L’estimació i la comprensió de les relacions entre magnituds físiques són fonamentals per desenvolupar una visió integrada de les matemàtiques a secundària. Així mateix, és essencial que l’alumnat conjecturi el grau d’incertesa d’un fenomen aleatori mitjançant l’anàlisi de les freqüències absolutes derivades de l’experimentació. El bloc d’Estimacions i Relacions introdueix la idea que tota mesura, ja sigui de magnituds com el perímetre, l’àrea o el volum, o d’esdeveniments aleatoris, implica una certa incertesa o error. Aquest enfocament permet que l’alumnat aprengui a assumir marges de precisió en les dades inicials i a comprendre la propagació de l’error en els càlculs posteriors.
A través d’aquest bloc, els estudiants es familiaritzen amb eines com l’estimació basada en l’experiència, l’ús de l’error absolut i relatiu, i la formulació de conjectures davant fenòmens incerts. Això fomenta una actitud crítica i reflexiva davant de situacions problemàtiques que involucren mesuraments i probabilitat, ja que aquestes esdevenen oportunitats per reflexionar sobre l’aproximació, la precisió i la incertesa en els resultats.
Recomanem que en tota situació de mesura es comenci amb una estimació o predicció, que pot venir donada per un interval o cota. La posada en comú dels diferents intervals que sorgeixin en el grup classe poden afinar l’estimació, reduint-lo. Aquest treball, de manera gradual, ha de comportar que l’elecció final de l’interval estigui fonamentada en un raonament. D’aquesta manera provocarem que hi hagi hagut una comparació, ja sigui amb una imatge mental, amb un objecte físic del qual es coneix la mesura o amb experiències passades. Finalment, és important contrastar i analitzar l’estimació amb el mesurament, un cop fet.
Aquest bloc presenta connexions fonamentals amb tres grans sentits matemàtics. D’una banda, els sentits numèric i espacial ens permetran treballar amb les estimacions i les relacions entre magnituds, com el perímetre, l’àrea o el volum. Aquí, la manipulació de nombres reals, com també la precisió en els càlculs, és clau per comprendre l’abast dels resultats i ajustar-los a la realitat. D’altra banda, el sentit estocàstic es fa present en la formulació de conjectures i la interpretació d’esdeveniments aleatoris. La connexió amb aquest sentit és especialment rellevant quan es treballa amb fenòmens incerts, ja que requereix de l’alumnat la capacitat de diferenciar entre allò que és probable i allò que és cert, la qual cosa demana una anàlisi rigorosa de la probabilitat. Així mateix, la connexió amb altres àrees del currículum enriqueix l’aprenentatge matemàtic i permet abordar aquestes habilitats des d’una perspectiva interdisciplinària, com, per exemple, les connexions que es donen amb la física i la química en els mesuraments d’objectes o fenòmens i la determinació d’errors experimentals.
El saber #2.MES.ER.C posa un èmfasi especial en la necessitat de passar per diferents fases abans d’arribar al càlcul formal de la probabilitat. És clau que l’alumnat formuli conjectures inicials (alerta amb la intuïció associada a experiments aleatoris) sobre el fenomen que s’estudia, seguides d’una fase d’experimentació i anàlisi de les freqüències relatives. Aquest procés permet una comprensió més intuïtiva abans d’introduir el càlcul formal del grau d’incertesa mitjançant la regla de Laplace, que es fonamenta en la mesura de probabilitats teòriques.
L’estimació de mesures de longituds, àrees i volums a partir de l’experiència és un saber que permet treballar amb objectes i situacions reals i ofereix a l’alumnat un context pràctic per posar en marxa les seves habilitats d’estimació. Paral·lelament, el coneixement de l’error absolut i relatiu és un altre saber essencial que permet analitzar la precisió dels resultats obtinguts, una competència crítica en qualsevol procés de mesurament. Aquests sabers, treballats de forma continuada al llarg del curs, ofereixen a l’alumnat eines per desenvolupar una actitud més crítica i reflexiva davant dels processos de mesurament i estimació.
Formulació de conjectures sobre l’anàlisi de la incertesa associada a un fenomen aleatori, basant-nos en l’estimació i l’experimentació.
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
L’estimació de mesures és una eina essencial en geometria, ja que permet als alumnes acostar-se al mesurament real a partir de la intuïció i l’experiència prèvia. El saber #2.MES.ER.A implica observar les dimensions d’un objecte, reconèixer-ne les característiques geomètriques i comparar-les amb objectes coneguts. Per exemple, es poden estimar àrees o volums comparant-los amb objectes domèstics o elements de l’entorn escolar.
L’ús de teoremes com el de Pitàgores i Tales, ja treballats a 2n d’ESO, pot reforçar aquest procés. El teorema de Pitàgores és útil per estimar longituds en situacions en què la mesura directa és difícil, ja que permet calcular distàncies basant-se en altres dimensions conegudes. De la mateixa manera, el teorema de Tales facilita l’estimació de distàncies en objectes no accessibles directament mitjançant proporcions visuals o ombres. Aquesta estratègia és aplicable també al càlcul de volums de prismes i cilindres.
L’estimació permet als alumnes fer conjectures raonades sobre les mesures i, validant-les amb mesuraments precisos, millorar-ne la percepció espacial i numèrica. Aquest enfocament fomenta el desenvolupament del sentit geomètric i numèric i afavoreix habilitats en tasques com el disseny, el càlcul de materials o la planificació d’espais.
L’estimació s’hauria de fer prèviament a la presa de mesures directes o indirectes. Així, moltes activitats de mesurament poden incorporar una estimació inicial de la mesura que cal determinar. Activitats com Tres llaunes és un litre?, Cilindres d’igual àrea lateral o La caixa perfecta són exemples recollits en els sabers d’aquest bloc i resulten adequats per a aquest enfocament.
De manera habitual, les pilotes de tennis es comercialitzen en tubs cilíndrics, com el que es veu a la fotografia següent:
La pregunta és: en aquest cilindre, què és més llarg, el perímetre de la base o l’altura del tub?
Abans de mesurar, podem observar que l’altura del tub correspon a tres diàmetres de pilota. Sabem que el perímetre del cilindre és gairebé igual al del cercle màxim d’una pilota de tennis. Així doncs, com que el perímetre és igual a π vegades el diàmetre i π és major que 3, podem concloure que el perímetre és més llarg que l’altura.
En el sentit de la mesura de 2n d’ESO, els nombres irracionals apareixen de manera inevitable en contextos com el teorema de Pitàgores o en el càlcul de perímetres, àrees o volums associats a π. En aquestes situacions, desenvolupar el saber #2.MES.ER.B prendrà molt de sentit. Serà molt interessant debatre aquest aspecte a classe, posant en relleu la precisió de les dades de partida del problema. De la mateixa manera, si treballem amb mesures preses per l’alumnat, les respostes haurien d’adequar-se a la precisió d’aquestes mesures inicials.
Independentment de la situació de partida, és fonamental que l’alumnat prengui consciència que el resultat obtingut, en la majoria dels casos, porta associat un cert error, derivat tant de la presa de mesures com dels càlculs fets posteriorment. Per aquest motiu, introduir l’estudi de l’error absolut i relatiu en contextos propers ajudarà a desenvolupar una consciència de la validesa i fiabilitat dels resultats obtinguts.
Proposem una situació aparentment senzilla: determinar la capacitat d’un got de tub. En aquest repte, és important parar atenció als següents aspectes:
Per acabar, comprovarem el resultat amb una balança de precisió que, malgrat el nom, també presenta un marge d’error que es pot destacar per als estudiants.
L’anàlisi de la incertesa en fenòmens aleatoris, tal com treballa el saber #2.MES.ER.C, sovint suposa un repte per als estudiants, ja que la nostra intuïció pot portar-nos a conclusions errònies. És per aquest motiu que l’assoliment dels continguts associats a la probabilitat és més complex. Per tal que l’alumnat adquireixi una comprensió sòlida, resulta essencial passar per la fase d’experimentació abans d’afrontar càlculs formals d’incertesa, cosa que afavoreix la formulació de conjectures raonades basades en l’estimació i l’observació empírica. Tot i que la llei dels grans nombres prendrà un paper protagonista en la generació de les conjectures dels estudiants, caldrà posar en relleu que les afirmacions que es facin tindran un cert grau d’incertesa.
En Martí i l’Aina juguen amb dos daus de dos colors (vermell i blau). En Martí guanya si en tirar els dos daus surten dues cares del mateix color. Per altra banda, l’Aina guanya si, en tirar els dos daus, surten dues cares de diferent color. En Martí té un dau amb 5 cares blaves i només una de vermella. Com ha de pintar l’Aina les cares del seu dau perquè el joc sigui just?
Molt probablement, la resposta inicial serà que, per tal que ambdós jugadors tinguin la mateixa probabilitat de guanyar, la solució és pintar el dau de l’Aina amb 5 cares vermelles i només una de blava (amb la idea de contrarestar el desequilibri del dau d’en Martí). Experimentar amb daus pintats d’aquests colors i observar les freqüències relatives de victòries d’en Martí i l’Aina pot ser una primera aproximació per veure que la conjectura inicial no era certa.
Aquest magnífic joc apareix, entre d’altres, en la conferència de Joan Jareño en les jornades de matemàtiques organitzades per l’Associació de Professors de Matemàtiques de les Comarques Meridionals (APMCM): Què passarà? Intuïció i probabilitat. En el decurs de la conferència que porta aquest títol, apareixen altres contextos en què l’atzar té un paper important i la intuïció no sempre és una bona aliada.
Llicenciat sota la Llicència Creative Commons Reconeixement CompartirIgual 4.0