L’estudi dels moviments en el pla és un moment molt interessant per cultivar la mirada matemàtica de l’alumnat. Les connexions d’aquest bloc de continguts amb l’entorn dels alumnes són molt fortes, motiu pel qual és un bon moment per demanar a l’alumnat que reconegui aquells conceptes treballats en els elements de la seva vida quotidiana i viceversa. Així mateix, es pot aprofitar per treballar conceptes matemàtics mitjançant l’anàlisi del món que ens envolta.
A més, aquest bloc de continguts permet treballar de forma conjunta amb els companys d’educació visual i plàstica, i es pot aprofitar per fomentar la creativitat de l’alumnat.
L’estudi i anàlisi de les homotècies no s’ha inclòs en aquest bloc perquè en el decret d’ordenació curricular s’especifica que aquest és un saber de quart curs, però es considera positiu que les homotècies i la resta de transformacions geomètriques es treballin de forma conjunta com un sol bloc. Si es volen veure exemples d’activitats per treballar les homotècies, es poden trobar als textos d’orientació i recursos de 4t d’ESO.
Els programes de geometria dinàmica permeten la realització de moviments en el pla de forma molt pràctica i, a més, en funció de les activitats proposades, contribueixen a la comprensió d’aquest tipus de transformacions geomètriques. Aquests dos motius han fet que l’ús d’aquesta mena de programes prengui la categoria de saber i, per tant, que aquest bloc quedi connectat amb #ALG.PC.
En aquest bloc només s’ha destacat com a essencial el saber #3.ESP.MT.A perquè s’ha considerat que sobre aquest pivoten els altres dos. Si bé és cert que el saber de recobriments en el pla es pot enfocar des de diversos punts de vista, és clar que els conceptes de gir, translació i simetria hi tenen un pes rellevant.
Alguns exemples de material manipulatiu que pot ser útil per generar transformacions geomètriques (saber #3.ESP.MT.C) són els enquadernadors i paper de ceba per als girs i els miralls per a la simetria.
Comprensió i estudi del concepte de translació, gir, simetria. Estudi dels elements que defineixen cadascun dels moviments.
Estudi de recobriments en el pla.
Ús de materials manipulatius i de programes de geometria dinàmica per generar transformacions geomètriques.
Interpretació d’una multiplicació com l’àrea d’un rectangle: ús del model de caixa per resoldre equacions de segon grau, per factoritzar expressions algebraiques i visualitzar les identitats notables.
Visualització de solucions d’equacions o de sistemes d’equacions en representacions gràfiques en eixos cartesians.
Visualització geomètrica dels nombres triangulars, altres nombres figurats i altres patrons senzills.
Visualització d’una funció quadràtica i d’una funció de proporcionalitat inversa com una paràbola o una hipèrbola respectivament amb unes característiques concretes.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l'alumnat.
Per treballar tot el bloc de sabers, hi ha l’element de l’ARC Transformacions en el pla, de Victòria Oliu. A la seqüència didàctica es proposen activitats amb GeoGebra d’exploració i de construcció. Després de les activitats d’exploració, es plantegen un seguit de preguntes per raonar i respondre per escrit. Les activitats de construcció s’han preparat deixant visibles només les eines necessàries perquè l’alumnat pugui començar a treballar sense més explicacions. L’activitat final sobre les simetries d’un objecte es pot deixar per a l’alumnat més ràpid, i també es pot ampliar proposant l’estudi de les simetries d’altres figures, com ara quadrats i polígons regulars. La seqüència didàctica completa està disponible en pàgina web.
Si ens centrem en la relació entre les matemàtiques i l’art, podem analitzar alguns dels panells de l’exposició MartEMÀTIQUES de Fernando Corbalán. En aquesta exposició, que va itinerant per diferents comarques catalanes, hi podem trobar panells que busquen les matemàtiques que s’amaguen en multitud de produccions artístiques: mosaics, simetries, figures impossibles... Pot servir per muntar una exposició al centre a partir de la qual es pot fer un treball a l’aula, seguint les indicacions de la guia didàctica.
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
Per treballar els moviments i transformacions de figures planes (saber #3.ESP.MT.A), es proposa començar per l’estudi de les sanefes amb l’activitat Frisant pels frisos del blog Calaix +ie de Joan Jareño. En aquesta activitat, es construeixen frisos a partir del motiu bàsic i se n’estudien els moviments, per acabar definint i classificant els set tipus que hi ha. Es tracta d’una proposta que connecta fortament amb l’entorn proper de l’alumnat i que dona peu a la creació de noves produccions artístiques.
Una altra activitat per treballar els sabers #3.ESP.MT.A i #3.ESP.MT.C és l’estudi de les isometries i homotècies que es poden trobar en els logotips de marques comercials.
Aquest estudi forma part de l’itinerari formatiu Els logotips i els moviments en el pla que proposa Ramon Bergadà i es pot trobar a l’ARC. L’autor proposa començar amb la introducció de les diferents isometries a partir de les definicions i d’una tasca d’aplicació de la definició de cadascuna a una figura donada, sobre paper. El recurs també incorpora exemples de moviments al pla amb GeoGebra, dels quals en podem trobar més en diverses entrades de l’ARC. L’activitat de Josep Lluís Cañadilla Girs amb GeoGebra, per exemple, se centra en els girs i proposa començar buscant la figura transformada a partir d’una de donada; en una segona activitat es pretén trobar el centre i l’angle d’un gir a partir de la figura original i la transformada, i acaba amb una aplicació dels coneixements treballats a l’entorn: «on cal col·locar el centre de gir en un joc d’escombretes de parabrisa de cotxe?».
En la mateixa línia i del mateix autor, tenim les activitats de l’ARC Simetries amb GeoGebra, Translacions amb GeoGebra i Composició de moviments.
Una proposta divertida per cercar els moviments estudiats en el saber #3.ESP.MT.A en un context ben diferent és analitzar el vídeo de la cançó «Good morning» de la pel·lícula Cantant sota la pluja, en la qual els tres actors (Gene Kelly, Debbie Reynolds i Donald O’Connor) ballen claqué i posen en escena diverses isometries tot ballant. Un cop analitzat es pot fer notar la bellesa i l’harmonia que aporten aquests elements matemàtics a les arts, en aquest cas al ball.
Per treballar el saber #3.ESP.MT.B i el saber #3.ESP.MT.C, trobem el recurs de l’ARC Tessel·lem?, de Núria Serra. La proposta és una introducció al món dels mosaics. A través de diverses activitats, es treballen els mosaics regulars, els semiregulars, amb pentàgons del Caire, amb pentàgons equilàters còncaus i els rombes, dards i estels de Penrose. Es treballen les característiques geomètriques de les peces que formen el mosaic i també es construeixen els mosaics amb les plantilles proporcionades. També es demana que l’alumnat faci alguns càlculs de superfícies.
A la part final de la proposta, l’alumnat aprèn algunes de les tècniques d’Escher amb l’objectiu de dissenyar la tessel·la base d’un mosaic per al concurs de mosaics del centre.
Totes les imatges de les activitats proposades per a l’alumnat han estat extretes de l’exposició Matemáticas de cerca que va fer el Grupo Alquerque el curs 2006-2007.
En la línia de la creació de mosaics utilitzant les tècniques d’Escher, trobem a l’ARC l’activitat Mosaics dibuixant, d’Anton Aubanell. Es tracta de convidar l’alumnat a confeccionar els seus propis mosaics partint d’un de regular amb triangles equilàters, quadrats o hexàgons. Podem disposar de fulls amb aquests tramats (impresos en un color molt suau perquè després no ressalti sobre el nou mosaic) per tal que l’alumnat els pugui emprar com a base.
A partir d’un mosaic bàsic, es tracta de treure una figura d’un dels costats o d’una part d’un costat i afegir-la, exactament igual, a un altre costat o part d’un costat (apliquem translacions i/o girs). A continuació, se’n presenten tres exemples: un de fet amb triangles, un altre amb quadrats i l’últim fet amb hexàgons.
En el primer exemple, es treballa a partir de triangles equilàters. Per a cada costat, n’assenyalem el punt mitjà, en traiem un segment circular que tingui per corda mig costat i, fent un gir de 180° amb el centre al punt mitjà del costat, l’enganxem sobre l’altra meitat:
En el segon exemple, es treballa sobre un quadrat. En traiem un petit trapezi isòsceles que tingui per base un dels costats i, fent un gir de 270° amb el centre en un dels vèrtexs de la base, l’enganxem sobre un altre costat del quadrat. Després repetim la mateixa operació amb l’altra parella de costats, com es mostra en el dibuix:
En el tercer exemple, es treballa sobre un hexàgon i té interès perquè es retallen i s’enganxen formes força irregulars i també perquè és la base d’un dibuix de Maurits Cornelius Escher (1898-1972). Pot resultar molt interessant per al nostre alumnat mostrar diversos dissenys d’aquest artista holandès. En les figures següents, es representa l’hexàgon i les formes que es retallen i s’enganxen per donar el perfil desitjat:
A continuació, es mostra el mosaic resultant, sobre el qual s’han assenyalat els hexàgons bàsics, i després el dibuix sencer:
Un cop s’hagin mostrat a l’alumnat aquestes tècniques, serà bo convidar-lo a dissenyar els seus propis mosaics. Es pot fer un concurs, com en la proposta anterior, per premiar els més originals. Solen sortir dissenys ben bonics.
Una altra activitat interessant és proposar a l’alumnat que detecti mosaics en el seu entorn quotidià: voreres, passeigs, rajoles de les cases…
També per treballar el saber #3.ESP.MT.B i el saber #3.ESP.MT.C, hi ha el recurs Mosaics de Penrose amb peces magnètiques a l’ARC, també d’Anton Aubanell. Una proposta de seqüència d’activitats seria la següent. En primer lloc, es presenta la raó àuria i la construcció d’un pentàgon regular amb regle i compàs o la construcció de pentàgons regulars amb algun programa de geometria dinàmica. Tot seguit, es dedueixen els angles interiors d’un pentàgon regular i es tracen les dues diagonals del pentàgon regular que surten d’un vèrtex. Apareixen tres triangles isòsceles i, tot seguit, es dedueixen els valors dels seus angles. Si es pren com a unitat de mesura la longitud del costat del pentàgon, resultarà que la longitud de les diagonals serà el número auri Φ. Així, es té:
Ara, separem els tres triangles que s’han dibuixat en el pentàgon. S’obtenen triangles de dos tipus:
Es pot observar com, ajuntant dos triangles del tipus A pel costat de mesura unitat, obtindrem una peça tipus dard:
I ajuntant dos triangles del tipus B pel costat de mesura Φ, obtindrem una peça tipus estel:
S’observa, finalment, que la peça tipus dard i la peça tipus estel poden ajuntar-se pels seus costats unitat i donen un rombe:
Una vegada fets aquests raonaments, amb regle i compàs, GeoGebra o algun altre programari, es construeixen plantilles de cadascuna d’aquestes peces i es dibuixen o imprimeixen sobre material magnètic. Convé aprofitar bé aquest material, ja que és una mica car. S’ha de tenir en compte que, en general, es necessiten més estels que dards (en una proporció que, per mosaics infinits, seria exactament Φ = 1,618...). Després es retalla amb cura el material magnètic i s’obté una bona col·lecció d’estels i de dards per formar mosaics.
L’última part de la pràctica és la més visual i consisteix a construir mosaics amb aquestes dues peces sobre la pissarra magnètica. Aquests mosaics són molt bonics i s’anomenen mosaics de Penrose en honor a Roger Penrose, un físic, matemàtic i cosmòleg britànic que els va idear l’any 1974. De fet, hi ha infinits mosaics de Penrose que no són periòdics.
Els mosaics resultants encara resulten més vistosos si se n’acoloreixen les peces.
Llicenciat sota la Llicència Creative Commons Reconeixement CompartirIgual 4.0