Pensament computacional

Sabers

Descomposició de problemes en parts més petites com a estratègia de resolució.
[ESS]

#MES.ME
Reconeixement de patrons en processos seqüencials.
#NUM.RE
Classificació i ordenació d’objectes com forma d'abstracció.
[ESS]

#ESP.FG
Utilització d’esquemes (quadres, fletxes, diagrames de flux, diagrames de Venn…) per analitzar i descriure situacions matemàtiques. ,
#NUM.RE

#NUM.CO
Comprensió i creació d'algorismes per resoldre problemes explorant, descobrint, consolidant o aplicant idees matemàtiques a través de seqüències ordenades d'instruccions que puguin ser executades per una persona o per un ordinador.
[AMP]

#NUM.SO

#EST.PI

#MES.ME

#ALG.VA
Ús adequat de la calculadora: oportunitat, definició prèvia de seqüències d'operacions, execució acurada, avaluació de possibles errades.
#NUM.SO

#NUM.RE

#NUM.QU
Introducció al maneig de programes de geometria dinàmica.
#MES.ME
Autoconfiança, persistència, adaptabilitat, flexibilitat, creativitat, col·laboració i gestió constructiva de l'error.
#SOE

Descripció i orientacions

Reflexions generals

L’especificació i seqüenciació de sabers corresponent al bloc Pensament computacional, a partir del que disposa el currículum, s’ha fet atenent a diversos criteris:

S’ha intentat contextualitzar-los al màxim dins de l’àmbit de les matemàtiques.
En aquesta línia, el bloc de sabers Pensament computacional té abundants i significatives connexions amb els altres blocs del sentit algebraic, amb els altres sentits i, naturalment, amb el procés de resolució de problemes. Aquestes connexions faciliten el tractament d’algunes idees del pensament computacional dins del treball matemàtic i, alhora, aporten possibilitats didàctiques en la introducció, desenvolupament i aplicació dels sabers matemàtics.
Els sabers s’han especificat de manera que, a cada curs, n’hi hagi que corresponguin a cadascuna de les quatre categories següents:
- Sabers relacionats amb les dimensions del pensament computacional a què fa referència la competència específica 4: descomposició, patrons, abstracció i algorismes.
- Sabers relacionats amb la construcció d’algorismes que puguin ser executats per persones o per ordinadors.
- Sabers relacionats amb l’ús d’eines computacionals per al treball matemàtic.
- Sabers relacionats amb la gestió socioemocional que són transversals a tots els cursos de l’ESO.
A través del redactat dels sabers, s’ha intentat donar acollida a tres opcions de treball diferents, però compatibles:
- La possibilitat de desenvolupar-ho sense arribar a la necessitat de les eines digitals. És el que s’anomena «pensament computacional desendollat».
- La possibilitat de crear programes en llenguatges de programació com ara Scratch, Blockly, Snap!, JavaScript o Python. Els tres primers són entorns de programació per blocs, molt visuals, mentre que els altres dos són entorns de programació textuals amb una sintaxi clara, ben estructurada i, en el cas del Python, versàtil. Per a 1r d’ESO, es recomana treballar amb els llenguatges de programació per blocs i deixar per a casos puntuals la programació textual (com Python).
- La possibilitat d’emprar aplicacions del camp de la robòtica i dispositius mòbils (Micro:bit, Arduino, App Inventor…).

Comentaris sobre les connexions

La densitat de connexions amb altres sabers d’altres sentits és alta, ja que comparteix moltes de les habilitats fonamentals que són essencials en l’estudi de les matemàtiques, com ara la resolució de problemes, el raonament lògic i la descomposició de tasques complexes en passos més simples. Aquest tipus de pensament implica l’ús d’algoritmes, patrons i models per abordar problemes de manera estructurada, una pràctica que és molt similar al procés matemàtic de formular conjectures, provar hipòtesis i trobar solucions. El saber #1.ALG.PC.H té una connexió evident amb el sentit socioemocional.

Observacions sobre alguns sabers d’aquest bloc

El saber #1.ALG.PC.A, que és un saber essencial, es pot entendre com la segona regla del Discurs del mètode de René Descartes per resoldre situacions diverses, comprenent la complexitat d’un problema com dependències de proposicions més simples. Algú altre el pot interpretar com l’aplicació al mètode de «divideix i venceràs».

Hi ha diferències entre el concepte de patró algebraic (#1.ALG.PA) i el que es reflecteix al pensament computacional, que implica identificar patrons per resoldre un problema de manera més eficient o reutilitzable.

El saber #1.ALG.PC.C, que és un saber essencial, permet manipular la informació d’una manera més comprensible i manejable. És fonamental en diverses disciplines i consisteix a agrupar i organitzar objectes o idees segons certes característiques comunes per tal de simplificar la complexitat i facilitar la comprensió, l’anàlisi i la manipulació d’informació. Ampliem els conceptes que involucren aquest saber:

Classificació: procés d’agrupació d’objectes en categories o classes basant-se en atributs compartits. Permet reduir la complexitat en poder tractar un conjunt divers d’objectes com un grup únic.
Ordenació: procés d’organitzar objectes segons una certa seqüència o criteri, com ara la mida, l’ordre alfabètic o el valor numèric. L’ordenació és essencial per a la cerca eficient d’informació i per facilitar la comparació entre objectes.
Abstracció: procés de simplificar i generalitzar un conjunt d’informació, centrant-se en les característiques essencials i eliminant els detalls irrellevants.

El saber #1.ALG.PC.D és una eina per analitzar i descriure situacions matemàtiques, ja que facilita la comprensió, la representació i la comunicació de conceptes complexos i permet visualitzar i organitzar la informació de manera estructurada i clara.

A través del saber #1.ALG.PC.E es pot explorar, descobrir, aplicar i consolidar idees matemàtiques. Els elements clau d’uns algorismes són les dades inicials (entrades), les instruccions (passos clars i concrets), els condicionals i els resultats obtinguts (sortides).

La calculadora científica en què s’ha pensat en les orientacions del saber #1.ALG.PC.F ha estat de la marca CASIO, pel fet que incorpora un emulador gratuït que ajuda a fer el traspàs d’informació. A més, en el seu portal web ofereix una zona de recursos educatius força àmplia. Una altra empresa amb una filosofia similar, amb un emulador en línia i recursos educatius, és numworks.

El saber #1.ALG.PC.G se centra en el programa de geometria dinàmica GeoGebra, per un fet de tradició local, ja que fins i tot hi ha una bona associació (ACG) que en transmet les bondats i els beneficis dins l’aula. És un programari molt còmode per a la gestió autònoma de l’alumnat i el seu aprenentatge, amb poca intervenció del professorat. Al professorat novell li pot ser d’ajuda el taller Matemàtiques amb GeoGebra. Nivell 0 o bé C²EM. Taller iniciació geometria dinàmica. Amb aquests recursos no es pretén que el professorat creï activitats dirigides o per mostrar conceptes, sinó que se senti més segur i còmode en el moment de portar-lo a l’aula. Es considera que aquest coneixement es desenvolupa quan l’alumnat manipula, gestiona i construeix els recursos proposats al seu propi ritme.

A continuació s’amplien els conceptes que involucren el saber #1.ALG.PC.H i que són bàsics per al creixement personal:

L’autoconfiança és la creença en les capacitats pròpies.
La persistència impulsa a seguir endavant malgrat les dificultats.
L’adaptabilitat i la flexibilitat permeten ajustar-se a canvis i circumstàncies noves.
La creativitat genera solucions innovadores.
La col·laboració permet facilitar el treball en equip.
La gestió constructiva de l’error ensenya a aprendre dels fracassos per millorar.

Totes aquestes activitats es poden gestionar amb tasques col·laboratives, ja sigui amb una pissarra compartida o amb eines digitals síncrones. Això permet que cadascú pugui aportar alguna cosa i, per petita que sigui, cada aportació incrementa la confiança personal de qui hi participa. A més, durant el procés sorgeixen errades que no es penalitzen, sinó que es veuen com a oportunitats per explorar nous camins, alternatives o enfocaments més enriquidors. Totes aquestes actituds enllacen amb el sentit socioemocional, #SOE.

Comentaris sobre els sabers essencials i d’ampliació

La naturalesa diversa dels sabers d’aquest bloc fa difícil destacar-ne alguns com a essencials. Tanmateix, s’ha optat per escollir com a essencials els sabers #1.ALG.PC.A i #1.ALG.PC.C pel que tenen de bases conceptuals, tant per a la resolució de problemes com per avançar cap a l’abstracció.

El saber #1.ALG.PC.E s’ha marcat d’ampliació perquè es pot graduar molt la profunditat amb què es treballa, des de la descripció d’algorismes en llenguatge habitual o amb símbols fins a la programació de codi.

Recursos i activitats

Recursos i activitats per treballar sabers concrets

A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.

A. Descomposició de problemes en parts més petites com a estratègia de resolució. [ESS] #MES.ME

Tasques Bebras

Les tasques Bebras són un material excel·lent per aquest saber. Es poden trobar col·leccions de tasques organitzades per nivells en diverses llengües com són les de l’Uruguai, l’Argentina o Austràlia. N’hi ha que es troben traduïdes al català (helloBebras), de les quals recomanem, per a aquest saber, del document «Nivell 2: 5è Primària - 2n d’ESO», les tasques «Carrer», «Plegar paper» i «Bales», ja que el mateix repte aporta un cas senzill explicat per entendre la proposta final. Al mateix web, hi ha una guia per al docent en què es desenvolupen aquestes i altres tasques. En qualsevol cas, aquests problemes es poden fer individualment o en petit grup, però convé posar en comú les estratègies de solució i compartir una reflexió sobre les habilitats de pensament computacional que s’han posat en joc en la resolució del repte (reconeixement de patrons, ús d’abstraccions, descomposició i anàlisi del problema, determinació de les eines més adequades per solucionar-lo, definició d’algorismes...).

Cover-up

Aplicar el mètode de cover-up (comentat en el saber #1.ALG.ID.F) permet simplificar una equació (no només de primer grau) amb una incògnita que es troba en un sol membre de la igualtat, reduint-la a una altra de més manejable. L’estratègia de cover-up s’inicia amb una equació en què es tapa l’última seqüència d’expressions que faríem en el cas que es pogués resoldre i ens preguntem quin valor pren tot el que hem tapat per tal que sigui certa la igualtat. El que hem tapat prendrà el mateix valor que estem pensant, de manera que aconseguirem una equació simplificada. Anirem reproduint el procés fins que trobem la solució.

Suma dels angles interiors d’un polígon

La fórmula per trobar i calcular la suma dels angles interiors d’un polígon qualsevol es desprèn en dividir-lo en triangles a partir de totes les seves diagonals (Wikipedia). Es descompon el problema inicial, literalment, en parts més petites: els triangles, el polígon amb menys costats possibles i, en saber quant sumen els seus angles interiors (blog: el punt singular), juntament amb la relació de les diagonals que té un polígon, es pot concloure la fórmula desitjada. Per arribar-hi, és recomanable seqüenciar les dades en una taula amb les següents columnes: el nom del polígon, el nombre de costats, el nombre de diagonals que es poden crear des d’un únic vèrtex, el nombre de triangles que s’han generat a partir de descompondre el polígon per aquestes diagonals i, finalment, la suma de tots els angles interiors dels triangles, que és la suma dels angles interiors del polígon.

Nom	#costats	#diagonals (des d’un vèrtex)	#triangles generats	Suma dels angles	Wikimedia
Quadrilàter	4	1	2	2*180° = 360°
Pentàgon	5	2	3	3*180° = 540°
Hexàgon	6	3	4	720°
Heptàgon	7	4	5	900°
Octàgon	8	5	6	1080°
Enneàgon	9	6	7	1260°
Decàgon	10	7	8	1440°
Dodecàgon	12	9	10	1800°

Alternativa al joc del NIM

Una alternativa al joc del NIM també serveix per treballar aquest saber. La clau per trobar l’estratègia guanyadora no rau en dividir el problema en parts més petites, sinó en simplificar el problema pensant en l’estat final del joc i desfer el camí tirant enrere la situació. Un altre cas com aquest és el joc de l’abellot. Aquest problema Bebras també es raona en el mateix sentit per justificar la resposta.

Cal recordar que el saber #1.ALG.PC.A és essencial, però que el recurs que s’acaba de descriure és només una proposta.

B. Reconeixement de patrons en processos seqüencials. #NUM.RE

L’algorisme d’Euclides reutilitza un procés per trobar el màxim comú divisor de dos nombres, i és molt eficient com a algoritme. Es pot utilitzar com a recurs directe i programable o com a pràctica productiva de la resta (banc de recursos FM, vídeo de com portar-ho a l’aula).

Un exercici de fraccions successives com les següents és un bon entorn per tal que l’alumnat observi la situació i trobi alguna regularitat que l’ajudi a calcular, d’una manera més eficient, les operacions de fraccions amb un patró a seguir.

\( \dfrac12 - \dfrac14 \)
\( \dfrac13 - \dfrac16 \)
\(\dfrac14 - \dfrac18 \)

C. Classificació i ordenació d’objectes com forma d'abstracció. [ESS] #ESP.FG

La doble classificació i ordenació dels triangles segons els costats i angles pot servir perfectament per aplicar aquest saber, tal com es pot observar en la proposta que ens comparteix el professor Enric Brasó a la seva pàgina web.

Un altre recurs d’aquest estil és la classificació de quadrilàters.

Quant a exemples d’ordenació d’objectes, dins de fraccions, es demana a l‘alumnat que ordeni fraccions primer, amb el mateix denominador; després, amb el mateix numerador, i, finalment, sense cap distinció.

Cal recordar que el saber #1.ALG.PC.C és essencial, però que el recurs que s’acaba de descriure és només una proposta.

D. Utilització d’esquemes (quadres, fletxes, diagrames de flux, diagrames de Venn…) per analitzar i descriure situacions matemàtiques. , #NUM.RE #NUM.CO

La factorització de nombres naturals es pot trobar amb l’ajuda d’un diagrama d’arbres, en què les fulles són els nombres primers. I, si es desitja trobar el mínim comú múltiple i el màxim comú divisor, hi ajuden molt els diagrames de Venn. Un exemple de les dues situacions:

mínim comú múltiple i el màxim comú diviso — Font: elaboració pròpia. *mínim comú múltiple i màxim comú diviso*

El \( \mathrm{mcd}(12, 20) = 2 \cdot 2 = 2^2 = 4\) i el \(\mathrm{mcm}(12, 20) = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 3 \cdot 2^2 \cdot 5 = 60 \)

Els diagrames de Venn es troben en la classificació del conjunt de nombres:

Per trobar tots els divisors d’un nombre, és recomanable anar-los trobant amb el format visual de l’arc de Sant Martí. Exemple:

Un altre exercici numèric, Number Venn, en què el diagrama de Venn és útil per entendre conceptes relacionats amb la factorització en diferents estats, és el següent:

Situa els diferents nombres dins el diagrama: 3, 5, 6, 12, 30, 7, 33, 31, 20, 15

E. Comprensió i creació d'algorismes per resoldre problemes explorant, descobrint, consolidant o aplicant idees matemàtiques a través de seqüències ordenades d'instruccions que puguin ser executades per una persona o per un ordinador. [AMP] #NUM.SO #EST.PI

El garbell d’Eratòstenes és un algorisme molt eficient per trobar tots els nombres primers menors que un nombre donat. Tot i que en general les taules per fer el garbell solen ser en files de 10 (i arriben al 100) (jclic), no cal, ja que es poden crear diferents distribucions amb altres múltiples (i altres nombres finals), com ara el 6 i el 112.

Durant el procés de l’algorisme, es generen preguntes: aneu ratllant els nombres linealment o veieu alguna drecera per descartar-los més ràpidament? Fins on pareu per estar segurs que heu trobat tots els nombres primers? Com es diuen els ratllats? Veieu alguna relació en la distribució dels nombres primers?

La conjectura de Collatz i les seves variants són una bona font per crear algorismes i fer-se preguntes de caràcter matemàtic. Per combinar-ho amb la programació visual per blocs, pot ser útil aquesta campanya d’exploracions matemàtiques.

Per dissenyar un algorisme que ajudi a explicar la solució al problema de com aconseguir mesurar exactament 4 litres amb l’ajuda de dues ampolles de 5 i 3 litres i una font d’aigua (Calaix+ie), hi ha un parell d’alternatives a Plan Ceibal.

Dibuixar línies poligonals seguint criteris geomètrics donats, com polígons regulars (Ateneu), en programació visual, dona un bon context complet que implica el disseny, la codificació i la depuració. Aquesta programació pot incorporar blocs iteratius, instruccions condicionals i variables.

F. Ús adequat de la calculadora: oportunitat, definició prèvia de seqüències d'operacions, execució acurada, avaluació de possibles errades. #NUM.SO #NUM.RE #NUM.QU

Només amb l’ajuda de quatre quatres, trobar les seqüències d’operacions per tal d’arribar als valors del 0 al 10 (i anar progressant fins al 100, segons es vegin les habilitats dels alumnes). En aquesta activitat es recomana fer servir la calculadora, perquè la finalitat és conscienciar de la jerarquia de les operacions i de com actuen en una calculadora científica.

Per altra banda, en aquest nivell és bo assegurar-se que saben fer servir la calculadora i evitar els següents errors:

No tenir en compte la jerarquia d’operacions i no fer servir parèntesis correctament, per exemple, quan volen calcular una expressió com «2 + 3 × 4». Podrien escriure «2 + 3 × 4» sense parèntesis i obtenir «14» en lloc de « (2 + 3) × 4», que dona «20».
No entendre l’arrodoniment que fa la calculadora en els nombres decimals que ocupen més que tota la pantalla, en particular en el cas dels decimals periòdics.
No fer servir la tecla «shift» o «alpha» per accedir a les funcions secundàries.
No comprendre la notació científica de l’estil «2.5E3» en algunes calculadores.

Una reflexió que es pot fer dins de l’àmbit de treball amb la calculadora és preguntar-se: «És possible escriure qualsevol nombre en una calculadora o un ordinador?». Serà interessant descobrir que hi ha una recta digital finita a través de la qual s’aproxima la recta real. Aquestes consideracions estan lligades a la idea de precisió i errors d’aproximació.

G. Introducció al maneig de programes de geometria dinàmica. #MES.ME

Algunes propostes per tal que l’alumnat vagi adquirint confiança en el programa de geometria dinàmica GeoGebra, al mateix temps que aprèn conceptes matemàtics, poden ser:

Construir i descobrir les rectes i els punts notables d’un triangle.
Sense l’ajuda de les eines directes, construir amb «regle i compàs», és a dir, amb rectes i circumferències, la mediatriu d’un segment, una alçada d’un triangle o la bisectriu (interior) d’un angle.
Lligat amb la proposta anterior i en un context de joc, es pot portar a l’aula Euclid: the Game.
Aplicacions de mòbil com Pythagorea i Euclidea.
Mostrar la relació entre l’angle central i els angles inscrits i circumscrits d’una circumferència.
Mostrar el recíproc del teorema de Pitàgores.

Llicenciat sota la Llicència Creative Commons Reconeixement CompartirIgual 4.0