Revisió i consolidació de les relacions inverses entre les operacions aritmètiques.
[ESS]
#ALG.ID
Aplicació de les operacions amb nombre racionals..
[ESS]
#ALG.ID
Reconeixement, aplicació i interpretació del càlcul amb potències i les seves propietats (amb base entera o racional i exponent natural o zero), en diferents situacions i contextos.
Resolució de problemes d’aplicació i interpretació de nombres racionals en diferents contextos.
Interpretació i validació dels resultats obtinguts en un problema i en un context determinat. Recerca d’alternatives en cas que no siguin coherents.
Aplicació d’estratègies de càlcul mental amb nombres enters, decimals i fraccions senzilles. Aproximació de resultats.
[ESS]
Descripció i orientacions
Reflexions inicials
A 2n d’ESO, aquest bloc de sabers se centra no només a ajudar l’alumnat a comprendre les operacions matemàtiques, sinó també a entendre per què s’utilitzen i quan són apropiades en situacions reals. És important que desenvolupin la capacitat de relacionar les operacions (suma, resta, multiplicació i divisió) amb els diferents tipus de nombres (enters, fraccions, decimals) i que interpretin el resultat d’aquestes operacions en contextos pràctics. Això inclou reconèixer quan cal utilitzar cada operació, entendre’n les propietats i saber estimar-ne un resultat aproximat per validar la raonabilitat de les respostes. L’objectiu és que l’alumnat adquireixi una comprensió funcional de les operacions, més enllà del càlcul mecànic, de manera que puguin aplicar-les amb sentit crític en problemes reals.
En aquest curs, ens centrarem a treballar àmpliament els nombres enters i les fraccions, per tal d’assolir plenament els sabers iniciats a primer i consolidar-los definitivament.
Comentaris sobre les connexions
El sentit de les operacions es connecta directament amb l’àlgebra, ja que les propietats de les operacions (suma, resta, multiplicació i divisió) són fonamentals per manipular i simplificar expressions algebraiques. Comprendre com funcionen les operacions amb nombres ajuda l’alumnat a aplicar-les correctament en expressions amb variables, com ara distribuir factors o combinar termes semblants. A més, el sentit de les operacions permet entendre com resoldre equacions, ja que es basa en l’aplicació d’operacions inverses i en el fet de mantenir l’equilibri entre ambdós costats de l’equació. Això reforça la capacitat d’interpretar i resoldre problemes algebraics.
Comentaris sobre els sabers essencials i d’ampliació
En aquest bloc es destaquen tres sabers com a essencials, ja que es consideren necessaris i fonamentals per al desenvolupament de la resta de sentits. Aquests sabers, que ja s’han introduït i treballat a primer, s’han de consolidar definitivament a segon, ja que també són fonamentals per a cursos posteriors.
El saber #2.NUM.SO.A, que fa referència a la consolidació de les relacions inverses entre les operacions (com ara suma i resta, multiplicació i divisió), és fonamental en l’aprenentatge matemàtic. Aquesta comprensió no només ajuda a resoldre càlculs i problemes amb més facilitat, sinó que també reforça el pensament crític i la capacitat d’analitzar situacions complexes. A més, dominar aquestes relacions permet als estudiants desenvolupar una base sòlida per a temes més avançats, com l’àlgebra, i fomenta una millor intuïció numèrica. En resum, aquest saber és clau per al pensament matemàtic i per a la resolució efectiva de problemes.
Treballar el saber #2.NUM.SO.B és essencial, ja que aquests són conceptes bàsics que permeten resoldre problemes matemàtics tant de la vida quotidiana com de camps més avançats, com la ciència, l’enginyeria i l’economia. Dominar aquestes operacions proporciona una base sòlida per comprendre càlculs més complexos, fomenta el pensament lògic i crític, i millora la capacitat de raonament numèric. A més, l’ús correcte d’enters i fraccions és fonamental per calcular proporcions, gestionar dades i analitzar situacions en què els nombres decimals no són adequats o pràctics.
El saber #2.NUM.SO.F és essencial perquè permet resoldre problemes amb rapidesa i flexibilitat en situacions quotidianes, fet que millora la capacitat de prendre decisions informades. L’aproximació de resultats facilita la verificació de càlculs i l’estimació de solucions de manera pràctica quan no es disposa d’eines de càlcul.
Comentaris sobre alguns sabers específics
El saber #2.NUM.SO.C facilita el tractament eficient de diferents volums de dades. Les potències simplifiquen càlculs complexos i permeten representar fenòmens com el creixement exponencial o la descomposició factorial de nombres, habituals en camps com la ciència, la tecnologia i l’economia. Dominar aquestes operacions permet resoldre problemes amb més agilitat i precisió en diferents contextos.
El saber #2.NUM.SO.Efa referència a la capacitat d’analitzar els resultats d’un problema per determinar si tenen sentit dins del context donat. No es tracta només d’obtenir una solució, sinó també de valorar-ne la coherència i la validesa en funció de la situació plantejada. Això implica interpretar correctament els resultats, detectar possibles errors i entendre si la resposta és raonable o si cal revisar els càlculs o el plantejament del problema.
A més, aquest saber inclou la recerca d’alternatives quan els resultats obtinguts no són coherents. Això pot significar revisar els passos seguits, considerar altres enfocaments o ajustar els paràmetres del problema per trobar una solució més adequada.
Revisió i consolidació de les relacions inverses entre les operacions aritmètiques.
Aplicació de les operacions amb nombre racionals..
Reconeixement, aplicació i interpretació del càlcul amb potències i les seves propietats (amb base entera o racional i exponent natural o zero), en diferents situacions i contextos.
Resolució de problemes d’aplicació i interpretació de nombres racionals en diferents contextos.
Interpretació i validació dels resultats obtinguts en un problema i en un context determinat. Recerca d’alternatives en cas que no siguin coherents.
Aplicació d’estratègies de càlcul mental amb nombres enters, decimals i fraccions senzilles. Aproximació de resultats.
Recursos i activitats
Recursos i activitats generals per al bloc dels sabers
Per treballar aquest bloc, és interessant utilitzar les barres de fraccions virtuals de l’aplicació Polypad, una eina interactiva desenvolupada per Mathigon que permet crear, explorar i visualitzar conceptes matemàtics de manera manipulativa i dinàmica.
És especialment útil per als sabers relacionats amb les fraccions, ja que ajuda l’alumnat a visualitzar i entendre els conceptes de manera més clara i intuïtiva. L’interès i la motivació augmenten gràcies a la interactivitat de l’eina, que facilita un aprenentatge més pràctic i significatiu. A més, Polypad fomenta la col·laboració, el desenvolupament del pensament crític i proporciona retroacció immediata per a la millora contínua de l’alumnat.
Recursos i activitats per treballar sabers concrets
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
A. Revisió i consolidació de les relacions inverses entre les operacions aritmètiques. [ESS] #ALG.ID
Un recurs per treballar el saber #2.NUM.SO.A és un joc de cartes, amb l’objectiu de reforçar el coneixement de les operacions matemàtiques bàsiques i les seves relacions inverses (suma-resta, multiplicació-divisió, etc.) d’una manera dinàmica i divertida.
El joc es pot crear de forma molt senzilla: es preparen cartes amb els nombres enters del -10 al 10, amb diverses còpies de cada nombre.
Font: Elaboració pròpia
També s’han de fer cartes d’operacions (+1, +2, +3, -1, -2, -3, ·2, ·3, ·(-1), ·(-2), ·(-3), :2, :3, :(-1), :(-2), :(-3)). Igualment, és interessant fer-ne més d’una còpia.
Font: Elaboració pròpia
Es col·loquen 9 cartes numèriques cap per avall sobre la taula, i es reparteixen a cada alumne 5 cartes d’operacions. El joc és de memòria: cada alumne, en el seu torn, agafa dues cartes numèriques de la taula i intenta obtenir parelles de nombres iguals. Si els nombres són diferents, ha d’utilitzar les cartes d’operació que té a la mà per aconseguir que el resultat sigui el mateix. Per exemple, en aquesta imatge, ambdues operacions tenen un resultat de -3:
Font: Elaboració pròpia
Si l’alumne ho aconsegueix, es queda amb les dues cartes numèriques i la carta de l’operació que ha utilitzat. A continuació, es col·loquen dues cartes numèriques més sobre la taula, i l’alumne agafa tantes cartes d’operacions com les que hagi fet servir.
Les normes poden variar en funció del tipus d’alumnat, i també es poden permetre resultats racionals si es considera adequat.
B. Aplicació de les operacions amb nombres racionals. [ESS] #ALG.ID
Pràctica productiva: sumes i restes de nombres enters
Es reparteix un full amb caselles en blanc, o bé es demana a l’alumnat que les dibuixi. Comencen a omplir-les amb els seus propis nombres (inicialment, posant un nombre més gran a la dreta que a l’esquerra) i hi escriuen diverses seqüències.
Se’ls pregunta: «Què hi observeu?».
L’objectiu és que trobin patrons. El primer que poden observar és que la següent caseta es duplica (la teulada i el soterrani són el doble dels nombres inicials). Les relacions a les quals poden arribar amb una mica de manipulació algebraica són:
També se’ls pot proposar treballar a la inversa: Què passa si conec la tercera caseta? Puc trobar les anteriors? Suposem que la tercera caseta té 10 i 26 a les caselles centrals. Quina seria l’anterior? I la d’abans?
Es pot preguntar: «Per què passa que les dues teulades siguin iguals? Quan passa això? Podeu trobar altres exemples en què passi el mateix?».
A l’enllaç Number Shacks es poden trobar altres possibilitats de reptes per proposar a l’alumnat.
The fraction challenge
Per aplicar les sumes i restes amb fraccions, en relació amb el saber #2.NUM.SO.B, es pot utilitzar una activitat de Desmos (plataforma en línia que ofereix eines interactives per treballar les matemàtiques) anomenada The fraction Challenge. Aquesta activitat consisteix a crear fraccions per operar de manera que el resultat compleixi un criteri donat (per exemple, obtenir el valor més gran, el valor positiu més petit, etc.).
Áreas desconcertantes
Per aplicar les multiplicacions i divisions amb fraccions, també en relació amb el saber #2.NUM.SO.B, una altra activitat de Desmos que es pot utilitzar és Áreas desconcertantes, la qual permet treballar aquests conceptes en el context del càlcul d’àrees.
C. Reconeixement, aplicació i interpretació del càlcul amb potències i les seves propietats (amb base entera o racional i exponent natural o zero), en diferents situacions i contextos.
Els primers nombres cúbics
Per treballar el saber #2.NUM.SO.C una bona activitat és Els primers nombres cúbics, del blog PuntMat, en què es presenten petites investigacions de cerca de patrons i regularitats sobre els primers nombres cúbics.
La primera de les investigacions és la de «Suma de senars consecutius», en què es demana:
El cub d’aresta 4 es pot descompondre com a suma de quatre nombres senars, dos d’ells menors que 16 i dos d’ells majors que 16: 13+15+17+19.
Es pot comprovar que la resta de casos es demostren de forma similar.
Una altra de les investigacions d’aquesta activitat és la Suma de cubs dels dígits, que consisteix en el següent:
Tria un nombre de tres xifres múltiple de 3.
Suma els cubs dels seus dígits.
Suma els cubs dels dígits del resultat obtingut en la suma anterior.
Suma els cubs dels dígits del resultat obtingut en la suma anterior.
Fes-ho uns quants cops més.
Què hi observes?
El resultat és que sempre s’acaba obtenint el nombre 153, un nombre que coincideix amb la suma dels cubs de les seves pròpies xifres.
Per què ens agrada el Median?
Una altra bona activitat, que trobem a PuntMat, per treballar el saber #2.NUM.SO.C és Per què ens agrada el Median?. Es presenta aquesta imatge, extreta del blog Median de Don Steward.
Es proposa a l’alumnat la cerca d’un patró que s’amaga darrere de la pregunta: «Què canvia entre els dos procediments següents?».
Agafar dos nombres, elevar-los al quadrat i després sumar els resultats.
Agafar els mateixos dos nombres, sumar-los i després elevar el resultat al quadrat.
En el blog es pot veure el procediment que segueix l’alumnat per trobar-ne la solució.
A la mateixa entrada, es proposa una altra activitat molt interessant extreta del blog Median de Don Steward:
Escriu com a potències de dos nombres de base diferent:
Font: Elaboració pròpia
Després de permetre que l’alumnat iniciï l’estudi del problema, és possible que no segueixi un procediment concret. Per tant, posar en comú estratègies i discutir sobre maneres de resoldre el problema pot facilitar-ne la resolució.
Potències de base racional
Per veure l’aplicació de les potències de base racional en diversos camps, saber#2.NUM.SO.C, es proposa els problemes contextualitzats següents que ajudaran l’alumnat a comprendre el concepte.
Calcular l’àrea d’un quadrat de costat amb nombre racional o bé el volum d’un cub d’aresta racional.
«Si un dipòsit bancari ofereix un 5 % d’interès anual, quina quantitat tindràs després de 3 anys si inicialment hi poses 100 euros?».
Els alumnes han de calcular l’increment utilitzant una base racional per al creixement (1,05) elevat a l’exponent corresponent al nombre d’anys. D’aquesta manera s’ajuda a entendre l’aplicació de les potències amb bases racionals en economia i finances.
Qui té la potència més gran?
Per començar, es divideix l’alumnat en petits grups i es dona a cada grup un conjunt de cartes amb diferents potències de base racional (per exemple \(\left(\frac12\right)^4,\ \left(\frac34\right)^2,\ \left(\frac23\right)^3\) ). Els alumnes han de calcular el valor numèric de cada carta i col·locar-les en ordre, de la més petita fins a la més gran.
D. Resolució de problemes d’aplicació i interpretació de nombres racionals en diferents contextos.
Enters en contextos
Aquestes altres propostes ens poden ser útils per treballar els enters en diferents contextos, saber #2.NUM.SO.D:
Puntuacions en un joc:En un joc de taula, un jugador comença amb 50 punts. Si guanya dues rondes i cada victòria suma 15 punts, però perd una ronda que resta 10 punts, quants punts té al final?
Es poden simular diferents resultats de partides i anar calculant les puntuacions finals. També es pot variar el nombre de punts que es guanyen o perden depenent del resultat del partit.
Un golfista ha completat tres rondes d’un torneig amb els següents resultats respecte al par del camp: -2 a la primera ronda, +3 a la segona i -1 a la tercera. Si en la quarta i última ronda fa un resultat de -1, quin serà el seu resultat total al final del torneig? A més, si un altre jugador vol acabar amb un total de -5 després de quatre rondes i ja ha fet -1, -2 i +1 en les tres primeres, quin resultat hauria d’aconseguir a la quarta ronda per assolir aquest objectiu?
Problemes de fraccions
Per treballar la resolució de problemes de fraccions, del saber #2.NUM.SO.D, es poden utilitzar problemes amb connexions amb altres sentits, que permetin resoldre’ls de maneres diverses, i propiciïn un debat a l’aula. Per exemple la imatge que es mostra, extreta d’un tuit de Lola Morales ¿Qué fracción de la botella está llena?.
Un problema interessant per al saber #2.NUM.SO.D, que pot ser una continuació del problema Peaches today, Peaches tomorrow…, presentat al saber #2.NUM.QU.D, és Fair Shares?, que es troba a NRICH i que planteja la situació següent:
Una mare vol compartir una suma de diners donant a cadascun dels seus fills una quantitat fixa més una fracció de la resta. Com pot fer-ho per repartir els diners en parts iguals?
El problema comença amb una situació senzilla que es pot analitzar ràpidament mitjançant mètodes mentals, però que proporciona un punt de partida per abordar un problema més difícil. Els reptes es poden abordar a molts nivells diferents, utilitzant la prova i la millora (potser amb l’ajuda de fulls de càlcul), buscant patrons numèrics o amb un enfocament algebraic més formal.
El primer repte és:
El cap de setmana passat, la senyora Jenkins va guanyar 25 lliures (£) i va donar els seus guanys als seus cinc fills.
Va donar al seu primer fill 1 £ més \(\frac16\) dels diners restants.
Va donar al seu segon fill 2 £ més \(\frac16\) dels diners restants.
Va donar al seu tercer fill 3 £ més \(\frac16\) dels diners restants, etc...
Sense fer cap càlcul, quin fill creus que va acabar amb més diners? Calcula quant ha rebut cada fill. Et sorprèn?
El segon repte:
La senyora Hobson també tenia diners per compartir amb la seva família.
Va donar al seu primer fill 1 £ més \(\frac15\) dels diners restants.
Va donar al seu segon fill 2 £ més \(\frac15\) dels diners restants.
Va donar al seu tercer fill 3 £ més \(\frac15\) dels diners restants, i així successivament.
Quants diners ha de repartir si tots els nens reben la mateixa quantitat? Quants nens hi havia a la família?
El tercer repte:
En una família amb 8 fills, la mare vol donar a cada fill una quantitat fixa més una fracció de la resta, de la mateixa manera que ho van fer la senyora Jenkins i la senyora Hobson.
Quants diners repartirà, i quina fracció utilitzarà cada vegada, per tal de compartir els diners en parts iguals?
El problema del testament de Nabab
Continuant amb el saber #2.NUM.SO.D, en el blog de Calaix+ie, Joan Jareño explica com utilitzar dos mètodes diferents per a la resolució de problemes. Per fer-ho, se centra en la resolució d’El problema del testament del Nabab i la resolució per síntesi, que diu:
Un nabab deixa als seus fills una certa quantitat de diamants d’igual valor, en les condicions següents: el primer agafa un diamant i 1/7 dels que queden; el segon agafa dos diamants i 1/7 dels que queden; el tercer agafa tres diamants i 1/7 del que queda, i així successivament. Després del repartiment de tots els diamants, totes les parts obtingudes són iguals. Es demana la quantitat total de diamants i el nombre de fills.
En la publicació es comenta la resolució aritmètica del problema, evitant el plantejament algebraic. Estudia la seva generalització per a diferents particions (en terços, quarts, etc.) i arriba a la conclusió que la quantitat total de diamants és un nombre quadrat, amb tants fills com diamants per fill. S’observen també dos nombres triangulars.
La solució gràfica del problema mostra com la quantitat total de diamants és un nombre quadrat, que és la suma de dos nombres triangulars.
En la publicació es comenta la resolució aritmètica del problema, evitant el plantejament algebraic. S’estudia la seva generalització per a diferents particions (en terços, quarts, etc.). La solució gràfica del problema mostra com la quantitat total de diamants es pot expressar com un nombre quadrat, que és la suma de dos nombres triangulars:
Aquesta connexió amb els nombres triangulars ens dona l’oportunitat de treballar-los.
F. Aplicació d’estratègies de càlcul mental amb nombres enters, decimals i fraccions senzilles. Aproximació de resultats.[ESS]
Més sobre minilliçons
El treball del càlcul mental del saber #2.NUM.SO.F es pot fer a partir de l’activitat extreta del PuntMat Més sobre minilliçons, en què es presenten tires d’operacions que anomena minilliçons, en les quals l’alumnat es basa en el resultat d’una operació anterior ja coneguda per calcular el resultat d’una nova operació, sigui amb enters, decimals o percentatges.
L’article al blog de PuntMat Estimació (II) Existeixen els problemes d’estimació? tracta sobre la importància de l’aproximació, del saber #2.NUM.SO.F,com a habilitat matemàtica rellevant. S’explica que transformar problemes de càlcul exacte en problemes d’estimació pot enriquir les activitats diàries i afavorir un aprenentatge més significatiu.
Per exemple:
Entre tots els alumnes de la classe, en tindríem prou per equilibrar una balança en la qual a l’altre plat hi hagués un hipopòtam?
La Maria vol posar a la porta de la seva habitació el seu nom amb lletres de fusta. Cada lletra val 2,98 €. En tindrà prou amb 15 €? Per què?
Aquest tipus de preguntes ajuden a practicar l’estimació sense necessitat de fer càlculs exactes i encoratgen l’alumnat a fer aproximacions raonades. D’aquesta manera, es fomenta el pensament crític, ja que l’alumnat ha de raonar i justificar les seves respostes.
