Què és un radian?

El professor Daniel Mentrard és un excel·lent creador de recursos TIC de matemàtiques per a totes les edats, especialment en GeoGebra. Les seves aplicacions tenen com a finalitat ajudar les explicacions del docent i facilitar que l’alumnat, alhora que manipula les creacions virtuals, pugui construir coneixement matemàtic. Referida al saber #4.MES.ME.A volem destacar l’aplicació Explanation of de radian (1). Per dur-la a l’aula pot ser convenient agrupar l’alumnat en parelles i, sense explicacions prèvies, deixar que observin i facin anar la construcció. A partir d’aquí, fer-los escriure tot allò que observen i el que es pregunten. Aquest tipus d’activitats recollides sota el nom de What do you notice? What do you wonder? són habituals per iniciar temes, explorar quins coneixements previs té l’alumnat i afavorir la conversa matemàtica entre iguals. Tot seguit, una posada en comú sobre les observacions fetes per grup i la gestió de les preguntes que es facin, permetrà captar tota la informació que aporta la construcció en GeoGebra, i aconseguir que l’alumnat descobreixi el radian com a unitat de mesura angular. En l’aplicació trobem un botó que permet visualitzar i amagar el concepte de radian. En el moment que està actiu es marquen dos punts en el sector circular, un de color blau, el vèrtex de l’angle, i un altre de color verd, que permeten la translació i el gir d’aquest sector amb l’objectiu que pugui ser situat sobre la circumferència, fent coincidir el punt blau en el centre, i comparar l’angle complet amb un radian. Amb els botons de la part superior esquerra es pot clicar el primer de tots per situar la construcció en el seu moment inicial, i amb un clic al botó «Play» es pot anar seguint l’elaboració de l’aplicació. Des d’un punt de vista didàctic, és important que l’alumnat, agrupat en parelles, observi aquesta animació abans de respondre les preguntes esmentades anteriorment, ja que estem convençuts que la mateixa construcció els ajudarà en l’adquisició de coneixement i a fer-se preguntes.

No hem de perdre l’oportunitat també de fer un treball manipulatiu, i d’aquesta manera recollir alguns aprenentatges duts a terme a l’inici de la secundària. Cal que cada alumne pugui construir el radian en els seus apunts. Es pot fer amb regle i compàs, o amb un cordill, una planxa de suro, unes xinxetes i un full blanc. L’obtenció d’un sector circular que tingui la longitud de l’arc igual a la dels segments que el constitueixen, el radi de la circumferència, serà determinant. Alhora, la raó entre la longitud de qualsevol circumferència i el seu radi ajudaran a comparar l’angle complet amb el radian.

Presentación heurística de la trigonometría rectilínea

Una manera efectiva de treballar aquestes idees és a través d’activitats pràctiques que connectin l’alumnat amb la realitat física. Per exemple, es pot proposar la construcció de taules de valors per a diferents inclinacions d’un triangle rectangle, establint una relació experimental entre els angles i les seves raons trigonomètriques. Tal com s’indica en la sessió 26 «Presentación heurística de la trigonometría rectilínea» del llibre Didáctica matemática heurística (Puig Adam, 1956):

Al variar la inclinación de los rayos solares, varía la longitud de la sombra; luego, la razón r varía también. Si para cada inclinación i tuviéramos tabulada la razón r correspondiente, llamada tangente de i, no tendríamos necesidad de esperar a que hiciese sol para medir alturas, pues bastaría medir los ángulos de inclinación de visuales. Esto estimula el interés de construir una tal tabla, cuyos valores obtendrán los alumnos mediante construcciones de triángulos y mediciones de ángulos y catetos (actividad en clase).

L’alumnat haurà de dibuixar els 17 triangles (si es volen fer angles de 5° en 5°) i mesurar les longituds dels costats restants. Seguidament, es poden recollir els resultats obtinguts en les darreres tres columnes (raons entre les longituds dels costats) i fer un estudi estadístic dels resultats. Per fer aquest recull, l’ús de formularis pot facilitar la feina del docent a l’aula (tant per a la recollida de dades com per a l’estudi estadístic posterior). Aquest serà el pas previ per introduir, de manera natural, les definicions de les raons sinus, cosinus i tangent i, seguidament, comprovar que els resultats obtinguts són similars als que ens dona la calculadora.

Un cop completada la taula anterior, pot ser molt interessant observar quines relacions (algunes de les quals molt evidents) es donen. Aquestes primeres conclusions podran ser els primers passos per a l’estudi posterior del saber #4.MES.ME.D.

Aquesta manera d’enfocar l’estudi potencia no només la comprensió de les raons trigonomètriques, sinó també el seu caràcter aplicat. Cal insistir que, emprant aquesta metodologia, es reforça el fort vincle entre el teorema de Tales i les definicions de les raons trigonomètriques en triangles rectangles plans. A més, fomenta l’autonomia dels estudiants en la recerca de patrons matemàtics i la seva representació, cosa que contribueix al desenvolupament del pensament crític i analític.

Trigonometria del triangle rectangle amb geogebra

El recurs Trigonometria del triangle rectangle, creat per Manel Martínez, segueix la mateixa línia d’enfocament pedagògic proposada per Puig Adam en el seu llibre Didáctica matemática heurística (vegeu el text inicial del saber #4.MES.ME.C). Aquesta proposta fomenta l’experimentació de l’alumnat amb GeoGebra per tal d’explorar les relacions trigonomètriques en el context de triangles rectangles. A través d’aquest recurs, els estudiants poden manipular visualment els elements dels triangles (com els costats i els angles) i observar com varien les raons trigonomètriques (sinus, cosinus i tangent) a mesura que canvien les inclinacions.

Aquesta activitat es basa en el principi de la semblança de triangles i, com en la proposta de Puig Adam, en la relació estreta entre les raons trigonomètriques i el teorema de Tales. La manipulació dels triangles a GeoGebra permet als alumnes percebre de manera clara i visual aquesta relació proporcional, la qual cosa facilita la comprensió dels conceptes matemàtics. Aquest recurs és ideal per ser utilitzat després de la proposta de Puig Adam, ja que ofereix la possibilitat d’explorar i validar les conclusions obtingudes prèviament.

L’escaire i el cartabó

Aquest recurs proposa una activitat en què s’estudia el funcionament i les propietats de dos instruments de dibuix clàssics: l’escaire i el cartabó. Aquests instruments, utilitzats des de fa segles en la construcció i el dibuix geomètric, tenen una rellevància didàctica destacada per comprendre les raons trigonomètriques bàsiques en triangles rectangles.

L’escaire és un triangle rectangle escalè generat a partir de l’eix de simetria d’un triangle equilàter. Aquest instrument té una propietat interessant que es pot explorar en l’àmbit trigonomètric: permet visualitzar les raons trigonomètriques dels angles de 30° i 60°. Quan es manipula l’escaire, els alumnes poden observar com les proporcions dels costats d’aquest triangle es relacionen directament amb el sinus, el cosinus i la tangent d’aquests angles.

D’altra banda, el cartabó és un triangle rectangle isòsceles, creat a partir de la meitat d’un quadrat, tallant-lo per la seva diagonal. Aquest instrument és fonamental per comprendre les raons trigonomètriques associades a l’angle de 45°. Quan els alumnes treballen amb el cartabó, poden identificar fàcilment les relacions de proporcionalitat entre els costats i les raons trigonomètriques corresponents.

L’estudi d’aquests dos estris permet completar la taula clàssica de les raons trigonomètriques dels angles 0°, 30°, 45°, 60° i 90°. Estudiant la geometria de l’escaire i el cartabó, els estudiants poden deduir les raons trigonomètriques per a aquests angles a partir de la mesura dels costats dels triangles associats. Aquesta activitat proporciona una comprensió profunda del saber #4.MES.ME.C a través d’objectes de la vida quotidiana de l’alumnat.

Si es vol ampliar l’activitat, es poden cercar les relacions que es donen entre els costats dels dos estris, tenint en compte que la hipotenusa del triangle associat al cartabó mesura (generalment) el mateix que el catet més llarg del triangle associat a l’escaire. A partir d’aquí, donada la longitud d’un dels costats (per exemple, la longitud del catet del cartabó), es poden calcular les mesures de la resta de costats.

Mallorca a la vista!

Un dels camps en què la trigonometria ha tingut una gran aplicació és la cartografia. Les triangulacions fetes al segle XVIII per establir la longitud exacta d’un metre són un exemple històric del seu ús per mesurar distàncies en superfícies corbes. Inspirant-nos en aquest context, proposem una activitat que planteja una pregunta interessant: és possible veure Mallorca des de la costa catalana? Aquest problema permet treballar el saber #4.MES.ME.D, atès que implica la utilització de les raons trigonomètriques i les seves relacions en la resolució de problemes representables amb triangles rectangles.

Per facilitar-ne l’anàlisi, podem simplificar el plantejament inicial considerant un observador situat a nivell del mar a la costa catalana. Això redueix el problema a l’estudi d’un triangle rectangle format per:

1. L’observador (situat a nivell del mar).
2. El punt més alt de la serra de Tramuntana, a Mallorca.
3. El centre de la Terra.

Aquest triangle és rectangle a l’observador, ja que la línia de visió cap a Mallorca és tangent al perfil del planeta Terra. Per resoldre el problema, cal calcular l’angle entre l’observador, el centre de la Terra i el punt més alt de Mallorca. Mitjançant raons trigonomètriques i un raonament proporcional, es pot determinar si aquest angle permet una línia de visió directa o si la curvatura de la Terra ho impedeix.

Si es vol aprofundir i considerar el problema en la totalitat, s’hauria d’estudiar la situació amb l’observador situat a una certa alçària (per exemple, en un punt elevat de la costa catalana). Això afegeix complexitat al càlcul, ja que s’haurien de tenir en compte dos triangles rectangles i ajustar els càlculs en funció de les altures i distàncies relatives. Per a una anàlisi més detallada, es recomana la lectura de l’article Mirando al horizonte, de Pablo Rodríguez.

Aquesta activitat fomenta la capacitat de modelar matemàticament situacions del món real mitjançant la trigonometria. A més, ofereix una oportunitat per connectar conceptes matemàtics amb aspectes físics, com la curvatura de la Terra, i treballar la resolució de problemes de forma sistemàtica.

Una suma d’angles

Es planteja als alumnes la següent pregunta: quina és la suma dels angles marcats en la figura adjunta?

A partir de l’ús de les raons trigonomètriques, l’alumnat pot calcular aproximadament els valors dels angles \(\alpha\), \(\beta\) i \(\gamma\). L’interès d’aquest exercici radica en el fet que, segons la precisió amb què es calculin els quocients entre els catets dels tres triangles rectangles, el resultat serà un valor proper a \(90^{\circ}\). Però, com es pot demostrar que la suma dels tres angles és exactament \(90^{\circ}\)?

La resposta a aquest repte es pot trobar en el magnífic llibre de Roger Nelsen, Proofs Without Words III: Further Exercises in Visual Thinking (Nelsen, 2015). En aquest llibre, l’autor presenta una elegant demostració visual que formalitza aquesta propietat de manera intuïtiva i rigorosa.

A més, la figura que acompanya la demostració mostra altres relacions interessants entre els angles dels tres triangles inicials. De la demostració visual de Nelsen, en destaca especialment la invariància de les raons trigonomètriques en triangles semblants. En concret, el triangle central utilitzat en la demostració visual és semblant al triangle rectangle de catets de longitud 1 proposat en l’enunciat, fet que permet establir les relacions necessàries per validar el càlcul de manera inequívoca.

La distància entre la terra i el sol

Al segle III aC, Aristarc de Samos va ser un dels primers científics a intentar mesurar la distància entre la Terra i el Sol. Va basar el seu càlcul en l’observació de la Lluna durant la fase de quart creixent o quart minvant, quan està il·luminada al 50 %. En aquest moment, el triangle format per la Terra, la Lluna i el Sol és un triangle rectangle, ja que la línia que uneix la Terra amb la Lluna és perpendicular a la direcció de la llum solar. Aristarc va mesurar l’angle Lluna-Terra-Sol en aquesta configuració i, combinant-lo amb la distància estimada entre la Terra i la Lluna, va calcular la distància al Sol. Tot i que el mètode era enginyós, la tecnologia limitada de l’època va introduir errors significatius en la mesura de l’angle, la qual cosa va fer que subestimés la distància real.

En aquesta activitat, l’alumnat revisarà el mètode d’Aristarc utilitzant dades modernes per calcular la distància entre la Terra i el Sol. Mitjançant l’aplicació de raons trigonomètriques, es deduirà aquesta magnitud a partir de la mesura de l’angle Lluna-Terra-Sol i de la distància Terra-Lluna. Posteriorment, es reflexionarà sobre com un petit error en la mesura d’un angle pot amplificar-se de manera significativa en càlculs que impliquen grans escales, com en aquest cas. Aquesta reflexió posarà en evidència la propagació de l’error en el càlcul de magnituds espacials, un repte que Aristarc ja va afrontar i que encara és rellevant en l’astronomia moderna.

Finalment, es debatrà com els avenços tecnològics han permès superar les limitacions del passat, millorant la precisió de les observacions astronòmiques i refinant les nostres estimacions de les distàncies còsmiques. Aquesta activitat no només permet entendre la importància històrica del treball d’Aristarc, sinó que també destaca la rellevància de la precisió en la presa de mesures per obtenir resultats fiables.

Per a més informació, es pot consultar la publicació Distancia de la Tierra al Sol del Museu Virtual de la Ciència.

Les cordes que es tallen

L’activitat que es proposa es basa en un problema fascinant extret del llibre Matemática para todos (Paenza, 2017). Aquest autor, conegut pels seus llibres de divulgació matemàtica (premi ICM Leelavati pel seu treball en la divulgació de les matemàtiques), combina problemes aparentment senzills amb reflexions profundes que ens ajuden a veure les matemàtiques des d’una perspectiva diferent.

Paenza presenta el problema amb aquestes paraules:

Le propongo que piense en este problema que, en principio, pareciera tener una respuesta muy complicada y, sin embargo, no es así. Justamente, es el tipo de situaciones que más me gusta enfrentar, porque uno decididamente aprende el tener que ‘mirar’ las cosas con una perspectiva diferente.
Suponga que tiene dibujado un círculo C. Elija dos puntos cualesquiera en la circunferencia. Trace un segmento que los una (lo que se llama una ‘cuerda’).
Ahora, elija otro par de puntos cualesquiera en la misma circunferencia. Una vez más, trace la cuerda que los une.
La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que los dos segmentos se corten ‘dentro’ del círculo C?
Así como está planteado, parecería como que es imposible de responder, ¿no le parece? Sin embargo, dedíquele un rato y verá que se puede encontrar una forma de pensar o modelar el problema de manera tal de poder encontrar una respuesta.

Aquest problema, aparentment complicat, és una excel·lent oportunitat perquè els alumnes desenvolupin habilitats d’experimentació i modelització matemàtica. Una manera senzilla d’abordar-lo és utilitzar un simulador creat amb GeoGebra, en què els alumnes puguin generar múltiples exemples de cordes dins d’un cercle i calcular la freqüència relativa dels casos que es tallen ambdues cordes. A través d’aquesta experimentació, es poden establir conjectures i aproximar la resposta.

Tal com explica Paenza, la probabilitat que les cordes es tallin dins del cercle és sorprenentment senzilla: 1/3. Ell mateix ho descriu amb aquestes paraules: «Moraleja: la probabilidad de que se corten es 1/3. ¿Bonito, no? E inesperado también, al menos para mí». La demostració es pot trobar en el mateix llibre a les pàgines 205-206.

Per als docents i alumnes interessats a aprofundir en aquest i altres problemes, és recomanable consultar els llibres de divulgació d’Adrián Paenza, disponibles en accés obert a través l’espai Libros de Adrián Paenza de la Universitat de Buenos Aires. Aquests materials constitueixen una base excel·lent per portar problemes interessants i motivadors a l’aula.

Tres trossos d’un segment

Aquest problema, d’enunciat aparentment senzill, planteja una qüestió que combina la reflexió matemàtica i la intuïció geomètrica. Imaginem un segment de longitud 1. Si escollim dos punts aleatoris al llarg d’aquest segment i el trenquem en tres parts, quina és la probabilitat que aquests tres trossos formin un triangle? La resolució d’aquesta pregunta, tot i que sembla directa, requereix considerar un concepte clau: la desigualtat triangular. Aquesta estableix que, per formar un triangle, la suma de les longituds de qualsevol parell de costats ha de ser més gran que la del tercer costat.

L’activitat s’inicia amb el plantejament del problema, convidant els alumnes a fer conjectures sobre les condicions necessàries per formar un triangle. Aquesta primera reflexió, feta en petit grup o de manera individual, pot estimular idees inicials que després es validaran o refutaran mitjançant l’experimentació. Per explorar el problema de manera pràctica, es pot guiar els alumnes a crear simulacions utilitzant eines com GeoGebra o llenguatges de programació accessibles com Snap!. Aquest procés els permetrà generar segments aleatoris, comprovar si compleixen la desigualtat triangular i observar patrons en els resultats.

En cas que no sigui viable desenvolupar un simulador propi, es pot utilitzar el recurs en línia titulat Triangle Experiment, que facilita una visualització clara del problema i, a més, permet plantejar qüestions addicionals, com ara la probabilitat que els triangles formats siguin obtusangles o acutangles. Fer el recompte de casos favorables i estudiar-ne les respectives freqüències relatives ha de permetre als alumnes conjecturar sobre els valors de la probabilitat dels esdeveniments estudiats.

L’activitat no s’ha de limitar a la resolució inicial del problema. Un cop interioritzats els principis bàsics, es pot ampliar la investigació amb variacions, com ara trencar el segment en quatre parts i explorar les condicions per formar un quadrilàter, o analitzar, en cas que es formi un triangle, la probabilitat que sigui obtusangle o acutangle. Aquestes ampliacions ofereixen noves oportunitats d’experimentació i fomenten «fer matemàtiques».

Aquest problema, tot i la seva aparent senzillesa, és un exemple magnífic per introduir conceptes fonamentals de probabilitat i geometria de manera intuïtiva i pràctica. A més, el simulador descrit abans forma part d’una bateria de recursos de la Universitat d’Alabama, que permet proposar altres problemes similars per enriquir l’experiència a l’aula.

Triangles acutangles

El recurs proposat explora un problema fascinant i d’enorme potencial didàctic sorgit el 1982, ideat per Glen Hall sota el títol «Acute Triangles in the n-Ball». Aquesta problemàtica, a més de ser destacada en investigacions matemàtiques, és presentada al llibre El libro de las matemáticas de Clifford A. Pickover (Pickover, 2011), en què el capítol «Selección de triángulos en una esfera» sintetitza l’essència del problema. Pickover planteja:

Imagínese que elige tres puntos de un círculo de forma aleatoria para crear un triángulo. Hall se preguntó cuál sería la probabilidad de obtener un “triángulo agudo”, no solo para triángulos en el interior de un círculo, sino también en dimensiones superiores, como dentro de esferas o hiperesferas.

El problema original, que implica càlculs integrals avançats, pot resultar complex per al nivell de 4t d’ESO, però ofereix un punt de partida ideal per a l’experimentació i la descoberta a través de simuladors creats pels mateixos alumnes. A partir d’aquestes simulacions, l’alumnat pot explorar la distribució de triangles obtusangles i acutangles, fins a arribar a aproximacions de probabilitats sense necessitat de dominar eines matemàtiques avançades. Si es vol aprofundir en el problema original, es pot consultar l’entrada de Wolfram MathWorld titulada Ball Triangle Picking, en la qual es detallen els valors de les probabilitats fins a la dimensió 9.

Però, es pot adaptar aquest problema perquè sigui accessible per a l’alumnat de 4t d’ESO? Una proposta consisteix a substituir la circumferència per un quadrat i fixar dos dels vèrtexs del triangle en dos vèrtexs consecutius del quadrat. L’objectiu seria calcular la probabilitat que, escollint aleatòriament el tercer vèrtex dins del quadrat, el triangle obtingut sigui acutangle. Aquesta versió adaptada permet als alumnes seguir una seqüència d’experimentació, descoberta, conceptuació i, finalment, formalització i demostració mitjançant càlculs assequibles.

La representació gràfica de la regió factible (la zona del quadrat on el tercer vèrtex genera un triangle acutangle) resulta especialment reveladora. Aquesta regió està vinculada al concepte d’arc capaç d’una circumferència, establint connexions amb altres sabers geomètrics rellevants i oferint oportunitats per a l’anàlisi i la visualització. El càlcul final de la probabilitat s’obté a partir del quocient entre les àrees de les dues regions (la del quadrat i la regió complementària del semicercle). L’observació de com les freqüències relatives es van ajustant a la probabilitat calculada és clau per treballar el saber #4.MES.ME.F.

Naixements

Aquest problema captivador, extret del llibre Matemagia: problemas y enigmas (Paenza, 2015, pàg. 297-302), explora com la informació prèvia pot influir en la percepció de la probabilitat d’un esdeveniment. Ens situa en un context aparentment senzill, però que genera controvèrsia i desafia la intuïció matemàtica. El plantejament inicial, proposat per Gary Foshee durant una conferència en memòria de Martin Gardner el 4 de juny de 2010, diu:

Gary Foshee es uno de los más activos generadores de contenidos de matemática recreativa en el mundo. El 4 de junio del año 2010, en una conferencia que se hace cada dos años en Atlanta, Georgia, Estados Unidos, en recuerdo del mítico Martin Gardner, Foshee subió al escenario y propuso pensar el siguiente problema:

Yo tengo dos hijos. Uno de ellos es un varón. Nació un día martes. ¿Cuál es la probabilidad de que yo tenga dos varones?.

Abans d’abordar aquest problema, Paenza suggereix un enunciat més senzill:

Hablando de controversias, antes de analizar qué respuesta tiene el problema, quiero plantear otro, supuestamente más sencillo y después vuelvo con el anterior.

Alicia tiene dos hijos. Al menos uno de ellos es un varón. ¿Cuál es la probabilidad de que Alicia tenga dos varones?

En ambdós casos, el repte és comprendre com la informació proporcionada afecta el càlcul de probabilitats. La intuïció sovint ens condueix a errors: al segon enunciat, és fàcil pensar que la probabilitat és 1/2, mentre que la resposta correcta és 1/3. En el primer cas, en què es dona la informació addicional que el mascle ha nascut un dimarts, la probabilitat es modifica a 13/27. Aquesta diferència posa de manifest com petites variacions en les condicions de l’enunciat poden alterar significativament la independència o compatibilitat dels esdeveniments.

Aquest tipus de problemes són ideals per fomentar l’anàlisi crítica i el raonament matemàtic. A l’aula, es pot començar plantejant als alumnes el problema més senzill per explorar les seves intuïcions inicials i, després, guiar-los en la creació de simuladors. Per exemple, amb llenguatges com Python o Snap!, es poden generar famílies aleatòries de dos fills, assignant el sexe de cadascun i dies de naixement. Aquesta simulació permet comptabilitzar les freqüències relatives dels casos en què es compleixen les condicions inicials, ajudant els estudiants a conjecturar i verificar les solucions.

És crucial assegurar que els simuladors siguin rigorosos en la definició de les condicions inicials, especialment en el segon problema. Aquí, l’associació del dia de la setmana amb el sexe dels fills introdueix una nova dimensió que cal gestionar amb cura. Aquesta reflexió ajuda a consolidar la comprensió de la probabilitat condicionada i l’efecte de la informació prèvia sobre la independència dels resultats.

Per als docents i alumnes interessats a aprofundir en aquest i altres problemes, és recomanable consultar els llibres de divulgació d’Adrián Paenza, disponibles en accés obert a través de l’espai Libros de Adrián Paenza de la Universitat de Buenos Aires. Aquests materials constitueixen una base excel·lent per portar problemes interessants i motivadors a l’aula.

El joc de penney

El joc de Penney, concebut per Walter Penney el 1974, és un captivador joc de probabilitats basat en les cares i creus d’una moneda. En aquest joc, dos jugadors trien seqüències de tres resultats possibles (com ara C-C-X o X-C-C). Posteriorment, es llença una moneda repetidament i es registren els resultats, fins que apareix una de les seqüències triades. Sorprenentment, la probabilitat de guanyar no és simètrica: algunes seqüències són més probables que altres, encara que aparentment totes semblin tenir la mateixa oportunitat.

Per entendre millor el fenomen, és imprescindible partir de l’experimentació. Es pot iniciar amb una versió física del joc, llançant monedes repetidament i registrant els resultats per determinar quines seqüències apareixen primer. A mesura que s’acumulen dades, es pot introduir un simulador (com el suggerit en l’entrada del bloc Calaix +ie d’en Joan Jareño), que permetrà realitzar partides contra la màquina i observar els patrons de victòries. Encara més enriquidor és que els alumnes creïn els seus propis simuladors, utilitzant eines de programació com Snap!, un entorn de programació per blocs especialment adequat per a l’alumnat de 4t d’ESO. Aquesta activitat els ajudarà a analitzar les freqüències relatives dels esdeveniments i a formular conjectures sobre el comportament del joc.

Per a una visió detallada de com portar aquesta proposta a l’aula, recomanem consultar la contribució de Joan Jareño a l’entrada esmentada. La seva proposta pedagògica ofereix orientacions clares i concretes per treure el màxim partit d’aquest recurs, apropant l’alumnat als conceptes de probabilitat i independència d’una manera motivadora i pràctica.

El joc de Penney és un recurs excel·lent per treballar el saber #4.MES.ME.G, que tracta de la mesura de probabilitats en experiments aleatoris, tenint en compte la seva independència. En explorar com les seqüències triades interactuen i com aquesta dependència afecta les probabilitats, els alumnes poden comprendre millor com les condicions prèvies modifiquen els resultats. Això no només amplia els seus coneixements matemàtics, sinó que també enforteix la seva capacitat d’analitzar situacions complexes amb rigor i creativitat.