Per fomentar una actitud positiva envers la participació en activitats matemàtiques en equip, el professorat ha de cuidar tant l’activitat com l’equip. Pel que fa a l’activitat, és essencial triar tasques de qualitat, especialment problemes que fomentin la interacció, la investigació, la diversitat de perspectives, la conversa i l’argumentació. Els problemes amb «llindar baix, sostre alt i parets amples» en són un bon exemple. Com ja s’ha comentat, pot ser útil un primer abordatge individual, seguit d’un treball en equip que evidenciï els avantatges de la col·laboració. Pel que fa a l’equip, és important utilitzar un criteri adequat per seleccionar-ne els membres (tal com s’indica en l’apartat «Descripció i orientacions» corresponent a aquest saber) i establir dinàmiques positives de treball en grup, en què tothom faci aportacions que siguin valorades i mai descartades.

Les dinàmiques proposades per Peter Liljedahl en el llibre Building Thinking Classrooms in Mathematics (Liljedahl, 2020) donen excel·lents resultats per construir a classe un autèntic ambient de pensament matemàtic.

La gestió del reconeixement per part del professorat pot ser també un recurs molt valuós. És recomanable reconèixer no només les competències matemàtiques demostrades, sinó també les actituds positives, com l’ajuda mútua, la perseverança i la creació d’una relació constructiva en l’equip. La gestió curosa de l’atribució de mèrits per part del professorat és essencial; això inclou subratllar certes intervencions, destacar enfocaments interessants i donar importància a propostes que podrien passar desapercebudes o ser poc valorades. Aquestes accions poden ajudar a trencar idees limitadores sobre les possibilitats matemàtiques tant pròpies com d’altres persones.

Per impulsar una actitud positiva cap al treball matemàtic en equip, pot ser útil oferir, després d’aquestes activitats, l’oportunitat de reflexionar i compartir opinions responent a preguntes com les següents i rebent retroacció per part del professorat:

• T’ha resultat agradable i profitós treballar en equip, o hauries preferit treballar individualment?
• Què ha funcionat bé durant l’activitat en equip?
• Què es podria millorar en el futur?
• Com podries contribuir a aquesta millora?

Aquestes reflexions ajuden a identificar els punts forts i les àrees de millora, afavorint una col·laboració més efectiva i enriquidora.

En la resolució de problemes, es pot utilitzar la dinàmica 1-2-4: treball individual, en parella i en grup. Es planteja un problema a tota la classe i es lliura a cada alumne un full dividit en tres columnes numerades 1, 2 i 4. La columna 1 està destinada al treball individual; la columna 2, al treball en parella, i la columna 4, al treball en grup de quatre persones. Inicialment, es dona un temps determinat (per exemple, 5 minuts) perquè cada alumne reflexioni i avanci en la resolució del problema de manera individual, anotant els seus progressos a la columna 1. A continuació, es formen parelles i es dona un altre període de temps (per exemple, 10 minuts) perquè les parelles treballin juntes en la resolució del problema, registrant les seves idees a la columna 2. Finalment, es formen grups de quatre persones, als quals se’ls dedica un temps (per exemple, 15 minuts) perquè acordin la millor manera de resoldre el problema i documentin la solució a la columna encapçalada pel 4. La fase de treball individual és un moment per pensar personalment, comprendre què es demana i començar a definir una estratègia; permet explorar i familiaritzar-se amb el problema. La fase de treball en parella serveix per començar a verbalitzar les idees, compartir estratègies, detectar errades i ajustar plantejaments. Això permet a l’alumne explicar, escoltar, consolidar o corregir punts de vista, avançar amb un company i guanyar confiança. La fase de treball en grups de quatre és l’oportunitat per comparar i contrastar propostes, descobrir noves estratègies, refinar solucions i construir coneixement matemàtic de manera col·lectiva.

En el document A Brief Guide for teachers and administrators - Classroom Challenges del Mathematics Assessment Project de la Universitat de Califòrnia, a Berkeley, i el Shell Center de la Universitat de Nottingham, es descriu un procediment de treball en grup interessant al voltant de la resolució de problemes:

• Abans de la classe dedicada a la resolució del problema, el professor planteja el problema perquè els alumnes el treballin individualment durant una estona (entre 10 i 15 minuts). Naturalment, és recomanable que sigui un problema no rutinari.
• El docent revisa les respostes, observant els enfocaments i les dificultats trobades, i ofereix algunes retroaccions mitjançant preguntes adequades.
• Durant la classe de resolució del problema, els alumnes comencen revisant individualment les seves pròpies solucions al problema plantejat, tenint en compte la retroacció del professorat. A continuació, es formen petits grups per comparar i desenvolupar les seves estratègies de resolució. El professor observa els enfocaments dels diferents grups i dona suport a la resolució col·lectiva mitjançant preguntes. Després, es comparteixen els diferents enfocaments en una discussió general amb tota la classe. El professorat selecciona grups perquè expliquin les seves estratègies i promou una discussió rica.
• Finalment, els alumnes treballen individualment per millorar les seves solucions inicials i participar en una reflexió final sobre allò que han après.

Les posades en comú que s’incorporen en aquests processos o els conclouen tenen una importància clau per arrodonir l’aprenentatge. Caldrà posar atenció a les dinàmiques que s’estableixin per portar-les a terme. Una d’aquestes dinàmiques, especialment interessant, és la posada en comú del grup classe amb portaveus molt acuradament seleccionats.

Una activitat molt interessant per fer en equip és la construcció conjunta d’un mapa conceptual sobre un tema de matemàtiques. Es tracta d’una tasca d’estructuració i síntesi, en la qual les diverses perspectives aportades pels membres de l’equip poden contribuir a recapitular, organitzar i consolidar les seves idees matemàtiques.

El sentit socioemocional ha de ser present en el treball entorn de tots els altres sentits, també en els àmbits que puguin semblar més tecnificats. Per exemple, les activitats matemàtiques vinculades al bloc de pensament computacional del sentit algebraic ofereixen excel·lents oportunitats per fomentar el treball en equip i la col·laboració. Algunes d’aquestes activitats poden ser:

• L’elaboració de construccions geomètriques amb programes de geometria dinàmica.
• L’anàlisi de gràfics de famílies de funcions, ja sigui amb calculadores, fulls de càlcul o programes de geometria dinàmica.
• La identificació de patrons en successions numèriques.
• La creació o millora d’algorismes per resoldre problemes. El projecte Euler té un banc d’arxiu molt adequat al respecte, així com la campanya Investiguem del CREAMAT.
• La simulació d’experiments aleatoris, ja siguin de realització real manipulable o a través de la programació. Sobre aquest últim tipus de simulació, es pot consultar el mòdul 2: Probabilitat i simulació del Programem matemàtiques amb Snap!

Alguns elements clau per fomentar la responsabilitat en el treball en equip en matemàtiques són:

• Crear un entorn físic i relacional que afavoreixi la col·laboració.
• Assignar rols dins els equips assegurant que cada membre tingui una funció activa i rotativa, evitant fixar rols específics que puguin perpetuar estereotips.
• Descriure clarament la tasca proposada perquè tots els membres n’entenguin els objectius i les expectatives.
• Fer un seguiment proper de l’activitat, intervenint-hi quan sigui necessari per estimular el pensament sense interrompre el flux creatiu.
• Reconèixer i celebrar els èxits de l’equip i les contribucions individuals de cada membre.
• Oferir temps per a la reflexió grupal sobre el treball realitzat, la gestió de les responsabilitats i la manera de funcionament del grup.

En el treball matemàtic en equip, especialment en la resolució de problemes, sovint serà necessari escollir entre diferents opcions de procediments, estratègies i enfocaments. En el bloc de Model matemàtic dins el sentit algebraic, ja s’ha inclòs un saber que subratlla la importància de la presa de decisions en la resolució de problemes. És crucial que l’alumnat aprengui a gestionar aquests processos de presa de decisions de manera inclusiva i eficient. Alguns recursos que poden facilitar aquest aprenentatge són:

• Fomentar la creació d’un ambient de confiança en què tothom se senti segur expressant les seves idees, sense por de crítiques i sense adoptar actituds de conformitat passiva.
• Assegurar que totes les opinions siguin escoltades, incloses aquelles que poden ser menys convencionals o minoritàries.
• Valorar la diversitat de pensament i la discrepància d’opinions com una oportunitat per enriquir el procés de resolució de problemes.
• Emprar mètodes clars per a la presa de decisions. Utilitzar tècniques organitzades, racionals i justes, com el consens o la votació, per garantir que les decisions es prenguin de manera col·lectiva.
• Reflexionar posteriorment sobre les decisions preses per tal d’aprendre dels errors i celebrar els encerts.

Entre els recursos esmentats per treballar el saber #SOE.TP.A, s’han destacat les dinàmiques presentades per Peter Liljedahl en el llibre Building Thinking Classrooms in Mathematics (Liljedahl, 2020). En aquesta línia, per al saber #SOE.TP.B, se suggereix utilitzar la metodologia de treball en equips de tres persones dempeus davant de superfícies verticals no permanents (com pissarres blanques, vidres de finestres o paper de cel·lofana), amb un únic retolador per equip. Normalment, la persona encarregada del retolador s’escull aleatòriament, i se li demana que només anoti les idees que li indiquen els companys i les companyes de l’equip, no les pròpies. El fet que els grups treballin amb certa proximitat (sense estar apilats) permet el contacte visual entre el que estan fent i facilita així la mobilitat del coneixement entre ells. Els estudis realitzats per Peter Liljedahl mostren un augment significatiu en la implicació de l’alumnat.

Una de les riqueses del treball en equip és la confluència i la valoració de la diversitat de mirades entorn d’una tasca matemàtica (problema, projecte, situació d’aprenentatge, etc.). Convé que l’alumnat en prengui consciència. L’activitat que es descriu a continuació és una bona activitat per fer a l’inici de curs, abans de començar a treballar en equip, per tal de visualitzar la necessitat de respectar i valorar tots els punts de vista. Aquesta diversitat de mirades es posa de manifest, d’una manera sorprenent, si es demana a un grup de persones que comptin el nombre de punts que hi ha en una imatge que se’ls mostrarà tan sols uns segons. Per exemple, observeu la imatge següent feta a partir de youcubed at Stanford University - Bruce McCandliss’s research on groupitizing.

Si, després de veure-la uns segons, l’ocultem i demanem als alumnes que indiquin quants punts hi ha, probablement la majoria dirà que n’hi ha 10. Tanmateix, la pregunta interessant ve després: «Quina estratègia ha seguit cadascú/una per saber-ho?». Observarem una rica varietat de respostes basades en diferents agrupaments (els grups es representen per colors), per exemple:

Si un procés mental aparentment tan simple dona lloc a aquesta diversitat de perspectives (que corresponen a una diversitat d’expressions aritmètiques equivalents), imaginem l’àmplia varietat de punts de vista que es poden generar en la resolució d’un problema interessant, i la riquesa que això pot aportar al treball del grup.

Després d’una activitat matemàtica en equip, pot ser interessant plantejar a l’alumnat preguntes que convidin a la reflexió sobre l’acollida de les idees i les intervencions de totes les persones de l’equip. Per exemple:

• Heu sabut recollir les idees proposades per totes les persones de l’equip i fer-les créixer conjuntament? O no s’han sabut tenir en compte les aportacions de tothom?
• Com ha anat la discussió en el grup? Hi has participat de manera respectuosa, assertiva i constructiva? Ha servit per aprendre?
• Com creus que pots abordar adequadament una discrepància amb algú durant les activitats de resolució de problemes en equip?
• Tens la sensació de no haver pogut expressar allò que t’hauria agradat aportar? Per què creus que ha estat així?

Preguntes com aquestes conviden a revisar el funcionament del grup i a fer que l’alumnat prengui consciència de la necessitat d’establir dinàmiques assertives que promoguin una comunicació clara, respectuosa i directa, en un ambient en què totes les persones participants se sentin valorades i escoltades, i en què les diferències es gestionin de manera constructiva.

La retroacció també pot contribuir a l’assoliment del saber #SOE.TP.C, si se centra en el procés d’aprenentatge i no només en la correcció de les respostes, reconeixent els esforços de tothom i valorant el progrés individual i conjunt.

L’enfocament actitudinal d’aquest saber en subratlla la importància, però també adverteix que la seva adquisició pot requerir temps i esforç per part de l’alumnat, així com una atenció acurada del professorat. En el capítol 3.4 del llibre ¿Cómo aprendemos? Una aproximación científica al aprendizaje y la enseñanza (Ruíz Martín, 2020, cap. 3.4), Héctor Ruíz Martín examina la dimensió social de l’aprenentatge, amb especial atenció a l’aprenentatge en grups col·laboratius:

Amb freqüència, s’afirma que les activitats d’aprenentatge col·laboratiu ensenyen als estudiants una habilitat tan important per a la vida com és la col·laboració. No obstant això, la veritat és que això no és així necessàriament. El que les activitats col·laboratives proporcionen realment és una oportunitat per practicar la col·laboració. Però si no es guia els estudiants sobre com fer-ho i s’espera que ho aprenguin espontàniament, l’oportunitat per practicar la col·laboració perd bona part del seu potencial, tant per ajudar-los a desenvolupar aquesta habilitat com per promoure l’aprenentatge gràcies a ella. En canvi, si proporcionem als estudiants unes pautes bàsiques per comunicar-se, organitzar el treball en equip i resoldre conflictes, llavors l’aprenentatge col·laboratiu resulta molt més efectiu.

Héctor Ruíz Martín

 L’aprenentatge matemàtic dels alumnes es pot beneficiar del treball col·laboratiu en equip, però, per aconseguir el millor resultat possible, és essencial implementar recursos que ajudin a crear un clima d’empatia, base del compromís personal en l’aprenentatge col·lectiu i en l’aprenentatge matemàtic de cada membre del grup. Entre aquests recursos, es poden destacar tres aspectes principals:

• La promoció de la comunicació efectiva i assertiva: expressar idees matemàtiques de manera clara i precisa, atendre els arguments d’altres persones, esforçar-se per entendre i ser entès, veure la discrepància com una oportunitat de millora, i garantir una participació equilibrada de tothom en les converses. Segons el tipus de treball que faci el grup, pot ser interessant emprar notes adhesives per visualitzar idees i fomentar la participació.
• L’interès directe en l’aprenentatge matemàtic de cada company del grup: implicar-se activament en l’aprenentatge dels altres i contribuir-hi de manera constructiva.
• La gestió emocional en el treball matemàtic en equip: assegurar que tothom se senti còmode en el grup, fomentant un entorn en què ningú tingui por de compartir idees o cometre errors. Cal evitar les crítiques destructives i les reaccions desproporcionades, promoure l’ajuda mútua, valorar les aportacions de cada membre i reconèixer tant els èxits col·lectius com els individuals.

Per impulsar l’actitud empàtica a què fa referència el saber, és important transmetre explícitament la rellevància d’aquests punts i proporcionar pautes per assegurar-se que es tinguin en compte.

Un tipus d’activitat interessant per posar de manifest el valor de l’aportació individual en el treball col·lectiu (encara que, en aquest cas, la idea d’equip sigui molt àmplia) són els role-plays matemàtics. Sovint, en aquests role-plays, els alumnes representen ens matemàtics que, a través de la seva posició, relació o acció, donen vida, realitat dinàmica, a situacions matemàtiques de les quals emergeixen idees rellevants des del punt de vista didàctic. En alguns casos, hi participa tot l’alumnat; en d’altres, tan sols alguns alumnes. Tanmateix, aquest tipus d’activitats són molt inclusives, ja que ningú no queda exclòs d’una experiència viscuda de manera directa, encara que les interpretacions puguin ser diverses. Alguns exemples de role-plays matemàtics són: la representació de condicions algebraiques sobre punts de la recta o del pla, la representació de relacions funcionals (com ara la construcció de la corba tractriu, de corbes de persecució, o la descoberta de l’espiral logarítmica a partir del vol d’un falcó), la representació de diagrames estadístics, la representació de situacions combinatòries o la representació d’algorismes (per exemple, l’ordenació pel mètode de la bombolla). Es poden trobar descripcions detallades d’alguns d’aquests role-plays en els articles d’Anton Aubanell, «Construint matemàtiques. Nosaltres com a recurs: role-plays a classe de matemàtiques (1)» (Aubanell, 2017a) i «Construint matemàtiques. Nosaltres com a recurs: role-plays a classe de matemàtiques (2)» (Aubanell, 2017b), apareguts en els números 39 i 40 de la revista Noubiaix, respectivament. Els role-plays són una de les activitats docents en què, d’una manera més clara, es posa de manifest la construcció col·lectiva del coneixement, harmonitzant accions individuals en una representació conjunta que aporta valor afegit pel que fa a l’aprenentatge de l’alumnat.

Reflexionar i debatre per mitjà de fòrums de discussió, fent preguntes «innocents» adequades o introductòries d’un tema, pot fomentar el pensament crític i estimular opinions que, oralment, podrien no aparèixer. Exemples de preguntes d’aquest tipus poden ser: «Quin és el nombre més gran que coneixes? Quin és el nombre més gran que pots fer amb tres 9? Per què creus que les abelles utilitzen un patró de malla hexagonal per construir els seus ruscos?»

Un altre marc, especialment potent, per construir coneixement matemàtic en equip és la proposta principal que formula el llibre Building Thinking Classrooms in Mathematics (Liljedahl, 2020). Una peça clau d’aquesta proposta és l’elecció de bones tasques, les quals poden emprar-se també en els fòrums de discussió.

El calendari matemàtic que genera la Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana Al-Khwarizmi o el recurs extret del web de l’Alicia Burdess ofereixen problemes que poden ajudar a treballar en aquests dos marcs.