Picture the process

Per treballar el saber #4.ALG.MM.A, hi ha l’activitat Picture the process del web Underground Mathematics. Es proposen vuit situacions del món real i, per a cadascuna d’elles, l’alumnat haurà de dibuixar un gràfic adequat. No cal que sigui precís, només han de donar la forma general. Es tracta de fer esbossos aproximats. És important que, mentre l’alumnat està fent els esbossos, vagin prenent nota de tot allò que tenen en compte.

A continuació, tenim les vuit situacions plantejades. Alguna potser requereix alguns sabers d’ampliació i es pot eliminar de la llista de situacions a treballar, si cal.

Un cop l’alumnat té les vuit propostes de gràfic, els mostrem una solució possible per a cada situació. Però els donem els vuit gràfics desordenats, és a dir, hauran de relacionar cada gràfic amb la situació.

Un cop tinguin clar el gràfic que correspon a cada situació, els demanem que el comparin amb el gràfic que havien fet ells i, en el cas que siguin molt diferents, els demanem que intentin descobrir el perquè, tot observant amb atenció les suposicions que havien fet inicialment.

Per acabar, depenent del nivell del grup i allò que s’ha treballat anteriorment, es pot demanar que donin una expressió algebraica per a cada gràfic o, directament, se’ls pot donar la imatge de vuit expressions desordenades i que les relacionin amb les situacions plantejades inicialment.

La idea és que al final tinguin clar quina situació va amb cada gràfic i cada expressió algebraica.

Semàfors temporals

Per treballar els sabers #4.ALG.MM.A i #4.ALG.MM.B, a l’ARC, trobem l’activitat Semàfors temporals del professor Xavi Roca. Es proposa a l’alumnat la situació següent. Coneixem la longitud i la velocitat màxima d’un tram de carretera per la qual, temporalment, només es podrà circular per un dels dos sentits. Mentre durin les obres, haurem d’instal·lar dos semàfors als dos extrems del tram. Quina és la millor manera de definir el cicle temporal que seguiran els dos semàfors?

Es tracta d’una activitat oberta. Pot ser interessant començar-la amb un joc de rol en què l’alumnat viu l’experiència d’esperar que el semàfor es posi en verd i després circula per la carretera de sentit únic. També podem simular que cada grup es correspon amb una empresa que respon a la crida de l’ajuntament per a la instal·lació dels semàfors, i que, entre tots, haurem de decidir la millor proposta.

Un cop a l’aula, en primer lloc, es planteja a l’alumnat com representar el cicle temporal complet dels dos semàfors. Els grups hauran de compartir una representació entenedora i la resta de grup l’analitzarà i la compararà amb la seva. Després es planteja com avaluar la qualitat del model. Quines condicions s’han de complir per tal que l’experiència per als conductors sigui òptima? I per tal que ho sigui el trànsit? Cada condició que s’imposi conduirà a un estudi determinat. En alguns casos, es podran fer anàlisis amb dades numèriques ‒o bé aproximades o bé estimades‒ i, en d’altres, si escau i és adequat, es podran fer servir variables i plantejar les equacions que es derivin de les condicions que imposem.

La festa

Hi ha moltes situacions amb contextos del món real per treballar les inequacions. Vegem-ne alguns exemples. Començarem amb l’activitat «La festa». L’alumnat ha d’organitzar una festa i tenen un pressupost limitat. Han de comprar aliments i begudes per a la festa amb un pressupost total de 200 euros. Saben que cada ampolla de refresc costa 3,5 € i cada bossa de patates costarà 2 €. Quants refrescos i quantes bosses de patates poden comprar si volen gastar com a màxim 200 €?

En primer lloc, es tradueix el problema per resoldre al llenguatge matemàtic mitjançant l’àlgebra i se’n formula la inequació. Suposem que volen comprar $x$ ampolles de refresc i $y$ bosses de patates. La despesa total serà: 3,5x+2y≤200 $3,5\,x+2\,y\leqslant 200$
On:

• $3,5\,x$ és el cost dels refrescos
• $2\,y$ és el cost de les patates
• $200$ és el pressupost màxim disponible

Un cop plantejada la inequació, és el moment de resoldre-la i interpretar-ne la solució. Poden solucionar-la gràficament o analíticament, però, al final, hauran de validar i donar sentit a la solució dient quins valors concrets de $x$ i $y$ poden triar si volen comprar un nombre enter d’ampolles de refresc i de bosses de patates. Finalment, hauran de dir quina quantitat en poden comprar per aprofitar al màxim el pressupost de 200 €.

També es pot plantejar una activitat cooperativa de resolució de problemes. La idea és distribuir la classe en grups de 3 o 4 alumnes i situar diverses estacions a la classe a les quals hi hagi un problema relacionat amb un pressupost o una situació quotidiana que impliqui inequacions. Per exemple:

• Decidir la quantitat d’energia per consumir cada mes sense superar el límit de consum de 300 kWh.
• Determinar el nombre màxim d’entrades per a un concert que poden comprar un grup d’amics sense superar el seu pressupost total de 500 €.
• Resoldre el problema d’un comerciant que ha de comprar 3 tipus de productes amb un pressupost limitat i preus específics per a cada producte.
• …

Els grups aniran passant per les diverses estacions, sempre seguint els passos següents:

• Formulació de la inequació en funció de les variables del problema.
• Resolució de la inequació i representació gràfica.
• Discussió de les possibles solucions i quina és la millor opció dins de les limitacions establertes.

Al final, es fa una posada en comú i cada grup presenta la seva solució davant de la classe i explica el procés utilitzat per resoldre el problema.

Filtratge de medicaments

Per treballar els sabers #4.ALG.MM.A, #4.ALG.MM.C i #4.ALG.MM.D, hi ha l’activitat de l’NCTM «Drug filtering», amb una versió traduïda al català anomenada Filtratge de medicaments. Es tracta de modelar com els ronyons filtren un medicament a la sang. Posem 1 litre d’aigua dins d’un recipient transparent i expliquem que l’aigua representa part de la sang del nostre cos.

A continuació, posem diverses gotes de colorant alimentari a l’aigua i expliquem que aquest colorant representa 1.000 mg d’un medicament (com ara el paracetamol, per exemple) que hem pres. Barregem bé el colorant alimentari amb l’aigua i expliquem a l’alumnat que, al cap de 4 hores de prendre el medicament, els ronyons n’hauran filtrat un 25%. I preguntem: Com podem modelar aquesta situació? Deixem uns minuts perquè l’alumnat faci propostes i llavors traiem 250 ml del recipient on hi ha la barreja d’aigua i colorant i els substituïm per 250 ml d’aigua clara.

I preguntem: Quants mil·ligrams de medicament queden a la sang? La major part de l’alumnat troba la resposta de 750 mg. Abans de treure més aigua acolorida, preguntem: Com es podria modelar el treball del ronyó al cap de quatre hores més? Una part de l’alumnat respondrà que hauríem de treure 250 ml més d’aigua de color i substituir-los per 250 ml més d’aigua clara. A continuació, preguntem: Si féssim això, quants mil·ligrams de medicament quedarien a la sang? Deixem que l’alumnat en faci una predicció. N’hi haurà que respondran 500 mg. No fem, encara, cap correcció. Tornem a preguntar per un període de quatre hores més. Molt sovint, l’alumnat diu que, novament, s’eliminen 250 mg del medicament. Finalment, preguntem: Llavors, si repeteixo aquest procés quatre vegades, el medicament estarà completament fora del meu cos? Acostumen a respondre que sí.

Ara, traiem 250 ml de l’aigua de color per segona vegada i ho substituïm per 250 ml d’aigua clara. Repetim i preguntem: Si faig això una vegada més, desapareixerà tot el color i quedarà aigua clara? L’alumnat, ara, pot veure que això no passarà.

Deixem que facin un petit debat sobre si la seva predicció era correcta. S’han d’adonar que la segona vegada que hem tret 250 ml d’aigua de color, només hi havia 750 mg del medicament a la sang, de manera que, en substituir una quarta part només s’han eliminat \(\dfrac14\cdot 750=187,5\text{ mg}\).

Repartim la fitxa de treball en la qual, en primer lloc, han d’emplenar una taula on aniran calculant la quantitat de medicament que queda a la sang cada 4 hores. Posteriorment, n’hauran de fer la representació gràfica.

Font: Núria Serra

Preguntem a l’alumnat si el gràfic és lineal i per què sí o per què no. No és lineal perquè no s’elimina la mateixa quantitat de medicament durant cada període de quatre hores. Fem observar els gràfics a l’alumnat i els expliquem, si no ho saben, el tipus de funció que estan veient. Després, amb l’ajuda d’un programa de geometria dinàmica es troba la funció d’ajust i es responen les últimes preguntes de la fitxa.

Quina és la funció

Per treballar també els sabers #4.ALG.MM.A, #4.ALG.MM.C i #4.ALG.MM.D, hi ha l’activitat Quina és la funció, adaptació de la professora Núria Serra al català de l’activitat de l’NCTM «What’s the function», ja comentada al document de 2n d’ESO. Ara, a 4t i a diferència de 2n d’ESO, l’alumnat ja disposa de totes les eines per poder fer totes les activitats. Hauran de fer quatre experiments i recollir-ne les dades. Tot seguit les representen en uns eixos de coordenades per, posteriorment, trobar amb el GeoGebra la funció que millor s’ajusta a l’experiència fent servir regressió. Finalment, es comparen els resultats de tots els grups.

A continuació, es mostra detalladament com es pot aplicar a classe l’activitat. L’alumnat treballa en grups de 3 o 4 i necessiten un dispositiu per fer anar el GeoGebra. A l’aula hi ha preparades 4 estacions i, a cada estació, hi ha el material per fer un dels experiments:

Font: Núria Serra

L’alumnat té uns 15 minuts per agafar el material, fer l’experiment, recollir les dades, conjecturar quina funció pensa que s’ajusta més i fer proves amb el GeoGebra per trobar aquesta funció. Un cop trobada, emplenen un formulari i adjunten una imatge de la funció.

Si tots els grups passen pels quatre experiments, es necessiten dues sessions per fer l’activitat: la primera, per fer tres dels quatre experiments i, la segona, per fer el quart i la posterior posada en comú dels resultats.

Cada grup té a mà un tutorial que explica pas a pas com buscar la funció amb el GeoGebra i un guió per fer cada experiment. Els experiments són els següents:

Estació 1: Seleccionar una persona per inflar un globus. Una altra persona mesura la longitud de la circumferència al punt més ample del globus, en cm, després de cada respiració. Les altres persones van anotant els resultats.

Font: Núria Serra

Es tracta d’una funció irracional. És interessant interrogar-los sobre si hi ha restriccions o no al domini i recorregut. Què passa amb el (0,0)? Té sentit contemplar aquest punt?...

Estació 2: S’aboquen M&Ms (que són en una caixeta) sobre un plat i s’escampen perquè no quedin els uns sobre els altres. Es retiren del plat tots els M&Ms en els quals la lletra M apareix a la part superior, es compten i s’anoten els M&Ms restants (els que queden al plat). A continuació, es posen els del plat un altre cop a la caixeta, es remena bé i es tornen a abocar al plat. Repetirem el mateix procediment: eliminarem els M&Ms que tinguin la lletra M a la part superior i comptarem els que queden al plat per, posteriorment, posar-los a la caixeta i mesclar-los una altra vegada. Repetim el procés fins que no en quedi cap.

Obtindrem una funció exponencial decreixent.

Font: Núria Serra

Estació 3: Es vol conèixer l’altura d’una pila de gots. Es mesura l’altura d’un got. S’apilen un parell de gots sobre el primer i es mesura l’altura total. Es van afegint gots de 2 en 2 o de 3 en 3 i se’n mesura l’altura.

Aquest és l’experiment en què és més senzill de reconèixer la funció que millor s’ajusta a les dades. Es tracta d’una funció afí.

Estació 4: S’agafa un tros de paper quadriculat (els quadrats fan 1 cm de costat). Es tracta d’anar tallant quadrats de cada cantó, els quatre de la mateixa mida. Es pleguen els costats per formar una caixa en forma d’ortoedre i s’ha de determinar el volum de la caixa. Es fa el mateix procediment cada cop que es tallen quadrats dels cantons. Podeu consultar l’activitat ampliada al web del CREAMAT.

El resultat és una funció polinòmica de tercer grau.

Font: Núria Serra

Algunes de les preguntes que podem fer a l’alumnat per treure el màxim profit de l’activitat són:

• Expliqueu com heu triat el tipus de funció.
• En quines experiències, si n’hi ha, es poden fer servir altres tipus de funcions per modelar les dades?
• Quines restriccions hi ha pel que fa al domini i al recorregut?
• Per a quins experiments heu obtingut una corba que descriu exactament les dades? A quins experiments la corba obtinguda no les descriu exactament? Per què creus que passa?
• …

Per acabar l’activitat, podem fer la inversa d’aquesta proposta, donar-los un tipus de funció o un gràfic i fer-los suggerir un context que es correspongui a aquest gràfic.

La proposta és una adaptació d’una activitat explicada a l’article «Generating and Analyzing Data» (Stevens, 1993) de la revista Mathematics Teacher de l’NCTM.