25 cm quadrats o cúbics?

Gran part d’aquest treball ja s’ha dut a terme en cursos anteriors amb la presa de mesures de longituds i àrees. No obstant, podem continuar el treball fet anteriorment i estendre’l amb aspectes relacionats amb volums i capacitats de prismes i cilindres. La presa de mesures d’un políedre o cilindre, el càlcul de la seva capacitat i la posterior comprovació a través d’un vas de precipitats o balança (si estem treballant amb aigua) pot ser una seqüència molt rica per treballar aquest saber amb el nostre alumnat. Per exemple amb la proposta 25 cm quadrats o cúbics? de la professora Mireia Dosil que, malgrat que està plantejada inicialment per a 4t d’ESO, es pot adaptar perfectament i aplicar-la a 2n d’ESO. Partint de dues preguntes concretes: Quina superfície representen 25 cm²?, i Quin volum ocupen 25 cm³?, es busca poder-les respondre utilitzant d’una manera globalitzada els coneixements d’àrees i volums. Destaquem que en la mateixa pàgina s’incorpora un apartat amb instruments recomanats per avaluar el projecte, i un altre amb l’experiència feta per l’alumnat.

Tres llaunes és un litre?

En aquesta línia, després d’explicar que un decímetre cúbic és equivalent a un litre, es pot plantejar la pregunta de «Quantes llaunes de beguda de 33 cl es poden abocar dins d’un cub d’un litre?». Seguidament, es pot demanar que els estudiants facin les seves prediccions i raonin les seves respostes. A continuació, cal passar a la fase de comprovació i observar que hi caben tres llaunes. Per cloure l’activitat, caldrà comentar que les llaunes no estan totalment plenes (possiblement, per qüestions de seguretat).

Aquestes propostes i d’altres que posen en joc cossos de metacrilat es troben recollides en l’entrada del CREAMAT que porta per títol Volums amb aigua. Molts dels recursos que hi apareixen segueixen la seqüència de presa de mesures, càlcul i comprovació posterior.

Construcció de la maqueta del centre

Una activitat interessant pot ser la construcció de la maqueta del centre, on cada grup construeix una part de l’edifici. Per tal que el producte final sigui reeixit, serà essencial que totes les parts estiguin construïdes a la mateixa escala. Així, abans de començar, caldrà acordar una escala comuna per a tots els grups. Un cop construïts els mòduls caldrà passar a la unió de les diferents parts i la seva posterior exposició. La mostra del producte final donarà visibilitat al treball realitzat a l’aula.

La història com a context per a l’enriquiment competencial de l’activitat matemàtica

Una proposta força més extensa per treballar el saber #2.MES.ME.C la podem trobar en l’article La història com a context per a l’enriquiment competencial de l’activitat matemàtica (Vilella, 2018). L’article posa l’accent en el fet de potenciar una mirada matemàtica en el nostre entorn (en aquest cas, es parteix de dades d’un poblat ibèric o d’una resta de ceràmica per realitzar tasques que estan a cavall de l’arqueologia i les matemàtiques). En el decurs del text, podem trobar diferents exemples en què caldrà elaborar esbossos a escala (pas previ a la resolució de reptes d’indagació arqueològica).

Tales assedegat

Treballar amb fotografies fetes amb la tècnica de perspectiva forçada pot ser un recurs d’allò més atractiu per posar en relleu el teorema de Tales. A Catalunya tenim un banc de fotografies procedents del Grup de fotografia matemàtica de l’ABEAM. A part de l’excel·lent col·lecció de fotografies matemàtiques, podem trobar un espai de recursos per portar a l’aula. L’activitat Tales assedegat ens ofereix una aproximació al teorema de Tales des de l’estudi i posterior creació d’il·lusions òptiques fotogràfiques.

El pantògraf

El DIEC ens defineix el pantògraf com un «aparell per a copiar mapes, plànols, etc., a una escala determinada, format essencialment per quatre regles formant ballesta.»

Quin argument matemàtic sustenta el fet que es puguin reproduir imatges a escala? Una vegada més, el teorema de Tales serà al darrere d’aquest aparell. Actualment, el pantògraf s’utilitza en diversos contextos, tot i que la seva utilització ha disminuït amb l’arribada de la tecnologia digital. Tot i això, encara s’empra aquest estri en els camps de la joiera amb el gravat de peces o en la mecànica amb el tall mecànic amb fresadores, entre d’altres.

Quina desproporció!

Sovint, els nostres alumnes han d’adjuntar imatges als seus treballs. En fer-ho, cal que tinguin molta cura a l’hora de redimensionar les imatges. Posem, per exemple, que calgui inserir una imatge del quadre de Las Meninas de Pablo Picasso (oli sobre tela de 194 x 260 cm).

El primer alumne ha escollit una imatge que ha trobat per la xarxa i n’ha modificat les dimensions. La imatge resultant té unes dimensions de 6 x 8,5 cm.

Font: Elaboració pròpia

El segon alumne també ha escollit una imatge que ha trobat per la xarxa i n’ha modificat les dimensions. La imatge resultant té unes dimensions de 6 x 4,45 cm.

El tercer alumne ha escollit una imatge que ha trobat per la xarxa i n’ha modificat les dimensions. La imatge resultant té unes dimensions de 16,5 x 6 cm.

Quin dels tres alumnes ha redimensionat correctament la imatge del quadre? Per tal de respondre a aquesta pregunta caldrà fer ús de les proporcions entre els costats de les imatges per tal de comparar-ne les raons. Per finalitzar l’activitat es pot posar l’accent en el fet que la gran majoria de programes disposen d’alguna opció per garantir que es mantingui la relació d’aspecte de la imatge a l’hora d’augmentar-ne o reduir-ne les dimensions.

Square it!

Sovint, quan volem treballar el saber #2.MES.ME.E, el primer obstacle que ens podem trobar a l’aula és la visualització de quadrats tals que els seus costats no siguin paral·lels als marges del full de treball o de la pantalla. Un excel·lent recurs per treballar aquest aspecte és el joc Square it! de la pàgina de NRICH de la Universitat de Cambridge. El joc, inspirat amb el clàssic Quod de G. Keith Still, té per objectiu disposar quatre fitxes en quadrat en un taulell de dimensions \(n\times n\). D’entrada, pel simple fet de ser un joc de taula, ens convida a cercar una possible estratègia guanyadora. Posteriorment, l’evolució del mateix joc porta a construir quadrats girats. Aquest escenari ens permet estudiar les relacions que s’estableixen entre les àrees dels quadrats construïts sobre els costats d’un triangle rectangle.

Després del joc, l’observació que l’àrea del quadrat de costat \(c\) és igual que la suma de les àrees dels quadrats de costat \(a\) i \(b\) és un pas molt natural. Per a aquells docents que els agradi el material manipulatiu, es poden construir els diferents polígons i mostrar la igualtat a mode de puzle.

La balança pitagòrica

Una oportunitat de connectar internament la mesura de la massa d’objectes amb la de l’àrea de quadrats construïts sobre els costats d’un triangle rectangle és el mòdul de Pitàgores del Museu de Matemàtiques de Catalunya (MMACA).

El fet de cercar que l’analogia entre masses iguals en ambdós costats de la balança és equivalent a la igualtat d’àrees, és un recurs d’allò més rellevant. Si hi ha la possibilitat de fer la visita al MMACA, genial; altrament, és un recurs fàcilment reproduïble a classe. El fet de la construcció dels tres quadrats associats a un triangle rectangle i observar que tenen la mateixa massa pot tenir un valor didàctic molt interessant. Si es vol anar una mica més enllà, es pot ampliar el recurs amb figures semblants sobre cadascun dels costats del triangle rectangle i observar que es manté la igualtat entre àrees (des del MMACA es proposa un treball amb triangles equilàters i amb semicercles).

El recíproc del teorema de pitàgores

Un pas més cap a l’adquisició del saber #ME.E pot ser la recerca de la resposta a la pregunta següent: Què succeeix si el triangle no és rectangle? A través del recurs creat per Enric Brasó, El recíproc del teorema de Pitàgores, es convida l’alumne a la recerca d’aquesta pregunta. En la seqüència d’experimentació, descoberta, conceptuació i, si s’escau, demostració, podrem posar molta atenció en el tercer dels punts. Després de l’estudi dels casos agut, rectangle i obtús, es pot construir conjuntament amb tota la classe un «teorema» on es recullin les propietats de les tres famílies de triangles. Cada alumne, de manera seqüenciada, afegeix una paraula a la descripció de la suma de les àrees dels quadrats construïts sobre un triangle qualsevol.

El teorema de homer simpson

Per acabar aquest petit itinerari a través de la descoberta del teorema de Pitàgores es podrien anar a consultar les «inestimables» paraules del gran Homer Simpson. En la sèrie de dibuixos animats dels Simpson, capitanejada pel gran Matt Groenning, es poden trobar un bon recull de recursos matemàtics per portar a l’aula. N’hi ha molts que estan recollits i comentats en el llibre Los Simpson y las matemáticas (Singh, 2013).

En l’inici del capítol 10 de la temporada 5, el gran Homer es troba unes ulleres en una tassa del vàter. En veure-les, se les posa i enuncia el següent teorema: «La suma de la raíz cuadrada de dos lados cualesquiera de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del otro lado». Malauradament, en els banys públics hi havia una altra persona que en escoltar l’enunciat del teorema respon: «¡Eso es el equilátero, idiota!».

Ja tenim el tret de sortida de la nostra activitat! L’enunciat que recita el nostre protagonista dista del teorema de Pitàgores. Després de visualitzar l’escena, potser caldria estudiar quines paraules caldria canviar per tal que l’enunciat fos correcte. Posteriorment, podríem demanar a la classe que es cerquessin triangles que satisfessin l’enunciat «inventat». Existeix algun triangle amb aquestes propietats? La resposta és que no existeix cap triangle amb aquestes propietats. L’argument de tot plegat gira entorn de la desigualtat triangular.

Ara, a tall d’anècdota us proposem una darrera escena en la nostra activitat. Cerqueu talls per la xarxa (només cal indicar Pitàgores i Homer Simpson). Veureu que, depenent del doblatge, apareixen traduccions diferents, com per exemple aquesta versió per a Espanya i aquesta segona, per a Hispanoamèrica. Per què s’ha traduït de maneres diferents? Valorem les diferents traduccions respecte de la versió original? Per què es deu haver comès aquesta errada? En tot cas, la traducció citada anteriorment concorda amb la versió original. Com a tall d’anècdota cal dir que els guionistes de la sèrie, en aquesta escena, van voler fer un homenatge a la mítica pel·lícula El màgic d’Oz (Víctor Fleming, 1939), en la qual l’espantaocells recita el mateix teorema que en Homer Simpson. En l’espai web Bloc del Calaix +ie de Joan Jareño, podreu cercar més informació en l’entrada que porta per títol Un teorema ocellaire.

Si enrotllem un rectangle unint els dos costats oposats podem obtenir un cilindre. Aquest cilindre tindrà la mateixa altura que la longitud dels costats units i una base circular amb perímetre igual a la longitud del costat «lliure» del rectangle inicial. La diagonal del rectangle ens descriu una corba que té moltes aplicacions en el camp de la tecnologia, l’arquitectura o el disseny: l’hèlix. Quina serà la longitud de l’hèlix que hem construït? La longitud de l’hèlix és igual a la longitud de la diagonal del rectangle. Com la podem calcular? Amb el teorema de Pitàgores.

Un cop feta aquesta introducció, se’ns obre una nova pregunta: com ho podem fer per calcular les longituds d’hèlixs que facin més voltes al voltant del nostre cilindre? Desfent el camí, podem trobar una representació plana que ens pugui ajudar a resoldre el nostre dubte.

Aquest recurs pot aparèixer de manera autònoma en l’àmbit matemàtic. No obstant, si es treballa conjuntament amb tecnologia, podem donar sentit geomètric als conceptes pas de rosca, angle de rosca, profunditat de la rosca…

Una altra possibilitat per donar recorregut a aquesta activitat és estudiar diferents hèlixs que podem trobar en diferents contextos quotidians arquitectònics (per exemple, la rampa d’accés al CosmoCaixa) o en el món del disseny (el desenvolupament del tub del rotlle de paper higiènic).

Les dimensions d’una pantalla o monitor
Un altre recurs per aprofundir en el saber #2.MES.ME.F en un context proper als alumnes és la determinació de les dimensions d’un monitor, mòbil o televisió. Les pantalles s’especifiquen habitualment per la longitud de la seva diagonal mesurada en polzades, mentre que les dimensions horitzontal i vertical depenen de la seva relació d’aspecte (com ara 16:9 o 4:3). Aquestes relacions d’aspecte es poden connectar amb el saber #2.MES.ME.D. A través del teorema de Pitàgores, es pot calcular la relació entre la diagonal i els costats del monitor.

Es pot proposar a l’alumnat calcular les dimensions horitzontal i vertical d’una pantalla donada la seva diagonal i la relació d’aspecte. L’activitat es pot ampliar demanant que comparin diferents pantalles disponibles al mercat o fins i tot dissenyin una pantalla personalitzada amb dimensions determinades. Aquest recurs connecta directament amb l’àmbit tecnològic i l’ús quotidià de dispositius del seu entorn.

Acotació de l’àrea del cercle

Abans d’endinsar-nos en el saber #2.MES.ME.G es podria proposar a la classe si es podria trobar una cota superior i inferior de la superfície del cercle. Potser un primer pas podria ser intentar determinar quina o quines magnituds del cercle poden determinar-ne la superfície. En aquest cas, caldria esperar que la resposta fos que amb la mesura del radi s’hauria de poder determinar la seva àrea. A partir d’aquí, com podem relacionar l’àrea de la circumferència amb el seu radi? Atès que estem parlant d’una magnitud de superfície, la fórmula hauria de ser el producte d’una constant per \(r^2\). La recerca d’arguments que justifiquin per què ha ser \(r^2\) i no pas \(r\) o \(r^3\) contribuirà al desenvolupament de l’argumentació dintre de l’aula.

Un cop arribats a aquest punt, ja es pot passar a la darrera fase de l’activitat: l’acotació de l’àrea de la circumferència. Les dues imatges adjuntes ens mostren un camí possible per a la recerca d’una primera acotació. En aquest cas, seguint un procés similar al d’Arquimedes en l’estudi del perímetre d’una circumferència, podem arribar a veure que l’àrea del quadrat inscrit en una circumferència acota inferiorment l’àrea del cercle. D’una forma similar, es pot veure que l’àrea del quadrat que és tangent exteriorment al cercle és una cota superior a la superfície que s’està estudiant. Seria molt interessant arribar a cercar una expressió del tipus:

\(r^2<A<4r^2\)

on \(A\) expressa el valor de l’àrea del cercle.

L’àrea del cercle amb formatgets

Una activitat interessant per treballar el saber #2.MES.ME.G és utilitzar la descomposició del cercle en sectors circulars recollida en la proposta d’Anton Aubanell que porta per títol Àrea del cercle. Es pot utilitzar un cercle fet de paper o cartolina que es talli en sectors circulars, o bé un paquet de formatgets com es veu en la següent imatge.

Reorganitzant els sectors circulars podem formar una figura geomètrica similar a un paral·lelogram (on dos dels seus costats són concatenacions d’arcs circulars d’igual longitud). El càlcul de l’àrea de la figura que acabem de construir ens ha d’acompanyar a la recerca de la fórmula de l’àrea del cercle.

Cal destacar a l’alumnat que les superfícies de totes dues imatges són iguals. L’àrea de la segona imatge es pot aproximar mitjançant el càlcul de la superfície d’un paral·lelogram, considerant com a base el perímetre del cercle i com a altura el radi. Com que aquest paral·lelogram està format per dos cercles de radi igual, l’àrea del cercle inicial serà equivalent a la meitat de l’àrea del «romboide» format pels sectors circulars.

\(A_{\text{cercle}}=\dfrac{b\cdot h}{2}=\dfrac{2\pi r\cdot r}{2}=\dfrac{2\pi r^2}{2}=\pi r^2\)

Desplegant el cercle

Per a aquell alumnat que li agradi més els recursos TAC, podem portar a l’aula un recurs fet amb GeoGebra i inspirat en un resultat recollit en el Llibre de Geometria d’Abraham Bar Hiyya (més conegut amb el sobrenom de Savasorda). El resultat es podria resumir de la següent manera:

Si obrim la superfície d’un cercle per un dels seus radis i s’aplanen totes les circumferències concèntriques, obtenim un feix de segments de longitud proporcional als radis respectius. La figura resultant serà un triangle que tindrà de base el perímetre de la circumferència exterior del cercle i d’altura com el seu radi.

Es pot resumir de la següent manera:

• El perímetre de la circumferència \(C=2\pi r\), on \(r\) és el radi.
• L’àrea del cercle és equivalent a l’àrea del triangle de base \(C\) i altura \(r\). Per tant,

\(A=\dfrac{2\pi r\cdot r}{2}=\dfrac{2\pi r^2}{2}=\pi r^2\)

Parafrasejant Vicente Meavilla en el llibre Aprendiendo matemáticas con los grandes maestros (Meavilla Seguí, 2017): «[...] aquesta activitat hauria d’aparèixer en tots els llibres de didàctica de geometria elemental».

Dandy candies

De la mateixa manera que a cursos anteriors hem estat treballant la distinció entre perímetres i àrees, al curs de 2n d’ESO creiem que és interessant posar la mirada en el saber #2.MES.ME.I que se centra en magnituds en una dimensió més gran. La proposta dels Dandy Candies que fa en Dan Meyer gira entorn a un problema en tres actes (podeu cercar més informació referent a aquest tipus de recurs en aquest enllaç del CREAMAT). Després del visionament d’un vídeo d’un minut, es passa la paraula a l’alumne que, de forma ordenada, genera una bateria de preguntes associades al metratge vist anteriorment. La generació de preguntes, la posterior recerca i, finalment, la comprovació determinen una seqüència molt rica. A més, és un entorn ideal perquè en el mateix grup classe es donin diferents itineraris de recerca un cop resoltes les preguntes inicials. En el Banc de Recursos del Fem Matemàtiques, elaborat per les professores Cyntia Riquelme i Mireia López, podem trobar dues entrades basades en el problema Empaquetem caramels proposat en la segona fase del concurs Fem Matemàtiques, l’any 2018, i basat en els Dandy Candies. Aquestes entrades, Aigg les 3D! Un problema de geometria i Ampliació EMPAQUETEM CARAMELS feat. Jordi Font, proporcionen una anàlisi competencial de la resolució del problema, amb recursos i idees per dur-lo a l’aula.

Cilindres d’àrea lateral igual

Dos cilindres d’àrea lateral igual tenen la mateixa capacitat? Aquesta pregunta ha estat el fonament de diferents recursos que giren entorn a aquest fet. En el llibre Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (Galilei, 1638) trobem un estudi que gira al voltant de la capacitat d’uns sacs de tela que tenen la mateixa superfície lateral. Sobre el text de Galileu Galilei, la gran Emma Castelnuovo va organitzar diferents treballs amb els seus alumnes, tal com es pot veure en les següents imatges:

Una versió més actual i de proximitat ens la comparteix Núria Guitart que porta per títol … i les crispetes?. L’activitat requereix un material de cost baix però d’alt valor didàctic. La clau de l’èxit gira entorn de preguntar a la classe que conjecturin què passarà abans de l’experimentació. Què creieu que passarà? N’hi haurà que creuran que, en tenir la mateixa àrea lateral, la capacitat d’ambdós cilindres serà la mateixa. D’altres es decantaran per un dels dos. Seguidament, en descobrir que el cilindre que té major capacitat és el més baix (el que té radi més gran) caldrà analitzar la fórmula per posar en relleu el paper que pren el radi al quadrat. Per acabar, es pot demanar a l’alumne que cerqui exemples on àrea i volum tinguin relacions d’ordre diferents en funció de la magnitud que estiguem mirant, àrea o capacitat/volum.

La caixa perfecta

Per exemple, en un prisma rectangular es poden desplegar les sis cares per obtenir una figura plana composta per rectangles que representen les superfícies d’aquest prisma. Es pot demanar als alumnes que dissenyin una caixa amb forma de prisma de base quadrada que tingui un volum de 1000 cm³. Els alumnes han de calcular les dimensions de la caixa i, després, fer-ne el desplegament en un pla. El repte consisteix a trobar la distribució de les dimensions que utilitzi la menor quantitat de material possible (és a dir, que tingui la menor àrea superficial). Aquesta optimització s’ha d’afrontar des d’un punt de vista experimental i qualitatiu (sense fer entrar en joc el concepte de derivada).

Estudi d’una llauna de refresc

De manera similar, en un cilindre el desplegament dona lloc a un rectangle (corresponent a la superfície lateral) i dos cercles (corresponents a les bases). A través d’aquestes representacions, els alumnes poden resoldre problemes relacionats amb el càlcul d’àrees, la comprensió de trajectòries i la determinació de longituds, entre altres conceptes. Proposar el disseny d’una llauna de refresc amb forma de cilindre que contingui 330 ml de líquid (0,33 litres) i cercar-ne les dimensions que en minimitzin la superfície pot ser una nova activitat en la mateixa direcció. Posteriorment, es pot proposar la comparació dels resultats obtinguts amb les dimensions que ens ofereixen les marques de refresc.

L’aranya i la mosca

Un problema clàssic i de resposta evident té per protagonistes una mosca i una aranya:

En un prisma rectangular, una aranya es troba en una cara i una mosca en una altra cara oposada. Quin és el camí que ha de seguir l’aranya per arribar a la mosca?

Probablement, els alumnes intentaran resoldre-ho directament en tres dimensions. Després de l’acompanyament del docent, hauran de desplegar el prisma per representar el camí en dues dimensions i calcular la longitud exacta del recorregut. A The Spider and the Fly de NRICH es recullen diferents propostes per ser dutes a l’aula i, fins i tot, possibles respostes que han donat el alumnes davant d’aquest repte. En el cas que es vulgui fer una proposta d’ampliació, es pot proposar a l’alumnat canviar la geometria de la sala: què passaria si fos una sala cilíndrica? Com serien les geodèsiques que hauria de seguir l’aranya per apropar-se de forma òptima a la seva presa?

El joc de l’escala

Imaginem que volem estudiar el Joc de l’escala de la Caixa de Varga:

Material necessari: 1 cub amb 3 cares amb un punt verd i 3 cares buides, un peó per cada jugador i 80 fitxes d’un color diferent.

Al començament del joc, cada jugador rep 10 fitxes. Les fitxes restants van al banc. Cada jugador col·loca la seva fitxa al camp d’Inici i es tira el dau per torns. Si el punt verd apareix a la part superior d’un dau, el jugador pot avançar 2 espais, en cas contrari (espai blanc a la part superior) només 1 espai.

Qui arriba a la destinació (Z) rep 3 fitxes del banc. Al final d’una ronda de joc (quan tots els jugadors són a la meta o a la presó), cada jugador a la presó (G) ha de comprar la seva sortida per 1 fitxa.

La pregunta és clara: el joc afavoreix als jugadors, al banc o és un joc just? Abans d’atacar la pregunta a través d’un diagrama d’arbre (per exemple), és molt recomanable que es jugui (en petits grups de 3 o 4 estudiants) i es recullin els resultats de les diferents partides. Agrupant els resultats obtinguts dels diferents grups (o de diferents classes) tindrem un elevat nombre de resultats per poder fer unes primeres conjectures sobre el resultat esperat. Aquesta experimentació ens portarà de forma natural al càlcul dels casos favorables i possibles.

A tall d’ampliació d’aquest magnífic joc, es poden fer diferents estudis o variants d’allò més interessants:

• Quines són les caselles per on més es passa? I per on menys es passa?
• Què passaria si canviem la distribució de cares blanques o verdes del dau?
• Proposem que sigui l’alumnat qui dissenyi un taulell similar.

Aquesta activitat forma part del meravellós recurs que és la Caixa de Varga. Malauradament, aquest recurs ja no es pot adquirir (està descatalogat). Amb tot, els alumnes Roger Canals i Mario Delfa van fer un treball de recerca tutoritzat per Sergi Muria per recollir, traduir i digitalitzar gran part dels recursos que es podien trobar en la caixa original. Aquests materials es poden consultar en l’espai web de La Caixa de Varga de l’Institut Joncar.