Resolució de problemes, amb nombres racionals, en diferents contextos en què s’han d’utilitzar les propietats de les operacions i les relacions entre elles.
[ESS]
Ús i interpretació del càlcul amb potències i les seves propietats (base entera o racional i exponent enter), aplicat a diversos contextos i situacions.
[ESS]
Interpretació i validació dels resultats obtinguts en un problema i en un context determinat. Recerca d’alternatives en cas que no siguin coherents.
Ús de la notació científica i el seu càlcul per resoldre problemes amb nombres molt grans o molt petits en diferents contextos.
Aplicació d’estratègies de càlcul mental. Aproximació de resultats.
Descripció i orientacions
Reflexions inicials
En aquest curs s’han de consolidar els coneixements bàsics adquirits prèviament i preparar l’alumnat per aplicar-los en contextos més complexos i abstractes.
El treball sobre el sentit de les operacions en aquesta etapa té com a objectiu desenvolupar una comprensió més madura i abstracta del càlcul, que permeti a l’alumnat abordar problemes matemàtics i contextuals amb confiança i eficàcia.
A 3r d’ESO, s’introdueix un enfocament que requereix una comprensió profunda de com les operacions afecten els nombres i de com transformar-los entre diferents representacions.
Comentaris sobre els sabers essencials i d’ampliació
El saber#3.NUM.SO.A es considera essencial, ja que a 1r i 2n s’han treballat els nombres racionals i les propietats de les operacions, així com les relacions entre elles. En aquest curs, l’alumnat ha d’aprendre a identificar de forma segura quines operacions són més adequades per resoldre cada problema.
Un altre concepte essencial és el de les potències, que comencen a adquirir un paper més rellevant, saber #3.NUM.SO.B. L’alumnat ha d’entendre com aplicar i interpretar les operacions amb potències, i com utilitzar-les en situacions específiques.
Comentaris sobre alguns sabers específics
La interpretació i la validació dels resultats obtinguts en un problema dins d’un context determinat, saber #3.NUM.SO.C, són passos fonamentals per garantir-ne la coherència i aplicabilitat. Primerament, és essencial revisar les dades per assegurar-se que siguin correctes i completes, així com contextualitzar els resultats per veure si s’ajusten a les hipòtesis i expectatives inicials. A continuació, cal validar els resultats i verificar que siguin coherents entre ells. Si es detecten discrepàncies, és important identificar possibles errors en la metodologia emprada.
Quan els resultats no són coherents, cal buscar alternatives, com ara ajustar l’enfocament de la resolució del problema, repetir l’estudi o revisar les hipòtesis formulades inicialment per explorar noves aproximacions que puguin explicar millor les dades.
Aquesta pràctica ajuda l’alumnat a no centrar-se únicament en la mecànica de resolució dels problemes, sinó també a comprendre la importància de reflexionar sobre els resultats i com aquests s’ajusten a la realitat, alhora que desenvolupen habilitats per detectar i corregir errors.
El càlcul mental ha de continuar sent una part fonamental d’aquest curs, tal com es recull en el saber #3.NUM.SO.E. Tot i que es va iniciar a 1r d’ESO, és important mantenir-ne la continuïtat, ja que contribueix al desenvolupament d’una comprensió més profunda dels números i de les operacions matemàtiques i fomenta la capacitat de resoldre problemes de manera més àgil i innovadora. A mesura que els estudiants adquireixen habilitats de càlcul mental amb èxit, augmenta la seva autoconfiança, un aspecte clau per al rendiment acadèmic general. Paral·lelament, l’aprenentatge de tècniques d’aproximació permet a l’alumnat estimar resultats amb rapidesa i efectivitat.
Resolució de problemes, amb nombres racionals, en diferents contextos en què s’han d’utilitzar les propietats de les operacions i les relacions entre elles.
Ús i interpretació del càlcul amb potències i les seves propietats (base entera o racional i exponent enter), aplicat a diversos contextos i situacions.
Interpretació i validació dels resultats obtinguts en un problema i en un context determinat. Recerca d’alternatives en cas que no siguin coherents.
Ús de la notació científica i el seu càlcul per resoldre problemes amb nombres molt grans o molt petits en diferents contextos.
Aplicació d’estratègies de càlcul mental. Aproximació de resultats.
Recursos i activitats
Recursos i activitats per treballar sabers concrets
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
A. Resolució de problemes, amb nombres racionals, en diferents contextos en què s’han d’utilitzar les propietats de les operacions i les relacions entre elles. [ESS]
Pirámides con raíces cuadradas
Per treballar les propietats de les potències i recordar el concepte d’arrel com a operació inversa d’una potència, saber #3.NUM.SO.A, l’activitat Pirámides con raíces cuadradas d’Ana García Azcárate és una bona proposta. En aquesta activitat, cada casella de la piràmide conté el valor de l’arrel quadrada del producte dels dos nombres situats a les caselles que es troben a sota.
Al web d’Ana García, es treballa una solució que utilitza expressions algebraiques. No obstant això, si l’alumnat treballa amb la descomposició factorial dels nombres, les propietats de les potències i el significat de l’arrel quadrada, també pot arribar a la solució.
És important tenir en compte que l’última casella de la piràmide no necessita ser una arrel exacta, cosa que pot generar discussions interessants sobre aproximacions o resultats irracionals.
Tangling and untangling
Un altre problema interessant per treballar aquest saber #3.NUM.SO.A és Tangling and untangling (intercanvi i gir), desenvolupat pel matemàtic John Conway al voltant de l’encreuament de cordes. Va representar dues «operacions d’encreuament», intercanvi i gir, mitjançant un parell d’operacions aritmètiques simples:
L’intercanvi representa afegir 1 al nombre: \(x\longrightarrow\ x+1\)
El gir transforma un nombre en el negatiu del seu invers: \(x\longrightarrow\ -\displaystyle\frac 1x\)
Es proposa a l’alumnat que investigui les seqüències de fraccions que es poden crear utilitzant aquestes dues operacions, que en el vídeo Twisting and Turning es representen amb dues cordes que es van enredant.
Què passa amb els termes si la fracció continua indefinidament?
Es poden estudiar altres exemples de fraccions contínues relacionades amb nombres irracionals com Pi o arrel de 2. Hi ha exemples molt bonics i històricament ha estat una manera de representar irracionals.
B. Ús i interpretació del càlcul amb potències i les seves propietats (base entera o racional i exponent enter), aplicat a diversos contextos i situacions. [ESS]
Googol
El Googol és una activitat del Fem Matemàtiques, en què a partir del nombre Googol \(10^{100}\) es fan una sèrie de preguntes:
a) Quin nombre és més gran: un Googol o bé \(100^{10}\)?
b) Quin nombre és més gran: un Googol o bé \(5^{200}\)?
c) El (25\) és un divisor d’un Googol? I el \(20\)? I el \(30\)?
d) Quants Googols necessites com a mínim per tenir un múltiple de \(700\)?
Aquesta activitat permet revisar tots els conceptes adquirits de potències i divisors.
El resultat d’aquesta operació és, sorprenentment, 1. Com pot ser que una operació amb nombres tan grans i aparentment complexos tingui un resultat tan senzill?
Aquest tipus d’exercicis genera curiositat i fa que l’alumnat experimenti la necessitat de buscar una estratègia que simplifiqui el procés i permeti arribar a la solució amb més eficiència. L’objectiu és que descobreixin per si mateixos la importància d’utilitzar les propietats de les potències com a «drecera» abans d’introduir-les explícitament.
Fitxes de Dòmino
En una altra proposta, Sandro Maccarrone en un altre fil deX suggereix una activitat productiva amb fitxes de dòmino. L’activitat consisteix a:
Seleccionar dues fitxes de dòmino i utilitzar els quatre nombres que contenen per formar una expressió matemàtica que doni el valor màxim o mínim possible.
Cal justificar els resultats explicant per què no es poden obtenir altres valors més grans o més petits amb aquestes combinacions.
L’activitat es repeteix amb diferents fitxes per identificar patrons comuns i determinar si hi ha una estratègia òptima aplicable a tots els casos.
En la segona part de l’activitat, es consideren els nombres de la primera fitxa com a positius i els de la segona com a negatius. Això introdueix la qüestió de si existeix una estratègia guanyadora en aquest context.
Finalment, en una tercera part, se seleccionen tres dels quatre nombres i es col·loquen en l’expressió següent per aconseguir el valor màxim o mínim possible.
Una altra activitat per treballar el saber #3.NUM.SO.B és la que es troba al web del NRICH, titulada Negative Power. En aquesta activitat, es pregunta quant val aquest número:
Un cop l’alumnat sap calcular el valor d’aquesta potència, se’ls demana que ordenin els nombres 1, 2, 3 i 4 de manera que l’expressió doni com a resultat el valor més gran i el valor més petit possible.
Aquesta activitat és especialment útil per treballar la prioritat en l’ordre de les operacions, així com la correcta utilització dels parèntesis per estructurar expressions.
D. Ús de la notació científica i el seu càlcul per resoldre problemes amb nombres molt grans o molt petits en diferents contextos.
L’alumnat haurà de dur a terme una investigació per respondre aquesta pregunta, aplicant mètodes de mesura i càlcul. La resposta s’haurà d’expressar mitjançant notació científica, ja que es tracta d’una quantitat extremadament gran.
E. Aplicació d’estratègies de càlcul mental. Aproximació de resultats.
Cálculo mental todo terreno (4x4)
Per treballar el càlcul mental del saber #3.NUM.SO.E es pot utilitzar l’aplicació de Geogebra Cálculo mental todo terreno (4x4) de Rafael Losada. En aquesta aplicació, un tauler de 4x4 s’ha d’omplir amb nombres perquè la suma de les files i les columnes coincideixi amb el número indicat.
Jocs de Càlcul Mental
Al web del CREAMAT hi ha una secció dedicada als Jocs de Càlcul Mental, saber #3.NUM.SO.E. Els jocs que requereixen col·locar nombres per obtenir diferents resultats són una proposta excel·lent per agilitzar el càlcul mental i adquirir noves estratègies matemàtiques.
El material presentat inclou solitaris recopilats inicialment per Ignasi del Blanco, professor de matemàtiques, basant-se en recursos del grup Alquerque de Sevilla. Les versions digitals han estat desenvolupades per Mireia López, Albert Botella i Toni Gomà.
