Existència de nombres no racionals. Nombres decimals no exactes ni periòdics.
[ESS]
Classificació de nombres racionals, relació i transformació entre fracció i decimal (fraccions generatrius).
#EST.DI
Estimació i aproximació per excés i per defecte de nombres racionals amb la precisió requerida.
[ESS]
#MES.ER
Interpretació de nombres molt grans o molt petits. Reconeixement i utilització de la notació exponencial i científica, analitzant-ne l’ordre de magnitud, incloent-hi la lectura d’aquestes quantitats en la calculadora o full de càlcul.
#ALG.PC
Representació a la recta real d’intervals i semirectes.
#ALG.ID
Descripció i orientacions
Reflexions inicials
Aquest bloc és fonamental per comprendre i treballar amb els diferents tipus de nombres, les seves propietats i les aplicacions pràctiques en àmbits com la mesura, l’estadística i l’àlgebra.
L’existència de nombres no racionals ens introdueix al món dels nombres reals, amplia la comprensió més enllà dels nombres racionals i revela la riquesa de la recta real. La classificació de nombres racionals i la seva connexió amb decimals mitjançant fraccions generatrius il·lustra la precisió matemàtica necessària per treballar amb dades expressades amb decimals exactes o periòdics.
Amb les eines que té l’alumnat de 3r d’ESO, es poden plantejar propostes molt més interessants que la simple resolució d’exercicis de traducció entre fraccions i expressions decimals. En aquest bloc es presenten activitats que promouen l’ús significatiu d’aquests conceptes.
Comentaris sobre les connexions
Aquest bloc està relacionat amb els sentits de la mesura, l’espacial i l’estocàstic.
La connexió entre el saber #3.NUM.QU.B i l’estadística es troba en la seva capacitat de proporcionar representacions precises per a raons, probabilitats i freqüències relatives. Les fraccions permeten una expressió exacta de nombres racionals, fet que evita errors d’arrodoniment que poden aparèixer amb els decimals, mentre que la seva transformació en decimals facilita la comparació i el càlcul aritmètic. Aquestes relacions són essencials per ordenar, classificar i analitzar dades de manera precisa, especialment en estudis de distribucions, probabilitats i patrons recurrents.
La connexió entre el saber #3.NUM.QU.C i el sentit de la mesura rau en la necessitat de representar valors de forma manejable sense perdre informació rellevant en contextos pràctics. En la mesura sovint no treballem amb valors exactes, de manera que s’utilitzen aproximacions racionals ajustades segons la precisió necessària per garantir una representació útil i coherent.
El saber #3.NUM.QU.D és fonamental en el pensament computacional. Aquesta notació permet representar i comparar valors extrems de manera compacta i precisa, cosa que facilita els càlculs i la interpretació de resultats en eines com calculadores o fulls de càlcul.
La connexió entre el saber #3.NUM.QU.Ei l’àlgebra es troba en la comprensió geomètrica i simbòlica de conjunts de solucions d’equacions o inequacions. Els intervals i semirectes permeten representar de manera visual els valors que compleixen una condició algebraica, com ara solucions d’una inequació o dominis d’una funció.
Observacions sobre els sabers essencials i d'ampliació
En el saber #3.NUM.QU.Aés clau que l’alumnat comprengui l’existència de nombres decimals que no són racionals, com per exemple les arrels quadrades no exactes.
Introduir els nombres decimals no racionals amplia la visió de l’alumnat sobre el món dels nombres i reforça les bases per a conceptes més avançats. Aquesta ampliació ajuda a consolidar la idea de la recta real com un conjunt complet que inclou tant racionals com irracionals.
Pel que fa al saber #3.NUM.QU.C, és necessari que l’alumnat sàpiga aproximar nombres racionals amb la precisió requerida, sigui per excés o per defecte. Aproximar nombres és útil perquè permet controlar l’error i treballar amb valors pràctics que siguin prou precisos, sense necessitat de ser exactes.
Observacions sobre alguns sabers específics
L’alumnat ha de saber identificar i classificar nombres com fraccions i decimals, i transformar-los entre aquests formats, saber #3.NUM.QU.B. Això inclou treballar amb fraccions generatrius per comprendre com els decimals periòdics es converteixen en fraccions.
Comprendre que els nombres racionals i irracionals es representen com a punts a la recta real, saber #3.NUM.QU.E, facilitarà el treball amb intervals i la resolució d’inequacions. Per reforçar aquests conceptes, es proposa un joc de rol (role-play) que n’afavoreix la comprensió.
Existència de nombres no racionals. Nombres decimals no exactes ni periòdics.
Classificació de nombres racionals, relació i transformació entre fracció i decimal (fraccions generatrius).
Estimació i aproximació per excés i per defecte de nombres racionals amb la precisió requerida.
Interpretació de nombres molt grans o molt petits. Reconeixement i utilització de la notació exponencial i científica, analitzant-ne l’ordre de magnitud, incloent-hi la lectura d’aquestes quantitats en la calculadora o full de càlcul.
Representació a la recta real d’intervals i semirectes.
Recursos i activitats
Recursos i activitats generals per al bloc de sabers
Una activitat que permet treballar els sabers #3.NUM.QU.A i #3.NUM.QU.B està extreta d’An introduction to irrational numbers de NRICH. En aquesta activitat, es defineixen les fraccions mediants. Donades dues fraccions \(\displaystyle\frac ab\) i \(\displaystyle\frac cd\), la fracció mediant, \(\displaystyle\frac{a+c}{b+d}\) té com a numerador la suma dels numeradors de les fraccions inicials i com a denominador la suma dels seus denominadors. La fracció mediant sempre compleix la propietat que \(\displaystyle\frac ab<\frac{a+c}{b+d}<\frac cd\).
Com a curiositat, el diagrama de Farey és una representació que mostra totes les fraccions irreductibles compreses entre 0 i 1, ordenades de menor a major, en una seqüència anomenada seqüència de Farey. La seqüència de Farey d’ordre n conté totes les fraccions irreductibles amb denominador menor o igual a n.
Un fet destacable és que, donades dues fraccions consecutives en una seqüència de Farey, la seva mediant sempre serà una fracció que apareix a l’ordre següent.
En el gràfic següent, cada color representa una seqüència de Farey diferent, destacant com augmenta la densitat de fraccions a mesura que s’incrementa l’ordre.
En aquesta activitat, l’alumnat ha d’endevinar quina fracció irreductible \(\displaystyle\frac ab\), amb \(0<\displaystyle\frac ab<1\), s’està pensant.
Només poden fer preguntes del tipus «és més petita que la fracció …?» o «és més gran que la fracció …?», que només es poden respondre amb un sí o un no.
Suposem que la fracció que cal trobar és \(\displaystyle\frac{12}{19}=0,6315\).
Com que saben que la fracció està entre 0 i 1, pregunten si la fracció és més petita que la seva mediant \(\displaystyle\frac{0+1}{1+1}=\frac 12\). Resposta: no.
Ara sabem que la fracció està entre\(\displaystyle\frac 12\) i \(\displaystyle\frac 11\), així que pregunten si és més petita que la seva mediant \(\displaystyle\frac{1+1}{2+1}=\frac 13=0,33\). Resposta: sí.
Ara sabem que la fracció està entre \(\displaystyle\frac 12\) i \(\displaystyle\frac 23\), així que pregunten si és més petita que la seva mediant \(\displaystyle\frac{1+2}{2+3}=\frac 35=0,6\). Resposta: no.
Ara sabem que la fracció està entre \(\displaystyle\frac 35\) i \(\displaystyle\frac 23\), així que pregunten si és més petita que la seva mediant \(\displaystyle\frac{3+2}{5+3}=\frac 58=0,625\). Resposta: no.
Ara sabem que la fracció està entre \(\displaystyle\frac 58\) i \(\displaystyle\frac 23\) així que pregunten si és més petita que la seva mediant \(\displaystyle\frac{5+2}{8+3}=\frac {7}{11}=0,636\). Resposta: sí.
Ara sabem que la fracció està entre \(\displaystyle\frac 58\) i \(\displaystyle\frac 23\) així que pregunten si és més petita que la seva mediant \(\displaystyle\frac{5+7}{8+11}=\frac {12}{19}\). Com que és la fracció que estàvem pensant, s’acaba el joc i han trobat la fracció.
L’activitat també es pot utilitzar per trobar la fracció generatriu d’un nombre decimal exacte o periòdic, és a dir, d’un nombre racional. Es comença amb un nombre entre 0 i 1 (per a nombres més grans que 1 es fa servir la seva expressió mixta).
Per exemple, si es vol trobar la fracció generatriu del nombre \(0,15151515…\)
Font: Elaboració pròpia
Per tant, la fracció generatriu \(0,15151515…=\displaystyle\frac5{33}\).
Aquesta mateixa activitat es pot utilitzar per comprovar que no tots els nombres decimals es poden expressar en forma de fracció, i que, per tant, existeixen nombres no racionals.
Es planteja a l’alumnat la tasca de trobar la fracció que representa, per exemple, el nombre 0,101001000100001… (per dur a terme aquesta recerca, poden fer ús d’un full de càlcul).
Observaran que el procés s’allarga indefinidament i que mai no arriben a trobar una fracció que sigui exactament igual al nombre donat.
A partir d’aquesta experiència, s’explica que no és possible trobar una fracció per a tots els nombres decimals, sinó només per a aquells que anomenem racionals.
Recursos i activitats per treballar sabers concrets
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
A. Existència de nombres no racionals. Nombres decimals no exactes ni periòdics. [ESS]
El saber #3.NUM.QU.A es pot treballar amb problemes que permeten entendre el concepte de nombre irracional.
L’activitat Near 10, proposada al web de NRICH, planteja la pregunta següent:
Quants nombres enters,\(n\), hi ha que compleixin que la diferència entre\(\sqrt{n}\) i \(10\) és menor que \(1\)?
Aquesta pregunta permet entendre el concepte d’arrel i la seva aproximació: perquè es compleixi el que es demana, s’ha de complir que \(9<\sqrt{n}<11\) i, per tant, \(n\) ha d’estar entre \(9^2=81\) i \(11^2=121\). Com que ens demanen quants nombres enters, aleshores \(n\in\{82,83,84,...,120\}\) i, per tant, hi ha 39 enters.
Al bloc de PuntMat, trobem l’entrada Decimals periòdics, en què es proposen activitats que ajuden l’alumnat a comprendre millor la relació entre fraccions i decimals periòdics, saber #3.NUM.QU.B. Proposa examinar fraccions amb denominadors com ara 7, 13 i 19 per detectar patrons en els períodes decimals, i també explora la connexió amb els factors primers dels denominadors.
B. Classificació de nombres racionals, relació i transformació entre fracció i decimal (fraccions generatrius). #EST.DI
Decimals periòdics
Al bloc de PuntMat, trobem l’entrada Decimals periòdics, en què es proposen activitats que ajuden l’alumnat a comprendre millor la relació entre fraccions i decimals periòdics, saber #3.NUM.QU.B. Proposa examinar fraccions amb denominadors com ara 7, 13 i 19 per detectar patrons en els períodes decimals, i també explora la connexió amb els factors primers dels denominadors.
Terminating or Not?
Altres activitats per treballar la relació entre els nombres racionals i els nombres decimals, saber#3.NUM.QU.B, les trobem a la web de l’NRICH:
Terminating or Not? convida l’alumnat a analitzar nombres racionals per determinar si les seves fraccions equivalents tenen una representació decimal finita o infinita. L’activitat posa el focus en l’exploració dels factors primers dels denominadors de les fraccions irreductibles, i destaca que un decimal és finit només quan aquests denominadors contenen exclusivament factors 2 i/o 5. Aquesta proposta ajuda a comprendre la relació entre fraccions i decimals, i permet deduir regles generals per identificar quan una representació decimal és finita.
Per introduir aquesta activitat a l’aula, es pot començar escrivint a la pissarra una seqüència de fraccions com \(\displaystyle\frac 1{40},\ \frac 2{40},\ \frac 3{40},...,\frac{20}{40}\), i preguntar a l’alumnat quines d’aquestes es poden expressar com a decimals finits i per què. Això desperta la seva curiositat i els prepara per a l’activitat posterior.
A continuació, es divideix la classe en petits grups, i es proporciona a cada grup un llistat de fraccions perquè les converteixin a decimals. L’objectiu és que identifiquin quins decimals són finits i quins són infinits. Durant el procés es guia l’alumnat perquè analitzi els denominadors de les fraccions amb decimals finits (s’observa que només contenen factors 2 i/o 5) i els compari amb els altres denominadors.
Finalment, se’ls demana que formulin una regla general basada en les seves observacions. Això els porta a la conclusió que només les fraccions amb denominadors irreductibles compostos únicament per factors 2 i/o 5 tenen una representació decimal finita.
Es pot ampliar la investigació amb l’objectiu de descobrir que els periòdics mixtos tenen 2 i/o 5, així com altres factors primers, en la descomposició factorial del denominador, quan la fracció és irreductible.
Repetitiously
L’activitat Repetitiously ajuda l’alumnat a expressar decimals periòdics com a fraccions mitjançant l’ús d’equacions. L’activitat inclou preguntes per guiar el raonament, explorar altres decimals i discutir els resultats en grup.
Per iniciar-la, es proposa el nombre \(x=0,\hat{2}\). Es demana escriure el nombre \(2,\hat{2} \) en funció de \(x\) de dues maneres diferents. Si cal, es pot suggerir multiplicar \(x\) per algun nombre per obtenir \(2,\hat{2}\ \left(10x=2,\hat{2}\right)\) o trobar un valor que, sumat a \(x\), també doni \(2,\hat{2}\ \left(2+x=2,\hat{2}\right)\). Això permet plantejar una equació \(\left(10x=2+x\right)\) per obtenir la fracció generatriu del nombre \(x=0,\hat{2}=\frac 29\).
Tiny nines
En l’activitat Tiny nines es proposa cercar patrons partint de fraccions que generen decimals periòdics:
A partir de fraccions com \(\frac 19,\ \frac 1{99}, \frac 1{999}\), s’anima l’alumnat a predir el resultat de fraccions com \(\frac 1{9999}\), i d’altres de relacionades \(\frac 1{11},\frac n{99}\). L’objectiu és trobar regles generals i demostrar equivalències entre fraccions i decimals.
Petits Nous
L’activitat es presenta des del CREAMAT al document Petits Nous, amb l’objectiu de treballar-la a l’aula mitjançant metodologies col·laboratives com Llapis al centre i 1-2-4:
Llapis al centre és una metodologia que promou la col·laboració en grup. Tot l’alumnat col·loca el seu llapis al centre de la taula en iniciar una discussió o un treball col·lectiu. Només agafen el llapis per escriure quan tenen una idea clara o acordada pel grup. Aquesta tècnica fomenta la reflexió i evita que ningú domini la conversa o prengui decisions sense consens.
1-2-4 implica un treball progressiu: inicialment individual (fase 1), després en parelles (fase 2) i, finalment, en grups de quatre (fase 4). Cada etapa aporta noves idees i perspectives diferents, per tal d’ajudar el grup a arribar a conclusions o solucions més completes.
C. Estimació i aproximació per excés i per defecte de nombres racionals amb la precisió requerida. [ESS] #MES.ER
Per treballar el saber #3.NUM.QU.C, es presenta una Simulació amb cigrons d’Anton Aubanell, publicada a l’ARC. La tècnica utilitzada en aquesta activitat s’anomena captura i recaptura, i s’utilitza per al recompte estimatiu de poblacions d’animals que viuen en llibertat. Aquesta metodologia es pot aplicar en contextos molt diversos, com ara comptar balenes al mar del Nord, esquirols en un bosc o peixos a l’estany de Banyoles.
En aquesta activitat, es farà una simulació d’aquest mètode amb l’objectiu de calcular el nombre d’individus d’una població utilitzant cigrons.
Es proposa a l’alumnat el següent repte: «Quants cigrons hi ha en un quilogram de cigrons?».
Es porta a classe una bossa amb un quilogram de cigrons i es col·loquen en un recipient. Es pren una primera mostra de cigrons i es compten (suposem que n’hi ha \(m_1\)). Treballant conjuntament tot el grup, es fa una marca ben visible amb un retolador sobre cadascun dels cigrons de la mostra. A continuació, es retornen tots els cigrons al recipient i es barregen bé amb la resta.
Després, en equips de tres persones, es pren una segona mostra de cigrons, que es compten (suposem que n’hi ha \(m_2\)). Tot seguit, es compta quants dels \(m_2\) cigrons de la segona mostra porten el senyal del retolador, és a dir, quants formaven part de la primera mostra (suposem que en són \(n\)).
Si anomenem t el total de cigrons que es vol estimar, sembla raonable esperar que la proporció de cigrons marcats \(n\) en la segona mostra \(m_2\) sigui aproximadament igual a la proporció de cigrons marcats en la primera mostra \(m_1\) respecte del total \(t\). Això es pot expressar amb la relació:
D’aquí es pot deduir la fórmula per estimar \(t\):
\(t\approx\displaystyle\frac{m_1\cdot m_2}{n}\)
Un cop cada equip hagi fet aquesta estimació, serà interessant comptar, entre tots, quants cigrons hi ha realment i calcular l’error comès, tant l’absolut com el relatiu.
D. Interpretació de nombres molt grans o molt petits. Reconeixement i utilització de la notació exponencial i científica, analitzant-ne l’ordre de magnitud, incloent-hi la lectura d’aquestes quantitats en la calculadora o full de càlcul. #ALG.PC
Notació científica
Per treballar el saber #3.NUM.QU.D i ajudar l’alumnat a comprendre la importància i la necessitat de la notació científica, Sandro Maccarrone va traduir i publicar una activitat de Desmos anomenada Notació científica, que presenta la seqüència d’activitats següent:
Es demana ordenar de menor a major els nombres següents, sense utilitzar la calculadora.
A continuació, es demana fer el mateix amb una nova sèrie de nombres.
Un cop completades les activitats, es pregunta a l’alumnat: «Quin dels dos llistats t’ha resultat més fàcil d’ordenar?».
Finalment, s’explica que la notació científica facilita la comparació de quantitats de diferent magnitud i és especialment útil per treballar amb valors molt grans (distàncies en el sistema solar) i molt petits (mesures en un tub d’assaig).
Potències de 10
Per ajudar l’alumnat a comprendre els ordres de magnitud, saber #3.NUM.QU.D,el vídeo Potències de 10 és una eina visual molt efectiva. Mostra com es poden ampliar o reduir les escales de l’univers, des d’objectes quotidians fins a les galàxies i, en sentit contrari, fins a partícules subatòmiques. Aquesta representació ajuda a entendre les potències de 10 i la magnitud de diferents ordres de mesura, fet que facilita la comprensió de conceptes com la notació científica.
Piràmide de Penics
Es pot trobar una altra activitat per treballar el saber #3.NUM.QU.D al web del CREAMAT, Piràmide de Penics de Dan Meyer. Aquesta proposta s’enquadra dins del que Meyer anomena «Activitats en tres actes». La idea principal és que l’alumnat formuli les seves pròpies preguntes i rebi les dades necessàries en funció dels seus interrogants.
Es fomenta una primera reflexió individual, seguida d’una posada en comú amb el grup classe.
Algunes preguntes interessants podrien ser: Quantes monedes calen per construir la piràmide? Quant de temps es va necessitar per fer-la?
Es demana a l’alumnat que faci una estimació inicial de la resposta, preferiblement proporcionant un interval en lloc d’un valor concret. Posteriorment, es recopilen totes les estimacions i es delimiten valors mínims i màxims, per així establir el rang dins del qual hi pot haver la resposta correcta.
Acte 2: Identificació de dades necessàries i planificació
Després de les estimacions, es pregunta quines dades necessiten per resoldre el problema. El grup classe acorda quines són les dades imprescindibles.
Aquesta etapa fomenta la planificació abans d’obtenir les dades i promou un pensament estratègic i heurístic, ja que, sense tenir tota la informació disponible, l’alumnat ha de dissenyar possibles mètodes de resolució.
És recomanable que aquesta part es dugui a terme amb un full de càlcul, per facilitar l’exploració de diferents escenaris inicials i reforçar les habilitats digitals.
Acte 3: Resolució i verificació
Finalment, es proporciona a l’alumnat les dades necessàries (disponibles al mateix web) i es procedeix a resoldre el problema.
Els resultats es comproven i es discuteixen amb el grup, i es reflexiona sobre l’estratègia utilitzada i les conclusions obtingudes.
Es pot ampliar aquesta activitat convidant l’alumnat a formular noves preguntes o modificar les condicions inicials.
Aquest tipus de propostes són l’inici d’una exploració que pot evolucionar fàcilment cap a un projecte més extens i profund.
E. Representació a la recta real d’intervals i semirectes. #ALG.ID
Per treballar el saber #3.NUM.QU.E es pot fer un joc de rol amb l’alumnat per representar intervals i semirectes sobre la recta real:
Es marca el terra amb una cinta la recta real i la situació d’uns quants nombres enters.
L’alumnat es distribueix en grups, de manera que cada grup té assignades unes targetes amb intervals o semirectes escrits. Els alumnes es col·loquen sobre la «recta real» segons l’interval o semirecta assignada de la manera següent:
Es posa un alumne en cada un dels enters interiors de l’interval, estirant els braços fins a tocar el company.
Si l’extrem de l’interval és tancat, es col·loca un alumne amb el braç abaixat. Per exemple, en la imatge es representa la imatge [0, 5].
Font: Elaboració pròpia
Font: Elaboració pròpia
Si l’extrem de l’interval és obert, no es posa cap alumne al límit per indicar que no inclouen aquell punt. Per exemple, en la imatge següent es veu la representació de l’interval (-4, 2)
Font: Elaboració pròpia
Per a les semirectes, s’estenen cap a un costat amb els braços i aixecant una cama per mostrar infinit. En l’exemple (-∞,5]
Font: Elaboració pròpia
La resta de grups comproven que la representació feta sigui correcta.
Es pot ampliar l’activitat fent unions o interseccions d’intervals, representant diversos grups a la vegada amb la seva targeta.
