Significat i ús dels nombres racionals en contextos diversos. Tria de la representació adequada a cada situació (enter, fracció, decimal, percentatge…).
#EST.PI
#EST.DI
Representació i ús de les fraccions en diferents civilitzacions (per exemple l’egípcia, l’índia, la grega …).
Construcció geomètrica de nombres racionals mitjançant el teorema de Tales.
[AMP]
#MES.ME
#ESP.FG
Ús de fraccions (com a divisió, com a operador i com a raó) per resoldre problemes en contextos diversos.
[ESS]
#MES.ME
Consolidació de l’ús de l’error absolut i relatiu en l’aproximació amb nombres decimals.
#MES.ER
Ús de potències de base racional i exponent enter.
Descripció i orientacions
Reflexions inicials
Aquest bloc de sabers pretén desenvolupar una comprensió flexible de les relacions numèriques i fomentar el pensament crític, i alhora reforça el coneixement sobre els enters, les fraccions i nombres decimals. Pretén també preparar l’alumnat per a situacions quotidianes i per a conceptes matemàtics més avançats.
Introduir l’ús de les fraccions al llarg de la història és un magnífic context per treballar el concepte de manera competencial, i al mateix temps permet veure les matemàtiques com una disciplina que es desenvolupa i transforma culturalment.
Comentaris sobre les connexions
Aquest bloc està relacionat amb els sentits de la mesura, l’espacial i l’estocàstic.
El saber #2.NUM.QU.A és clau per entendre com es tracten i representen les dades en estadística mitjançant els conceptes de fraccions, percentatges i proporcions.
La construcció geomètrica de nombres racionals, saber #2.NUM.QU.C, necessita els sabers del sentit de la mesura. D’altra banda, aquest saber també està connectat amb el sentit espacial, en què treballen el teorema de Tales.
Comentaris sobre els sabers essencials i d'ampliació
Es considera essencial el saber #2.NUM.QU.D, que proporciona a l’alumnat les eines necessàries per abordar i resoldre problemes en una varietat de contextos pràctics. Aquest saber implica entendre que, segons la situació que s’estigui analitzant, les fraccions poden ser interpretades com a part d’una unitat, com a quocient, com a operador, com a resultat d’una mesura i com a raó.
El saber #2.NUM.QU.Ces considera d’ampliació, ja que pot ser adequat reservar per a 3r d’ESO totes les construccions geomètriques de nombres racionals i irracionals. S’ha de donar sentit al fet que la construcció, almenys en termes teòrics, és possible, encara que la mesura exacta no ho sigui. Si es decideix treballar-ho a 2n d’ESO, cal fer notar a l’alumnat la impossibilitat de mesurar, per exemple, el nombre \(0,3333\dots\) i, en canvi, la possibilitat de construir \(\frac 13\).
Observacions sobre alguns sabers específics
El saber #2.NUM.QU.Aproporciona a l’alumnat les eines necessàries per comprendre i treballar amb diferents formes de representació numèrica. Això implica saber quan és més pràctic expressar una proporció com a percentatge (com ara en descomptes o taxes d’interès), quan una fracció és més útil per mostrar relacions de part a tot (particions d’una unitat) i quan els decimals poden oferir una precisió necessària (com en mesuraments).
Comprendre la precisió i l’exactitud en els càlculs numèrics del saber #2.NUM.QU.E permet desenvolupar la capacitat d’avaluar la qualitat de les aproximacions numèriques, determinar quina és la precisió necessària en diferents contextos i fer judicis sobre l’adequació d’una aproximació.
El saber #2.NUM.QU.Fproporciona una base per a temes més avançats com les funcions exponencials i les operacions amb radicals, i ajuda a desenvolupar habilitats de raonament algebraic que seran essencials en cursos posteriors.
Significat i ús dels nombres racionals en contextos diversos. Tria de la representació adequada a cada situació (enter, fracció, decimal, percentatge…).
Representació i ús de les fraccions en diferents civilitzacions (per exemple l’egípcia, l’índia, la grega …).
Construcció geomètrica de nombres racionals mitjançant el teorema de Tales.
Ús de fraccions (com a divisió, com a operador i com a raó) per resoldre problemes en contextos diversos.
Consolidació de l’ús de l’error absolut i relatiu en l’aproximació amb nombres decimals.
Ús de potències de base racional i exponent enter.
Recursos i activitats
Recursos i activitats per treballar sabers concrets
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
A. Significat i ús dels nombres racionals en contextos diversos. Tria de la representació adequada a cada situació (enter, fracció, decimal, percentatge…). #EST.PI, #EST.DI
És interessant vincular la representació i el significat dels enters, saber #2.NUM.QU.A, en contextos diversos i en situacions reals i pràctiques. Es poden identificar els enters en problemes de guanys i pèrdues, temperatura (sota i sobre zero) o el recompte d’objectes. També es poden proposar activitats manipulatives, utilitzar rectes numèriques o materials visuals, que ajudaran l’alumnat a veure la relació entre els enters positius i negatius.
A flower for fractions
El saber #2.NUM.QU.A també fa referència a la importància d’una representació adequada dels nombres racionals segons la situació (fracció, decimal o percentatge). Per visualitzar diferents representacions d’aquests nombreses pot utilitzar el següent recurs de GeoGebra de Daniel Mentrard: The daisy: a flower for fractions.
Per treballar aquest saber, es poden proposar problemes en contextos reals en els quals calgui triar la representació correcta i fomentar discussions a classe sobre quina representació és més adequada en les diferents situacions i per què.
Diferents contextos que ajuden a fer-ho són els següents:
Càlculs de preus en una botiga, com ara pagar 3,75 €.
Activitats en què es mesuren distàncies, àrees o volums.
Activitats del sentit estocàstic, #EST.PI o #EST.DI, que fan referència al càlcul de freqüències i al càlcul de probabilitat.
Valorar els resultats d’un qüestionari (p. ex., 75 % d’encerts).
Calcular la part d’un temps, com ara 1/4 d’hora.
Repartir o dividir un objecte o un conjunt d’objectes en diferents grups.
Fraction rectangle
Escriviu el contingut...
Al web de NRICH es pot trobar l’activitat Fraction rectangle que ofereix l’oportunitat d’utilitzar i desenvolupar el coneixement de les fraccions, saber #2.NUM.QU.A.
El rectangle de dalt es divideix en una sèrie de quadrilàters i triangles més petits. S’ha de trobar quina fracció correspon a cadascuna de les 10 formes numerades. El resultat es pot donar també en percentatge o decimal.
Per a l’alumnat que ho necessiti, es pot marcar sobre la imatge una quadrícula per facilitar trobar les fraccions corresponents.
Al web Fraction Talks es poden trobar altres figures per treballar de manera similar.
L’activitat es pot desenvolupar en grups o individualment. S’ha de demanar a l’alumnat que justifiqui sempre les seves respostes, mentre que serà el professorat qui els guiï i ajudi en l’ús d’un llenguatge precís i adequat matemàticament.
Altres preguntes que podríem fer per tal d’ampliar l’activitat són: «Si l’àrea total és ‘A’, quina és l’àrea de la peça?», «Pots trobar totes les peces que siguin exactament ‘1/b’ del total?» o «Pots trobar una peça que sigui el doble/la meitat del total?».
B. Representació i ús de les fraccions en diferents civilitzacions (per exemple, l’egípcia, l’índia, la grega…).
Referent al saber #2.NUM.QU.B,és interessant fer saber a l’alumnat que a l’antiga Grècia no entenien les fraccions com un sol nombre, sinó raons entre ells. Per exemple, els pitagòrics utilitzaven les proporcions entre les longituds de la corda per determinar les notes de l’escala musical: pinçar una corda a raó 1:2 (per la meitat) la fa sonar una octava més alta, a raó 3:2 una quinta (de Do a Sol)... I així es van generant les notes.
A continuació es presenten activitats per mostrar com treballaven les fraccions les civilitzacions d’Egipte i de Mesopotàmia.
Les fraccions a Egipte:
Les fraccions: l’Ull d’Horus és una activitat que permet treballar les fraccions de l’antic Egipte. La unitat de capacitat era l’heqat (HqAt), representat amb l’Ull d’Horus, que s’utilitzava fonamentalment per mesurar el blat i la civada i equivalia a uns 4,8 litres. Cadascuna de les parts de l’Ull d’Horus era una fracció d’heqat. Considerant l’ull dret, la divisió era la següent:
Què passa si sumem totes les fraccions de l’ull? Quina fracció falta per completar la unitat?
Per respondre aquesta última qüestió es poden representar les fraccions de l’ull d’Horus geomètricament, i s’obté el quadrat següent:
Font: Elaboració pròpia
Una altra activitat per treballar les fraccions a l’antic Egipte es basa en el fet que només escrivien fraccions unitàries (amb un 1 al numerador) i ho feien de la forma següent:
Font: Elaboració pròpia
D’aquesta manera podien escriure totes les fraccions unitàries.
Les fraccions no unitàries les escrivien com a suma de fraccions unitàries. Així, per exemple:
Font: Elaboració pròpia
A partir d’aquí es poden fer preguntes com: «En una piràmide hem trobat la següent inscripció, quina fracció representa?».
Font: Elaboració pròpia
Les fraccions unitàries tenen molt de sentit en els repartiments, com es mostra en el vídeo del CREAMAT Fraccions egípcies.
Un algoritme per aconseguir escriure qualsevol fracció com a suma de fraccions unitàries es pot trobar en l’activitat The greedy algorithm, de NRICH.
Les fraccions a Mesopotàmia:
History of Fractions de NRICH ens ofereix una mica d’història sobre el sistema de numeració de l’antiga Mesopotàmia que permet treballar l’activitat següent:
Els babilonis escrivien els nombres en sistema sexagesimal. Aquest sistema només feia servir dos signes, un per a l’1 i l’altre per al 10, i els utilitzaven per escriure de l’1 al 59. En la imatge següent podeu trobar com s’escrivien els nombres de l’1 al 20.
En contextos com el comerç o l’agricultura dividien la unitat en parts més petites utilitzant fraccions amb denominadors que eren potència de 60. A més, escrivien les fraccions de forma posicional, és a dir, que el seu valor depenia de la posició que ocupaven.
En la imatge se’n mostra un exemple:
Font: Elaboració pròpia
A l’aula es pot dur a terme una activitat en què es mostri algun quadre com l’anterior i l’alumnat hagi de trobar a quin nombre o quina fracció correspon.
A més, dels babilonis es conserva la tauleta YBC7289, en què es calcula la diagonal d’un quadrat de costat 30 fent servir fraccions. Es considera que la tauleta va ser feta per un estudiant que visqué entre el 1800 i el 1600 aC. Conté una aproximació, excepcional per la seva antiguitat i la seva precisió, de la diagonal d’un quadrat i, per tant, de l’arrel de 2. A l’aula es pot posar la imatge de la tauleta i que l’alumnat dedueixi els nombres que hi ha escrits.
Un altre web de consulta en què es pot trobar informació sobre el sistema de numeració babilònic és Babylonian maths, del web Motivate.
C. Construcció geomètrica de nombres racionals mitjançant el teorema de Tales. [AMP] #MES.ME, #ESP.FG
La construcció geomètrica de les fraccions, del saber #2.NUM.QU.C,es pot fer a mà, amb llapis i regles, o bé fent ús del GeoGebra. De les dues maneres és interessant i enriquidor. Fent-ho a mà cal precisió, saber dibuixar rectes paral·leles i entendre bé què representa una fracció i on se situa a la recta numèrica. Si es fa mitjançant el GeoGebra, hi ha el material Construcció gràfica d’un nombre racional, de Guillem Bonet, que explica com fer-ho i que utilitza l’expressió de la fracció amb nombre mixt.
D. Ús de fraccions (com a divisió, com a operador i com a raó) per resoldre problemes en contextos diversos. [ESS] #MES.ME
El problema dels 25 camells
El «Problema dels 35 camells», que es planteja al llibre L’home que calculava de Malba Tahan, és un interessant context per al saber #2.NUM.QU.D:
Tres germans s’han de repartir els 35 camells que han rebut com a herència. Segons la voluntat del pare, el germà gran ha de rebre la meitat dels camells, el mitjà la tercera part i el més jove la novena part. (Tahan, 2012)
Es pot demanar a l’alumnat com farien aquesta repartició, quants camells donarien a cada germà, així com la seva justificació.
La solució que proposa el llibre és que afegint-hi un camell, fent el repartiment de 36 camells, tots hi surten guanyant i, el que pot resultar més curiós, és que al final sobren dos camells; el que han afegit i un altre que se’l queda l’home que calculava com a compensació per resoldre el conflicte entre els germans.
Peaches today, peaches tomorrow ...
Un altre recurs per treballar el saber #2.NUM.QU.D és el problema que es troba al web de NRICH Peaches today, Peaches tomorrow…:
Un mico té una determinada quantitat de préssecs. Cada dia se’n guarda una fracció, en regala la resta i després se’n menja un. Quant de temps li poden durar els préssecs?
Aquest problema consta de tres parts, cada part esdevé més oberta i requereix més raonament, cosa que dona a l’alumnat l’oportunitat de desenvolupar les seves habilitats per resoldre problemes amb fraccions.
Les 3 parts del problema són:
Part 1: Un mico té 60 préssecs.
El primer dia decideix quedar-se\(\frac 34\) dels seus préssecs i regalar-ne la resta. Després se’n menja un.
El segon dia decideix quedar-se \(\frac7{11}\) dels seus préssecs i regalar-ne la resta. Després se’n menja un.
El tercer dia decideix quedar-se \(\frac59\) dels seus préssecs i regalar-ne la resta. Després se’n menja un.
El quart dia decideix quedar-se \(\frac27\) dels seus préssecs i regalar-ne la resta. Després se’n menja un.
El cinquè dia decideix quedar-se\(\frac23\) dels seus préssecs i regalar-ne la resta. Després se’n menja un.
Quants préssecs li queden?
Part 2: Un mico té 75 préssecs.
Cada dia se’n guarda una fracció, en regala la resta i després se’n menja un.
En quin ordre utilitza les fraccions si al final només n’hi queda un?
Part 3: Sempre que el mico té préssecs, en guarda una fracció cada dia, en regala la resta i després se’n menja un. Quants dies pot fer que durin els préssecs?
Les seves regles són:
Cada fracció ha de ser en la forma més simple i ha de ser inferior a 1.
El denominador mai pot ser el mateix que el nombre de préssecs que queden.
Per exemple, si queden 45 préssecs, no podria escollir quedar-se amb \(\frac{44}{45}\) d’ells.
Es pot començar amb menys de 100 préssecs i triar fraccions de manera que al cap d’una setmana quedi almenys un préssec?
Començant amb menys de 100 préssecs, quin és el temps més llarg que pots fer que durin els préssecs?
Una bona estratègia per treballar el problema a l’aula és fer parelles o grups de tres. Cal presentar la primera part del problema i no donar la segona fins que no tinguin resolta l’anterior. S’ha de donar temps a l’alumnat per treballar, cada grup ha d’anar al seu ritme. És important compartir estratègies i discutir qualsevol dificultat que vagi sorgint.
Escoltant els enfocaments dels companys i de les companyes, s’anima l’alumnat a perseverar i continuar millorant la seva solució.
Per treballar fraccions
Altres contextos per treballar fraccions a través de la resolució de problemes, saber #2.NUM.QU.D, són:
Repartir quantitats de forma equitativa: has de repartir 3 pastissos entre 5 persones. Quina quantitat de pastís rebrà cadascuna?
També es pot plantejar de manera que hi hagi més pastissos que persones. Són interessants les representacions del problema que poden fer (dibuixos, material manipulatiu…).
A l’entrada Representació de fraccions del web del CREAMAT es mostren diferents maneres de representar les fraccions i fer repartiments. Cap al final de l’entrada hi ha diversos vídeos en què es mostra detalladament com dur a terme l’activitat a l’aula.
Barreja de líquids:per fer una recepta de suc necessites ½ litre de suc de taronja, ¼ de litre de suc de poma i ⅛ de litre de suc de pinya. Quina quantitat de suc total té la beguda?
Es poden fer diferents receptes de sucs, variant les quantitats de suc de cada fruita o bé afegint-ne altres.
Mesures de receptes(utilitzarem fraccions per ajustar receptes). Tens una recepta que fa servir les quantitats següents: ⅔ tassa de farina, ½ tassa de sucre i ¼ tassa de mantega. Però has de fer el doble de la recepta, perquè tens més convidats. Quina quantitat de cada ingredient necessites?
Es poden fer moltes variants d’aquest problema, per exemple, afegir i treure ingredients, buscar una recepta determinada i modificar-ne les quantitats per ser més o menys dolça, per exemple.
Problemes amb fraccions de temps: imagina que fas una activitat que dura ¾ d’hora i una altra que dura ⅔ d’hora. Quant temps han durat les dues activitats en total?
També es pot plantejar que expressin en fraccions la dedicació a les diferents activitats que fan al llarg del dia i comprovin que realment han de repartir totes les hores del dia.
E. Consolidació de l’ús de l’error absolut i relatiu en l’aproximació amb nombres decimals. #MES.ER
En l’estudi dels errors, saber #2.NUM.QU.E, cal recordar els conceptes de l’error relatiu i absolut dels quals s’ha parlat en el curs anterior. En els càlculs amb un nombre infinit de decimals (per exemple, els periòdics), ens podem anar aproximant al valor real de la solució, però sempre hi ha un marge d’error que impedeix «atrapar» el valor exacte. Aquests errors de representació són sovint inevitables, com en el cas de representar en una calculadora un nombre decimal periòdic o no periòdic. A més, aquests errors poden propagar-se i augmentar en els càlculs, especialment en operacions llargues o complexes. Per això, és fonamental tenir en compte com les aproximacions poden influir en els resultats finals. Considerar la importància dels errors acumulats també ens pot ajudar a triar el tipus de representació numèrica (decimal o fraccionària) per a la resolució d’un problema concret.
També apareixen errors en un context de mesura. Quan utilitzem un instrument de mesura, com un regle o un peu de rei, ens aproximem al valor real de la longitud, però mai no aconseguim mesurar-lo amb total precisió. L’error relatiu ens indica la importància d’aquest error respecte a la mida real; per exemple, un error de 0,05 cm és petit per a una mesura de 10 cm, però significatiu si la longitud és només d’1 cm.
Cal parlar també de la diferència entre l’aproximació per tall i per arrodoniment, ja que són processos que permeten simplificar nombres decimals, però que tenen efectes diferents segons com es facin. En un nombre de dues xifres, és el mateix arrodonir a l’enter que arrodonir primer a les dècimes i després a l’enter? Un exemple interessant és el nombre 3,49: si primer s’arrodoneix a les dècimes, s’obté 3,5, i després, si s’arrodoneix a l’enter, s’obté 4. Però si s’arrodoneix directament a l’enter, s’obté 3. Això demostra que l’ordre dels arrodoniments importa, ja que pot donar resultats diferents.
Una recerca per dur a terme a l’aula relacionada amb l’arrodoniment és: en quins casos podem omplir el dipòsit de combustible amb un nombre enter de litres i pagar també un nombre enter d’euros? És possible fer-ho?
F. Ús de potències de base racional i exponent enter.
Les primeres potències
Al web del Punt Mat es troba l’entrada Les primeres potències, que ens ofereix bones activitats per treballar el saber #2.NUM.QU.F. Una d’aquestes consisteix a trobar la xifra final de les potències de base fixa.
Es pot proposar a l’alumnat com un repte: «Quina és la xifra final de 2 elevat a 20? », o bé «Quina és la xifra final de 3 elevat a 55?».
Han de començar a calcular les potències amb els primers exponents per trobar el patró que segueixen i després deduir la resposta a partir del patró que han trobat.
En el cas de les potències de base 2, els resultats acaben en 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 … (patró de repetició amb un període de longitud 4).
En el cas de les potències de base 3, el patró que compleixen les xifres finals dels resultats, també de repetició de longitud 4, es pot il·lustrar amb aquest esquema:Font: Elaboració pròpia
En el cas de les potències de base 4, els resultats acaben en 4, 6, 4, 6, 4, 6…
En el cas de les potències de base 5 i exponent natural els resultats sempre acaben en 5, però en quina xifra acaben les expressions decimals de les potències de base 5 i exponent enter negatiu?
Què passa en el cas de base 2, 3 o 4 i exponent negatiu?
…
Una estratègia per explicar el resultat d’una potència elevada a zero o a un nombre negatiu la trobem al compte d’Instagram de matematica.significativa: mitjançant tres imatges d’una progressió descendent de base 2, en què cada terme és la meitat de l’anterior, es pot observar què passa.
Mitjançant el càlcul de l’àrea i el perímetre d’un triangle de Sierpinski, es treballen les potències en base racional del saber #2.NUM.QU.F:
El triangle de Sierpinski és una figura que es crea a partir d’un triangle equilàter:
Font: Elaboració pròpia
Es dibuixa un triangle a dins que tingui els seus vèrtexs al punt mitjà de cada costat, i es retalla aquest triangle interior. Això deixa tres triangles equilàters més petits.
Font: Elaboració pròpia
Si repetim aquest procés amb cadascun dels triangles petits, anirem formant una figura amb molts forats que té un patró que es repeteix, com una mena d’escala infinita de triangles. Aquest tipus de figures s’anomenen fractals.
Font: Elaboració pròpia
A l’alumnat se li pot dir que l’àrea del triangle inicial és A0=1.
A partir d’aquí, han d’observar que:
L’àrea de la primera iteració és \(\frac 34\) parts del triangle inicial.
L’àrea de la iteració 2 és \(\frac 34\) parts de la primera iteració; per tant, la iteració 2 té una àrea de \(\left(\frac34\right)^2\)
Es continua successivament fins a trobar que l’àrea de la iteració n és \(\left(\frac34\right)^n\).
Es pot fer observar a l’alumnat que el fet d’anar fent una iteració més fa que l’àrea vagi disminuint, de manera que, si això ho intentem fer infinites vegades, al final l’àrea seria quasi zero.
Què passa amb el perímetre del triangle de Sierpinski? Es pot observar que va augmentant cada cop que fem una iteració. Però quant augmenta?
Si considerem que el perímetre del triangle inicial és \(P_0\):
En la primera iteració obtenim 3 triangles amb un perímetre la meitat que l’inicial, ja que cada costat és la meitat que el triangle inicial. Per tant, el perímetre en la iteració 1 és \(\frac32\cdot P_0\)
En la segona iteració els triangles tenen la meitat del perímetre que el de la iteració 1 i, en conseqüència, el seu perímetre és \(\left(\frac32\right^2\cdot P_0\)
Es continua successivament fins a arribar a la iteració n en què el perímetre és \(\left(\frac32\right^n\cdot P_0\)
A l’hora de treballar en aquesta activitat és interessant que l’alumnat vagi ordenant els resultats en una taula:
