Interpretació d’una multiplicació com l’àrea d’un rectangle: ús del model de caixa per a operacions amb nombres.
[ESS]
#NUM.SO
Interpretació d’elevar al quadrat com l’àrea d’un quadrat.
#NUM.SO
Interpretació d’elevar al cub com el volum d’un cub.
#NUM.SO
Interpretació de l’arrel quadrada com la cerca del costat d’un quadrat amb l’àrea donada.
#NUM.SO
Interpretació de l’arrel cúbica com la cerca del costat d’un cub amb el volum donat.
#NUM.SO
Visualització de la multiplicació de fraccions com un rectangle amb base i altura que són fraccions de la base i l’altura d’un rectangle inicial més gros.
#NUM.SO
Ús de models geomètrics per explicar relacions aritmètiques de nombres naturals.
#NUM.SO
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat.
[ESS]
Descripció i orientacions
Reflexions generals
Aquest primer bloc de sabers és una continuació del treball que s’ha fet al llarg de l’educació primària. Ara, però, s’estudien amb més profunditat alguns dels objectes geomètrics, les seves propietats i construccions. És bo aprofundir de manera més exhaustiva a l’hora de classificar objectes o de buscar totes les solucions d’un problema, per exemple. Es pot introduir alguna demostració visual o manipulativa d’alguna propietat de les figures, com ara el concepte que la suma dels angles d’un triangle pla és sempre 180°.
També és important fer èmfasi en l’ús d’un vocabulari adequat, procurant evitar expressions incorrectes com per exemple «rodona» quan es fa referència al cercle o a la circumferència.
Els programes de geometria dinàmica, així com els materials, poden esdevenir una eina molt útil per treballar aquest bloc al llarg de tota l’etapa. Permeten experimentar i provar les conjectures pròpies, connectant el que l’alumnat està pensant i una visualització del que realment està passant.
D’altra banda, aquest bloc pot suposar un bon espai per treure tot el potencial del treball en grup. Discutir sobre les propietats de certes figures geomètriques, posar-se d’acord per establir classificacions, aprofitar la creativitat de cada membre de l’equip per treballar investigacions i projectes…, són algunes de les accions que el sentit espacial ens pot permetre treballar a l’aula.
Comentaris sobre les connexions
Les connexions amb altres blocs de sabers són, per tant, evidents. A primer curs, en què pren molta importància la part de numeració, destaquem moltes relacions amb el sentit numèric. A mesura que l’àlgebra va prenent força en els cursos següents, trobarem exemples de models geomètrics connectats amb el sentit algebraic i amb els altres sentits.
Comentaris sobre els sabers essencials i d’ampliació
Es considera essencial que el docent tingui una mirada «geometritzadora», que convidi l’alumnat a posar-se les ulleres geomètriques tot sovint (saber#1.ESP.VM.H). D’aquesta manera es faran evidents les connexions amb altres parts de les matemàtiques o, fins i tot, amb altres matèries, alhora que es facilita a l’alumnat la comprensió i integració dels sabers.
De tots els altres sabers es destaca el saber #1.ESP.VM.A, on es proposa l’ús de model de caixa com a interpretació d’una multiplicació. Dos casos particulars d’aquest saber són el saber#1.ESP.VM.F, que fa referència a multiplicació de fraccions, i el saber #1.ESP.VM.B, que fa referència a elevar al quadrat. Aquest últim saber permet un salt de dimensió i passar al cub (saber#1.ESP.VM.C).
Observacions sobre alguns sabers d’aquest bloc
Pel que fa a les operacions aritmètiques, se’n destaquen dues que, de fet, són la mateixa: la multiplicació amb el model de caixa. És un model que previsiblement l’alumnat haurà conegut durant l’educació primària, i que facilita molt la comprensió de l’algorisme. En aquest cas es proposa recordar el model de caixa per multiplicar nombres naturals (saber#1.ESP.VM.A) i introduir, si no s’ha vist abans, el mateix model per multiplicar nombres racionals (saber#1.ESP.VM.F).
Pel que fa al saber #1.ESP.VM.G, hi ha moltes relacions numèriques que es poden visualitzar a partir d’una modelització geomètrica. L’ús de cubets encaixables sol anar molt bé per treballar propietats sobre nombres parells o senars, que passen a ser evidents a simple vista, com per exemple el fet que la suma de dos nombres senars és un nombre parell:
Elaboració pròpia
Estudi dels diferents tipus d’angles i relacions entre ells: agut, recte, obtús, pla reflex i complet. Angles complementaris i suplementaris.
Estudi de les propietats dels polígons. Classificació de polígons.
Construcció de polígons regulars.
Estudi dels triangles: classificació segons costats i angles, suma d’angles interiors i desigualtat triangular. Rectes i punts notables d’un triangle.
Classificació de quadrilàters segons costats i angles, suma d’angles interiors.
Estudi de la circumferència i del cercle: centre, radi, diàmetre, longitud, el nombre pi, arc, corda i sector circular.
Interpretació d’una multiplicació com l’àrea d’un rectangle: ús del model de caixa per a operacions amb nombres.
Interpretació d’elevar al quadrat com l’àrea d’un quadrat.
Interpretació d’elevar al cub com el volum d’un cub.
Interpretació de l’arrel quadrada com la cerca del costat d’un quadrat amb l’àrea donada.
Interpretació de l’arrel cúbica com la cerca del costat d’un cub amb el volum donat.
Visualització de la multiplicació de fraccions com un rectangle amb base i altura que són fraccions de la base i l’altura d’un rectangle inicial més gros.
Ús de models geomètrics per explicar relacions aritmètiques de nombres naturals.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat.
Recursos i activitats
Recursos i activitats generals per al bloc de sabers
Encara que ja s’hagi citat anteriorment, val la pena tornar a recordar el document Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria (Aubanell, 2015). Hi trobem exemples de l’ús de models geomètrics per explicar relacions aritmètiques, per visualitzar idees i propietats aritmètiques amb reglets numèrics i exemples de visualització en problemes de fraccions, entre d’altres.
Recursos i activitats per treballar sabers concrets
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
A. Interpretació d’una multiplicació com l’àrea d’un rectangle: ús del model de caixa per a operacions amb nombres. [ESS] #NUM.SO
El model rectangular
El model rectangular o de caixa per a la multiplicació (saber #1.ESP.VM.A) és molt útil per entendre algunes propietats, com la distributiva del producte respecte de la suma o la inversa de treure factor comú. L’operació de multiplicar 16 per 8, per exemple, es pot veure d’aquesta manera:
Elaboració pròpia
Aquesta visió permet descompondre fàcilment el nombre 16 com a 10 + 6, de manera que 16 · 8 = (10 + 6) · 8 = 10 · 8 + 6 · 8 = 80 + 48 = 128. Una altra possibilitat seria anar fins al 20 i restar-li 4, amb la qual cosa tindríem 16 · 8 = (20 - 4) · 8 = 20 · 8 - 4 · 8 = 160 - 32 = 128. Tot això facilita el càlcul mental, però també fa que aparegui de manera natural la propietat distributiva i se li doni sentit automàticament, sense necessitat de cap justificació addicional. A més, aquest model tornarà a ser important més endavant quan, aplicat als objectes algebraics, permetrà resoldre equacions fent servir materials.
Un altre recurs per treballar el saber #1.ESP.VM.A són els menseki meiro (laberints d’àrees o area mazes), uns trencaclosques formats per rectangles que s’han de resoldre a partir de raonaments lògics i enginy. Un exemple podria ser el de la imatge.
Com es pot observar, la mateixa imatge ja conté les dades i la pregunta. El camí per respondre-la no té per què ser únic, però la resposta és tancada. En aquest cas, per exemple, es pot seguir aquest raonament: la base del rectangle blanc és 4 + 3 = 7 cm, per la qual cosa l’altura ha de ser de 6 cm (donat que la superfície és de 42 cm²). Per tant, l’altura del rectangle gris ha de ser 10 - 6 = 4 cm i, llavors, l’àrea que busquem és de 4 · 4 = 16 cm².
Observem que la figura grisa ha resultat ser un quadrat, però no podíem haver pressuposat aquest fet a partir de la imatge. És només en arribar al resultat final que ho hem pogut constatar numèricament.
Podem trobar múltiples trencaclosques a l’article Rompecabezas japoneses: Menseki Meiro, d’Antonio Omatos, o en llibres com The Original Area Mazes, 100 addictive puzzles to solve with simple math-and clever logic! (Inaba & Murakami, 2017), classificats en cinc nivells de dificultat.
Podeu veure també l'activitat Una quadrat d'àrea 36 del saber d'aquest bloc #1.ESP.VM.B
B. Interpretació d’elevar al quadrat com l’àrea d’un quadrat. #NUM.SO
Un quadrat d’àrea 36
Per treballar els sabers#1.ESP.VM.A, #1.ESP.VM.B i #1.ESP.VM.D, els programes de geometria dinàmica ens poden ser d’ajuda. Per exemple, podem proposar a l’alumnat una activitat en què, donat un punt A, construeixi un quadrat d’àrea 36, de manera que aquest punt sigui un dels vèrtexs del quadrat i en mesuri la longitud del costat. Tot seguit, es pot plantejar que, donat el mateix punt A, es construeixin tots els rectangles possibles amb àrea 36.
l'activitat proposada al saber d'aquest bloc #1.ESP.VM.G
C. Interpretació d’elevar al cub com el volum d’un cub. #NUM.SO
Les potències d’exponent 2 i d’exponent 3 reben noms especials
Es poden treballar els sabers#1.ESP.VM.B i #1.ESP.VM.C quan s’introdueix el treball de potències. Per la relació amb l’àrea i el volum de les figures geomètriques, les potències d’exponent 2 i d’exponent 3 reben noms especials: les potències d’exponent 2 s’anomenen quadrats i les d’exponent 3 s’anomenen cubs. Podem introduir-ho de manera senzilla, amb una seqüència de preguntes com, per exemple: si un quadrat té 2 quadradets per costat, quants quadradets conté aquest quadrat? El nombre de quadradets que hi caben és 2 ∙ 2 = 2² = 4. L’àrea d’aquest quadrat és de 4 unitats. I si té 3 quadradets per costat? Quants quadradets conté aquest quadrat? El nombre de quadradets que hi caben és 3 ∙ 3 = 32 = 9. L’àrea d’aquest quadrat és de 9 unitats. Podem continuar amb altres nombres.
De manera similar, podem treballar el cub. De quants cubets està compost el cub gran si hi ha 3 cubets al llarg, 3 a l’ample i 3 a l’alt del cub gran? El nombre de cubets és 3 ∙ 3 ∙ 3 = 33 = 27. El volum d’aquest cub és 27 unitats. Podem ajudar-nos de policubs i gràfics a la pissarra.
D. Interpretació de l’arrel quadrada com la cerca del costat d’un quadrat amb l’àrea donada. #NUM.SO
Arrel quadrada d’un nombre
Per treballar el saber#1.ESP.VM.D, tenim l’activitat de l’edu365 de Sílvia Margelí sobre les arrels quadrades anomenada Arrel quadrada d’un nombre on, d’una manera molt visual, s’explica que buscar l’arrel quadrada d’un nombre vol dir posar aquest nombre en forma de quadrat i veure quant mesura el seu costat.
Podeu veure també l'activitat Una quadrat d'àrea 36 del saber d'aquest bloc #1.ESP.VM.B
F. Visualització de la multiplicació de fraccions com un rectangle amb base i altura que són fraccions de la base i l’altura d’un rectangle inicial més gros. #NUM.SO
Tot i que és possible que ja s’hagi treballat la multiplicació de fraccions a primària, val la pena tenir en compte el saber#1.ESP.VM.F mostrant alguns exemples senzills per potenciar la idea de fons i ajudar a la comprensió del concepte.
Elaboració pròpia
Una forma molt visual de presentar-ho a classe és fer servir tapes transparents (de CD, per exemple) i paper de cel·lofana. Per exemple:
\(\frac 12\cdot\frac 12=\frac 14\)
Anna Ausina
\(\frac12\cdot\frac35=\frac3{10}\)
Anna Ausina
Hi ha un recurs per treballar aquest saber al web del Polypad, es tracta de Fraction Multiplication. Hi trobem vídeos explicatius molt interessants de com treballar la multiplicació de fraccions a partir del model de barres de Freudenthal.
G. Ús de models geomètrics per explicar relacions aritmètiques de nombres naturals. #NUM.SO
L’ús de models geomètrics a través de dibuixos o materials manipulatius o digitals permet visualitzar propietats numèriques que, d’altra manera, es farien difícils d’entendre i utilitzar en aquest nivell. Per treballar el saber #1.ESP.VM.G, a tall d’exemple, es pot fer veure a l’alumnat que la suma consecutiva de nombres senars és un quadrat perfecte a partir de l’ús de policubs de colors per simbolitzar els diferents nombres que, convenientment disposats, formen un quadrat. Aquesta activitat reforça, un altre cop, el saber#1.ESP.VM.B, per tant, és important haver-lo vist amb anterioritat per tal que el descobriment tingui sentit per a l’alumnat.
\(1+3+5+7+9=25=5²\)
Elaboració pròpia
H. Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat. [ESS]
Per treballar el saber #1.ESP.VM.H,reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat, el professorat ha de plantejar situacions i activitats en què aquest reconeixement sigui possible. Tal com s’exposa a l’apartat «Blocs de competències», dins el punt de connexions amb altres matèries i amb l’entorn, vivim en un món geomètric i, a través de les propostes que presentem a l’alumnat de 1r d’ESO tant des del sentit espacial com des del sentit de la mesura, és bàsic posar en relleu aquesta idea. Tant a l’art com a la natura hi apareixen figures geomètriques i les seves relacions i propietats i, a través de la geometria, podem descriure els patrons i simetries que s’hi observen. La geometria no és quelcom aïllat de la nostra realitat i entorn, no tracta elements abstractes i fórmules que no ens interpel·len directament, al contrari, és una eina poderosa que ens permet prendre decisions, interpretar el món i també meravellar-nos de la seva bellesa. Com a professorat, hem de donar oportunitats a l’alumnat per aplicar i ampliar les destreses de raonament geomètric i també per veure que les idees geomètriques estan presents en altres disciplines, a part de les matemàtiques. Així, el treball del sentit espacial a 1r d’ESO pot connectar amb gairebé totes les matèries: amb les llengües, quan demanem que posin per escrit els seus raonaments o facin un informe d’una investigació; amb les ciències socials tenim la Grècia antiga com a punt per establir fortes connexions a través de la geometria euclidiana; a tecnologia, qualsevol construcció, maqueta o disseny d’espais porta implícit el treball geomètric; les ciències de la naturalesa ens permeten treballar les formes que hi ha a la natura i en els mateixos éssers vius; la matèria d’educació física ens posa a l’abast objectes geomètrics, així com espais interessants on poder fer molta geometria, i és evident la connexió amb educació visual i plàstica, des de fer construccions de geometria euclidiana a estudiar formes de determinats objectes o analitzar d’obres d’art. Queda clar, per tant, el paper rellevant que pot arribar a tenir el sentit espacial dins els projectes STEAM.
