: una està centrada en el mateix individu, en la seva percepció de l’aprenentatge i de les seves habilitats, en la seva relació amb el repte, en com concep l’error, etc.; i l’altra està lligada a la seva participació en grup, a l’aprenentatge que fa de les idees dels altres, de la seva implicació en el treball col·lectiu, del respecte, empatia i tolerància cap a la diversitat i les noves idees. Per això, serà fonamental un conjunt d’activitats ben connectades entre elles i amb l’entorn quotidià de l’alumnat que desperti la seva curiositat i interès; que suposin un repte, de manera que l’alumne pugui posar en pràctica i valorar la seva perseverança i resiliència en el seu aprenentatge. Amb tot, és important mesurar la dificultat del que es proposa amb la voluntat que el repte no s’acabi convertint en un impediment i que, per tant, condueixi a la frustració. Cal que cadascun dels nostres alumnes se senti capaç i confiï en les seves possibilitats respecte del treball matemàtic. En aquest sentit, s’ha de considerar l’acceptació de l’error en l’aprenentatge de les matemàtiques, i prendre’l com a oportunitat de millora. L’ús de l’estimació en les propostes de mesura permet treballar l’error, tant el sentit de la diferència entre la quantitat estimada i la real, com el tractament dels efectes emocionals que provoca. Quan es demana una estimació, no s’espera una resposta exacta, la pressió sobre la resposta és menor, ja que s’accepta que hi hagi un interval de precisió i, per tant, una tolerància. Aquest interval anirà disminuint per aproximacions successives i rectificacions, la qual cosa farà que el valor estimat gairebé coincideixi amb el real. Tanmateix, estimacions molt allunyades poden ser la porta d’entrada a idees preconcebudes o raonaments erronis. Cal cuidar aquest moment per tal que sigui el mateix alumne qui s’adoni de forma racional i argumentada de la seva errada, i construeixi un nou coneixement que li permeti fonamentar una nova estimació.
Així doncs, la gestió socioemocional està vinculada a dues competències específiques:
- CE 8, relacionada amb el desenvolupament d’habilitats personals com les creences, les actituds i les emocions envers les matemàtiques.
- CE 9, centrada en el desenvolupament d’habilitats socials com el treball en equip i la presa de decisions.
A continuació s’indiquen alguns aspectes que, treballats des del sentit de la mesura, poden contribuir al desenvolupament de les competències CE 8 i CE 9.
Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 8:
- La resolució de problemes és present en totes o gairebé totes les activitats proposades. La gestió d’aquestes amb bastides que ajudin a superar bloquejos i amb bons reptes que encenguin la motivació personal ajudaran a desenvolupar la competència CE 8. En aquest sentit ho podem veure en les diferents activitats referenciades del portal NRICH, en què a la mateixa pàgina hi ha tot un seguit d’orientacions que faciliten aquesta gestió de l’activitat.
- La mesura convida a fer propostes que connectin amb el context proper a l’alumnat. Ho hem d’explotar per tal que vegin les matemàtiques com alguna cosa present en el seu dia a dia, i no com una cosa llunyana i estranya. En trobem un exemple en les activitats esmentades de la campanya del vídeoMAT-Plus.
- Amb la intenció de trencar algunes creences limitadores, es recomana presentar activitats de llindar baix, sostre alt i parets amples, en les quals tothom pugui participar, i per tant, evitar tenir alumnes que creguin no ser mereixedors de viure experiències matemàtiques satisfactòries. En la mateixa línia, l’ús de materials manipulatius i programes informàtics, com a suport d’activitats, també ajuda a tenir una entrada amable amb la matemàtica. Ho podem trobar en les propostes de la campanya del Laboratori de matemàtiques o en aquelles activitats de Transum: Reading Scales, Scale drawings, Snail Race.
- El tractament de l’error com una oportunitat d’aprenentatge també és fonamental per treballar l’autoconfiança de l’alumne.
- En projectes com «Maquetem Mataró», «La mitad del cuadrado» o «Pots dutxar-te amb un poal d’aigua? Dona-li una segona oportunitat a l’aigua» els alumnes podran treballar aspecte tan lligats a la competència CE 8 com la constància i la perseverança.
Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 9:
- El treball col·laboratiu que es proposa en activitats com La vida en 1 h, 12 h, una setmana, un any, un metre, un litre, 360°... o en la Gimcana de mesures contribueix al desenvolupament d’habilitats socials.
- És molt important presentar activitats que promoguin la construcció de coneixement matemàtic col·lectiu, com per exemple la construcció de referents de les unitats de longitud, d’unitats de superfícies i d’unitats de volum i capacitat, associats al saber #1.MES.MA.D.
- El treball en parelles o grups de tres visiblement aleatoris, com es proposa a l’activitat Lengths, associada al saber #1.MES.ME.E, pretén que puguin ajudar-se els uns als altres, escoltant-se les propostes de cadascun i arribant a acords en l’enfocament i desenvolupament dels problemes. Per crear els grups es pot partir d’una baralla de cartes. Seleccionarem tants pals de la baralla com integrants volem a cada grup. Quan parlem de pals en una baralla de cartes ens referim a ors, espases, copes i bastons en el cas d’una d’espanyola, o cors, trèvols, diamants i piques en el cas d’una d’anglesa. Es barregen i cada alumne n’escull una a l’atzar. Els grups es formen a partir del número o figura, ajuntant-se tots aquells que tinguin el mateix. Per exemple, tots els que tinguin un quatre aniran junts.
Identificació d’atributs mesurables en objectes matemàtics o físics, en el nostre entorn.
Establiment d’unitats patró de mesura (a partir del propi cos, unitats antropomètriques o d’objectes coneguts propers a l’alumnat) adequades a cada situació.
Comparació de les diferents unitats de mesura per a un mateix atribut.
Adquisició, per consens, d’una unitat de mesura de referència comuna.
Avaluació de la importància de l’establiment del sistema mètric decimal (naixement del metre).
Adequació de la unitat de mesura als atributs dels objectes.
Elecció d’unitats de mesura adients per poder operar entre elles i, si escau, per generar-ne de derivades (per exemple, 1 m × 1 m = 1 m2).
Determinació del grau qualitatiu de certesa o incertesa associat a esdeveniments: segur, molt probable, poc probable, possible, impossible…
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) per mesurar de manera directa diferents magnituds de l’entorn.
Presa de mesures de les magnituds pròpies del curs i de l’entorn proper de l’alumne.
Esbós, representació a escala i afitament d’objectes a fi de calcular distàncies.
Distinció entre perímetres i àrees de regions planes.
Deducció, interpretació i aplicació de diferents estratègies per obtenir longituds i àrees a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Càlcul de superfícies de regions poligonals per descomposició en figures geomètriques d’àrea coneguda.
Mesurament i deducció dels angles relacionats amb polígons.
Descoberta de 𝜋 a través de la raó entre la longitud de la circumferència i el seu diàmetre.
Ús de representacions planes d’objectes generats per ortoedres per visualitzar i resoldre
problemes d’àrees, entre d’altres.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments simples en experiments aleatoris a través de la regla de Laplace.
Estimació de mesures a partir del propi cos, de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Elecció de l’instrument convenient en funció de la magnitud, el grau de precisió i la situació en context.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Establiment d’unitats de mesura adequades a cada situació per al càlcul de perímetres, àrees i volums.
Relació entre volum i capacitat d’un objecte per comparar les unitats de mesura corresponents.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de mesura d’una mateixa magnitud.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) per mesurar de manera directa diferents magnituds de l’entorn.
Presa de mesures de les magnituds pròpies del curs i de l’entorn proper de l’alumne.
Esbós, representació a escala i afitament d’objectes a fi de fer càlculs relacionats amb la presa de longituds i àrees.
Ús del teorema de Tales per representar a escala objectes plans i deduir mesures per mètodes indirectes.
Descoberta del teorema de Pitàgores a través d’àrees de quadrats construïts en els costats de triangles rectangles.
Ús del teorema de Pitàgores per calcular longituds d’elements de polígons.
Descoberta de l’expressió de l’àrea d’un cercle a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Ús de les relacions entre longituds, perímetres i àrees i càlcul de superfícies de regions poligonals i circulars per resoldre problemes en contextos diversos en el pla.
Distinció entre àrees i volums de cossos geomètrics (prismes i cilindres).
Representació plana d’objectes tridimensionals (prismes i cilindres) en la resolució de problemes.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments compostos en experiments aleatoris a través de la regla de Laplace.
Estimació de mesures de longituds, àrees i volums a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de volum i capacitat, adequades a cada situació.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) i unitats adequats per mesurar de manera directa angles i longituds.
Deducció, interpretació i aplicació de diferents estratègies (desplegament, descomposició en figures més senzilles…) per obtenir longituds o distàncies, àrees i volums a través de material manipulatiu o aplicacions de geometria dinàmica.
Ús de la relació entre les longituds, superfícies o volums de figures semblants per resoldre problemes.
Ús dels teoremes de Tales i Pitàgores en el càlcul de mesures indirectes per resoldre problemes en contextos diversos.
Distinció entre àrees i volums de cossos geomètrics (piràmides i cons).
Representació plana d’objectes tridimensionals (piràmides i cons) en la resolució de problemes.
Estimació de mesures de longituds, àrees i volums a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
Ús de factors de conversió que permetin comparar unitats de mesura d’angles i l’establiment del radian com a unitat internacional de mesura.
Descoberta del radian a través de la proporcionalitat geomètrica.
Selecció i ús d’instruments (analògics o digitals) i unitats adequats per mesurar de
manera directa angles i longituds o distàncies en situacions trigonomètriques.
Observació de les raons invariants entre els costats de triangles rectangles semblants: les raons trigonomètriques.
Utilització de les raons trigonomètriques i les seves relacions en la resolució de problemes que es poden representar amb triangles rectangles.
Investigació de l’origen i ús de la trigonometria al llarg de la història.
Relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments en experiments aleatoris connectats amb la geometria.
Mesura de la probabilitat d’esdeveniments en experiments aleatoris, tenint en compte la seva independència o incompatibilitat.
Estimació de longituds i angles a partir de l’experiència o dels atributs d’altres objectes.
Coneixement i ús de l’error absolut i relatiu per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.