Reconeixement i estudi de figures semblants al pla i a l’espai. Raó de semblança.
Comprensió i aplicació del teorema de Tales en diferents contextos. Posició de Tales.
[ESS]
#NUM.RP
#MES.ME
#ALG.MM
#ALG.ID
#ALG.RF
#NUM.QU
Descoberta, conceptuació i demostració geomètrica del teorema de Pitàgores.
[ESS]
#MES.ME
#ESP.VM
Resolució de problemes que impliquin el teorema de Pitàgores.
#MES.ME
Estudi de les propietats i els elements de cossos geomètrics. Classificació de poliedres i cossos rodons.
[ESS]
Estudi i visualització de cossos geomètrics a través dels seus desenvolupaments plans.
#MES.ME
Descripció i orientacions
Reflexions inicials
L’estudi de les figures geomètriques de dues i tres dimensions continua, i augmenta el seu pes específic, a segon d’ESO, de manera que es converteix en un dels grans blocs del curs. D’una banda, l’estudi i la classificació d’objectes fa el salt de les dues a les tres dimensions, i aprofundeix així un treball ja iniciat a primària entorn dels poliedres i alguns cossos rodons. D’altra banda, no s’abandonen les figures planes sinó que s’hi aprofundeix amb la introducció dels teoremes de Tales i de Pitàgores.
Aquest bloc pot servir per treballar en grup la descoberta de propietats d’algunes figures geomètriques com podrien ser el mateix teorema de Pitàgores o la característica d’Euler per a poliedres.
Comentaris sobre les connexions
El bloc de formes geomètriques està estretament connectat al sentit de la mesura (#MES.ME), ja que el càlcul de longituds, àrees i volums forma part del treball amb figures geomètriques, siguin planes o tridimensionals. El mateix passa amb els teoremes de Tales i de Pitàgores, en què el sentit espacial i el de la mesura van de bracet i les activitats i recursos proposats es poden vincular als dos sentits amb els matisos pertinents.
L’àlgebra (#ALG.MM i #ALG.RF) i la numeració (#NUM.QU i #NUM.RP) també tenen representació en aquest bloc, ja que, conjuntament amb la geometria, són les tres potes sobre les quals es recolza la proporcionalitat geomètrica. L’últim enllaç d’aquest bloc és intern del sentit espacial (#ESP.VM). És difícil deslligar les formes geomètriques de la visualització, però en especial es considera que el teorema de Pitàgores s’ha d’abordar des del seu significat genuí, i per poder fer-ho, és necessari fer-ne una visualització geomètrica.
Comentaris sobre els sabers essencials i d’ampliació
En aquest bloc, els sabers que s’han destacat estan relacionats amb el teorema de Tales i el teorema de Pitàgores, per la rellevància que tenen aquests teoremes i pel pes que tindran, a partir de la seva introducció, en el treball i l’estudi de les matemàtiques. En referència al teorema de Tales, s’ha destacat el saber #2.ESP.FG.B, però s’entén que per poder treballar-lo correctament, el saber #2.ESP.FG.A és igualment necessari. Pel que fa al teorema de Pitàgores, malgrat que els dos sabers relacionats es consideren importants, s’ha volgut destacar la descoberta, la conceptuació i la demostració geomètrica per davant de la resolució de problemes per dos motius: el primer és que es considera molt important transmetre que el teorema de Pitàgores és una propietat associada a la geometria i no a l’aritmètica, i el segon és que es considera que una gran part del professorat ja incorpora en la seva actuació docent la resolució de problemes que requereixin el teorema de Pitàgores quan el treballen. Aquest treball de resolució de problemes en què habitualment es demana buscar longituds desconegudes també s’ha abordat des del sentit de la mesura #MES.ME.
A banda dels dos teoremes ja esmentats, el tercer saber que s’ha destacat és la classificació i l’estudi de les propietats dels cossos geomètrics. Es tanca, així, una línia iniciada a primer d’ESO amb l’estudi de figures de dues dimensions.
Observacions sobre alguns sabers específics
Els sabers d’aquest bloc es poden agrupar en tres grups: per una banda, els sabers #2.ESP.FG.A i #2.ESP.FG.B, que serien els que fan referència al teorema de Tales; per altra banda, els sabers #2.ESP.FG.C i #2.ESP.FG.D, que estan relacionats amb el teorema de Pitàgores, i finalment, els sabers #2.ESP.FG.E i #2.ESP.FG.F, que recullen l’estudi de cossos geomètrics.
El saber #2.ESP.FG.A pretén que l’alumnat sigui capaç d’identificar i de generar figures semblants. Conèixer que dues figures són semblants si es mantenen els angles i els costats homòlegs són tots proporcionals serà necessari per poder resoldre els problemes de cerca de la raó de proporcionalitat dels costats, de les àrees o dels volums de les figures i problemes d’escala, entre d’altres (saber #2.ESP.FG.B).
Tal com ja s’ha comentat anteriorment, es considera que s’ha de treballar a consciència el saber #2.ESP.FG.C per poder transmetre a l’alumnat el significat real del teorema de Pitàgores. Si s’aconsegueix transmetre la idea que el teorema de Pitàgores és una propietat geomètrica i es visualitza, es farà un pas endavant per evitar que el teorema quedi amagat darrere una fórmula. D’aquesta manera, es potencia no només la comprensió, sinó també la capacitat de reconèixer les situacions en què s’ha d’utilitzar per al càlcul de determinades mesures o per a la solució de problemes com els que es poden plantejar al saber #2.ESP.FG.D.
Per acabar, a l’estudi de cossos geomètrics plantejat en el saber #2.ESP.FG.E es pretén definir els elements d’un poliedre (cares, arestes, vèrtexs, diagonals, angles…), classificar-los seguint diferents criteris (nombre de cares, regularitat, concavitat-convexitat…), estudiar les característiques d’alguns poliedres amb nom propi (sòlids platònics, prismes, piràmides, antiprismes, bipiràmides…), descobrir la característica d’Euler per a poliedres, identificar cossos rodons i estudiar les característiques d’alguns cossos de revolució amb nom propi (cilindre, con i esfera). Tot aquest estudi desembocarà en la necessitat de calcular àrees i volums de poliedres, i aquí és on entrarà en joc el saber #2.ESP.FG.F.
Reconeixement i estudi de figures semblants al pla i a l’espai. Raó de semblança.
Comprensió i aplicació del teorema de Tales en diferents contextos. Posició de Tales.
Descoberta, conceptuació i demostració geomètrica del teorema de Pitàgores.
Resolució de problemes que impliquin el teorema de Pitàgores.
Estudi de les propietats i els elements de cossos geomètrics. Classificació de poliedres i cossos rodons.
Estudi i visualització de cossos geomètrics a través dels seus desenvolupaments plans.
Localització en el pla mitjançant coordenades cartesianes. Origen històric.
Visualització de les funcions constant, lineal i afí com una recta amb unes característiques concretes.
Visualització del teorema de Pitàgores com la relació entre les àrees dels quadrats construïts sobre els costats d’un triangle rectangle.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l'alumnat.
Recursos i activitats
Recursos i activitats generals per al bloc de sabers
Per tal de treballar tot el bloc de sabers de manera general, tot i que podem trobar recursos per treballar el sentit espacial a gairebé totes les campanyes del CREAMAT, en destaquem dues per la gran quantitat de propostes que hi podem trobar. D’una banda, tenim la campanya Impulsem la geometria, que es va publicar al web del CREAMAT durant el curs 2012-2013 amb l’objectiu de dinamitzar aquest bloc del currículum i que des d’aleshores ha anat augmentant el nombre recursos disponibles. D’altra banda, la segona campanya que cal destacar és la de Laboratori de matemàtiques, on podem trobar activitats amb pattern blocks, multilink, geoplans, tangrams… materials que, portats a l’aula amb bones propostes, poden facilitar l’aprenentatge de la geometria. Recordem que el material per si sol no fa res, és el material més una bona activitat que l’acompanyi el que el convertirà en un bon recurs.
També volem destacar l’apartat de geometria del Polypad, amb moltes eines que permeten explorar i investigar de manera molt intuïtiva.
Encara que ja s’hagi citat anteriorment, val la pena tornar a recordar el document Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria (Aubanell, 2015), on trobem orientacions i molts exemples d’activitats per treballar el sentit espacial.
I ja per acabar, anomenarem la Prova Cangur, que pot ser una font inesgotable de recursos i idees per treballar molts dels sabers del sentit espacial al llarg de tota l’etapa. Per exemple, per a 2n d’ESO podem trobar-hi propostes com les que es mostren a les imatges següents:
Prova Cangur de 2n d'ESO de 2023Prova Cangur de 2n d'ESO de 2024
Prova Cangur de 2n d'ESO de 2022
Recursos i activitats per treballar sabers concrets
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
A. Reconeixement i estudi de figures semblants al pla i a l’espai. Raó de semblança.
Figures semblants
Per treballar el saber #2.ESP.FG.A,trobem molts recursos interessants fets amb GeoGebra. Un exemple és Figures semblants, de David Virgili. En primer lloc, es demana a l’alumnat que justifiqui si les figures que es mostren (tres grups diferents de figures) són semblants o no i, posteriorment, se li demana que construeixi pentàgons semblants treballant la raó de semblança i també la raó entre les àrees. Aquesta activitat forma part d’un paquet de tres, elaborades totes per David Virgili, per treballar la semblança i el teorema de Tales. Les tres activitats es poden trobar a l’enllaç.
Propietats
Un altre recurs també del GeoGebra és Propietats de les figures semblants de Jordi Font, on es treballen les raons de proporcionalitat entre els costats de dos triangles i entre les àrees d’aquests dos triangles.
A l’ARC trobem l’activitat de Josep Lluís Cañadilla Construcció de figures semblants, també per treballar el saber #2.ESP.FG.A. En una primera part de l’activitat es proposa a l’alumnat modificar la grandària d’una figura amb l’editor de textos de manera que n’obtingui una altra de semblant. Amb la segona part de la proposta, l’alumnat aprèn a dibuixar figures semblants amb el GeoGebra, tal com ho faria fent servir eines de dibuix.
Font: Elaboració pròpia
B. Comprensió i aplicació del teorema de Tales en diferents contextos. Posició de Tales. [ESS] #NUM.RP #MES.ME #ALG.MM #ALG.ID #ALG.RF #NUM.QU
Tales, ombres i altures
Una activitat que ens pot servir per treballar tant el saber #2.ESP.FG.A com el saber#2.ESP.FG.B és Tales, ombres i altures de Núria Serra, que es pot trobar a l’ARC. Es proposa seguir els passos de Tales de Milet per tal de calcular l’altura de tres objectes: una porteria, una cistella de bàsquet i la porta principal de l’institut. Per comprovar la fiabilitat dels resultats, l’alumnat ha de fer el càlcul dos cops, un amb el membre de l’equip més alt i l’altre amb el membre de l’equip més baix. Al guió de l’activitat l’alumnat fa els càlculs, així com un dibuix de la situació amb les dades. En acabar, es posen en comú els resultats de tots els grups i, en el cas que hi hagi discrepàncies, es mira d’esbrinar quins poden ser-ne els motius. L’activitat pot servir com a punt de partida d’una altra si fem aquesta pregunta a l’alumnat: i si està ennuvolat, com calcularíem les altures? A partir d’aquí, es podria treballar la llei de la reflexió i fer l’activitat amb miralls, tal com es mostra a les imatges següents o en aquesta proposta del vídeoMAT: Què faria Tales un dia ennuvolat?.
Font: Elaboració pròpia
Home (Casa)
Les escales de mapes, plànols i maquetes poden ser un bon recurs per treballar els sabers#2.ESP.FG.A i #2.ESP.FG.B, donat que expressen raons de proporcionalitat entre les mesures dels models i les de la realitat. El treball amb mapes i amb plànols proporciona un context real en què aplicar els sabers. Es poden fer projectes interdisciplinaris on sigui necessari dissenyar i construir maquetes de cases o edificis, de peces tecnològiques o del sistema solar. Un exemple d’això el trobem al projecte «Home (Casa)» de Jordi Domènech, a la campanya del CREAMAT Matemàtiques i projectes. La proposta tracta de dissenyar una casa amb unes condicions inicials establertes, fet que permet el treball entre diferents disciplines: matemàtiques, economia i tecnologia. El projecte treballa de forma ben clara moltes de les competències específiques de la matèria de matemàtiques, però també treballa a fons el vector de ciutadania democràtica i consciència global, ja que connecta amb diverses problemàtiques relacionades amb l’habitatge: el preu, la gentrificació de les ciutats, els desnonaments…
Sistemes solars
També al web de projectes enllaçat des de la campanya del CREAMAT es pot trobar el recurs “Sistema solar a escala”, de l’INS Marta Mata de Montornès del Vallès (i altres). A l’entrada se’ns presenten múltiples maneres d’abordar el treball matemàtic del projecte i com connectar-lo amb l’entorn proper de l’alumnat.
Al Garraf existeix una ruta del sistema solar a escala. Prenent com a centre del sistema solar l’Observatori Astronòmic del Garraf, la ruta segueix una representació a escala dels diferents planetes de manera que es pren consciència de l’espai interplanetari i de com es veuen el Sol i els planetes des de qualsevol altre astre. Caminant a raó d’un milió de quilòmetres a cada passa, la ruta també permet gaudir de l’entorn natural. Es pot consultar una descripció i les coordenades de la ruta a l’enllaç.
Mirallet, mirallet
Quantes vegades s’ha mirat el nostre alumnat a un mirall? Segurament, des de ben petits i petites ens ha encisat el reflex mostrat per un mirall, però quina relació existeix entre la dimensió de la imatge real i la que observem en un mirall? Aquesta pregunta és el pilar fonamental del recurs d’Anton Aubanell (per treballar el saber #2.ESP.FG.B) amb títol Mirallet, mirallet, per què m’has fet tan petitet? i que es pot trobar a l’ARC.
El desenvolupament de l’activitat té tres fases ben diferenciades:
Font: Elaboració pròpia
Primera fase: l’estudiant voluntari o voluntària dibuixa el contorn de la seva cara en un mirall. Per evitar l’efecte de paral·laxi, cal vetllar que es faci amb un ull tancat.
Segona fase: mostrem la imatge pintada al mirall a la resta de la classe i preguntem: «Mirallet, mirallet, per què m’has fet tan petitet?» L’efecte sorpresa que es produeix és molt interessant. Observen que la imatge pintada al mirall és molt més petita que el contorn real de la persona que l’ha dibuixat. Però, fins a quin punt és més petita la imatge pintada respecte a la real?
Tercera fase: en aquest moment és quan entra en joc el teorema de Tales. Mitjançant un esquema similar al de la imatge adjunta podem preguntar-nos quina relació s’estableix entre la imatge del «món virtual» i la que es projecta al mirall.
Donat que la distància entre la figura real i el mirall és prou curta (com a màxim la longitud del braç que ha fet el dibuix) l’efecte de perspectiva és irrellevant i les dimensions del dibuix són la meitat de les dimensions de la cara real. Es tracta d’un exemple de semblança amb raó 1:2. Però el que sorprèn més és la superfície que limita el contorn i que és una quarta part de la superfície de la cara. Tal com indica l’autor de l’activitat, es tracta d’una bona oportunitat per repassar el fet que la raó entre àrees de figures semblants és igual al quadrat de la raó de semblança.
Com a tancament, si es vol, es pot allunyar molt més el mirall de l’alumne o l’alumna (pot ser de punta a punta de l’aula) i s’observa que el contorn de la cara encara encaixa exactament amb el contorn pintat inicialment; les distàncies de les dues figures (la del «món real» i la del «món virtual») al mirall són iguals. Per tant, la longitud de la imatge projectada al mirall serà sempre la meitat de l’original.
C. Descoberta, conceptuació i demostració geomètrica del teorema de Pitàgores. [ESS] #MES.ME, #ESP.VM
Per a la descoberta del teorema de Pitàgores, saber #2.ESP.FG.C, una possible activitat és que cada alumne dibuixi quadrats sobre els catets i la hipotenusa de diferents triangles rectangles, en calculi les àrees, comparteixi les dades obtingudes amb els companys i, una vegada aconseguits prou casos per estudiar, busqui patrons en les àrees per obtenir la propietat del teorema de Pitàgores. Aquesta activitat es pot fer tant en GeoGebra com en paper i les dues opcions generen uns beneficis més enllà de la descoberta del teorema.
Si es fa amb GeoGebra, amb una sola construcció es poden obtenir molts triangles rectangles i, per tant, s’obtindrà una base de dades més gran (vegeu l’activitat del bloc Visualització i modelització geomètrica referent a la visualització del teorema de Pitàgores, saber #2.ESP.VM.B). Si es fa en paper, cada alumne treballarà amb un nombre limitat (i petit) de triangles rectangles i s’ha de fer un petit treball previ: el primer que cal assegurar és que els quadrats sobre els triangles siguin realment quadrats. Per assegurar-ho, es poden dibuixar els triangles rectangles sobre un geoplà de paper. En la construcció dels quadrats apareixerà el concepte de perpendicularitat, fet que permet connectar (sense explicitar-ho ni dir-ne el nom) amb com es generen vectors perpendiculars i com són els seus components. La segona cosa que cal assegurar és que el càlcul de l’àrea sigui correcte. Aprofitant el geoplà es pot obtenir l’àrea del quadrat sense necessitat de mesurar la longitud del catet o de la hipotenusa. Aquest càlcul permet treballar les diferents estratègies del càlcul d’àrees per descomposició (agrupant o eliminant zones).
Una cosa que es pot fer és pintar el quadrat sobre un catet d’un color (per exemple, blau), el quadrat sobre l’altre catet d’un altre color (per exemple, vermell) i el quadrat sobre la hipotenusa d’un tercer color (per exemple, negre). Per posar paraules a la propietat observada, es pot dir que la superfície blava més la superfície vermella ocupen el mateix espai que la superfície negra. D’aquesta manera, posem atenció al concepte i no a la fórmula.
Cal tenir en compte que la propietat observada es compleix en tots els triangles que han dibuixat els alumnes, però encara no es pot dir que la compleixin tots els triangles rectangles perquè s’han utilitzat uns triangles concrets. La compleixen els triangles utilitzats o bé tots? Per assegurar que es compleix, sempre cal fer una demostració. Es considera important fer la demostració del teorema de Pitàgores perquè, en general, les demostracions no són senzilles i els alumnes no en veuran gaires al llarg de la seva etapa a l’educació secundària, per tant, és important no perdre’n l’oportunitat. La proposta és fer una demostració geomètrica del teorema. Hi ha moltes demostracions visuals diferents del teorema de Pitàgores, una de les quals és la que mostra la imatge següent, i en el llibre de GeoGebra de Steve Phelps Proofs without words se’n poden trobar altres. Una opció és fer una demostració conjunta guiada pel professor o la professora. Una altra opció és aprofitar per treballar en grup, si es considera amb GeoGebra, diferents demostracions que després es puguin visualitzar.
Font: Elaboració pròpia
És important diferenciar entre una «mostració» i una demostració. Una demostració és un conjunt de passos que es poden aplicar a qualsevol triangle rectangle; en canvi, una «mostració» consisteix a mostrar una propietat que es compleix en un triangle rectangle concret. En els vídeos següents se’n poden veure dues (encara que diguin que són demostracions) de diferents del teorema de Pitàgores: vídeo de mostració 1; vídeo de mostració 2.
D. Resolució de problemes que impliquin el teorema de Pitàgores. #MES.ME
Per treballar els sabers#2.ESP.FG.C i #2.ESP.FG.D, hi ha la seqüència d’activitats de Núria Serra «Un tangram diferent», la guia didàctica de la qual es pot consultar en aquest enllaç. La seqüència està pensada per portar-la a classe en tres o quatre sessions i està dividida en tres parts ben diferenciades. Amb el pretext de conèixer el puzle de Lott, també conegut com a tangram de Van Hiele, l’alumnat fa un estudi i classificació de figures planes, cerca patrons i, finalment, descobreix i aplica el teorema de Pitàgores.
Núria Serra
A la primera part, com a activitat d’escalfament, es lliura la imatge següent en format DIN A3 i l’alumnat haurà d’escriure què hi observa i quines preguntes els suggereix la imatge:
Núria Serra
Aquesta mena d’activitats, conegudes com a «what do you wonder, what do you notice», són interessants pels motius següents, sempre que vagin acompanyades d’una bona gestió a l’aula. Demanar a l’alumnat què observa pot facilitar la conversa i demanar quines preguntes els venen al cap ajuda a fomentar la curiositat. També acostumen a provocar més participació i una millor valoració de les diverses perspectives que aporten els companys i companyes, impliquen l’alumnat de forma activa, en valoren la veu i les idees, i poden fomentar la generació d’idees i l’establiment de connexions entre conceptes matemàtics.
Núria Serra
Tot seguit, es passa a estudiar les peces del tangram. Aquesta activitat serveix per fer un repàs de conceptes bàsics de geometria plana, treballar la diferència entre perímetre i àrea i, finalment, planteja la necessitat de trobar la manera de calcular el tercer costat d’un triangle rectangle del qual en coneixem dos.
Es dona a cada grup les peces del tangram fetes de cartolina. En els primers apartats, es demana que identifiquin quins polígons veuen en el tangram i que pensin com es poden classificar i ho facin. A continuació, es demana que indiquin el valor dels angles interiors de tots els polígons. Un error bastant comú és posar que l’angle de 60° del triangle rectangle és de 45°. El professorat, en veure l’errada, pot preguntar que per què pensen que és 45°. Una resposta freqüent és que al quadrat és així. Llavors una pregunta que pot ajudar a adonar-se de l’errada és plantejar quines són les diferències entre els quadrats i els rectangles. Tots els grups solen començar indicant els angles rectes, però n’hi ha que, un cop fet això, es queden encallats. En aquests casos, es pot donar la indicació que continuïn buscant els angles del triangle equilàter. El fet de tenir les peces pot ajudar a identificar angles iguals superposant les figures.
Núria Serra
A l’apartat següent es demana quines figures es poden formar a partir de les altres. Potser alguns grups necessitaran l’aclariment que volem la mateixa forma i mida, és freqüent que algun grup busqui només la forma i trobi figures semblants (per exemple, amb les peces 1, 2, 6 i 7 es poden fer peces amb la mateixa forma que la 6 i la 4, però de mida diferent), que pot resultar interessant per ampliar el treball de l’activitat, però que no és un objectiu proposat inicialment. Les peces de cartolina són clau per donar resposta a aquest apartat i que tot l’alumnat tingui opcions a trobar les solucions.
Núria Serra
Una pregunta interessant és si s’han trobat totes les possibilitats i, en cas de resposta afirmativa, demanar com se sap que no falta cap possibilitat. Pot resultar útil representar a la pissarra les possibilitats que van trobant els grups per, entre tot el grup de forma conjunta, trobar totes les opcions possibles. L’alumnat troba maneres diferents de donar la resposta, fent dibuixos i esquemes o utilitzant símbols matemàtics.
Núria Serra
Tot seguit, es demana quina fracció respecte a la superfície total del tangram representa cadascuna de les peces i establim connexions amb el sentit numèric. Normalment, l’alumnat troba dificultats a explicar el perquè i justificar-ho, diu que «ja es veu». Cal demanar que facin l’esforç per trobar les paraules.
Núria Serra
En l’apartat següent es demana com es pot comprovar que les fraccions són correctes. Un altre cop, és important remarcar que cal justificar el que fan.
Núria Serra
Es comença demanant a l’alumnat que trobi dues peces que tinguin la mateixa superfície, però diferent perímetre. Sigui superposant les peces de cartolina o bé amb les fraccions que han trobat als apartats anteriors, és senzill trobar dues peces de la mateixa superfície. El que no és immediat és que justifiquin que el perímetre és diferent. Si veiem que algun grup no van pel camí recomanable, podem induir a la revisió del que estan fent amb preguntes del tipus: «Esteu segurs que és així? Per què penseu que aquestes dues mesures són iguals? I si us feu un esquema amb les dades? Quines són les mesures que sabem amb seguretat? I si agafeu les peces i les superposeu?…»
Hi ha alumnes que fan bones observacions, però no acaben de justificar-ho. En aquest exemple, podríem demanar: «Com saps que el perímetre de la figura 1 és més petit que el de la figura 2?»
Núria Serra
Finalment, se’ls demana que trobin les mesures de tots els costats dels polígons del tangram tenint en compte que el perímetre del triangle equilàter és de 15 cm.
Aquells grups que volen acabar de pressa diran que els triangles rectangles tenen dos costats de 10 cm. El professorat els ha de guiar perquè vegin que no és possible, encara no saben que en un triangle rectangle la hipotenusa sempre és més gran que els catets, però ho poden deduir observant el dibuix del tangram o superposant les peces. Una manera molt clara de fer-los-ho veure és proposar-los que agafin els dos triangles rectangles i comparin longituds.
Núria Serra
És important remarcar-los que han d’explicar el perquè de les seves conclusions. L’alumnat arriba a la conclusió que, amb les dades de què disposa, no pot trobar un dels costats del triangle rectangle. Per fer-ho haurà de seguir investigant, així que es dona pas a la segona part de la seqüència.
La segona part és una adaptació de l’activitat de l’NRICH Tilted squares. L’alumnat necessita la fitxa de treball i geoplans o fulls amb trama quadrada. S’inicia l’activitat amb una presentació. És important que, a l’inici, l’alumnat encara no tingui la fitxa de treball ni els geoplans per evitar distraccions. A la presentació es fan un seguit de preguntes que en gran grup s’aniran responent. Pot haver-hi alumnes que no hagin treballat mai amb geoplans i és important deixar clar que la unitat de longitud és la distància entre punt i punt (pot haver-hi alumnes que, en comptes de distància entre punts, comptin els punts).
Les primeres preguntes són senzilles de respondre, és un bon moment per donar veu a aquell alumnat que habitualment té por de participar:
Núria SerraNúria SerraNúria Serra
La pregunta següent té més dificultat i serà el fil conductor de tota la sessió:
Núria Serra
El fet que el quadrat estigui inclinat dificulta el càlcul a simple vista. Normalment, una de les respostes que l’alumnat acostuma a dir és que la superfície és 4 perquè, encara que el quadrat estigui inclinat, el costat és 2. Després de veure que no és 2, és l’hora de buscar estratègies per trobar la superfície. Es poden deixar cinc minuts perquè cada grup parli i busqui opcions, si resulta difícil, es pot projectar la diapositiva següent de la presentació:
Núria Serra
Es pregunta a l’alumnat si ara té cap idea i es deixen uns minuts perquè ho parlin amb els companys.
Una possible estratègia és la que hi ha a continuació a la presentació:
Núria Serra
N’hi ha altres d’interessants que, si no surten a classe, val la pena de comentar, com ara fer el càlcul de la superfície del quadrat interior i sumar-li quatre triangles rectangles:
Núria Serra
Per seguir l’activitat, és necessari posar nom als quadrats inclinats. Es projecta la diapositiva següent i es demana a l’alumnat que conjecturi el perquè del nom de cada quadrat:
Núria Serra
Cada quadrat està definit per una parella de nombres referents al triangle rectangle sobre el qual s’ha format el quadrat. El primer nombre és la base del triangle i el segon nombre és l’altura.
Un cop es té clar com anomenar els quadrats inclinats, es dona la fitxa de treball a cadascú i un geoplà per grup.
A cada grup li correspondrà calcular la superfície d’un quadrat inclinat diferent. Poden representar la situació al geoplà per visualitzar-la i fer més fàcil el càlcul o també en un full de trama quadrada.
Núria Serra
Després es fa una posada en comú de tots els resultats i s’emplena la taula de la fitxa.
Núria Serra
Un cop s’ha fet la posada en comú, es deixa temps per fer els tres apartats següents. Hi ha alumnes que expressen verbalment la troballa (i podem aprofitar per comentar petites errades en l’expressió de la solució):
Núria Serra
I n’hi ha que fan servir llenguatge algebraic:
Núria Serra
Ara se’ls demana que, sense fer cap càlcul, conjecturin quina serà la superfície d’un quadrat construït sobre un triangle rectangle d’altura 2. La majoria de les respostes acostumen a ser que es multiplica la base del triangle per ell mateix i se suma 2 (el raonament que donen és que si abans sumàvem 1, ara sumarem 2):
Núria Serra
Després se’ls demana que ho comprovin amb els geoplans i tornin a emplenar una taula com la de l’apartat a), però amb altura 2.
Es posen els resultats en comú i es deixa temps perquè observin què està passant. L’alumnat pot arribar a conjecturar una fórmula per al cas d’altura 2.
Núria Serra
Hi haurà alumnes que arribaran a deduir una fórmula per al cas general abans que se’ls demani:
Núria Serra
Per acabar, se’ls demana que conjecturin una fórmula per al cas general, un quadrat construït sobre un rectangle de base a i altura b, i arribin així al teorema de Pitàgores:
Núria Serra
A la tercera part de la seqüència d’activitats s’enuncia d’una manera formal el teorema i es donen exemples d’aplicació que l’alumnat haurà de reproduir. A continuació, se’ls demana que apliquin allò que han après per donar resposta al repte proposat a la primera sessió: trobar les longituds de tots els costats de les peces del tangram de Van Hiele.
Núria Serra
E. Estudi de les propietats i els elements de cossos geomètrics. Classificació de poliedres i cossos rodons. [ESS]
Sòlids platònics
Una activitat molt interessant, que podem titular «Construcció de sòlids platònics», per treballar el saber#2.ESP.FG.E és la de trobar tots els sòlids platònics (o poliedres regulars) amb materials manipulatius, i fer-ne la construcció de manera que sigui, en ella mateixa, una demostració del fet que són aquells i només aquells. Per construir-los hi ha diversos materials, com el Lokon, que consta de peces en forma de triangle equilàter, quadrat i pentàgon regular, totes amb la mateixa longitud de costat, que encaixen entre elles. El Polydron magnètic fa la mateixa funció, però és més fàcil d’encaixar pel fet que fa servir imants.
Amb aquestes peces proposem una investigació: quins poliedres podem construir amb peces totes iguals entre elles, coincidint a cada vèrtex el mateix nombre de peces?
A mesura que anem fent la investigació i la construcció, es va fent evident que els objectes matemàtics decisius en aquesta qüestió són els angles. Aniran sorgint algunes propietats de les figures, com ara que és necessari que la suma dels angles de les figures que conflueixen en un mateix vèrtex sigui inferior a 360° per tal que pugui plegar. En cas que sigui exactament 360°, tindrem un recobriment del pla, la qual cosa ens dona peu a una altra investigació molt interessant sobre els mosaics.
La investigació que proposem consisteix, a grans trets, a construir poliedres de manera ordenada i descartar els casos amb els quals no funciona. Per exemple, amb els triangles equilàters es veu fàcilment que no es pot construir una figura tancada de tres dimensions amb menys de quatre peces, però que amb exactament quatre es pot tancar. Apareix el tetràedre, que a cada vèrtex uneix tres triangles equilàters. Si es construeix un poliedre unint quatre triangles per vèrtex s’obté l’octaedre (vuit triangles) i si s’uneixen cinc triangles per vèrtex la figura que apareix és l’icosaedre (20 triangles). És fàcil veure que no es poden unir més de cinc triangles per vèrtex perquè amb sis ja s’arriba als 360° i ja no es pot plegar la construcció. Tampoc se’n poden utilitzar menys de tres, perquè quedarien dos triangles l’un sobre l’altre sense generar volum. La mateixa investigació es pot fer amb les altres peces, els quadrats només permetran unir tres peces a cada vèrtex generant un cub i els pentàgons també permetran només vèrtexs amb tres peces, generant un dodecaedre. Amb el material és fàcil veure que ja no es poden construir més poliedres regulars.
La característica d’Euler relaciona el nombre de vèrtexs, cares i arestes dels poliedres. Es proposa descobrir aquesta relació a partir de la recerca amb diferents poliedres.
Una manera de portar-la a l’aula és fer una investigació conjunta entre tot el grup classe: analitzar diferents figures individualment i compartir els resultats en un espai visible per a tothom com la pissarra o bé un full de càlcul compartit, mitjançant una taula. D’aquesta manera, el docent pot anar revisant les aportacions dels alumnes (comprovant mentalment que siguin correctes amb la fórmula d’Euler) i demanar revisió quan el resultat no sigui correcte. Un cop recollits un cert nombre de resultats, guiarem el grup per observar la relació entre els vèrtexs, les cares i les arestes. Podem ajudar-los creant una nova categoria que sigui «cares + vèrtexs».
A la campanya Laboratori de matemàtiques del CREAMAT s’explica una proposta per treballar la característica d’Euler a l’aula, titulada Comptem cares, arestes i vèrtexs.
Es pot trobar una referència a aquesta activitat al bloc de patrons d’aquest mateix curs (#2.ALG.PA), dins les propostes del sentit algebraic.
Poliedres amb bricks
Un altre recurs per treballar el saber#2.ESP.FG.E el trobem a la campanya del CREAMAT Mates take away i porta per nom Poliedres amb brics. El resultat són poliedres fàcils de construir i fets amb material reciclable.
Al blog de Manel Martínez trobem una entrada interessant sobre la mateixa temàtica i que porta el mateix nom, Poliedres amb brics. L’autor del blog posa en relleu les característiques següents sobre aquesta activitat:
La poden fer tots els alumnes alhora. És una activitat inclusiva, no necessita grans coneixements previs per part de l’alumnat i poden treballar conjuntament alumnes de diferents nivells. Tots aporten al resultat final.
Té un fort component artístic que, sense gaires dificultats, permetrà que el centre en pugui lluir els resultats.
De seguida, i de manera natural, portarà l’alumnat a investigar sobre les característiques dels poliedres, així com els seus elements: arestes, vèrtexs, cares, angles, díedres, etc.
Es pot fer a qualsevol curs de l’ESO, per tant, és una bona activitat intercursos o internivells.
És una proposta de llarg recorregut: en funció de l’alumnat es pot estirar més i, fins i tot, pot esdevenir un projecte de recerca.
Té un cost molt baix i requereix la implicació de tothom. És un recurs col·laboratiu.
Al blog es pot trobar el material necessari per portar l’activitat a l’aula, així com una descripció detallada de tots els passos. També hi trobem imatges sobre els possibles productes finals, com aquesta:
A l’ARC trobem l’itinerari La volta al món en 8… edificis, on es proposa fer la volta al món a la recerca d’edificis amb forma de cossos geomètrics i fer-ne un estudi detallat. Consta de nou unitats en què s’estudia l’ortoedre, el cub, els prismes de base triangular i pentagonal, la piràmide, el cilindre, el con, l’esfera i una de síntesi. Les activitats de les unitats són molt diverses i estan contextualitzades en el seu entorn. N’hi ha de resolució de problemes, de modelització, manipulables, de geometria dinàmica… Tenen diferents graus de dificultat, es poden fer individualment o en petit grup. Aquest itinerari el va elaborar l’equip ICE de matemàtiques de la UdL, 2013-16 (Germán Arbiol Oliver, Ramon Miquel Bergadà Marimon, Rosa Castillo Cervelló, Montserrat Córdoba Marsà, Andreu Grau Bernadó, Palmira Ortiz Escoda i Montserrat Siscart Alberich).
F. Estudi i visualització de cossos geomètrics a través dels seus desenvolupaments plans. #MES.ME
Dissenyem una llauna de refresc
Un exemple d’activitat per treballar els sabers#2.ESP.FG.E i #2.ESP.FG.F és Dissenyem una llauna de refresc, de Núria Serra, que es pot trobar a l’ARC. En aquesta activitat es proposa un petit projecte que parteix de l’entorn proper dels alumnes. A partir de l’anàlisi de les dimensions de les llaunes de refresc habituals, es proposa un problema d’optimització del material. Òbviament, l’alumnat de 2n d’ESO encara no coneix les eines per atacar el problema analíticament, però no per això hem de descartar l’activitat, justament això la fa més interessant. Es proposa mesurar i calcular la capacitat de les llaunes de què es disposa i, posteriorment, variar-ne les dimensions per tal que, mantenint la mateixa capacitat, obtinguem una sèrie de dades (altura i radi, àrea lateral i total) que ens permetin concloure quina és la que té la superfície mínima. Un cop determinades les dimensions, es construeix en cartolina, amb la qual cosa treballem el pas de les dues a les tres dimensions i el seu desenvolupament pla.
Aquesta manera d’abordar el treball amb figures geomètriques permet no només conèixer bé les figures (en aquest cas, el cilindre) i calcular-ne alguna dada desconeguda, sinó que a més es treballa en un ambient d’investigació: es busquen relacions entre les diverses magnituds (observant com varien el radi o l’altura si mantenim el volum fixat) i es dona un sentit pràctic a la tasca. L’ús d’eines digitals, com ara un full de càlcul per recollir les dades, ens facilita la tasca de recollida i anàlisi de dades de les situacions possibles. Cal tenir en compte que l’organització de dades en taules és un recurs molt útil en la resolució de problemes, tant per poder-les analitzar i extreure’n la informació buscada (com en aquest cas), com per buscar patrons en altres tipus de problemes, per exemple.
En lloc d’acabar construint la llauna amb cartolina, una altra opció és dibuixar-la amb el Tinkercad per, posteriorment, imprimir-la amb impressora 3D.
Per treballar el saber #2.ESP.FG.F, també ens pot ser d’ajuda fer servir alguna applet. Una d’interessant la trobem al web Illuminations de l’NCTM, Geometric solids. Aquesta eina permet conèixer els sòlids platònics i les seves propietats a través del seu desplegament. Mitjançant la manipulació i la investigació, l’alumnat també pot acabar descobrint la relació entre el nombre de cares, arestes i vèrtexs, la característica d’Euler. És a dir, aquest recurs també ens pot servir per treballar el saber #2.ESP.FG.E.
