El conjunt de sabers que constitueixen el sentit de la mesura, com tots els altres sentits, s’han de relacionar amb el conjunt de competències del currículum. Sense un coneixement dels sabers difícilment es poden desenvolupar els processos per avançar en l’assoliment de les competències i, d’altra banda, la manera com s’introdueixen, es construeixen i s’utilitzen els sabers és clau per fer un treball competencial.
Així doncs, tots els sabers poden contribuir a desenvolupar qualsevol competència si es treballen en activitats adequades. Igualment, un saber pot contribuir a desenvolupar diverses competències.
Es presenta la relació entre els sentits i les competències específiques a través dels processos: Resolució de problemes (competències específiques CE 1 i CE 2), Raonament i prova (competències específiques CE 3 i CE 4), Connexions, en què distingim les internes (competència específica CE 5) i les externes (competència específica CE 6), Comunicació i representació (competència específica CE 7) i Gestió socioemocional (competències específiques CE 8 i CE 9).
Aquesta relació, pel que fa al sentit de la mesura, es concreta, en el marc d’aquest exemple, de la manera que es descriu en els apartats següents, tot i que poden haver-hi altres anàlisis igualment vàlides.
Resolució de problemes (CE 1 i CE 2)
La resolució de problemes és el pilar central de l’aprenentatge matemàtic, ja que dona coherència als altres processos. Tal com afirma Lluís Antoni Santaló (Santaló, 1975): «Ensenyar matemàtiques ha de ser equivalent a ensenyar a resoldre problemes. Estudiar matemàtiques no ha de ser res més que pensar en la solució de problemes.» Aquest enfocament pren especial rellevància a 2n d’ESO, on es treballen sabers fonamentals com el teorema de Tales i el de Pitàgores, la introducció a problemes que impliquin el càlcul d’àrees i volums de figures tridimensionals, com prismes i cilindres, o bé l’experimentació de fenòmens aleatoris compostos (previ al càlcul de la probabilitat a través de la regla de Laplace). En aquest context, l’elecció adequada d’unitats patró permet interpretar i calcular mesures directes o indirectes. Així mateix, valorar i argumentar la idoneïtat dels resultats obtinguts, coneixent l’error absolut i relatiu si s’escau, afavoreix la resolució de situacions pròpies de la vida quotidiana i dota de sentit pràctic i transversal el treball matemàtic.
Sabers
Alguns sabers d’aquest sentit fan referència directa al procés de resolució de problemes. Per exemple:
- El saber #2.MES.MA.A permet identificar i aplicar les unitats necessàries per resoldre situacions reals de càlcul geomètric.
- El saber #2.MES.ME.B contribueix al procés de la resolució de problemes mitjançant la recollida de dades directes de l’entorn.
- El saber #2.MES.ME.H facilita abordar problemes en contextos pràctics que impliquen càlcul geomètric.
- El saber #2.MES.ME.J afavoreix la resolució de problemes espacials transformant formes tridimensionals en representacions bidimensionals útils.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers fan referència directa al procés de resolució de problemes. Per exemple:
- El Teorema de Homer Simpson, comentat per treballar el saber #2.MES.ME.E, proposa investigar l’existència d’algun triangle rectangle que satisfaci la fórmula que es presenta en l’esquetx. Cercar l’existència del triangle en qüestió serà un bon repte per posar en joc diferents propietats associades a la mesura dels costats d’un triangle.
- L’activitat en tres actes de Dan Meyer que porta per títol Dandy Candies, ubicada com a proposta per assolir el saber #2.MES.ME.I, ens proposa una situació inicial en què l’alumnat podrà generar preguntes associades al vídeo inicial. Generalment, les preguntes que solen aparèixer a l’aula solen posar en joc aspectes associats a la diferenciació entre longitud, àrea i volum d’un objecte tridimensional.
- Des d’un punt de partida més manipulatiu, l’activitat Cilindres d’igual àrea lateral, recomanada en el saber #2.MES.ME.I, permet investigar sobre la desigualtat de volums (en aquest cas, es pot parlar de capacitat) de cilindres d’igual àrea lateral. Donat un rectangle amb una àrea lateral determinada, quin cilindre tindrà més capacitat?
Raonament i prova (CE 3 i CE 4)
El desenvolupament del raonament i la prova s’enfoca en l’anàlisi de relacions entre magnituds en figures bidimensionals i tridimensionals, així com en l’experimentació amb fenòmens aleatoris compostos. La deducció de relacions entre diferents magnituds i les seves expressions, mitjançant material manipulatiu o tecnològic, a partir del raonament i l’argumentació, proporcionarà nou coneixement matemàtic. Aquest enfocament permet aprofundir en l’estudi d’àrees i volums de figures tridimensionals, com prismes i cilindres, i avançar en el tractament del grau d’incertesa, aplicant la regla de Laplace a esdeveniments compostos. Específicament, a 2n d’ESO, la incorporació dels teoremes de Tales i Pitàgores ofereix eines essencials per explorar la transició entre mesures directes i indirectes, tot potenciant la formulació i validació de conjectures com a part fonamental del procés d’aprenentatge.
Sabers
Alguns sabers d’aquest sentit fan referència directa al procés de raonament i prova. Per exemple:
- El saber #2.MES.ME.E requereix raonament deductiu per establir la validesa del teorema a partir de relacions geomètriques.
- El saber #2.MES.ME.F implica aplicar les relacions descobertes en el saber anterior per deduir mides exactes en polígons.
- El saber #2.MES.ME.D mostra com proporcions establertes són útils per justificar mètodes de mesura indirecta.
- El saber #2.MES.ER.C contribueix a la formulació de conjectures explorant esdeveniments aleatoris.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers fan referència directa al procés de raonament i prova. Per exemple:
- Conjecturar ha de ser un verb que ha d’aparèixer en les classes de matemàtiques. Partint de l’experiència de l’alumne, s’han de poder estimar diferents magnituds associades a la mesura d’un objecte. En el cas del recurs Tres llaunes és un litre?, esmentat per treballar el saber #2.MES.ER.C, ens proporcionarà un context ideal en què la conjectura i la sorpresa apareixen a parts iguals.
- La descoberta del teorema de Pitàgores és un dels sabers essencials associats al sentit de la mesura en aquest curs, tal com proposem en el saber #2.MES.ME.E. Activitats com la Balança Pitagòrica o El recíproc del teorema de Pitàgores seran dues activitats que permetran assimilar de forma progressiva i experimental les relacions que s’estableixen al voltant dels triangles rectangles.
- El càlcul de l’àrea d’un cercle és un dels sabers que es treballen al llarg de la secundària. Per poder demostrar la fórmula que permet calcular aquesta mesura, es requereix l’ús del càlcul integral. No obstant, a través de les activitats Acotació de l’àrea del cercle, L’àrea del cercle amb formatges o Desplegant el cercle ens permetran argumentar la relació entre la seva àrea i el seu perímetre.
Connexions amb altres parts de la matemàtica (CE 5)
Les connexions amb altres parts de les matemàtiques es fan especialment evidents en el desenvolupament del sentit de la mesura. L’ús de la proporcionalitat numèrica i geomètrica en situacions de mesura consolidaran els sabers comuns amb els sentits numèric i espacial. Les simulacions necessàries per mesurar la incertesa requeriran els processos associats al pensament computacional i, per tant, propis del sentit algebraic. Aquest enfocament permet establir relacions que van més enllà del sentit de la mesura, ja que integra conceptes de proporcionalitat en figures geomètriques, com en l’aplicació del teorema de Tales, i fomenta el raonament sobre la invariabilitat de magnituds, com el volum de prismes.
Aquest treball interdisciplinari també es manifesta en la interacció amb el sentit estocàstic, quan es plantegen activitats que analitzen probabilitats en esdeveniments compostos, connectant els processos de mesura amb l’experimentació i la modelització. Així, l’alumnat pot comprendre millor com les matemàtiques formen un conjunt coherent, en què cada sentit enriqueix la comprensió i aplicació dels altres. Aquesta perspectiva no només enforteix la comprensió conceptual, sinó que també facilita la transferència de coneixements en contextos reals i acadèmics diversos.
Sabers
Alguns sabers treballats en el sentit de la mesura estan molt presents en tota la matemàtica, esdevenen eixos de connexió interna i, per tant, són peces fonamentals en el desenvolupament de la competència CE 5:
- El saber #2.MES.MA.B enllaça coneixements numèrics amb geometria, facilitant comparacions entre mesures volumètriques.
- El saber #2.MES.ME.G connecta conceptes geomètrics i numèrics mitjançant activitats manipulatives per descobrir la relació entre el radi i la superfície d’una circumferència.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers aporten o utilitzen connexions internes. Per exemple:
- La construcció d’un «gruixòmetre», en el saber #2.MES.ME.A, ens permetrà posar en joc aspectes de proporcionalitat directa associades al teorema de Tales.
- Hi ha infinites caixes amb una forma de prisma de base quadrada. De totes les caixes, quina serà «La caixa perfecta» que contingui 1000 cm³?, recurs esmentat per al saber #2.MES.ME.J. Observar que hi ha infinits prismes que satisfan aquestes condicions inicials és el primer pas. Un possible camí és estudiar les relacions que han de tenir les longituds de les arestes per tal que el volum es mantingui invariant.
- Al llarg de tot el sentit de la mesura, els sabers que es van presentant tenen connexions amb la resta de sentits del currículum. Una connexió molt especial on caldrà posar atenció és la que s’estableix amb el sentit estocàstic. Un bon exemple d’aquest vincle el trobarem amb el «Joc de daus de dos colors» comentat per treballar el saber #2.MES.ER.C.
Connexions amb altres matèries i amb l’entorn (CE 6)
El sentit de la mesura es connecta de manera natural amb altres àrees de coneixement i amb l’entorn quotidià. L’estudi de diferents contextos no matemàtics on la mesura és essencial enfortirà les connexions de situacions matemàtiques amb el seu entorn. L’elecció d’instruments de mesura, amb l’evolució de la tecnologia i l’establiment del sistema internacional d’unitats, ens possibilitarà mesurar de manera consensuada el món que ens envolta. Aquest vincle amb l’entorn es veu reflectit en activitats pràctiques que permeten a l’alumnat explorar fenòmens reals, com l’estudi de capacitat i volum, que connecta amb la història de la metrologia, o el càlcul de dimensions relacionades amb tecnologia i enginyeria.
La programació d’activitats contextualitzades no només desenvolupen competències específiques de mesura, sinó que també amplien la comprensió interdisciplinària per establir vincles que fan de les matemàtiques una eina útil i aplicable a l’entorn i a la societat.
Sabers
A continuació s’indiquen, a tall d’exemple, alguns d’aquests sabers:
- El saber #2.MES.MA.C promou l’articulació entre sistemes numèrics i unitats, fonamental per a comparacions quantitatives. Aquest saber és especialment rellevant en les matèries de física, química o tecnologia.
- El saber #2.MES.ME.K vincula la probabilitat amb experiments associats a l’aleatorietat d’un esdeveniment. Aquest fet permet indagar situacions properes a les ciències naturals (física, química, b<p>
La comunicació i la representació són fonamentals en el desenvolupament del sentit de la mesura, ja que permeten compartir i consolidar idees matemàtiques mitjançant llenguatges precisos i visuals. L’intercanvi d’idees en grup, les discussions i l’argumentació fomenten l’aprenentatge col·laboratiu, mentre que l’expressió gràfica i escrita contribueixen a l’organització i transmissió del coneixement matemàtic. La utilització escaient d’esbossos, escales, desplegaments…, amb l’ajut de programes informàtics o de geometria dinàmica, donarà significat i permanència a les idees matemàtiques del sentit de la mesura i facilitarà la resolució de problemes. La tria de bones unitats de mesura ajudarà a la comprensió de les situacions de mesura plantejades i dels resultats obtinguts.
</p>
<p>
A més, l’ús d’eines gràfiques permet representar amb precisió mesures i relacions espacials, aspecte essencial per interpretar dades i solucionar problemes complexos. Això és especialment rellevant per diferenciar conceptes geomètrics i comunicar amb claredat resultats que es poden aplicar en contextos com la construcció de mapes, plànols o models tridimensionals. Aquest procés no només millora la comprensió de les mesures, sinó que també redueix errades en la seva interpretació i fomenta la reflexió sobre la importància d’una representació acurada en les activitats matemàtiques.
</p>
iologia…) i socials (les relacions que estableix la societat en contextos d’incertesa).
Recursos
Molts dels recursos descrits per treballar diferents sabers del sentit de la mesura ofereixen oportunitats per fer connexions externes. Per exemple:
- Un dels grans valors que tenim a Catalunya associats al sentit de la mesura és la Secció Catalana de Metrologia. Un dels objectius que té aquest col·lectiu és «Fer divulgació en l’ensenyament» secundari entorn les unitats de mesura i tot el que les envolten. Un bon exemple d’aquest fet el trobem en el text d’Eugeni Vilalta en l’article Capacitat i volum, proposat per treballar el saber #2.MES.MA.B.
- Una de les connexions més fortes que trobem en el sentit de la mesura és la que s’estableix amb el camp de la tecnologia. La construcció i ús d’una cinta diamètrica, esmentada com a recurs per al saber #2.MES.ME.A, semblant a la que fan servir els enginyers forestals, el càlcul de «La longitud d’una hèlix», en el saber #2.MES.ME.F, que es pot vincular a l’estudi del pas de rosca d’un cargol, o l’estudi i determinació de «Les dimensions d’una pantalla o monitor», en el saber #2.MES.ME.F, són una bona mostra d’aquesta relació entre aquests dos àmbits.
- La mesura està connectada amb molts àmbits quotidians del nostre alumnat. La proposta que podem trobar en l’activitat El rius, el nombre π i distàncies al planeta, explicada per treballar el saber #2.MES.ME.H, ens proposa fer una descoberta del nombre π associada a les longituds dels rius. Aquest estudi apropa el camp de la geologia i les matemàtiques.
Totes aquestes activitats contribueixen al desenvolupament de la competència CE 6.
Comunicació i representació (CE 7)
La comunicació i la representació són fonamentals en el desenvolupament del sentit de la mesura, ja que permeten compartir i consolidar idees matemàtiques mitjançant llenguatges precisos i visuals. L’intercanvi d’idees en grup, les discussions i l’argumentació fomenten l’aprenentatge col·laboratiu, mentre que l’expressió gràfica i escrita contribueixen a l’organització i transmissió del coneixement matemàtic. La utilització escaient d’esbossos, escales, desplegaments…, amb l’ajut de programes informàtics o de geometria dinàmica, donarà significat i permanència a les idees matemàtiques del sentit de la mesura i facilitarà la resolució de problemes. La tria de bones unitats de mesura ajudarà a la comprensió de les situacions de mesura plantejades i dels resultats obtinguts.
A més, l’ús d’eines gràfiques permet representar amb precisió mesures i relacions espacials, aspecte essencial per interpretar dades i solucionar problemes complexos. Això és especialment rellevant per diferenciar conceptes geomètrics i comunicar amb claredat resultats que es poden aplicar en contextos com la construcció de mapes, plànols o models tridimensionals. Aquest procés no només millora la comprensió de les mesures, sinó que també redueix errades en la seva interpretació i fomenta la reflexió sobre la importància d’una representació acurada en les activitats matemàtiques.
Sabers
Alguns sabers del sentit de la mesura poden contribuir de manera especial al desenvolupament de la competència CE 7. Per exemple:
- El saber #2.MES.ME.C proporciona una representació gràfica precisa per comunicar mesures i relacions espacials.
- El saber #2.MES.ME.I ha de permetre expressar de manera clara i visual la diferència entre conceptes geomètrics bàsics.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers del sentit de la mesura fan referència al procés de comunicació i representació. Per exemple:
- L’activitat Tales assedegat, recomanada per treballar el saber #2.MES.ME.D, posa en joc les proporcions associades a la fotografia matemàtica. El pas del 3D al 2D serà clau per obtenir il·lusions òptiques creades pel mateix alumnat.
- Malauradament, en molts espais, físics o digitals, trobem imatges que han estat distorsionades i no mantenen la relació entre les seves dimensions. L’activitat Quina desproporció, relacionada amb el saber #2.MES.ME.D, posa l’accent en la relació entre el teorema de Pitàgores i les escales en imatges i fotografies.
- La rectificació de corbes, per exemple, de camins o perfils litorals, és un procés molt interessant des de diferents punts de vista associats al sentit de la mesura. En l’activitat Mesura de longituds i d’àrees amb fil i paper vegetal quadriculat, esmentada per treballar el saber #2.MES.ME.D, trobarem un bon exemple en què es posa en joc la CE 7.
Gestió socioemocional (CE 8 i CE 9)
La relació de l’alumne amb les matemàtiques cal ser treballada des de dues vistes diferents: la individual i la col·lectiva. Des d’un punt de vista personal, cal planificar recursos per a l’aula on l’experimentació i la descoberta prenguin un paper protagonista. Paral·lelament, l’ambient de resolució de problemes enriquirà un entorn on serà propícia l’aparició de les possibles dificultats i errades. Això no obstant, caldrà vetllar per desenvolupar les destreses socials de cadascun dels alumnes dintre del grup classe. La recerca d’estratègies guanyadores en el joc Square it o l’estudi de la relació entre les freqüències relatives i les probabilitats d’esdeveniments compostos en experiments aleatoris a través de la regla de Laplace seran una bona oportunitat perquè l’alumne desenvolupi aquestes destreses. En ambdues visions, la gestió del docent serà essencial per al creixement de l’alumne.
La gestió socioemocional està vinculada a dues competències específiques:
- CE 8, relacionada amb el desenvolupament d’habilitats personals com les creences, les actituds i les emocions envers les matemàtiques.
- CE 9, centrada en el desenvolupament d’habilitats socials com el treball en equip i la presa de decisions.
A continuació s’indiquen alguns aspectes que, treballats des del sentit de la mesura, poden contribuir al desenvolupament de les competències CE 8 i CE 9.
Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 8:
- Les activitats que integren la resolució de problemes han de ser estimulants i significatives, per tal de promoure l’interès per investigar sense generar bloquejos. A través d’una gestió adequada, l’alumnat pot reconèixer els seus avenços i valorar les aportacions dels seus companys i companyes. Propostes com L’aranya i la mosca ofereixen un punt de partida accessible que encoratja la participació de tothom, però evolucionen cap a un treball més profund que afavoreix la descoberta gràcies a la representació plana de l’habitació.
- El joc pot ser una eina poderosa per fomentar el desenvolupament socioemocional de l’alumnat, ja que ofereix un entorn segur per explorar habilitats com la presa de decisions, la gestió de l’estrès i la col·laboració. Activitats lúdiques com Square It! de NRICH no només treballen competències matemàtiques, sinó que també conviden els estudiants a gestionar les seves emocions davant de l’èxit o la frustració, alhora que aprenen a respectar el torn i les estratègies dels altres. Aquesta dinàmica afavoreix la construcció de la confiança en un mateix i el desenvolupament d’una actitud resilient davant els reptes, aspectes clau per al seu creixement personal i social. Paral·lelament, amb aquesta activitat, anem introduint els fonaments que ens permetran construir la descoberta del teorema de Pitàgores.
- La creació i el desenvolupament d’un joc poden esdevenir una experiència enriquidora per treballar el sentit socioemocional de l’alumnat. Per exemple, l’adaptació del joc de taula Timeline per explorar magnituds i unitats de mesura no només crea un context d’aprenentatge col·laboratiu, sinó que també ofereix una oportunitat per potenciar habilitats com l’escolta activa, la negociació i el respecte per les idees dels altres. Al llarg del procés de creació, l’alumnat s’enfronta a desafiaments que exigeixen paciència, creativitat i treball en equip. Aquest entorn fomenta la confiança en les pròpies capacitats, afavoreix la cohesió grupal i convida a reflexionar sobre la gestió d’errors i encerts, establint una base sòlida per al creixement socioemocional. A més, aquest recurs s’alinea amb el desenvolupament de la competència específica CE8 i també pot servir com un excel·lent exemple per abordar la CE9.
Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 9:
- L’activitat Construcció de la maqueta del centre és un exemple excel·lent per fomentar la competència CE 9. En aquesta proposta, els grups han de decidir conjuntament l’escala a utilitzar per construir les diferents parts de la maqueta, un procés que exigeix diàleg, escolta activa i capacitat per arribar a acords. Aquesta coordinació és essencial, ja que, sense una escala comuna, les parts de la maqueta no encaixaran i el projecte col·lectiu no podrà culminar amb èxit. A més de desenvolupar habilitats matemàtiques relacionades amb l’escala i la proporcionalitat, aquesta activitat promou la responsabilitat compartida i destaca la importància de treballar en equip per assolir un objectiu comú i reforçar la cohesió i el sentiment de pertinença al grup.
- L’activitat Construcció de la maqueta del centre exemplifica com el treball en grup pot esdevenir un motor per al desenvolupament de competències tant matemàtiques com socioemocionals. Inspirant-se en metodologies com les utilitzades en la reconstrucció de poblats ibèrics, els equips han de col·laborar per estudiar-ne les característiques. Aquesta coordinació requereix diàleg constant, capacitat de negociació i compromís col·lectiu.
- En l’activitat El joc de l’escala, el treball individual o en petits grups té un paper fonamental en la recollida de dades per a l’anàlisi probabilístic dins del gran grup classe. Cada estudiant, o cada parell de treball, recull dades de les seves pròpies partides jugades, fet que aporta una gran varietat d’experiments al conjunt. Aquest enfocament multiplica el nombre de proves i, per tant, augmenta la fiabilitat i la representativitat dels resultats obtinguts.