El conjunt de sabers que constitueixen el sentit algebraic, com tots els altres sentits, s’han de relacionar amb el conjunt de competències del currículum. Sense un coneixement dels sabers, difícilment es poden desenvolupar els processos per avançar en l’assoliment de les competències i, d’altra banda, la manera com s’introdueixen, es construeixen i s’utilitzen els sabers és clau per poder fer un treball competencial.
Així doncs, tots els sabers poden contribuir a desenvolupar qualsevol competència si es treballen en activitats adequades. Així mateix, un saber pot contribuir a desenvolupar diverses competències.
Es presenta la relació entre els sentits i les competències específiques a través dels processos: Resolució de problemes (competències específiques CE 1 i CE 2), Raonament i prova (competències específiques CE 3 i CE 4), Connexions, en què distingim les internes (competència específica CE 5) i les externes (competència específica CE 6), Comunicació i representació (competència específica CE 7), i Gestió socioemocional (competències específiques CE 8 i CE 9).
Aquesta relació, pel que fa al sentit algebraic, es concreta, en el marc d’aquest exemple, de la manera que es descriu en els apartats següents, tot i que hi poden haver altres anàlisis igualment vàlides.
Resolució de problemes (CE 1 i CE 2)
El treball amb el llenguatge algebraic, introduït ja a 1r d’ESO, però que a 2n es desenvolupa més extensament, ofereix a l’alumnat l’oportunitat d’abordar problemes matemàtics amb la potència de les eines algebraiques. En la resolució de molts problemes, el primer pas és comprendre bé l’enunciat, el segon consisteix a traduir aquest enunciat a una representació simbòlica que conté una quantitat desconeguda, una equació. Mitjançant tècniques algebraiques, es podrà resoldre aquesta equació i interpretar-ne el resultat dins del context del problema. El sentit algebraic proporciona, doncs, moltes possibilitats per treballar la resolució de problemes, especialment en la comprensió dels enunciats i la traducció al llenguatge matemàtic, en aquest cas, algebraic (CE 1). També pel que fa a la interpretació dels resultats, la validesa dels quals pot estar condicionada pel context del problema (CE 2). La majoria dels blocs de sabers incideixen en el treball sobre resolució de problemes, però, pel que fa al treball, en aquest sentit a 2n d’ESO tenen especial incidència els blocs Model matemàtic, Igualtats i desigualtats i Pensament Computacional.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar la resolució de problemes són, entre d’altres:
- El saber #2.ALG.MM.E, anàlisi de les solucions d’un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, que és essencial, contribueix clarament al desenvolupament de la CE 2.
- El saber #2.ALG.ID.C, resolució de problemes d’equacions de primer grau contextualitzats, que és essencial, incideix directament en el procés de Resolució de problemes i en les competències C1 i C2.
- El saber #2.ALG.RF.C, estudi i aplicació en contextos de les funcions constant, lineal o de proporcionalitat directa i afí, que és essencial, també es relaciona amb la resolució de problemes, ja que sovint les situacions contextualitzades plantegen preguntes que es relacionen amb les competències CE 1 i CE 2.
- El saber #2.ALG.PC.C desenvolupa habilitats de raonament estructurat i analític, alhora que facilita la modelització de processos repetitius i la descomposició de problemes complexos en parts més senzilles i seqüencials, i possibilita l’observació de patrons o l’optimització de solucions.
Recursos
Alguns dels recursos esmentats per treballar diferents sabers del sentit algebraic fan referència directa al procés de resolució de problemes. Molts d’ells ja són anomenats «problema» quan han estat mostrats en l’apartat corresponent de recursos, associats a un saber determinat. Per exemple:
- Hi ha molts concursos que poden ser fonts d’idees per treballar la resolució de problemes, n’és un exemple la Prova Cangur, proposada per treballar el saber #2.ALG.PA.A.
- L’activitat «Pintant un cub», saber #2.ALG.ID, presentada com a recurs per treballar la majoria dels sabers del bloc Igualtats i desigualtats és un exemple que, més enllà dels sabers concrets, permet aprofundir en el procés de resolució de problemes i anar cap a la generalització de la situació.
- «El problema de la síndria», recurs per treballar el saber #2.ALG.ID.C, està especialment indicat per mostrar la vàlua de les resolucions gràfiques.
- El problema de «Les distàncies a l’escola», recurs per treballar el saber #2.ALG.ID.D, que és un saber d’ampliació, és també una molt bona oportunitat per treballar les competències relacionades amb la resolució de problemes, en concret pel que fa al nombre de solucions d’un problema.
- En diversos moments de l’activitat «Rectangles i funcions afins» (moments 1, 3, 4), saber #2.ALG.RF.C, es plantegen preguntes que suposen reptes i que impliquen la resolució de petits problemes que impliquin descobertes progressives per anar avançant des de les idees geomètriques associades als rectangles isoperimètrics fins al concepte de funció afí.
Anàlisi de les solucions d'un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si escau.
Resolució de problemes d'equacions de primer grau contextualitzats.
Estudi i aplicació en contextos de les funcions constant, lineal o de proporcionalitat directa i afí. Representació i estudi de les seves característiques: pendent i ordenada a l'origen.
Comprensió i creació d'algorismes per resoldre problemes a través de seqüències ordenades d'instruccions que puguin ser executades per una persona o per un ordinador, en particular que continguin instruccions condicionals i blocs iteratius.
Observació i determinació de la regla de formació d'un patró numèric o geomètric. Càlcul del terme general.
Observació de regularitats en diferents contextos matemàtics que permetin extreure conclusions o descobrir propietats.
Raonament i prova (CE 3 i CE 4)
En tot l’aprenentatge de l’àlgebra, la comprensió del significat dels símbols és un punt clau que cal tenir en compte per poder fer raonaments de tota mena. A l’hora d’emprar les eines algebraiques en situacions contextualitzades, hem de procurar que l’aplicació mecànica de regles no substitueixi els processos de raonament ni amagui els significats dels símbols i expressions derivats del context (CE 3). Tot el bloc Pensament computacional està profundament lligat al raonament i associat a la competència CE 4.
La manipulació de símbols algebraics, i també dibuixos i gràfics, ens permet descobrir noves relacions, buscar equivalències entre expressions aparentment diferents i trobar justificacions generals.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar el raonament són, entre d’altres:
- El saber #2.ALG.PA.A, observació i determinació de la regla de formació d’un patró numèric o visual de creixement, i càlcul del terme general, que és essencial, permet desenvolupar la capacitat de raonament lògic i d’argumentació (CE 3), així com utilitzar el llenguatge simbòlic amb significat.
- Al bloc #2.ALG.ID i, en particular, al saber #2.ALG.ID.B, resolució d’equacions senzilles aplicant, amb sentit, les operacions inverses als dos membres de la igualtat, el treball sobre el raonament, en el sentit de la CE 3, ha de ser constant per dotar de significat els símbols i les operacions indicades.
- La competència CE 4 està molt vinculada al bloc Pensament computacional #2.ALG.PC. Tot aquest bloc també està fortament relacionat amb el raonament lògic i la competència CE 3.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers fan referència directa al procés de raonament i prova. Per exemple:
- Tots els recursos del saber #2.ALG.PA.A són adequats per treballar el raonament matemàtic. D’entre ells, però, triem els recursos del web Visual patterns, pel fet que els descobriments, les generalitzacions i les argumentacions que es proposen es fan a partir de models visuals.
- La majoria de les activitats de pràctica productiva, com la presentada com a recurs del saber #2.ALG.ID.B, «Expression Polygons», tenen relació amb el raonament matemàtic, ja que pretenen que per mitjà de la pràctica es descobreixin patrons o regles i al mateix temps se’n pugui argumentar la validesa, la qual cosa connecta tant amb la CE 3 com amb la CE 4.
- La CE 3 és present al llarg de tota l’activitat «Rectangles i funcions afins», exposada en relació amb el saber #2.ALG.RF.C, ja que es demana resposta a preguntes riques i argumentacions que es produeixen en el marc de bones converses. S’observa de manera especialment clara en els moments 2, 3, 4 i s’associa a les converses que impliquen argumentació.
- Les tasques Bebras, relacionades amb el saber #2.ALG.PC.A, en ser un material creat per desenvolupar habilitats de pensament computacional, que fomenten la creativitat i la resolució de problemes, s’ajusten perfectament al procés de raonament i a les competències corresponents (CE 3 o CE 4).
Observació i determinació de la regla de formació d'un patró numèric o geomètric. Càlcul del terme general.
Resolució d'equacions senzilles aplicant, amb sentit, les operacions inverses en els dos membres de la igualtat.
Estudi i aplicació en contextos de les funcions constant, lineal o de proporcionalitat directa i afí. Representació i estudi de les seves característiques: pendent i ordenada a l'origen.
Selecció dels aspectes essencials per descriure i analitzar una situació matemàtica, progressant cap a l’abstracció i l’establiment d'un model matemàtic.
Connexions amb altres parts de la matemàtica (CE 5)
L’àlgebra es relaciona amb la majoria dels sentits, però segurament és amb el sentit numèric i l’espacial, juntament amb el de la mesura, on trobem més connexions. Aquestes connexions són fonamentals per construir el llenguatge algebraic i donar sentit a les seves representacions que, sense elles, esdevindrien totalment abstractes. El bloc Pensament computacional també presenta connexions riques amb sabers d’altres blocs i sentits.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar les connexions internes són, entre d’altres:
- Els sabers del bloc Patrons ( #2.ALG.PA)
- Els sabers del bloc Model matemàtic ( #2.ALG.MM)
- Els sabers del bloc Variable ( #2.ALG.VA)
- Els sabers del bloc Pensament computacional ( #2.ALG.PC)
- El llenguatge simbòlic, en el qual l’alumnat comença a iniciar-se, és un element especialment característic de tot el cos matemàtic (bloc Igualtat i desigualtat ( #2.ALG.ID)).
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers aporten o utilitzen connexions internes. Per exemple:
- El recurs de la web Visual patterns, proposat per treballar el saber #2.ALG.PA.A i, en concret, els patrons visuals de creixement, és un exemple de connexió entre el sentit espacial i l’algebraic.
- El recurs Rectangles d’igual perímetre i funcions afins, citat per treballar el saber #2.ALG.VA.A, és un exemple de connexions intramatemàtiques, ja que es relacionen llenguatges numèrics (taules de nombres) i geomètrics (dibuixos de figures i gràfics) amb els algebraics (expressions simbòliques).
- L’activitat «Pintant cubs», exposada com a recurs aplicable a la majoria dels sabers del bloc Igualtats i desigualtats, i concretament lligada al saber #2.ALG.ID.E, és un exemple clar de connexió interna entre els sentits numèric, espacial i algebraic.
- L’activitat que es proposa per treballar el saber #2.ALG.RF.B, relacionada amb la construcció i el treball al voltant de taules de valors, extreta del capítol 5 del llibre Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria (Calvo et al., 2016), promou l’establiment de connexions entre nombres i funcions.
- L’activitat «Rectangles i funcions afins», saber #2.ALG.RF.C, és especialment rica perquè connecta diversos sentits del currículum de matemàtiques: hi ha elements de numeració, hi ha operacions de mesura, es tracten aspectes del sentit espacial i s’arriba a la idea de funció dins del sentit algebraic.
Observació i determinació de la regla de formació d'un patró numèric o geomètric. Càlcul del terme general.
Observació de regularitats en diferents contextos matemàtics que permetin extreure conclusions o descobrir propietats.
Ús de les equacions de primer grau com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús de la proporcionalitat geomètrica com a model matemàtic de situacions contextualitzades relacionades amb el teorema de Tales.
Ús de les funcions com a models matemàtics.
Ús de recursos digitals o interactius per buscar la funció que modelitzi millor un context.
Anàlisi de les solucions d'un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si escau.
Variables en l'expressió de relacions funcionals.
Distinció entre incògnites en equacions i variables en funcions.
Variables en el context estadístic.
Transformació d'expressions algebraiques per generar-ne d'equivalents.
Resolució d'equacions senzilles aplicant, amb sentit, les operacions inverses en els dos membres de la igualtat.
Resolució de problemes d'equacions de primer grau contextualitzats.
Expressió amb paraules de condicions de desigualtat i traducció a llenguatge matemàtic. Introducció a la idea d'inequació.
Igualtats per expressar funcions constants, lineals i afins en situacions contextualitzades. Distinció entre funcions i equacions.
Identificació d'una funció com a relació entre dues variables i estudi de la relació de dependència entre elles.
Relació entre les diferents maneres de representar una funció (verbal, taula, gràfic i expressióAlgebraica).
Estudi i aplicació en contextos de les funcions constant, lineal o de proporcionalitat directa i afí. Representació i estudi de les seves característiques: pendent i ordenada a l'origen.
Ús de recursos digitals i interactius per representar taules i gràfics.
Extracció d'informació d'una funció donada gràficament, mitjançant una taula, una expressióAlgebraica i verbalment.
Selecció dels aspectes essencials per descriure i analitzar una situació matemàtica, progressant cap a l’abstracció i l’establiment d'un model matemàtic.
Utilització de diagrames en arbre per analitzar i descriure situacions matemàtiques.
Comprensió i creació d'algorismes per resoldre problemes a través de seqüències ordenades d'instruccions que puguin ser executades per una persona o per un ordinador, en particular que continguin instruccions condicionals i blocs iteratius.
Operadors de comparació (=, ≠, <, >, ≥, ≤) com a generadors d'expressions lògiques i operadors lògics (i, o, no). Aplicació en instruccions condicionals.
Ús adequat del full de càlcul en contextos matemàtics, per exemple financers i estadístics.
Reconeixement d'una fórmula en un full de càlcul com a patró de computació en aplicar-la a diferents caselles.
Ús adequat de programes de geometria dinàmica per treballar construccions en el pla.
Autoconfiança, persistència, adaptabilitat, flexibilitat, creativitat, col·laboració i gestió constructiva de l'error.
Connexions amb altres matèries i amb l’entorn (CE 6)
L’àlgebra com a eina per resoldre problemes, tant de la matemàtica mateixa com en altres contextos, es connecta amb moltes disciplines, especialment les científiques. I dins del sentit algebraic, els blocs Model matemàtic i Relacions i funcions són especialment rics per les connexions amb les lleis científiques. També el pensament computacional, en particular el desenvolupament de programes informàtics, permet establir connexions amb camps molt diversos de fora de les matemàtiques.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar les connexions externes són, entre d’altres:
- #2.ALG.PA.A, patrons visuals en situacions contextualitzades
- #2.ALG.MM.A, ús de les equacions de primer grau com a models matemàtics de situacions contextualitzades
- #2.ALG.MM.E, anàlisi de les solucions d’un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si escau
- #2.ALG.ID.C, problemes contextualitzats que es resolen per mitjà d’equacions senzilles
- #2.ALG.ID.E., igualtats per expressar funcions constants, lineals i afins en situacions contextualitzades
- #2.ALG.RF.C, estudi i aplicació en contextos de les funcions constant, lineal o de proporcionalitat directa i afí
Tots els sabers esmentats tenen una característica comuna: el fet de treballar a partir de situacions contextualitzades.
Recursos
Molts dels recursos descrits per treballar diferents sabers del sentit algebraic ofereixen oportunitats per fer connexions externes. Més concretament, tots els recursos corresponents als sabers esmentats anteriorment en els quals s’involucra un context no matemàtic són interessants per dur a terme connexions entre les matemàtiques i la resta de sabers d’altres àrees de coneixement.
Tal com s’esmenta en els sabers corresponents a la modelització matemàtica, i també en el document de 1r d’ESO, un tipus de tasques en què les connexions entre les matemàtiques i altres contextos són nombroses i evidents són els projectes. Al CREAMAT s’hi pot trobar una campanya anomenada Matemàtiques i projectes, en la qual hi ha exemples detallats per portar a l’aula.
Un recurs per establir connexions entre les matemàtiques i diversos contextos no matemàtics el trobem al llibre El lenguaje de funciones y gráficas (Shell Centre for Mathematical Education, 1990). També podem trobar exemples de situacions contextualitzades relacionades amb l’àlgebra i les funcions al llibre Funciones y gráficas (Azcárate & Deulofeu, 1989).
Altres exemples concrets són:
- Com s’ha exposat en els recursos lligats al saber #2.ALG.MM.A, que va acompanyat del saber #2.ALG.ID.C, un possible camí a seguir és partir de l’enunciat del problema fins a arribar a la solució, validant-la d’acord amb el context del problema. També en parlar d’aquests sabers a 2n d’ESO, podem trobar contextos en què les equacions són necessàries per donar resposta a reptes diversos i que ens poden permetre establir connexions externes de diferents tipus, com la llei d’Ohm, que estableix la relació entre la resistència, la tensió i la intensitat d’un circuit, les màquines simples amb la llei de la palanca o el treball amb densitats o forces, a física i química. En els tres exemples, les equacions de 1r grau permeten resoldre varietat de problemes i contextualitzar-ne el treball.
- Un dels recursos del saber #2.ALG.ID.E és l’activitat «Pintant cubs», que ja hem esmentat en parlar de les connexions intramatemàtiques. En tant que l’activitat parteix d’un material concret (cubs encaixables) i que té relació amb la idea de creixement, que és aplicable a moltes situacions de context real, per exemple la comparació entre el creixement de la longitud, la superfície i el volum d’un ésser viu, ens permet analitzar la grandària de certs animals i concloure, entre molts altres casos, que els insectes gegants no poden existir.
- En el treball del saber #2.ALG.RF.C es proposa treballar amb etiquetes de productes, que, en realitat, són taules de valors de la funció de proporcionalitat directa de situacions contextualitzades, en aquest cas, etiquetes de productes quotidians.
Observació i determinació de la regla de formació d'un patró numèric o geomètric. Càlcul del terme general.
Observació de regularitats en diferents contextos matemàtics que permetin extreure conclusions o descobrir propietats.
Ús de les equacions de primer grau com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús de la proporcionalitat geomètrica com a model matemàtic de situacions contextualitzades relacionades amb el teorema de Tales.
Ús de les funcions com a models matemàtics.
Ús de recursos digitals o interactius per buscar la funció que modelitzi millor un context.
Anàlisi de les solucions d'un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si escau.
Variables en l'expressió de relacions funcionals.
Distinció entre incògnites en equacions i variables en funcions.
Variables en el context estadístic.
Transformació d'expressions algebraiques per generar-ne d'equivalents.
Resolució d'equacions senzilles aplicant, amb sentit, les operacions inverses en els dos membres de la igualtat.
Resolució de problemes d'equacions de primer grau contextualitzats.
Expressió amb paraules de condicions de desigualtat i traducció a llenguatge matemàtic. Introducció a la idea d'inequació.
Igualtats per expressar funcions constants, lineals i afins en situacions contextualitzades. Distinció entre funcions i equacions.
Identificació d'una funció com a relació entre dues variables i estudi de la relació de dependència entre elles.
Relació entre les diferents maneres de representar una funció (verbal, taula, gràfic i expressióAlgebraica).
Estudi i aplicació en contextos de les funcions constant, lineal o de proporcionalitat directa i afí. Representació i estudi de les seves característiques: pendent i ordenada a l'origen.
Ús de recursos digitals i interactius per representar taules i gràfics.
Extracció d'informació d'una funció donada gràficament, mitjançant una taula, una expressióAlgebraica i verbalment.
Selecció dels aspectes essencials per descriure i analitzar una situació matemàtica, progressant cap a l’abstracció i l’establiment d'un model matemàtic.
Utilització de diagrames en arbre per analitzar i descriure situacions matemàtiques.
Comprensió i creació d'algorismes per resoldre problemes a través de seqüències ordenades d'instruccions que puguin ser executades per una persona o per un ordinador, en particular que continguin instruccions condicionals i blocs iteratius.
Operadors de comparació (=, ≠, <, >, ≥, ≤) com a generadors d'expressions lògiques i operadors lògics (i, o, no). Aplicació en instruccions condicionals.
Ús adequat del full de càlcul en contextos matemàtics, per exemple financers i estadístics.
Reconeixement d'una fórmula en un full de càlcul com a patró de computació en aplicar-la a diferents caselles.
Ús adequat de programes de geometria dinàmica per treballar construccions en el pla.
Autoconfiança, persistència, adaptabilitat, flexibilitat, creativitat, col·laboració i gestió constructiva de l'error.
Comunicació i representació (CE 7)
L’àlgebra aporta un llenguatge per expressar de manera general i interpretar de manera sintètica propietats i relacions numèriques o relacions entre variables per mitjà de fórmules de diferents tipus. Des d’una perspectiva més àmplia, és interessant projectar la idea que el llenguatge i les tècniques algebraiques són emprades en tots els àmbits científics i tecnològics.
Si ens centrem en la competència comunicativa (CE 7) és clar que el fet que l’àlgebra esdevingui en si mateix un llenguatge, fa que el seu desenvolupament estigui estretament vinculat a aquesta competència. Saber llegir i interpretar expressions algebraiques, models expressats per mitjà de fórmules, igualtats i desigualtats, i funcions elementals, i saber-los utilitzar per expressar situacions i per resoldre problemes lligats a aquestes situacions forma una part essencial de la competència comunicativa entesa com una competència específica de les matemàtiques. Interpretar i emprar el llenguatge algebraic són accions que permeten relacionar el sentit algebraic i la competència comunicativa.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar la comunicació i la representació són, entre d’altres:
- El saber #2.ALG.MM.D posa l’èmfasi en l’ús de recursos digitals per trobar les diferents representacions d’un model matemàtic, en particular els models elementals de funcions, per la qual cosa està directament relacionat amb la CE 7.
- També el saber #2.ALG.MM.E, en especial quan les activitats comportin explicar els resultats obtinguts i valorar críticament les solucions d’un problema, veient si són coherents i adequades per tal de prendre decisions en conseqüència, implica el treball de la competència CE 7.
- El saber #2.ALG.ID.B, resolució d’equacions senzilles, té un component comunicatiu important, relacionat amb la interpretació dels símbols, i l’ús de models (com la balança) per ajudar a establir les regles que permeten transformar una equació en la seva equivalent.
- El saber #2.ALG.RF.A, identificació d’una funció com a relació entre dues variables i estudi de la relació de dependència entre elles, té un component de comunicació rellevant.
Molts dels sabers esmentats en l’exemplificació anterior tenen una característica comuna que és la relació entre representacions d’un concepte.
Recursos
- Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers del sentit algebraic, atesa la naturalesa d’aquests sabers, fan referència al procés de comunicació i representació. Totes aquelles activitats que promouen el pas del llenguatge verbal al simbòlic i d’aquest al gràfic o al tabular, i viceversa, són activitats que desenvolupen la competència CE 7. En general, les accions d’interpretar, traduir, explicar o argumentar tenen un component comunicatiu rellevant.
Alguns exemples concrets són:
- Com hem citat en els recursos sobre el saber #2.ALG.MM.D, el repositori de materials del programa GeoGebra proporciona multitud de propostes ja preparades per dur a l’aula, en què els canvis de representació i les relacions entre ells són un element fonamental de l’activitat amb funcions.
- L’activitat model de la balança per resoldre equacions senzilles, lligat al saber #2.ALG.ID.B, té un component comunicatiu important, relacionat amb la interpretació dels símbols, i l’ús de models per transformar una equació en la seva equivalent. També l’activitat relacionada amb el model de barres per resoldre problemes d’equacions lineals, exposada en els recursos del saber #2.ALG.ID.B, i aplicat a l’anomenat «El problema de la síndria», és un bon exemple d’ús de representacions, en aquest cas aplicat a resoldre un problema d’equacions.
- Qualsevol activitat en què hi hagi comparació o traducció d’una representació a una altra està desenvolupant la competència comunicativa. Per exemple, l’activitat exposada en el saber #2.ALG.RF.A, que es troba al llibre El lenguaje de funciones y gráficas on cal interpretar de manera creativa gràfiques qualitatives, és interessant quan es demana a l’alumnat que llegeixi el seu relat en veu alta i, a la resta de companys que identifiqui o dibuixi la funció a què fa referència.
- A l’activitat «Rectangles i funcions afins», saber #2.ALG.RF.C, es pot observar que són moltes les ocasions en què es busca l’intercanvi d’opinions per arribar a construir idees comunes (moments 2, 3). També s’utilitzen representacions diverses: rectangles amb cordill, rectangles retallats en paper, representació de punts i de gràfics funcionals en coordenades cartesianes, taules… i, per tant, es veu clara la seva contribució al treball de la CE 7.
Observació i determinació de la regla de formació d'un patró numèric o geomètric. Càlcul del terme general.
Observació de regularitats en diferents contextos matemàtics que permetin extreure conclusions o descobrir propietats.
Ús de les equacions de primer grau com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús de la proporcionalitat geomètrica com a model matemàtic de situacions contextualitzades relacionades amb el teorema de Tales.
Ús de les funcions com a models matemàtics.
Ús de recursos digitals o interactius per buscar la funció que modelitzi millor un context.
Anàlisi de les solucions d'un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si escau.
Variables en l'expressió de relacions funcionals.
Distinció entre incògnites en equacions i variables en funcions.
Variables en el context estadístic.
Transformació d'expressions algebraiques per generar-ne d'equivalents.
Resolució d'equacions senzilles aplicant, amb sentit, les operacions inverses en els dos membres de la igualtat.
Resolució de problemes d'equacions de primer grau contextualitzats.
Expressió amb paraules de condicions de desigualtat i traducció a llenguatge matemàtic. Introducció a la idea d'inequació.
Igualtats per expressar funcions constants, lineals i afins en situacions contextualitzades. Distinció entre funcions i equacions.
Identificació d'una funció com a relació entre dues variables i estudi de la relació de dependència entre elles.
Relació entre les diferents maneres de representar una funció (verbal, taula, gràfic i expressióAlgebraica).
Estudi i aplicació en contextos de les funcions constant, lineal o de proporcionalitat directa i afí. Representació i estudi de les seves característiques: pendent i ordenada a l'origen.
Ús de recursos digitals i interactius per representar taules i gràfics.
Extracció d'informació d'una funció donada gràficament, mitjançant una taula, una expressióAlgebraica i verbalment.
Selecció dels aspectes essencials per descriure i analitzar una situació matemàtica, progressant cap a l’abstracció i l’establiment d'un model matemàtic.
Utilització de diagrames en arbre per analitzar i descriure situacions matemàtiques.
Comprensió i creació d'algorismes per resoldre problemes a través de seqüències ordenades d'instruccions que puguin ser executades per una persona o per un ordinador, en particular que continguin instruccions condicionals i blocs iteratius.
Operadors de comparació (=, ≠, <, >, ≥, ≤) com a generadors d'expressions lògiques i operadors lògics (i, o, no). Aplicació en instruccions condicionals.
Ús adequat del full de càlcul en contextos matemàtics, per exemple financers i estadístics.
Reconeixement d'una fórmula en un full de càlcul com a patró de computació en aplicar-la a diferents caselles.
Ús adequat de programes de geometria dinàmica per treballar construccions en el pla.
Autoconfiança, persistència, adaptabilitat, flexibilitat, creativitat, col·laboració i gestió constructiva de l'error.
Gestió socioemocional (CE 8 i CE 9)
Tot i que a 1r d’ESO s’han començat a treballar alguns aspectes rellevants del llenguatge algebraic, com els models matemàtics i les equacions, és a 2n d’ESO que l’àlgebra es comença a treballar com un llenguatge propi. Com ja dèiem a 1r d’ESO, és fonamental reconèixer i atendre les dificultats que aquest salt cap a l’abstracció pot suposar per a part de l’alumnat. Si aquest pas es fa de manera gradual i acollidora, augmentarà l’autoconfiança dels alumnes en les seves capacitats matemàtiques, ja que se’ls proporcionaran eines per afrontar la resolució de problemes amb més seguretat i perseverança. Alhora es facilitarà la col·laboració en grup, discutint estratègies matemàtiques i interaccionant de manera positiva amb altres persones.
La descoberta d’un nou i fascinant territori matemàtic, la comprensió de les seves aplicacions en situacions reals i la sensació de dominar millor les matemàtiques incrementen la motivació i contribueixen a desenvolupar la identitat matemàtica de l’alumnat. Ara bé, si l’alumnat no comprèn la relació entre aquest llenguatge abstracte i els contextos en què es desenvolupa es pot crear una sensació d’inseguretat que faci que l’alumnat es focalitzi en la sintaxi (les regles per a la transformació d’expressions algebraiques) i perdi de vista el veritable significat dels conceptes algebraics involucrats (en particular, el concepte de funció).
La gestió socioemocional està vinculada a dues competències específiques:
- CE 8, relacionada amb el desenvolupament d’habilitats personals com les creences, les actituds i les emocions envers les matemàtiques
- CE 9, centrada en el desenvolupament d’habilitats socials com el treball en equip i la presa de decisions
A continuació, s’indiquen alguns aspectes que, treballats des del sentit algebraic, poden contribuir al desenvolupament de les competències CE 8 i CE 9.
Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 8
- Com ja dèiem a 1r d’ESO, l’aprenentatge d’un nou llenguatge és complex i, per això, és crucial dedicar temps perquè aquest aprenentatge sigui significatiu i sòlid, anant més enllà del simple ús dels procediments i les tècniques de transformació d’expressions algebraiques. Aquest procés s’ha de cuidar per evitar que cap alumne quedi enrere o perdi la confiança en les seves habilitats matemàtiques.
- El saber #2.ALG.PC.H, autoconfiança, persistència, adaptabilitat, flexibilitat, creativitat, col·laboració i gestió constructiva de l’error, del bloc Pensament computacional està estretament vinculat a la gestió socioemocional, i fa èmfasi en valors com els esmentats en relació amb els errors i la seva gestió. Aquesta idea és plenament aplicable en tot el sentit algebraic i va molt més enllà de l’àmbit del pensament computacional.
- És bo que l’alumnat prengui consciència dels avenços que fa en l’aprenentatge algebraic i de com aquest coneixement en potencia la capacitat per resoldre problemes. Això contribueix a fer que l’alumnat pugui apreciar tant la bellesa com la utilitat de les matemàtiques.
Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 9
L’àlgebra, com la resta de sentits, ofereix oportunitats per treballar en equip, ja que promou actituds positives, implicació en la presa de decisions i respecte per les aportacions dels altres, i contribueix a superar qualsevol idea limitant sobre les habilitats pròpies o alienes en matemàtiques.
Diverses activitats del conjunt de recursos exposats en els sabers del sentit algebraic, són especialment adequades per ser treballades en petit grup i, fins i tot, amb tot el grup. A continuació, es destaquen activitats concretes en aquest àmbit:
- Les activitats amb ús de material, com les que es proposen per treballar el saber #2.ALG.PA.A, adreçades a resoldre i descobrir una pauta, són adequades pel treball amb petit grup. A la campanya Laboratori de matemàtiques del CREAMAT podem trobar propostes per treballar patrons amb diferents materials: pattern blocks i cubets encaixables, entre d’altres.
- Una activitat interessant per treballar el saber #2.ALG.MM.C que porta per nom Gràfics de funcions emplenant ampolles i que podem trobar a l’ARC és especialment adequada per ser treballada en grup pel fet que implica presa de decisions i discussió sobre aquestes.
- Una eina imprescindible per modelitzar la realitat són les funcions. En aquest curs es proposa una primera aproximació al concepte i a les funcions més senzilles i la col·lecció de problemes de la primera fase del «Fem Matemàtiques» (citat a propòsit del saber #2.ALG.PA.A), amb la seva complexitat i obertura, és ideal per desenvolupar competències socioemocionals relacionades amb el treball en grup.
- Algunes activitats relacionades amb el pensament computacional «desendollat», com ara el disseny i l’execució d’algoritmes, resulten especialment enriquidores quan es fan en grup. Així mateix, exemples dels reptes Bebras que involucren el saber #2.ALG.PC.A com ara Missió 5: En la biblioteca o Mesas de castores (pàg. 20), es poden treballar en petit grup.
Observació i determinació de la regla de formació d'un patró numèric o geomètric. Càlcul del terme general.
Observació de regularitats en diferents contextos matemàtics que permetin extreure conclusions o descobrir propietats.
Ús de les equacions de primer grau com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús de la proporcionalitat geomètrica com a model matemàtic de situacions contextualitzades relacionades amb el teorema de Tales.
Ús de les funcions com a models matemàtics.
Ús de recursos digitals o interactius per buscar la funció que modelitzi millor un context.
Anàlisi de les solucions d'un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si escau.
Variables en l'expressió de relacions funcionals.
Distinció entre incògnites en equacions i variables en funcions.
Variables en el context estadístic.
Transformació d'expressions algebraiques per generar-ne d'equivalents.
Resolució d'equacions senzilles aplicant, amb sentit, les operacions inverses en els dos membres de la igualtat.
Resolució de problemes d'equacions de primer grau contextualitzats.
Expressió amb paraules de condicions de desigualtat i traducció a llenguatge matemàtic. Introducció a la idea d'inequació.
Igualtats per expressar funcions constants, lineals i afins en situacions contextualitzades. Distinció entre funcions i equacions.
Identificació d'una funció com a relació entre dues variables i estudi de la relació de dependència entre elles.
Relació entre les diferents maneres de representar una funció (verbal, taula, gràfic i expressióAlgebraica).
Estudi i aplicació en contextos de les funcions constant, lineal o de proporcionalitat directa i afí. Representació i estudi de les seves característiques: pendent i ordenada a l'origen.
Ús de recursos digitals i interactius per representar taules i gràfics.
Extracció d'informació d'una funció donada gràficament, mitjançant una taula, una expressióAlgebraica i verbalment.
Selecció dels aspectes essencials per descriure i analitzar una situació matemàtica, progressant cap a l’abstracció i l’establiment d'un model matemàtic.
Utilització de diagrames en arbre per analitzar i descriure situacions matemàtiques.
Comprensió i creació d'algorismes per resoldre problemes a través de seqüències ordenades d'instruccions que puguin ser executades per una persona o per un ordinador, en particular que continguin instruccions condicionals i blocs iteratius.
Operadors de comparació (=, ≠, <, >, ≥, ≤) com a generadors d'expressions lògiques i operadors lògics (i, o, no). Aplicació en instruccions condicionals.
Ús adequat del full de càlcul en contextos matemàtics, per exemple financers i estadístics.
Reconeixement d'una fórmula en un full de càlcul com a patró de computació en aplicar-la a diferents caselles.
Ús adequat de programes de geometria dinàmica per treballar construccions en el pla.
Autoconfiança, persistència, adaptabilitat, flexibilitat, creativitat, col·laboració i gestió constructiva de l'error.