Blocs de competències: processos matemàtics i gestió socioemocional | Orientacions curriculars de matemàtiques de l’ESO

El conjunt de sabers que constitueixen el sentit algebraic, com tots els altres sentits, s’han de relacionar amb el conjunt de competències del currículum. Sense un coneixement dels sabers, difícilment es poden desenvolupar els processos per avançar en l’assoliment de les competències i, d’altra banda, la manera com s’introdueixen, es construeixen i s’utilitzen els sabers és clau per poder fer un treball competencial.

Així doncs, tots els sabers poden contribuir a desenvolupar qualsevol competència si es treballen en activitats adequades. Així mateix, un saber pot contribuir a desenvolupar diverses competències.

Es presenta la relació entre els sentits i les competències específiques a través dels processos: Resolució de problemes (competències específiques CE 1 i CE 2), Raonament i prova (competències específiques CE 3 i CE 4), Connexions, en què distingim les internes (competència específica CE 5) i les externes (competència específica CE 6), Comunicació i representació (competència específica CE 7), i Gestió socioemocional (competències específiques CE 8 i CE 9).

Aquesta relació, pel que fa al sentit algebraic, es concreta, en el marc d’aquest exemple, de la manera que es descriu en els apartats següents, tot i que hi pot haver altres anàlisis igualment vàlides.

Resolució de problemes (CE 1 i CE 2)

La introducció del llenguatge algebraic ofereix a l’alumnat l’oportunitat d’abordar problemes matemàtics amb la potència de les eines algebraiques. En la resolució de molts problemes, el primer pas és comprendre bé l’enunciat i, sovint, a 1r d’ESO, el segon consisteix a traduir aquest enunciat a una representació simbòlica que conté una quantitat desconeguda, una equació. Mitjançant tècniques algebraiques, es podrà resoldre aquesta equació i interpretar-ne el resultat dins del context del problema. El sentit algebraic proporciona, doncs, moltes possibilitats per treballar la resolució de problemes, especialment en la comprensió dels enunciats i la seva traducció al llenguatge matemàtic, en aquest cas, algebraic (CE 1). També pel que fa a la interpretació dels resultats, la validesa dels quals pot estar condicionada pel context del problema (CE 2).

Sabers

A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar la resolució de problemes són, entre d’altres:

El saber #1.ALG.MM.B, que és essencial, contribueix clarament al desenvolupament de la CE 2.
El saber #1.ALG.ID.H, considerat essencial, s’alinea absolutament amb les competències CE 1 i CE 2.
El bloc Pensament computacional (#1.ALG.PC) també té una connexió important amb les competències CE 1 i CE 2. En particular, destaca el saber #1.ALG.PC.D, rellevant per a la interpretació i traducció d’un problema a un model matemàtic i, per tant, per a la CE 1.

Recursos

Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers fan referència directa al procés de resolució de problemes. Per exemple:

La col·lecció de problemes de la primera fase del Fem Matemàtiques (citada a propòsit dels sabers #1.ALG.PA.A i #1.ALG.PA.B) és una eina excel·lent per contribuir al desenvolupament de les competències CE 1 i CE 2, entre d’altres.
El problema d’Obrir i tancar portes ( #1.ALG.PA.A) presenta un context molt bo en què cal entendre les instruccions, prendre decisions i utilitzar tant conceptes com eines matemàtiques per resoldre les qüestions plantejades (CE 1), així com donar resposta raonada a les preguntes i formular-ne de noves (CE 2).
El problema de l’ARC, Anem a fer llimonada, així com els de Mousse de xocolata i El triatló i les calories, esmentats en el bloc Model matemàtic, també són bones oportunitats per treballar les CE 1 i CE 2.
Les exploracions sobre la conjectura de Collatz i altres regularitats matemàtiques (presentades en el saber #1.ALG.PC.E) poden contribuir tant al desenvolupament de la competència CE 4, relativa al pensament computacional, com a les CE 1 i CE 2.

Raonament i prova (CE 3 i CE 4)

En tot l’aprenentatge de l’àlgebra, la comprensió del significat dels símbols és un punt clau que cal tenir en compte per poder fer raonaments de tot tipus. La manipulació de símbols algebraics, així com de dibuixos i gràfics, ens permet descobrir noves relacions, buscar equivalències entre expressions aparentment diferents i trobar justificacions generals. A l’hora d’emprar les eines algebraiques en situacions contextualitzades, hem de procurar que l’aplicació mecànica de regles no substitueixi els processos de raonament ni amagui els significats dels símbols i expressions derivats del context (CE 3). Tot el bloc Pensament computacional està profundament lligat al raonament i associat a la competència CE 4.

Sabers

Com a exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar el raonament són, entre d’altres:

La identificació de patrons (saber #1.ALG.PA.A i saber #1.ALG.PA.B) permet desenvolupar la capacitat de raonament lògic i d’argumentació (CE 3).
En el bloc #1.ALG.ID i, en particular, en el saber #1.ALG.ID.H, es remarca que la manipulació simbòlica no ha de substituir el raonament necessari, un aspecte totalment alineat amb la competència CE 3.
La competència CE 4 està molt vinculada al bloc Pensament computacional (#1.ALG.PC). Tanmateix, aquest bloc també està fortament relacionat amb el raonament lògic i la competència CE 3. Per exemple, el saber #1.ALG.PC.A, que és un saber essencial, destaca l’estratègia de descomposició de problemes complexos en parts més simples, una idea que correspon a la segona regla del Discurs del mètode de René Descartes.

Recursos

Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers fan referència directa al procés de raonament i prova. Per exemple:

La investigació del problema Xiprers i pomeres (relacionat amb els sabers #1.ALG.PA.A i #1.ALG.PA.B) ensenya a l’alumnat a raonar per identificar un patró, una fórmula o un model matemàtic, contribuint al desenvolupament de la competència CE 3.
L’activitat d’Obrir i tancar portes (esmentada en relació amb el saber #1.ALG.PA.A) planteja la necessitat de fer un raonament que justifiqui el resultat obtingut (CE 3).
L’activitat Pràctica productiva d’operacions combinades (saber #1.ALG.PA.B) promou el raonament a través dels patrons per arribar a una conclusió, i contribueix així al desenvolupament de la CE 3.
Les tasques Bebras (citades en el bloc Pensament computacional #1.ALG.PC) són un material excel·lent per promoure el raonament, l’argumentació (CE 3) i el pensament computacional (CE 4).
Quan es menciona el saber #1.ALG.PC.D i s’esmenten els diagrames de Venn, s’està fent referència a una eina de representació que pot promoure el raonament i l’argumentació (CE 3).

Connexions amb altres parts de la matemàtica (CE 5)

L’àlgebra es relaciona amb la majoria dels sentits matemàtics, però probablement és amb el sentit numèric i l’espacial, juntament amb el de la mesura, on trobem més connexions. El bloc Pensament computacional també presenta riques connexions amb altres blocs i sentits. Aquesta connectivitat interna dins del cos de coneixements matemàtics és un dels aspectes més fascinants i, alhora, ofereix oportunitats didàctiques valuoses: cada vegada que l’alumnat descobreix aquestes connexions internes, en consolida els aprenentatges. Totes aquestes connexions representen ocasions per contribuir al desenvolupament de la competència CE 5.

Sabers

A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar les connexions internes són, entre d’altres:

El saber #1.ALG.PA.B que fa referència a patrons.
Els sabers #1.ALG.MM.A i #1.ALG.MM.B del bloc Model matemàtic. La idea de proporcionalitat és present en diverses àrees de la matemàtica, com també ho és la necessitat d’interpretar les solucions dels problemes contextualitzats.
El concepte de variable per expressar quantitats indeterminades, saber #1.ALG.VA.A.
El llenguatge simbòlic, en el qual l’alumnat comença a iniciar-se, és un element especialment característic de tot el cos matemàtic, per això cal destacar l’aspecte transversal dels sabers #1.ALG.ID.A, #1.ALG.ID.B, #1.ALG.ID.C, #1.ALG.ID.D i #1.ALG.ID.F.
Alguns dels sabers del bloc Pensament computacional són transversals en molts temes matemàtics. És el cas dels sabers #1.ALG.PC.A, #1.ALG.PC.B, #1.ALG.PC.C i #1.ALG.PC.D.

Recursos

Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers aporten o utilitzen connexions internes. Per exemple:

L’activitat Pràctica productiva d’operacions combinades (saber #1.ALG.PA.B) potencia la cerca de patrons en un context numèric.
La relació natural de l’àlgebra amb el sentit numèric, tal com es descriu a propòsit del saber #1.ALG.ID.B.
Els aspectes de «geometrització» del raonament algebraic, com el que es mostra a propòsit del saber #1.ALG.ID.A, o les tires o dibuixos de rectangles per resoldre equacions senzilles, esmentats a propòsit del saber #1.ALG.ID.E.
La idea d’iteració continguda en la tècnica de cover-up comentada a propòsit del saber #1.ALG.ID.F.
Les eines digitals, que es troben entre el bloc Pensament computacional (#1.ALG.PC) i altres parts de la matemàtica (calculadores, fulls de càlcul, programes de geometria dinàmica...).

Connexions amb altres matèries i amb l’entorn (CE 6)

L’àlgebra, com a eina per resoldre problemes, té utilitat en moltes disciplines, especialment les científiques. Els sabers del sentit algebraic, en particular els models matemàtics, el pensament computacional i el llenguatge simbòlic, tenen una presència important en l’àmbit científic i tecnològic. Sovint s’ha dit que l’àlgebra és el llenguatge de la ciència perquè contribueix a la formulació, representació i resolució de problemes científics, tot facilitant l’anàlisi i la comprensió de fenòmens en disciplines com la física, la química, l’enginyeria o la biologia. A 1r d’ESO, la descoberta d’aquest fet per part de l’alumnat és encara incipient, però, a mesura que s’avanci en els cursos de secundària, es farà cada cop més evident. No s’hauria de perdre cap oportunitat per posar-ho de manifest i així contribuir al desenvolupament de la competència CE 6.

Sabers

Com a exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar les connexions externes són, entre d’altres:

Els patrons (#1.ALG.PA) permeten connectar les matemàtiques amb nombroses àrees del coneixement: altres ciències, música, arts visuals, tecnologia... Igualment, la modelització matemàtica (#1.ALG.MM) implica la construcció de models matemàtics per estudiar fenòmens naturals i socials. Aquests dos blocs del sentit algebraic reforcen la CE 6.
El concepte de variable en el context del pensament computacional ( #1.ALG.VA.C) és una connexió externa que enllaça amb la programació de codi. Tot el bloc Pensament computacional (#1.ALG.PC) ofereix moltes aplicacions externes, un camp idoni per treballar la competència CE 6.
En dos àmbits diferents, els sabers #1.ALG.ID.A i #1.ALG.ID.H expliciten la importància del context extern, reforçant també la CE 6. Cal destacar que, a 1r d’ESO, s’utilitzen sobretot contextos propers a l’alumne/a.
El llenguatge simbòlic, en què l’alumnat comença a iniciar-se a 1r d’ESO (#1.ALG.ID), és un element característic de tota la ciència. La descoberta d’aquest fet és fonamental per al desenvolupament de la competència CE 6.

Recursos

Molts dels recursos descrits per treballar diferents sabers del sentit algebraic ofereixen oportunitats per fer connexions externes. Per exemple:

A propòsit del bloc de sabers #1.ALG.MM, es planteja la resolució de problemes contextualitzats en situacions de proporcionalitat: Anem a fer llimonada, Mousse de xocolata, El triatló i les calories.
A propòsit del saber #1.ALG.VA.A, hi ha una connexió literària molt interessant per introduir l’expressió de quantitats indeterminades: un fragment de l’obra El Petit Príncep d’Antoine de Saint-Exupéry, on el Petit Príncep demana a l’aviador que li dibuixi un xai. Es tracta d’una connexió que, alhora, és un bon recurs didàctic. Aquesta connexió també s’esmenta a propòsit del saber #1.ALG.ID.B.
El saber #1.ALG.VA.D, referent a les variables estadístiques, s’hauria de tractar de manera integrada amb els sabers del sentit estocàstic, en contextos pràctics com la realització d’estudis estadístics reals.
Els recursos associats al pensament computacional (maneig d’eines digitals, activitats de pensament computacional «desendollat», programació de codi...) connecten molt bé amb el camp STEM.

Comunicació i representació (CE 7)

Comunicar és un procés important. Quan una persona comunica, no només està compartint idees, sinó que també es veu obligada a ordenar-les, estructurar-les i expressar-les correctament per fer-se entendre. En matemàtiques, la comunicació té molta rellevància i està associada a la representació (gràfica, simbòlica, tabular, esquemàtica…). L’àlgebra, en particular, aporta un llenguatge per expressar de manera general i interpretar de forma sintètica propietats i relacions numèriques o relacions entre variables mitjançant fórmules de diferents tipus. Des d’una perspectiva més àmplia, és interessant destacar que el llenguatge i les tècniques algebraiques s’empren en tots els àmbits científics i tecnològics. Sovint, les expressions simbòliques són representacions abstractes de situacions contextualitzades. Per això, en les primeres etapes de l’aprenentatge de l’àlgebra, és recomanable convidar l’alumnat a explicitar amb paraules tant el significat de les expressions algebraiques que utilitza com les estratègies que fonamenten les transformacions d’aquestes expressions. Aquest procés matemàtic es concreta en la competència CE 7.

Sabers

A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar la comunicació i la representació són, entre d’altres:

El treball entorn del saber #1.ALG.PA.A, en un primer estadi, convida l’alumnat a descriure verbalment el patró i a explicar la regla de formació de manera senzilla, clara, precisa i amb el vocabulari adequat. Aquesta explicació ja és un pas important cap a la generalització i l’abstracció.
L’expressió de quantitats indeterminades o desconegudes a través de variables (saber #1.ALG.VA.A) s’ha d’entendre com un element de representació. Igualment, el saber #1.ALG.ID.C també està vinculat a la competència CE 7, ja que pretén expressar, primer amb paraules i després amb símbols, condicions d’igualtat on hi ha alguna quantitat desconeguda que es vol trobar.
El saber #1.ALG.PC.D fa referència a la utilització de recursos gràfics (quadres, fletxes, diagrames de flux, diagrames de Venn…) per representar i descriure situacions matemàtiques i, per tant, també pot contribuir a desenvolupar la competència CE 7.
Encara en el camp del pensament computacional, el saber #1.ALG.PC.E fa referència al disseny, representació i comunicació de seqüències ordenades d’instruccions que poden ser executades per una persona o per un ordinador. Aquest saber, tan proper a la programació de codi, també pot contribuir al desenvolupament de la competència CE 7.

Recursos

Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers del sentit algebraic fan referència al procés de comunicació i representació. Per exemple:

En problemes com el d’Obrir i tancar portes (a propòsit del saber #1.ALG.PA.A), la formulació i discussió de conjectures comporta un exercici de comunicació que contribueix al desenvolupament de la competència CE 7.
La idea d’una caixeta per contenir quantitats indeterminades (a propòsit dels sabers #1.ALG.VA.A, #1.ALG.VA.C i #1.ALG.ID.B) és una excel·lent representació de variable que pot resultar molt aclaridora per a l’alumnat. També resulta interessant la idea de representar certes condicions d’igualtat a través d’una balança equilibrada (a propòsit del saber #1.ALG.ID.C). Aquestes són representacions molt potents.
La comprensió dels enunciats de problemes, la seva traducció a llenguatge matemàtic i la interpretació dels resultats en el context del problema (a propòsit del saber #1.ALG.ID.H) també són elements de comunicació i representació que contribueixen a millorar la competència CE 7.

Gestió socioemocional (CE 8 i CE 9)

Tot i que a l’educació primària ja s’han introduït algunes idees inicials d’àlgebra, a 1r d’ESO es comencen a treballar aspectes més rellevants del llenguatge algebraic, com els models matemàtics i les equacions. És fonamental reconèixer i atendre les dificultats que aquest salt cap a l’abstracció pot suposar per a part de l’alumnat. Si aquest pas es fa de manera gradual i acollidora, augmentarà l’autoconfiança dels alumnes en les seves capacitats matemàtiques, ja que se’ls proporcionaran eines per afrontar la resolució de problemes amb més seguretat i perseverança. Alhora, es facilitarà la col·laboració en grup, discutint estratègies matemàtiques i interaccionant de manera positiva amb altres persones.

La descoberta d’un nou i fascinant territori matemàtic, la comprensió de les seves aplicacions en situacions reals i la sensació de dominar millor les matemàtiques incrementen la motivació i contribueixen a desenvolupar la identitat matemàtica de l’alumnat.

La gestió socioemocional està vinculada a dues competències específiques:

CE 8, relacionada amb el desenvolupament d’habilitats personals com les creences, les actituds i les emocions envers les matemàtiques.
CE 9, centrada en el desenvolupament d’habilitats socials com el treball en equip i la presa de decisions.

A continuació s’indiquen alguns aspectes que, treballats des del sentit algebraic, poden contribuir al desenvolupament de les competències CE 8 i CE 9.

Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 8

El pas de primària a secundària és un repte per a molts alumnes. En el cas de les matemàtiques, un dels canvis més significatius és la introducció més decidida del llenguatge algebraic. Aprendre qualsevol llenguatge pot ser complicat, i el llenguatge algebraic no n’és una excepció. Allò que sembla senzill per a la persona habituada pot ser un gran salt per a qui s’hi està iniciant. És crucial dedicar-hi temps perquè l’aprenentatge sigui significatiu i sòlid, anant més enllà de la simple aplicació de regles mecàniques i posant especial atenció al significat dels símbols, les expressions i els procediments de transformació. Aquest procés s’ha de cuidar per evitar que cap alumne quedi enrere o perdi la confiança en les seves habilitats matemàtiques.
El saber #1.ALG.PC.H del bloc Pensament computacional està estretament vinculat a la gestió socioemocional i posa èmfasi en valors com l’autoconfiança, la persistència, l’adaptabilitat, la flexibilitat, la creativitat, la col·laboració i la gestió constructiva de l’error. Aquesta idea és plenament aplicable més enllà de l’àmbit del pensament computacional.
Destacar les aportacions matemàtiques fetes per homes i dones d’arreu i en diferents moments de la història pot resultar inspirador. En aquest context, a 1r d’ESO, serà rellevant mencionar figures com al-Khwarazmí (relacionat amb el mot «algorisme» i, a través del nom d’una de les seves obres, amb el mot «àlgebra») o Ada Lovelace (vinculada a l’origen del pensament computacional).
És bo que l’alumnat prengui consciència dels avenços que fa en l’aprenentatge algebraic i de com aquest coneixement en potencia la capacitat per resoldre problemes. Això contribueix al fet que comencin a apreciar la bellesa i la utilitat de les matemàtiques.

Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 9

Per contribuir al desenvolupament de la competència CE 9, seran molt rellevants els sabers del bloc de Treball en equip i presa de decisions i les activitats que, a tall d’exemple, es proposen per treballar-los:

L’àlgebra ofereix grans oportunitats per treballar en equip, ja que promou actituds positives, implicació en la presa de decisions i respecte per les aportacions dels altres, i contribueix a superar qualsevol idea limitant sobre les habilitats pròpies o alienes en matemàtiques. A continuació, es destaquen quatre activitats concretes en aquest àmbit:

La col·lecció de problemes de la primera fase del Fem Matemàtiques (citat a propòsit del saber #1.ALG.PA.A i saber #1.ALG.PA.B), amb la seva complexitat i obertura, és ideal per desenvolupar competències socioemocionals relacionades amb el treball en grup.
El treball en equip entorn del saber #1.ALG.MM.B convida a analitzar les solucions d’un problema, prendre decisions en conseqüència i, si escau, formular prediccions.
Les tasques Bebras (citades com a recurs a propòsit del saber #1.ALG.PC.A) són una excel·lent oportunitat per treballar en equip i consolidar les bases del pensament computacional.
Algunes activitats relacionades amb el pensament computacional «desendollat», com ara el disseny i l’execució d’algoritmes, resulten especialment enriquidores quan es fan en grup.