Funcions a partir de rectangles isoperimètrics i de rectangles equivalents

A l’ARC hi trobem el recurs Funcions a partir de rectangles isoperimètrics i de rectangles equivalents, de l’Anton Aubanell, per treballar el saber #3.ALG.RF.C. Es tracta de relacionar, respectivament, rectangles que tenen el mateix perímetre amb el concepte de funció afí; i rectangles que tenen la mateixa àrea amb la funció de proporcionalitat inversa.

Per al bloc de funció afí es proposa el següent:

• Retallar rectangles de dimensions diferents que tinguin tots 24 cm de perímetre en cartolina de diferents colors.
• Dibuixar, sobre paper mil·limetrat, uns eixos de coordenades amb l’origen desplaçat cap a la part inferior dreta i assenyalar ratlletes de separació a cada centímetre del 0 al 12.
• Situar tots els rectangles tal com mostra la primera figura, amb un vèrtex sobre l’origen i dos costats sobre els eixos.
• Dibuixar la recta que determinen els vèrtexs oposats al que està sobre l’origen i escriure les coordenades de diversos punts d’aquesta recta.
• Plantejar aquesta pregunta a l’alumnat: si \(\left(x, y\right) \) és un punt genèric d’aquesta recta, quina relació hi haurà d’haver entre les coordenades \(x\) i \(y\)?
• Posar nom a aquesta funció.

Per al bloc de funció de proporcionalitat inversa es proposa el següent:

• Retallar rectangles de dimensions diferents que tinguin tots \(36\text{ cm}^2\) d’àrea en cartolina de diferents colors.
• Dibuixar, sobre paper mil·limetrat, uns eixos de coordenades amb l’origen desplaçat cap a la part inferior dreta i assenyalar ratlletes de separació a cada centímetre del 0 al 20.
• Situar tots els rectangles tal com mostra la segona figura, amb un vèrtex sobre l’origen i dos costats sobre els eixos.
• Dibuixar la corba que determinen els vèrtexs oposats al que està sobre l’origen i escriure les coordenades de diversos punts d’aquesta corba. Per dibuixar-la pot ser útil un regle flexible (spline).
• Plantejar aquestes preguntes a l’alumnat: si \(\left(x, y\right)\) és un punt genèric d’aquesta corba, quina relació hi haurà d’haver entre les coordenades \(x\) i \(y\)? Aquesta corba arribarà mai a tocar els eixos de coordenades?
• Posar nom a aquesta funció.

Plantegem una bona oportunitat per presentar la hipèrbola (en particular la hipèrbola equilàtera) com la corba corresponent al gràfic d’una funció de proporcionalitat inversa. Ara, amb el GeoGebra, es poden dibuixar diferents hipèrboles equilàteres i comparar els perfils segons el numerador.

També podem evidenciar connexions amb ciències experimentals, indicant que, quan un feix de partícules amb càrrega elèctrica s’apropa a un nucli atòmic, la seva trajectòria es desvia seguint una hipèrbola. És l’anomenada dispersió de Rutherford.

Endevina la funció

Una activitat per treballar el saber #3.ALG.RF.C, el saber #3.ALG.RF.D i el saber #3.ALG.RF.E és Endevina la funció. L’alumnat treballa en grups de 4. A cada grup se li lliuren 10 targetes on, a cada targeta, hi ha el gràfic i l’expressió algebraica d’una funció. Es posa la pila de targetes cap avall damunt la taula i un membre del grup n’agafa una sense que la resta vegi quina és. Els tres membres del grup que no tenen la targeta, per torns, hauran d’anar fent preguntes al membre que té la targeta que es puguin respondre amb un sí o un no. Es tracta d’endevinar quina funció hi ha a la targeta. Qui l’endevina, serà el següent a agafar una altra targeta per repetir el joc.

Poden sortir moltes preguntes relacionades amb les propietats i característiques de les funcions: És lineal? És afí? És quadràtica? És de proporcionalitat inversa? És creixent? És decreixent? És simètrica? Té màxim? Té mínim? Talla els eixos?, etc.

És important que els membres que fan les preguntes vagin prenent nota i vagin fent l’esbós de la funció a mesura que es formulen les preguntes. En funció de si s’han treballat totes les expressions que representen les funcions de les targetes, es pot demanar com a resposta només un esbós de la gràfica o un esbós de la gràfica més l’equació de la funció.

Inventa’t la teva pròpia funció

També per treballar els sabers #3.ALG.RF.C, #3.ALG.RF.D i #3.ALG.RF.E, i en la mateixa línia que el recurs anterior, hi ha l’activitat Inventa’t la teva pròpia funció. L’alumnat treballa en grups de 4. Es dona un llistat de frases en què cadascuna representa una funció. Individualment, l’alumnat llegeix la frase i s’inventa un esbós d’un gràfic que compleixi les condicions de la frase. També en cerca l’expressió algebraica.

Un cop tots els membres del grup tinguin l’esbós fet, el comparen i observen si tots compleixen les condicions i quines diferències hi ha entre les diferents propostes. Fet això, en gran grup, un portaveu de cada equip explica com són les funcions que s’han inventat i es discuteix si hi ha altres possibilitats que també encaixin amb el que diu la frase. A continuació es passa a treballar la frase següent.

Per exemple, una de les frases és: Funció quadràtica amb una arrel doble en \(x = 1\). Majoritàriament, l’alumnat acostuma a trobar \(f\left(x\right) = \left(x-1\right)^2\), però cal fer veure que hi ha possibilitats infinites que compleixen la condició \(f\left(x\right) = 3\left(x-1\right)^2\), \(f\left(x\right) = -2\,\left(x-1\right)^2\), \(f\left(x\right) = 5\,\left(x-1\right)^2\)… En definitiva, \(f\left(x\right) = k\,\left(x-1\right)^2\), amb \(k\) real.

Taules d’aniversari, patrons i funcions

Per treballar el saber #3.ALG.RF.B, el saber #3.ALG.RF.D i el saber #3.ALG.RF.F, tenim la seqüència d’activitats Taules d’aniversari, patrons i funcions, de Núria Serra, que es pot trobar a l’ARC. Es tracta d’una adaptació de l’activitat «Pattern and functions» de l’NCTM. La situació de partida és el muntatge de les taules per organitzar una festa d’aniversari. Per mitjà de l’activitat es treballen els següents objectius:

• Estudiar com varia l’àrea d’un rectangle mantenint el perímetre fix
• Obtenir el rectangle d’àrea màxima, d’entre tots els que tenen el mateix perímetre
• Descobrir la funció de segon grau fent el gràfic llargada del rectangle – àrea
• Deduir la representació algebraica de la funció
• Generalitzar el problema al cas d’un perímetre qualsevol

Es planteja a l’alumnat la situació següent’. L’estiu passat, la Laia va començar un petit negoci: organitzar festes d’aniversari per a nens petits del seu barri. Els veïns del barri, per tal d’ajudar-la, a cada festa li van deixar taules petites quadrades d’1 m de costat per posar el berenar, a cada costat de les quals cabia només un infant. Com que els nens sempre volien seure junts, la Laia ajuntava les taules quadrades formant rectangles. Si a la primera festa que va organitzar hi van anar 18 infants, com va poder posar les taules la Laia?

Aquest és el fil conductor de la proposta que ens portarà a optimitzar la superfície del rectangle format per les taules, veure en quins casos les taules es poden posar en forma de quadrat, treballar patrons i, finalment, descobrir la funció de segon grau (gràficament i algebraicament):

El treball es fa en grups de quatre per tal de compartir idees, però les fitxes de treball es lliuren individualment. En una primera part s’estudia la variació de l’àrea del rectangle mantenint el perímetre a 18 m. Es facilita material (policubs) a l’alumnat que el necessiti i/o el demani. Després s’organitza la informació en una taula i s’observen els patrons que hi ha:

Podem observar per exemple que:

• a mesura que la llargada augmenta, l’amplada disminueix, sempre sumant 9.
• a mesura que la llargada augmenta, l’àrea augmenta fins a un punt i després comença a disminuir de forma simètrica.
• a l’àrea sempre hi ha una diferència de 4 unitats quadrades entre dos valors consecutius de la taula.

Podem introduir què passaria si en lloc de parlar de nens i taules parléssim només de rectangles. Si les dimensions no tenen perquè ser enteres, podríem trobar un rectangle de perímetre 18 i àrea més gran que 20? Com seria?

Tot seguit es demana si les taules es poden disposar en forma de quadrat:

Font: Núria Serra

I es respon a la pregunta de quants nens i nenes haurien d’anar a la festa perquè les taules es poguessin posar en forma de quadrat. Hi haurà alumnes a qui els sortirà fer servir llenguatge algebraic naturalment i d’altres que ho expressaran verbalment.

Font: Núria Serra

En una segona part, es demana fer el gràfic amb GeoGebra que compara la llargada del rectangle amb la seva àrea, amb l’ajuda d’un tutorial que es pot trobar a la fitxa de l’activitat:

Font: Núria Serra

Un cop obtingut el gràfic, es demana a l’alumnat què observa i quines preguntes li venen al cap. Poden sortir preguntes que donen peu a converses interessants:

Després d’una posada en comú, es treballa com obtenir l’expressió que relaciona les dues variables i que surt a la finestra algebraica del GeoGebra:

Per últim, es fa la pregunta de què passaria si en lloc de 18 nens, en fossin 20? O 24? O 34? L’alumnat aprofita tota la informació que té fins al moment per respondre la pregunta, buscant el rectangle més «quadrat» possible.

Als materials també es proposen dues activitats d’ampliació («Parell de factors» i «Perímetre mínim») per si es vol anar més enllà.

La mateixa idea de com disposar taules, però en aquest cas en un restaurant, es troba al conte Spaghetti and Meatballs for all! (Burns, 2008). El conte pot servir per introduir el problema per resoldre d’una manera diferent. L’enllaç anterior ens porta al web de la professora Paula López Serentill, un web carregat de propostes en què el conte esdevé un recurs didàctic magnífic per treballar matemàtiques per a totes les edats.

Què tenen d’igual i què tenen de diferent?

Per treballar el saber #3.ALG.RF.D, podem utilitzar la tipologia d’activitats «Què tenen d’igual i què tenen de diferent?», esmentades també en el document de 2n d’ESO. Es tracta de mostrar dues imatges que s’hauran de comparar. L’alumnat haurà de verbalitzar què hi ha en comú a les dues imatges i quines diferències hi troben. La comparació ajuda l’alumnat a organitzar i estructurar els coneixements. Amb aquest tipus d’activitats es treballa el raonament així com la comunicació i l’argumentació. Vegem-ne l’exemple:

Font: elaboració pròpia

L’alumnat acostuma a trobar com a característiques iguals que les dues gràfiques són paràboles i totes dues tallen l’eix d’ordenades en el punt \(\left(0,1\right)\(. Com a diferències, en el primer cas, el coeficient del terme quadràtic és positiu, mentre que, en el segon cas, és negatiu; en el primer cas hi ha un mínim i, en el segon, un màxim; en el primer cas, hi ha un punt de tall amb l’eix d’abscisses (és a dir, l’equació de segon grau té discriminant zero) i, en el segon cas, hi ha dos punts de tall (discriminant positiu), etc. Són moltes les observacions per fer i la discussió en gran grup a classe pot resultar molt enriquidora.

Al CREAMAT trobem una entrada en la qual es parla d’aquest tipus d’activitats i se’ns proporcionen exemples per a tots els nivells. Un altre lloc on trobar molts exemples i de gairebé tots els sentits del currículum és el blog Same or different.

Anomena el gràfic

Per treballar el saber #3.ALG.RF.D, hi ha el recurs Anomena el gràfic, del web Underground Mathematics. El que proposem a continuació és fer-ne una adaptació més senzilla.

Es demana a l’alumnat que observi aquesta paràbola:

I llavors se’ls demana que trobin l’expressió algebraica de la paràbola, que expliquin de quantes maneres diferents la poden trobar i expliquin la seva elecció. Se’ls indica que el coeficient del terme quadràtic és 1, per tal d’escurçar la longitud de la tasca. Encara que, si es vol, es pot donar sentit gràfic al paràmetre a, mesurant el canvi dels valors funcionals des del vèrtex i movent-se una unitat cap a l’esquerra o cap a la dreta.

Aquesta activitat es proposa a l’alumnat quan ja s’han treballat les diferents formes que pot tenir l’expressió algebraica d’una paràbola.

Podem trobar la funció de segon grau expressada de tres maneres diferents:

1. \(f\left(x\right) = x^2 + b\,x + c\)
2. \(f\left(x\right) = \left(x-d\right)\ \left(x-e\right)\)
3. \(f\left(x\right) = \left(x-f\right)^2 + g\)

Per escriure l’expressió algebraica en forma (1), necessitem conèixer dues dades (perquè hi ha dues incògnites). Dos punts de coordenades qualssevol diferents de la paràbola funcionarien, ja que això permetria escriure dues equacions amb dues incògnites cadascuna. Per exemple, veiem que el gràfic passa pel punt \(\left(4,3\right)\) i \(\left(2,-1\right) \)·. Aquests punts han de satisfer l’equació:

\(3 = 4^2 + 4\,b + c\)

\(-1 = 2^2 + 2\,b + c\)

A continuació, resolem el sistema d’equacions i obtenim els valors de \(b\) i \(c\) que determinen la paràbola buscada.

Per escriure l’expressió algebraica en forma (2), necessitem conèixer els punts de tall amb l’eix d’abscisses, sempre que n’hi hagi. En el nostre cas, la paràbola talla als punts d’abscissa \(x = 1\) i \(x = 3\); per tant, la paràbola és \(f\left(x\right) = \left(x-1\right)\ \left(x-3\right)\).

Per escriure l’expressió algebraica en la forma (3), necessitem les coordenades del vèrtex de la paràbola \(\left(f,g\right)\), dades que podem extreure directament del gràfic. En l’exemple, el vèrtex es troba al punt \(\left(2,-1\right)\); per tant, la paràbola serà \(f\left(x\right) = \left(x-2\right)^2 - 1\).

L’objectiu final és cercar l’eficiència i que l’alumnat vegi que, si analitzem bé la situació, ens podem estalviar molts càlculs algebraics.

Funcions de proporcionalitat inversa

Per treballar els sabers #3.ALG.RF.C, #3.ALG.RF.E i #3.ALG.RF.F, hi ha moltes propostes amb GeoGebra que se’ns presenten ja preparades directament per treballar a classe. Una d’aquestes propostes és Funcions de proporcionalitat inversa. L’activitat comença introduint com és una funció de proporcionalitat inversa, quina forma té l’expressió algebraica i de quin paràmetre depèn. Després proposa que l’alumnat experimenti i, movent un punt lliscant, esbrini com el paràmetre determina la forma de la gràfica. També fa èmfasi en els punts de tall amb els eixos de coordenades, el creixement i decreixement de la funció i la simetria. Per últim, es donen unes quantes gràfiques i es demana trobar les expressions corresponents.

Petits relats associats a gràfiques de funcions

A l’ARC s’hi pot trobar el recurs Petits relats associats a gràfiques de funcions, d’Àlex Sayós, per treballar tant el saber #3.ALG.RF.A, el saber #3.ALG.RF.F com el saber #3.ALG.RF.G. Es tracta de fer tot un seguit d’activitats a partir de quatre relats donats i vuit gràfiques de funcions. És una activitat pensada per fer en grups de quatre alumnes i al llarg de dues sessions, amb l’objectiu principal de saber relacionar relats quotidians amb gràfiques de funcions.

A la primera sessió, s’organitza la classe en grups de 4 i el professorat lliura els quatre relats a cada grup, així com la fitxa de treball.

Es demana a l’alumnat que els llegeixi amb atenció i posteriorment es lliuren les 8 gràfiques.

La primera activitat que han de fer és discutir entre els integrants del grup quina gràfica associarien a cada relat. Han d’escriure la conclusió a la fitxa que s’ha lliurat a cada grup i argumentar en cada cas per què a cada relat li han associat la gràfica escollida. A continuació, fem la posada en comú amb tot l’alumnat de l’aula. Han d’explicar quina gràfica han escollit per a cada relat i donar l’argumentació que han fet com a grup. Al final, cal arribar a un acord amb tots els grups, de manera que tothom tingui associat cada relat amb la mateixa gràfica.

El següent pas que ha de fer cada grup és establir quines són les variables que intervenen, és a dir, quines magnituds van a cada eix de cadascuna de les quatre gràfiques acordades, quines unitats de mesura són les més adients en cada gràfica, tenint en compte el relat associat, i quins són els límits de cada eix per tal que la gràfica s’adapti totalment al relat. Tot això ho han de fer sobre les quatre gràfiques que han acordat anteriorment. Tornem a fer una posada en comú amb tota la classe, per tal de reorientar els grups en què les magnituds, unitats de mesura i límits dels eixos escollits no siguin apropiats a les gràfiques.

Per fer la segona part de l’activitat, cada grup haurà de disposar d’un ordinador amb algun programa que permeti representar punts com, per exemple, un full de càlcul o el GeoGebra. L’alumnat haurà d’omplir una taula de valors per a cadascuna de les quatre gràfiques. Aquestes taules les tenen al document de treball. S’haurà de tenir en compte el que es va fer en les activitats anteriors (magnituds, unitats i límits) i s’haurà de ser capaç d’escollir els punts més rellevants de cada gràfica. Un cop han omplert les quatre taules de valors, han de representar totes les coordenades dels punts en el programa de l’ordinador que tinguin. La idea és que, amb els punts que han escrit a les taules de valors, produeixin el gràfic resultant i, posteriorment, el comparin amb la gràfica del relat.

Finalment, cada grup ha de proposar un petit relat que es pugui associar a cadascuna de les quatre gràfiques que van sobrar en la sessió anterior.

Funcions de primer i segon grau

Tal com també passava amb el saber #3.ALG.RF.C, per treballar els sabers #3.ALG.RF.D, #3.ALG.RF.E i #3.ALG.RF.F, hi ha moltes propostes amb GeoGebra que se’ns presenten ja preparades directament per treballar a classe. Una d’aquestes propostes és Funcions de primer i segon grau, del professor Josep Lluís Cañadilla. L’activitat comença introduint com és una funció de primer grau, quina forma té i de quins paràmetres depèn. Després proposa que l’alumnat experimenti i, movent punts lliscants, esbrini com els paràmetres determinen la forma de la gràfica. També fa èmfasi en els punts de tall amb els eixos de coordenades i la monotonia de la funció.

De manera similar, s’aborda la funció de segon grau, i es fa èmfasi també en el vèrtex i l’obertura de la paràbola.

Per últim, es donen unes quantes gràfiques i es demana trobar les expressions algebraiques corresponents.

Allò que fa interessant aquesta proposta és que és l’alumnat qui va creant el full de treball des de zero seguint les instruccions.