La copa de cava

«En muchas fiestas y celebraciones donde aparecen las copas de cava a rellenar parece que una actitud ponderada entre la timidez del sorbito y la audacia del «copa llena, por favor», es que usted pronuncie la esperada frase «póngame media copa». Como siempre, a base de medias copas puede necesitar ser acompañado/a a casa en taxi o perder todos los puntos de su carné de conducir en su regreso motorizado, pero la discreción de las medias copas es siempre satisfactoria para el que bebe y discreta para el que reparte.

Si se trata de un vaso cilíndrico, será siempre fácil marcar la «media copa», pues esta se corresponde con la mitad de la altura.

Pero las copas de cava suelen tener forma de cono invertido. ¿Qué sucede si usted marca tímidamente con un dedo la mitad de la altura de la copa? Gracias a lo que Tales ya observó, si h/2 es la mitad de la altura de la copa el radio del círculo líquido, r/2, será la mitad del radio r que correspondería a la copa llena, por lo cual, recordando que el volumen del cono es un tercio del área de la base por la altura, su «media copa» le llevará a beber solo un octavo de la copa llena. […]» (Alsina, 2010)

La lectura d’aquest text pot esdevenir el punt de partida d’un repte atractiu per portar a l’aula. Amb una copa en forma de con i una gerra d’aigua, es pot plantejar a l’alumnat una pregunta aparentment senzilla però plena de matisos: fins a quina altura hem d’omplir la copa perquè realment contingui la meitat del seu volum? Aquesta qüestió permet connectar conceptes geomètrics amb la vida quotidiana d’una manera sorprenent i significativa.

La dinàmica es pot iniciar demanant als estudiants que facin una estimació inicial, tot marcant amb el dit el punt on creuen que caldria arribar per aconseguir la «mitja copa». Posteriorment, es poden mesurar les propostes obtingudes i comparar-les amb el volum total del con mitjançant càlculs geomètrics rigorosos.

Finalment, es pot tancar l’activitat amb la lectura del fragment de Claudi Alsina, analitzant el raonament matemàtic que s’hi exposa i comparant-lo amb els resultats obtinguts a classe. Això donarà peu a una discussió sobre el càlcul precís de l’altura necessària per omplir exactament la meitat del volum de la copa, fet que aprofundeix en la relació entre proporcions geomètriques i volums.

Water tank

L’activitat dels tres actes de Dan Meyer, basada en el volum del dipòsit d’aigua, Water tank, és un excel·lent recurs per treballar l’estimació de volums a través d’una experiència interactiva i motivadora.

El guió del recurs s’estructura en tres actes, destacant com es pot posar èmfasi en el procés d’estimació i verificació de volums:

Acte 1: La curiositat desperta les preguntes

La proposta comença amb la presentació d’un vídeo que mostra un gran dipòsit d’aigua de forma prismàtica, destacant com es comença a omplir d’aigua. En aquesta fase inicial, es busca generar sorpresa i curiositat. Sense oferir dades concretes, es demana als alumnes que plantegin preguntes rellevants sobre la situació. Algunes preguntes poden ser:

• Quina quantitat d’aigua cal per omplir el dipòsit?
• Quant de temps trigarà a omplir-se?
• Quin és el volum del dipòsit?

Aquest acte incentiva l’alumnat a reflexionar sobre com podrien estimar el volum del dipòsit abans de disposar de cap informació detallada.

Acte 2: Recollint dades i planificant la resolució

En aquest segon acte es proporcionen més dades visuals, com ara imatges del dipòsit des de diferents angles i altres mesures necessàries, com el diàmetre i l’altura. Es convida l’alumnat a planificar com estimar el volum del dipòsit i a fer hipòtesis inicials. La geometria del cilindre entra en joc, i és un moment clau per reforçar el càlcul del volum de figures geomètriques.

Els alumnes treballen amb les dades disponibles per calcular aproximacions, però es fomenta que facin primer una estimació inicial basada en la seva intuïció. Aquesta estimació pot comparar-se amb els resultats finals per analitzar la precisió dels càlculs i entendre millor el procés d’estimació.

Acte 3: Validant i creant noves preguntes

Finalment, es presenta un vídeo que mostra el dipòsit ple i això permet validar els càlculs fets. Això genera un gran impacte, ja que els alumnes poden contrastar la seva estimació inicial amb el resultat real. En aquest punt, es poden plantejar noves preguntes com:

• Quina seria la quantitat necessària si el dipòsit tingués el doble d’altura?
• Quins altres factors influirien si el dipòsit no fos prismàtic? I si tingués forma de piràmide?

Aquest acte clou l’activitat reforçant la rellevància de les matemàtiques en problemes reals i fomentant la reflexió crítica sobre els mètodes utilitzats.

El radi de la terra

Un recurs valuós per introduir l’alumnat en el saber #3.MES.ER.B és inspirar-se en experiments realitzats fa segles a l’antiga Grècia. Una proposta enriquidora és visualitzar el fragment de la sèrie «Cosmos» de Carl Sagan (Eratosthenes), que explica de manera didàctica i visual el mètode d’Eratòstenes per determinar la circumferència terrestre. Aquest vídeo il·lustra l’enginy del científic grec i ajuda els estudiants a comprendre com una observació aparentment senzilla —la diferent longitud de l’ombra d’un pal en dues ciutats— pot conduir a conclusions sorprenents sobre la grandària del nostre planeta. Coneixent la distància entre Alexandria i Syene (l’actual Assuan) i mesurant l’angle que es generava entre la punta d’un gnòmon i la seva ombra en ambdues localitzacions, Eratòstenes va poder aproximar la circumferència terrestre. A partir d’aquest càlcul, només cal un petit pas per determinar la longitud del radi de la Terra. Però, com de precisos van ser els seus resultats?

L’activitat pot continuar aprofundint en els factors que van generar errors en el càlcul d’Eratòstenes. És interessant analitzar aspectes com la suposició que Alexandria i Syene es trobaven exactament sobre el mateix meridià, la imprecisió en la distància estimada entre les dues ciutats i l’assumpció que els raigs solars que incidien sobre aquestes localitzacions eren estrictament paral·lels. Aquest tipus de discussió ofereix una oportunitat única per reflexionar sobre la influència dels errors, tant absoluts com relatius, en la precisió dels resultats, subratllant la importància de treballar amb aproximacions ben raonades i rigoroses.

Finalment, es pot proposar la participació en el Projecte Eratòstenes, que convida estudiants d’arreu del món a replicar el càlcul del radi terrestre en una experiència col·laborativa i experimental. El projecte consisteix a mesurar l’ombra d’un gnòmon al migdia solar durant el solstici i comparar les dades amb altres centres educatius situats a diferents latituds. Aquesta activitat connecta l’alumnat amb un treball científic pràctic, integrant coneixements de geometria i mesura, alhora que fomenta el treball en xarxa a escala global. Aquesta proposta combina teoria, història i pràctica, i ofereix a l’alumnat una comprensió profunda de com el raonament matemàtic pot transcendir els límits locals i proporcionar respostes a preguntes de dimensió planetària.

Les mesures de la lluna

Un altre recurs interessant per continuar treballant el tema de la mesura indirecta, iniciat amb el càlcul del radi terrestre d’Eratòstenes, és explorar el treball d’Aristarc de Samos sobre la dimensió de la Lluna i la seva distància respecte de la Terra. Aristarc va fer un pas més en l’ús de l’observació i el raonament geomètric per desxifrar qüestions astronòmiques, emprant el teorema de Tales com a eina fonamental.

Aristarc va començar analitzant els eclipsis lunars, moments en què l’ombra de la Terra cobreix la Lluna. Observant aquests fenòmens, va concloure que la Lluna tenia aproximadament 1/3 del diàmetre terrestre, basant-se en la comparació entre la mida de l’ombra de la Terra i el diàmetre lunar. Tot i que els seus càlculs van contenir errors significatius —ja que aproximadament el diàmetre de la Lluna és realment 1/3,7 del de la Terra i no exactament 1/3—, aquest mètode va establir un precedent notable en l’ús de la geometria per determinar dimensions planetàries. A partir d’aquesta proporció, es pot introduir una connexió interessant amb el saber #3.MES.ME.C: si la relació entre els diàmetres és 1:3,7, quina relació existeix entre les superfícies dels dos cossos? I entre els seus volums?

A l’aula, aquest treball es pot complementar amb un experiment senzill però visualment impactant. Es tracta de determinar la distància aproximada entre la Terra i la Lluna utilitzant una moneda i el concepte d’angles visuals. L’activitat consisteix a mantenir una moneda a certa distància de l’ull fins que cobreixi exactament el perímetre aparent de la Lluna al cel. Sabent el diàmetre d’una moneda i la distància entre l’ull i aquesta, l’alumnat pot calcular l’angle visual de la Lluna i, emprant proporcions, estimar-ne la distància respecte a la Terra. Aquesta activitat introdueix de manera pràctica conceptes com la triangulació i el teorema de Tales, alhora que reforça la importància de les proporcions en el càlcul geomètric.

Per tancar l’activitat, es pot construir un model a escala del sistema Terra-Lluna utilitzant materials quotidians, com una pilota de bàsquet per representar la Terra i una pilota de tennis per a la Lluna. Sabent que el diàmetre de la Terra és unes 3,7 vegades el de la Lluna, les mides relatives de les pilotes poden ajustar-se fàcilment. Ara bé, perquè el model representi també la distància real, les dues pilotes haurien d’estar separades aproximadament 9,5 m. Aquest exercici ajuda a visualitzar la immensa separació relativa entre els dos cossos celestes i proporciona una comprensió tangible de les escales astronòmiques.

En la línia de la proposta descrita, pot ser molt interessant llegir la publicació de Maria Rosa Massa, Una aproximació a l’obra d’Aristarc de Samos (Massa, 2009), on s’exploren altres aspectes de la figura d’Aristarc de Samos i el seu treball en el camp de l’astronomia.

Com podem mesurar aquest edifici?

Una activitat senzilla però amb un gran potencial educatiu és intentar determinar l’alçada d’un edifici emblemàtic o, fins i tot, del mateix institut on estudia l’alumnat. La proximitat física i emocional amb l’edifici dona un plus d’interès i significat a l’activitat, i l’ús de mètodes diversos fomenta tant la creativitat com el pensament crític.

L’activitat comença amb una pregunta plantejada obertament: Com podem mesurar l’alçada del nostre institut? En aquest punt, es recullen les propostes de l’alumnat en una pluja d’idees que, molt probablement, seran algunes de les següents:

1. Mitjançant l’ombra de l’edifici, simulant el mètode utilitzat per Tales per calcular l’alçada de les piràmides. Es tracta de mesurar l’ombra del mateix edifici i comparar-la amb la d’un objecte de mida coneguda, com un pal o una persona, aplicant proporcions geomètriques.
2. Fotografiant l’edifici amb una persona o objecte conegut al costat, de manera que es pugui establir una proporció entre les altures observades a la imatge i les reals.
3. Utilitzant un mirall i un làser, en un procediment inspirat també en el teorema de Tales: un mirall es col·loca al terra a certa distància de l’edifici, i es busca un punt des d’on el reflex del cap de l’edifici sigui visible. Amb les distàncies del mirall a l’observador i a l’edifici i amb l’alçada de l’observador se’n pot calcular l’alçada. Es pot consultar l’ARC, on apareix la proposta d’Enric Brasó.
4. Amb un llapis com a referència visual: es pot observar l’edifici a través del llapis mantingut a certa distància i comparar-ne la mida aparent amb la d’una persona o objecte conegut proper, utilitzant proporcions.
5. Algunes propostes ja descrites anteriorment i d’altres d’allò més interessants es poden consultar en la publicació de Joan Jareño que porta per títol Mesurar amb enginy(s).

Un cop recollides les idees, l’alumnat es divideix en grups per posar-les en pràctica. Cada mètode implica amidaments directes i indirectes, cosa que permet contrastar els resultats obtinguts. Durant el procés, es poden anar registrant possibles dificultats, com errors en la presa de mesures, desviacions a causa de l’angle de la llum solar, o altres factors ambientals que puguin influir en els càlculs.

Amb les dades recollides, es duu a terme un estudi estadístic dels resultats obtinguts per cada mètode. Es calculen els valors mitjans i les desviacions, i es comparen els errors absoluts i relatius respecte al valor real de l’alçada (si es disposa d’aquest valor, com ara a través de plànols de l’edifici). Aquest pas permet reflexionar sobre la precisió i l’eficiència dels diferents mètodes, així com sobre les limitacions pràctiques i teòriques de cadascun.

Finalment, es fa una anàlisi crítica col·lectiva. L’alumnat discuteix els motius que han generat els errors observats per cada mètode i reflexiona sobre quins factors es podrien millorar en futurs experiments. Aquesta fase fomenta la reflexió sobre el procés científic en general: l’ús d’aproximacions, la gestió de l’error i la importància de combinar diverses tècniques per obtenir resultats fiables.

Llançament d’objectes no equiprobables

Com cau una xinxeta? és el títol i, alhora, la pregunta clau de l’activitat de l’ARC del professor Anton Aubanell. En aquest cas, és força evident que no podem aplicar la regla de Laplace, ja que els esdeveniments «xinxeta tombada» o «xinxeta cap amunt» no han de ser pas equiprobables. L’única manera de determinar el grau d’incertesa de cadascun dels dos esdeveniments és a través de l’experimentació.

Una proposta que pot ser molt efectiva consisteix a repartir 10 xinxetes a cada parella d’estudiants d’un grup classe. Cada parella repeteix l’experiment 20 vegades (equivalent a llançar un total de 200 xinxetes) i introdueix els resultats de cadascun dels 20 experiments en un formulari. En una classe de 30 alumnes (15 parelles), es podrien analitzar els resultats de 3.000 xinxetes (300 llançaments de 10 xinxetes). Una vegada recollits tots els experiments, s’analitzen els resultats obtinguts. Una primera aproximació podria ser l’estudi de la freqüència relativa dels dos casos possibles («tombada» o «cap amunt»). Un segon estudi, encara més interessant, seria observar com evolucionen les freqüències relatives a mesura que s’acumulen les dades. A la imatge adjunta es pot observar el comportament de la freqüència relativa associada a l’esdeveniment «cap amunt» en funció del nombre acumulat de llançaments (en aquest cas, fins a 6.000).

Si es vol fer un estudi més detallat, es podria construir un diagrama de barres amb les freqüències relatives (o absolutes) dels esdeveniments 0, 1, 2…, 10 xinxetes «cap amunt» en llançar 10 xinxetes. Això permetria observar que, tot i que aproximadament 2/3 parts de les vegades la xinxeta roman «cap amunt», hi ha ocasions en què, en un llançament de 10 xinxetes, totes 10 poden acabar tombades.

Activitats similars a la que s’acaba de descriure es poden fer amb ruletes amb sectors circulars de diferents colors (vegeu imatge adjunta) o amb maquinetes de fer punta. Per a més informació, podeu consultar l’activitat catalogada a l’ARC, d’Enric Brasó.

Un altre exemple històricament interessant són les tabes, daus no equiprobables fets amb astràgals. L’ús de les tabes està documentat des de l’antiga Grècia, i encara avui es poden trobar llocs a Espanya i Sud-amèrica on es continua jugant amb elles. En qualsevol cas, el fet que els daus no estiguin ben calibrats ofereix a l’alumnat una oportunitat per fer-ne un estudi similar al descrit al començament d’aquest text.

L’estudi de daus prismàtics

En la campanya Impressió 3D i matemàtiques del CREAMAT, trobem l’activitat Daus prismàtics. Aquesta proposta té un perfil similar a altres activitats vinculades al «Llançament d’objectes no equiprobables», esmentada en el saber #3.MES.ER.C, i segueix un enfocament similar en el treball amb l’alumnat. Tanmateix, el que fa que aquest recurs tingui un caràcter singular és que és l’alumnat mateix qui dissenya els seus daus.

En el document associat a aquesta activitat, s’analitzen daus prismàtics amb una mateixa base però amb altures diferents. Això planteja preguntes interessants: com es comportaran els esdeveniments «bases triangulars» i «cares laterals» en funció de l’altura del dau? Determinar les seves probabilitats de manera teòrica pot semblar un repte complex, gairebé inassolible. Tanmateix, mitjançant l’anàlisi de les freqüències relatives obtingudes experimentalment i amb l’ajuda de la llei dels grans nombres, els estudiants poden consolidar de manera significativa el saber #3.MES.ER.C.

El fet que, en els darrers temps, s’hagin anat incorporant impressores 3D als centres educatius fa que no puguem desaprofitar l’oportunitat de generar els nostres daus per dur a terme investigacions matemàtiques.

L’atzar té patrons?

L’entrada L’atzar té patrons? del Bloc del Calaix de Joan Jareño té per objectiu com d’aleatori pot ser una sèrie de llançaments de monedes amb cares (C) i creus (X). En el text apareixen diferents estudis que es poden dur a terme a l’aula de manera graduada, amb una entrada suau i avançant en la seva profunditat.

D’entrada, sembla molt plausible (altrament, podríem pensar que la moneda està trucada) que, aproximadament, la meitat dels llançaments seran cara i la meitat seran creu. D’altra banda, sembla igual d’evident que molt difícilment podríem obtenir, en una seqüència de 20 tirades, la següent seqüència:

CXCXCXCXCXCXCXCXCXCX

Tot i que la freqüència relativa de cares i creus ha estat la mateixa, hom podria sospitar que aquesta seqüència no ha estat generada aleatòriament (tot i ser possible, és poc probable). Quin és el problema? Que no es donen ratxes de més de dues repeticions i «facin una seqüència tan purament alternada sembla poc natural», tal com apunta el mateix autor. Partint de l’estudi de les ratxes que apareixen en una seqüència llarga, podem analitzar fins a quin punt una seqüència de tirades és realment aleatòria.