Variable

Sabers

Expressió de quantitats indeterminades.
Incògnites en equacions.
[ESS]

#ALG.ID
Variables en el context del pensament computacional.
[AMP]

#ALG.PC
Variables estadístiques quantitatives i qualitatives.
[ESS]

#EST.DI

#EST.IN

Descripció i orientacions

Reflexions generals

El concepte de variable és molt general, respon a diferents naturaleses segons el context on s’utilitzi i, alhora, és clau tant en l’educació matemàtica com en altres disciplines científiques i tecnològiques. Alan H. Schoenfeld i Abraham Arcavi, en el seu article «On the Meaning of Variable» (Schoenfeld & Arcavi, 1988), afirmen:

El concepte de variable és fonamental per a l’ensenyament i l’aprenentatge de les matemàtiques a secundària. La seva comprensió proporciona la base per a la transició de l’aritmètica a l’àlgebra i és necessària per a l’ús significatiu de totes les matemàtiques avançades.

En general, les variables representen nombres desconeguts o valors que poden canviar. Les trobem en les funcions, en les equacions, en estadística, en programació, com a contenidores per emmagatzemar dades que poden modificar-se durant l’execució d’un programa o bé en l’àmbit STEM, per representar magnituds que canvien. A vegades les trobem com a variables dependents i independents en funcions, com a incògnites en equacions (en el paràgraf següent es fa una precisió al respecte), com a paràmetres en representació de famílies de funcions, com a indeterminades en polinomis, en estadística...

Algunes mirades consideren el concepte d’incògnita com un tipus de variable. Així, en el document «Bases para la elaboración de un currículo de Matemáticas en Educación no Universitaria» de la CEMat (CEMat, Comité Español de Matemáticas, 2021), s’assenyala com a objectiu en l’educació primària «representar la idea de variable com a quantitat desconeguda, o que pren diferents valors per mitjà d’una lletra o un símbol». La mateixa idea es troba en els Principles and Standards for School Mathematics del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) quan, en l’apartat d’àlgebra per a l’etapa 6-8, es diu (NCTM, 2000):

El paper de la variable per representar un nombre desconegut s’il·lustra en la primera equació (27=4x+3): x simplement està ocupant el lloc d’un nombre específic que s’ha de calcular per resoldre l’equació.

En canvi, altres mirades com la de l’article de Schoenfeld i Arcavi ja esmentat (Schoenfeld & Arcavi, 1988) separen la idea d’incògnita de variable pel fet que una incògnita té un valor fix, malgrat que inicialment sigui desconegut. Per tant, des del punt de vista didàctic en l’educació secundària, pot ser interessant reservar la paraula «variable» per al context de les funcions i el pensament computacional i emprar la paraula «incògnita» en l’àmbit de les equacions i les inequacions. Aquesta distinció entre «variable» i «incògnita» també pot ajudar l’alumnat a entendre millor les idees de «funció» i «equació o inequació».

Comentaris sobre les connexions

El bloc de sabers Variable té un caràcter conceptual que el vincula amb diversos sabers d’altres blocs. Dins del sentit algebraic, el saber #1.ALG.VA.B està relacionat naturalment amb el bloc Igualtat i desigualtat (saber #1.ALG.ID.D), mentre que el saber #1.ALG.VA.C ho està amb el bloc Pensament computacional (saber #1.ALG.PC.E) pel paper que juguen les variables en la comprensió i creació d’algorismes. El saber #1.ALG.VA.D, variables estadístiques, té un enllaç directe amb el sentit estocàstic (el saber #1.EST.DI.B fa referència als conceptes bàsics d’estadística i el saber #1.EST.IN.B a la concreció de les variables estadístiques en el marc d’un estudi estadístic).

Observacions sobre alguns sabers d’aquest bloc

Els primers passos en àlgebra s’han de fer amb molta cura perquè poden tenir dificultats especials, però la capacitat de manejar expressions simbòliques atorgarà a l’alumnat eines molt potents de treball matemàtic. Un aspecte clau d’aquest procés és el desenvolupament progressiu del concepte de variable, que es perllongarà tota l’educació secundària i que pot començar amb l’ús de símbols per expressar quantitats indeterminades, saber #1.ALG.VA.A, dins d’expressions algebraiques molt senzilles procedents de situacions contextualitzades. Respecte de la idea d’incògnita d’una equació, saber #1.ALG.VA.B, convindrà anar-la perfilant a través de la resolució d’equacions senzilles. De la mateixa manera, la idea de variable en el context del pensament computacional, saber #1.ALG.VA.C, caldrà treballar-la a partir de la comprensió i creació de petits algorismes. Igualment, el coneixement de les variables estadístiques, saber #1.ALG.VA.D, convindrà desenvolupar-lo a partir d’estudis estadístics concrets.

Comentaris sobre els sabers essencials i d’ampliació

Atès que, en el bloc #1.ALG.ID, el saber #1.ALG.ID.H (traducció d’enunciats de problemes a una equació senzilla, resolució i comprovació en el context del problema) es destaca com a essencial, convé remarcar de la mateixa manera el saber #1.ALG.VA.B, que tracta el concepte bàsic d’incògnita en una equació. També s’ha considerat essencial el concepte de variable estadística ( #1.ALG.VA.D), que juga un paper important com a noció bàsica dins del sentit estocàstic. La idea de variable en el context del pensament computacional, el saber #1.ALG.VA.C, té característiques específiques que fan que, segons l’opció que es prengui en el treball del bloc #1.ALG.PC, pugui ser considerada d’ampliació.

Recursos i activitats

Recursos i activitats generals per al bloc de sabers

Com ja s’ha comentat, els quatre sabers d’aquest bloc són de tipus molt conceptual i s’han de treballar combinadament amb sabers d’altres blocs i sentits: patrons, models matemàtics, equacions, relacions i funcions, disseny d’algorismes, estudis estadístics… A partir de posar en joc aquests sabers, s’aniran construint els conceptes.

Recursos i activitats per treballar sabers concrets

A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.

A.Expressió de quantitats indeterminades.

Per treballar el saber #1.ALG.VA.A, pot ser interessant descobrir la necessitat de representar quantitats indeterminades a partir de textos molt simples (com ara «el triple d’un nombre» o «el nombre següent d’un nombre»), de condicions («el triple d’un nombre és 12, quin és el nombre?»), de petites fórmules («podries expressar l’àrea d’un rectangle que té 3 cm de base? Queda alguna dada indeterminada?») i de patrons (com ara sèries de construccions amb cubets encaixables o amb imatges). Així mateix, també poden ser útils els recursos indicats per treballar el saber #1.ALG.ID.A. Hi ha una connexió literària que resulta molt il·lustrativa per introduir l’expressió de quantitats indeterminades. Es tracta d’un fragment de l’obra El Petit Príncep d’Antoine de Saint-Exupéry en què el Petit Príncep, com a presentació, diu a l’aviador: «Si us plau… dibuixa’m un xai!». Quan ha superat la seva sorpresa, l’aviador li dibuixa un xai, però al Petit Príncep no li agrada, diu que està malalt. L’aviador fa un segon dibuix, però tampoc li agrada, diu que és un marrà, que té banyes. Encara fa un altre dibuix, però el Petit Príncep diu que és vell. Finalment, l’aviador dibuixa una caixa i li diu: «El xai que vols és a dins». El Petit Príncep s’ho mira i diu: «És exactament això el que volia!». L’aviador ha substituït qualsevol dibuix d’un xai concret per una caixa on cap el xai que qualsevol persona es pugui imaginar. A través de la caixa ha aconseguit expressar una imatge indeterminada que generalitza i inclou moltes imatges concretes, entre elles la que el Petit Príncep s’imaginava. Hi ha una cançó que ho explica.

B. Incògnites en equacions. [ESS] #ALG.ID

La consolidació del saber #1.ALG.VA.B es pot portar a terme treballant els sabers del bloc Igualtat i desigualtat ( #1.ALG.ID.C, #1.ALG.ID.D, #1.ALG.ID.E, #1.ALG.ID.F, #1.ALG.ID.G i #1.ALG.ID.H). Pot resultar profitós resoldre petites equacions en paraules per arribar a formalitzar-les en casos molt senzills, emprant símbols diversos per indicar les quantitats desconegudes o incògnites. Per exemple, és interessant utilitzar un quadradet que pot representar una caixeta contenidora de valors. L’assaig per tempteig de valors diversos fins a descobrir el que realment compleix la condició que expressa l’equació també pot contribuir a consolidar el significat de la incògnita.

C. Variables en el context del pensament computacional. [AMP] #ALG.PC

Una bona manera de familiaritzar-se amb les variables en el context del pensament computacional, saber #1.ALG.VA.C d’ampliació, consistirà en la comprensió i creació de petits algorismes per resoldre problemes senzills (aspecte que remet al saber #1.ALG.PC.E), així com pensar-les com a caixetes contenidores de valors de diferents tipus que poden canviar al llarg de l’execució dels programes. Pot ser molt interessant portar a classe caixes en les quals es poden posar targetes de paper amb un nombre escrit. Cada vegada que posem una targeta en una caixa, naturalment haurem de retirar la targeta que pogués contenir abans. A partir d’aquí podem anar plantejant diverses qüestions:

Podem posar nom a les caixetes per tal que resulti fàcil referir-nos-hi (A, B, V, POP, NUMS...)?
Podem anomenar «assignació» al procés de posar una targeta en una caixa i eliminar la targeta anterior que hi havia?
Es distingeix bé entre el nom de la caixa i el valor que conté?
Ens adonem que les caixes són sempre les mateixes, però que el seu valor és «variable»?
Com intercanviaríem els valors de dues caixes (dues variables)? Ens cal emprar alguna caixa «auxiliar»? Podríem escriure els passos que cal seguir de manera clara i sense ambigüitats?
Suposem que disposem d’una «unitat de comparació» (pot ser un alumne) que, donats dos nombres, ens diu quin és el més gran. Com podríem ordenar dues caixes A i B de manera que a la caixa A hi quedés el valor més gran i, a la B, el valor més petit? Podríem escriure els passos que cal seguir de manera clara i sense ambigüitats? El procediment funciona si els dos nombres són iguals?
Com podríem ordenar tres caixes? Podríem escriure els passos que cal seguir?
Si disposem d’una «unitat que sap sumar dos nombres» (només dos a la vegada), com faríem la suma dels valors de dues caixes? On posaríem el resultat? Aniria bé disposar d’una caixa addicional? I si tan sols tenim les dues caixes?
Com faríem la suma dels valors de tres caixes? Podries descriure els passos fets? Un altre company o companya podria fer el mateix seguint estrictament els passos descrits?

Moltes possibilitats per pensar, fer físicament i comentar-ho!

D. Variables estadístiques quantitatives i qualitatives. [ESS] #EST.DI #EST.IN

El saber #1.ALG.VA.D, referent a les variables estadístiques, hauria de tractar-se conjuntament amb els sabers del sentit estocàstic, en contextos pràctics com la realització d’estudis estadístics (#1.EST.DI.B, #1.EST.IN.B). En explorar les variables estadístiques, descobrim que no totes contenen nombres ni es poden ordenar. Pot ser interessant cercar exemples contextualitzats que incloguin tant variables qualitatives (nominals o ordinals) com quantitatives (discretes o, en cursos posteriors, contínues).

Llicenciat sota la Llicència Creative Commons Reconeixement CompartirIgual 4.0