A 3r d’ESO, l’alumnat ja s’ha iniciat en el treball del llenguatge algebraic, la resolució d’equacions senzilles i funcions lineals i afins, elements que permeten modelar i analitzar diferents tipus de fenòmens, propis de la matemàtica i/o lligats al món real. Si a 2n d’ESO, l’alumnat pot arribar a modelar situacions i relacions lineals i de proporcionalitat geomètrica; ara, a 3r, amb la introducció de les equacions de segon grau i els sistemes d’equacions s’amplia l’horitzó i, per tant, s’obre un ampli ventall de propostes possibles: des de situacions de trajectòries parabòliques fins a problemes d’optimització, per exemple.
El professorat hem de procurar que aquestes propostes per treballar la modelització portin l’alumnat a fer servir representacions diferents, com ara taules, gràfiques o equacions, que ens poden portar a connectar no només les matemàtiques amb altres disciplines i el món real, sinó també idees diferents dins de les matemàtiques mateixes.
Cal remarcar el paper valuós que els programes de geometria dinàmica poden arribar a tenir, ja que, més enllà d’ajudar l’alumnat a visualitzar i explorar conceptes matemàtics, també donen eines per buscar les funcions que millor modelitzen un context, la qual cosa permet crear el model i validar-lo posteriorment.
La creació de models a 3r d’ESO va lligada als sabers dels diferents sentits que es treballen al llarg d’aquest curs, faciliten el procés de modelització i propicien un bon escenari per treballar situacions contextualitzades. Així, dins del sentit algebraic, s’estableixen connexions amb equacions ( #3.ALG.ID) i funcions ( #3.ALG.RF, #3.ALG.PC).
Tal com també s’ha esmentat als cursos anteriors, l’alumnat té a l’abast molts recursos per treballar el saber #3.ALG.MM.D. El full de càlcul ens permet trobar funcions d’ajust de manera senzilla i amb els programes de geometria dinàmica també se’ns obre un món ple de possibilitats. Aquests programes ofereixen fer representacions gràfiques i càlculs complexos, però a més potencien la part creativa del procés de modelització. En aquest sentit, el repositori de materials del programa GeoGebra proporciona multitud de propostes ja preparades per aplicar a l’aula.
Com als cursos anteriors, s’ha destacat el saber #3.ALG.MM.E com a essencial, ja que es considera fonamental en el procés de resolució de problemes. Quan l’alumnat fa tasques de modelització, un cop obtinguda la solució, s’ha d’interpretar i validar i, en cas que no solucioni el problema de la realitat, prendre les decisions oportunes.
Ús de les equacions de segon grau com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús dels sistemes d’equacions com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús de les funcions com a models matemàtics.
Ús de recursos digitals o interactius per buscar la funció que modelitzi millor un context.
Anàlisi de les solucions d'un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si s'escau.
Tal com també es comenta als cursos anteriors, un tipus de tasques en què el treball de modelització matemàtica pot encaixar òptimament són els projectes. Al CREAMAT, s’hi pot trobar una campanya anomenada Matemàtiques i projectes, on es poden trobar molts exemples detallats amb tots els materials necessaris per aplicar-los a l’aula.
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
Podem trobar moltes situacions contextualitzades que requereixen com a model les equacions de segon grau i poden servir-nos per treballar el saber #3.ALG.MM.A. ’Aquesta idea es pot veure molt clarament al vídeo Paràboles al món real.
Les possibilitats per plantejar petits reptes contextualitzats mitjançant expressions quadràtiques són molt nombroses. Es poden plantejar situacions en què l’alumnat hagi d’optimitzar superfícies, problemes de costos i beneficis, etc. Per exemple, trobem expressions quadràtiques per modelitzar llançaments de projectils. Imaginem que llancem una pilota cap amunt. L’altura (h) en funció del temps (t) es pot modelar amb una equació de segon grau: \( h(t) = −4.9t^2+ v_0t + h_0 \) ,on:
Un exemple de projecte per treballar gairebé tots els sabers d’aquest bloc, però especialment el saber #3.ALG.MM.A, és Clepsidra. Trobem dos exemples de com portar a terme aquest projecte amb tots els materials necessaris al blog del Sergi del Moral i a la pàgina de Carlos Morales.
El projecte tracta de construir una clepsidra, un rellotge d’aigua i es basa en l’experimentació de l’alumnat que busca el màxim rigor matemàtic.
El projecte demana tres productes finals:
Després d’experimentar i recollir dades es busca el model matemàtic. Com que s’ha de descartar un model lineal, s’arriba a deduir que l’ajust ha de ser quadràtic.
Una activitat per treballar el saber #3.ALG.MM.B es troba a l’ARC i s’anomena Quant val?, de Jessica Tomàs. Es tracta d’una seqüència d’activitats per treballar els sistemes d’equacions lineals amb dues incògnites. Es treballa la resolució de problemes de l’entorn de la vida quotidiana a partir de tiquets de la compra i s’introdueix la representació i resolució gràfica amb programes de geometria dinàmica.
Font: Quant val?, de Jessica Tomàs
També per treballar saber #3.ALG.MM.B, podem plantejar una activitat amb context geomètric com la que es presenta a continuació. Es tracta d’una adaptació de l’activitat de l’NCTM «Lost in Mathland». La versió Perduts a Matelàndia és més senzilla que l’original i només engloba el treball de sistemes d’equacions lineals amb dues incògnites (l’original treballa equacions de primer, segon i tercer grau i està destinada a l’alumnat de 4t d’ESO i batxillerat).
L’activitat planteja aquesta situació: Matelàndia és un poble situat sobre un pla de coordenades cartesianes, els carrers i carreteres del qual són els gràfics d’equacions lineals. Tres amics, la Carme, el Francesc i la Núria, van a Matelàndia a passar el dia, però s’acaben perdent i separant els tres. Al cap d’una estona de caminar i veure que no es troben s’escriuen pel mòbil i aquesta és la conversa que tenen:
I, seguint les instruccions de la Carme, tots tres amics s’acaben trobant.
L’alumnat, un cop ha llegit bé la situació plantejada, ha de respondre les preguntes següents:
És important demanar a l’alumnat que justifiqui i raoni tot el procediment i passos que fa per trobar les respostes a les preguntes.
A continuació, hi ha un possible exemple de resolució gràfica:
Com a ampliació o si es vol passar l’activitat a 4t d’ESO, es pot incloure algun apartat en el qual sigui l’alumnat qui trobi l’equació d’una recta donades les coordenades de dos punts o fins i tot l’equació d’una paràbola donats tres punts.
Un exemple per treballar el saber #3.ALG.MM.C i el saber #3.ALG.MM.D és la seqüència d’activitats «Barbie Bungee» de l’NCTM. Tenim disponible una adaptació al català anomenada també «Barbie Bungee». La idea és que volem predir quantes gomes elàstiques hem de lligar a una nina per fer un salt de 4 m sense que arribi a tocar a terra. En primer lloc, es demana a l’alumnat que faci prediccions abans d’experimentar: quantes gomes caldran per fer un salt de 4 m? Després és el moment de fer proves amb una altura més petita, per exemple 2 m, i recollir dades per analitzar-les i fer-ne una predicció més fonamentada.
A la imatge, es mostra com fer els nusos amb les gomes elàstiques:
Font: NCTM
Es poden muntar plataformes de llançament per tal que l’alumnat pugui treballar en grup autònomament i tots els grups a la vegada.
L’alumnat fa llançaments i mesura la longitud a què arriba la nina mentre en pren nota. Pot resultar interessant gravar els llançaments amb el mòbil a càmera lenta per determinar més exactament la longitud a la qual arriba la nina.
Font: Núria Serra
Un cop ja arriben al màxim de gomes possible abans que la nina toqui a terra, és el moment de continuar amb el full de treball. L’alumnat haurà d’emplenar una taula, fer un gràfic, observar-hi patrons i fer una nova predicció a partir de tota la informació.
El següent dia de classe, un cop recordat el que s’ha fet el dia anterior, amb l’ajuda d’una aplicació com per exemple Line of Best Fit, es troba la funció que millor ajusta els punts obtinguts a la classe anterior.
A continuació, es treballa el significat del pendent de la recta trobada i de l’ordenada a l’origen i, tot seguit, l’alumnat ja pot trobar, a partir de l’equació, el nombre de gomes que calen per fer el salt de 4 m.
Per acabar, només queda fer el salt de 4 m i veure si les prediccions de cada grup eren correctes. És interessant que un cop tots hagin fet els llançaments des dels 4 m, posem en comú en una taula a la pissarra les longituds obtingudes, el nombre de gomes i l’equació amb què ha treballat cada grup. Comparem els resultats i busquem els motius de per què uns grups han trobat una millor aproximació que els altres.
Es pot veure un vídeo de com es va portar a terme l’activitat en una aula de 3r d’ESO en aquest enllaç.
Hi ha moltes adaptacions diferents de l’activitat anterior, però volem destacar la proposta que els professors Jordi Font i Roger Grau van dur a terme a l’institut Baix a Mar en format projecte sota el nom Salt de bungee. La proposta planteja aquesta pregunta: Quines característiques ha de tenir un salt per ser excitant i segur?
Es comença consensuant el que ens proposa la pregunta. En aquest cas, s’haurà de definir entre tots com hauria de ser un bon salt. Per exemple, llençar des d’una altura d’un punt alt de l’institut, mesurat prèviament, per exemple de 4 o 5 metres. També cal pensar en les variables que apareixen al problema i dissenyar com faran l’experiment i, finalment, validar-lo. Els professors aprofiten el projecte per introduir les característiques de les funcions lineals, sabers necessaris per poder crear un bon model. Es fa la recollida de dades, es fa reflexionar a l’alumnat a partir d’unes preguntes, i s’analitza què ha passat amb les dades obtingudes.
Les dues propostes descrites són de format ben diferent: la primera té una durada de dues sessions i està completament acotada. La segona és una seqüència més llarga, en què el projecte permet introduir sabers nous i en la qual l’alumnat va prenent decisions constantment. A la segona hi ha construcció de coneixement; a la primera, principalment aplicació. Però tant en una com en l’altra, es crea i es valida el model. En funció del temps, la realitat del centre i els grups, s’haurà d’escollir la proposta que més encaixi.
Veure l'anterior saber #3.ALG.MM.C.
En qualsevol de les activitats i situacions proposades anteriorment a l’alumnat, serà important parar atenció al saber #3.ALG.MM.E, en especial quan les activitats comportin una investigació, manipulació i descoberta. Aturar-se a comprovar si s’està anant per bon camí, valorar críticament les solucions d’un problema, veure si són coherents i adequades, i prendre decisions en conseqüència és essencial per al bon fer matemàtic. Cal donar espais a l’aula perquè això passi i animar els estudiants a reflexionar contínuament sobre la feina que estan fent i sense donar veredictes, sinó propiciant que siguin ells mateixos qui facin l’anàlisi amb l’ajuda de les nostres preguntes, que els aniran guiant, si cal. Si l’activitat és ’llarga (diverses sessions), es pot fer una aturada de tota la classe en un punt intermedi per posar en comú els resultats obtinguts fins al moment i fer aportacions de millora entre tots.
Llicenciat sota la Llicència Creative Commons Reconeixement CompartirIgual 4.0