El conjunt de sabers que constitueixen el sentit espacial, com tots els altres sentits, s’ha de relacionar amb el conjunt de competències del currículum. Sense un coneixement dels sabers, difícilment es poden desenvolupar els processos per avançar en l’assoliment de les competències i, d’altra banda, la manera com s’introdueixen, es construeixen i s’utilitzen els sabers és clau per dur a terme un treball competencial.
Així doncs, tots els sabers poden contribuir a desenvolupar qualsevol competència si es treballen en activitats adequades, i un mateix saber pot ajudar a desenvolupar diverses competències.
Es presenta la relació entre els sentits i les competències específiques a través dels processos: resolució de problemes (competències específiques CE 1 i CE 2); raonament i prova (competències específiques CE 3 i CE 4); connexions, en què distingim les internes (competència específica CE 5) i les externes (competència específica CE 6); comunicació i representació (competència específica CE 7), i gestió socioemocional (competències específiques CE 8 i CE 9).
Aquesta relació, pel que fa al sentit espacial, es concreta, en el marc d’aquest exemple, de la manera que es descriu en els apartats següents, tot i que hi pot haver altres anàlisis igualment vàlides.
Resolució de problemes (CE 1 i CE 2)
El treball dels sabers del sentit espacial a 3r d’ESO propicia la investigació dibuixant, visualitzant, transformant, comparant i classificant objectes matemàtics.
Sabers
A tall d’exemple, entre els sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar la resolució de problemes trobem, entre altres coses, que:
- En el context d’un problema poden aparèixer sabers com ara equacions o sistemes d’equacions, i serà útil conèixer les representacions gràfiques en eixos cartesians (saber #3.ESP.VM.B) per trobar-ne la solució.
- De la mateixa manera, la visualització geomètrica de nombres figurats (saber #3.ESP.VM.C) pot ajudar a trobar una expressió algebraica del terme general en una situació més àmplia.
Recursos
Molts dels recursos que s’han esmentat per treballar diferents sabers requereixen l’ús d’estratègies de resolució de problemes. Per exemple:
- A la proposta per treballar el saber #3.ESP.VM.B que consisteix a trobar el punt del mapa de Matelàndia on es trobaran els tres amics, «Perduts a Matelàndia», una possible via de resolució és usar el model matemàtic dels sistemes d’equacions per trobar els punts de tall. Però els camins per arribar a la solució poden ser diversos, i és bo deixar que l’alumnat proposi i argumenti els seus.
- A l’hora de buscar tots els recobriments del pla en l’activitat Tessel·lem? proposada com a exemple per treballar el saber #3.ESP.MT.B, ens calen estratègies de pensament exhaustiu i, associat a aquestes, el fet de ser sistemàtics i perseverants en la recerca.
- La factorització de polinomis de segon grau utilitzant peces algebraiques «Models rectangulars i àlgebra» proposada per treballar el saber #3.ESP.VM.A també requereix utilitzar estratègies per aconseguir posar totes les peces formant un rectangle, més enllà de l’assaig i millora.
Comprensió i estudi del concepte de translació, gir, simetria. Estudi dels elements que defineixen cadascun dels moviments.
Estudi de recobriments en el pla.
Ús de materials manipulatius i de programes de geometria dinàmica per generar transformacions geomètriques.
Interpretació d’una multiplicació com l’àrea d’un rectangle: ús del model de caixa per resoldre equacions de segon grau, per factoritzar expressions algebraiques i visualitzar les identitats notables.
Visualització de solucions d’equacions o de sistemes d’equacions en representacions gràfiques en eixos cartesians.
Visualització geomètrica dels nombres triangulars, altres nombres figurats i altres patrons senzills.
Visualització d’una funció quadràtica i d’una funció de proporcionalitat inversa com una paràbola o una hipèrbola respectivament amb unes característiques concretes.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l'alumnat.
Raonament i prova (CE 3 i CE 4)
El raonament matemàtic es pot treballar amb profunditat en contextos geomètrics. La introducció de nous sabers es pot proposar a partir de materials manipulatius o d’imatges que s’hagin d’analitzar per trobar semblances i diferències, de manera que se’n pugui fer una classificació i determinar-ne i argumentar-ne les propietats. Per altra banda, l’ús de programari de geometria dinàmica o altres contribueixen a l’assoliment de la competència específica CE 4.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar el raonament són, entre d’altres:
- El saber #3.ESP.MT.A, que implica la comprensió i l’estudi del concepte de gir, translació i simetria i l’estudi dels elements que defineixen cada un dels moviments. Aquest estudi de les característiques que els defineixen requereix una argumentació a partir de conjectures que s’han de comprovar i validar.
- El saber #3.ESP.MT.B, l’estudi dels recobriments en el pla, que requereix fer conjectures sobre la propietat de les figures de tessel·lar o no un pla a partir de les seves característiques. Això contribueix al desenvolupament de la CE 3.
- El saber #3.ESP.MT.C, en particular l’ús de programes de geometria dinàmica, que afavoreix especialment l’assoliment de la CE 4.
- Pel que fa al saber #3.ESP.VM.C, la recerca de patrons senzills permet desenvolupar la capacitat de raonament lògic i d’argumentació (CE 3). Per altra banda, la mateixa recerca de patrons contribueix a l’assoliment de la CE 4.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers fan referència directa al procés de raonament i prova. Per exemple:
- La seqüència d’activitats Transformacions en el pla que es proposa com a recurs general per treballar tot el bloc Moviments i transformacions és d’exploració i construcció i, per tant, contribueix al desenvolupament de la competència específica CE 3. A més, tota la seqüència es proposa a partir del programa de geometria dinàmica GeoGebra, per la qual cosa afavoreix l’assoliment de la competència específica CE 4.
- La cerca i classificació dels diferents tipus de sanefes o mosaics que es proposen en les activitats Frisant pels frisos i Tessel·lem?, recursos per treballar els sabers #3.ESP.MT.A i #3.ESP.MT.B, requereixen un treball sistemàtic i l’organització i classificació de les descobertes, per la qual cosa promouen el desenvolupament de la competència específica CE 4.
- De la mateixa manera, totes les activitats que es basen en l’ús de geometria dinàmica o bé l’incorporen en alguna part de la tasca, com ara les de l’ARC per treballar les isometries que es proposen amb els sabers #3.ESP.MT.A i #3.ESP.MT.C (Els logotips i els moviments en el pla i Girs amb GeoGebra), ajuden a desenvolupar la CE 4.
- Les demostracions visuals proposades a Model geomètric per al desenvolupament del quadrat de la suma, Model geomètric per al desenvolupament d’(a + b) · (a – b) i Cub d’un binomi (saber #3.ESP.VM.A) ajuden a visualitzar allò que representen, a donar sentit a les fórmules i a argumentar, així que afavoreixen el desenvolupament de la competència específica CE 3.
Comprensió i estudi del concepte de translació, gir, simetria. Estudi dels elements que defineixen cadascun dels moviments.
Estudi de recobriments en el pla.
Ús de materials manipulatius i de programes de geometria dinàmica per generar transformacions geomètriques.
Interpretació d’una multiplicació com l’àrea d’un rectangle: ús del model de caixa per resoldre equacions de segon grau, per factoritzar expressions algebraiques i visualitzar les identitats notables.
Visualització de solucions d’equacions o de sistemes d’equacions en representacions gràfiques en eixos cartesians.
Visualització geomètrica dels nombres triangulars, altres nombres figurats i altres patrons senzills.
Visualització d’una funció quadràtica i d’una funció de proporcionalitat inversa com una paràbola o una hipèrbola respectivament amb unes característiques concretes.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l'alumnat.
Connexions amb altres parts de la matemàtica (CE 5)
Les connexions internes més fortes del sentit espacial als cursos de 1r i 2n d’ESO són amb els sentits numèric i de la mesura. En canvi, el curs de 3r d’ESO té un fort component algebraic amb la introducció de nous tipus d’equacions, inequacions i sistemes d’equacions lineals, així com nous tipus de funcions (quadràtica i proporcionalitat inversa). El sentit espacial es nodreix de tots aquests sabers, alhora que el sentit algebraic es veu fortament enriquit amb la visualització geomètrica. La geometria ens ajuda a donar sentit a tots aquests objectes abstractes de manera que siguin més comprensibles per a l’alumnat, i això fa que a 3r d’ESO les connexions més fortes del sentit espacial siguin amb el sentit algebraic, especialment en el bloc de visualització i modelització.
Tal com diu Anton Aubanell a les Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria:
«Un tractament més geomètric dels continguts algebraics no tan sols dona més presència a la geometria sinó que, sobretot, dona més sentit als processos de manipulació simbòlica.» (Aubanell, 2015, pàg. 68)
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit poden ajudar a reforçar les connexions internes. Així, trobem, entre altres observacions, que:
- El saber #3.ESP.MT.A connecta de forma directa amb la geometria analítica i el seu treball pot contribuir a desenvolupar la competència específica CE 5.
- El bloc Visualització i modelització geomètrica ajuda a l’estudi i l’aprenentatge de les equacions (sabers #3.ESP.VM.A i #3.ESP.VM.B), a la cerca de patrons ( #3.ESP.VM.C) i a l’estudi de funcions ( #3.ESP.VM.D) i, per tant, treballant-los es contribueix a l’assoliment de la CE 5.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers aporten o utilitzen connexions internes. Per exemple:
- Els models geomètrics per al desenvolupament de les identitats notables o el cub d’un binomi que podem trobar per treballar els sabers #3.ESP.VM.A i #3.ESP.VM.E són un exemple de connexió entre el sentit espacial i l’algebraic.
- El recurs Perduts a Matelàndia proposat per treballar el saber #ESP.VM.B és també una clara connexió entre el sentit espacial i l’algebraic.
- Altres exemples són els vídeos sobre nombres triangulars (saber #ESP.VM.C) i els altres recursos proposats per treballar els nombres amb forma, així com l’activitat Escala per sumar progressions (saber #3.ESP.VM.C). A més de treballar els patrons (i, per tant, el sentit algebraic) tenim connexions amb la numeració.
- L’ús de programes de geometria dinàmica com ara GeoGebra en activitats com Funcions de primer i segon grau (saber #3.ESP.VM.D), Funcions de proporcionalitat inversa (saber #3.ESP.VM.D) o també en la creació de les peces de Mosaics de Penrose amb peces magnètiques (saber #3.ESP.MT.B) afavoreixen el pensament computacional, també inclòs en el sentit algebraic.
Comprensió i estudi del concepte de translació, gir, simetria. Estudi dels elements que defineixen cadascun dels moviments.
Estudi de recobriments en el pla.
Ús de materials manipulatius i de programes de geometria dinàmica per generar transformacions geomètriques.
Interpretació d’una multiplicació com l’àrea d’un rectangle: ús del model de caixa per resoldre equacions de segon grau, per factoritzar expressions algebraiques i visualitzar les identitats notables.
Visualització de solucions d’equacions o de sistemes d’equacions en representacions gràfiques en eixos cartesians.
Visualització geomètrica dels nombres triangulars, altres nombres figurats i altres patrons senzills.
Visualització d’una funció quadràtica i d’una funció de proporcionalitat inversa com una paràbola o una hipèrbola respectivament amb unes característiques concretes.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l'alumnat.
Connexions amb altres matèries i amb l’entorn (CE 6)
Les connexions més fortes amb l’entorn del sentit espacial de 3r d’ESO les trobem al bloc Moviments i transformacions, donat el vessant artístic d’aquest bloc de sabers. El bloc Visualització i modelització geomètrica, en tant que dona eines per modelitzar situacions, ens proporciona una connexió amb altres àrees de coneixement, com ara la física.
Sabers
A tall d’exemple, esmentem alguns sabers d’aquest sentit que, entre altres, poden ajudar a reforçar les connexions externes:
- El saber #ESP.MT.A, comprensió i estudi del concepte de gir, translació i simetria i estudi dels elements que defineixen cadascun dels moviments, ens ofereix la possibilitat de descobrir aquests sabers matemàtics en el nostre entorn: la publicitat, la natura o l’art estan plens d’oportunitats per treballar-los.
- El saber #ESP.MT.B, estudi dels recobriments del pla. Podem trobar frisos i mosaics en molts entorns, tant quotidians (els diferents motius dels enrajolats urbans i de les cases) com en monuments artístics com ara l’Alhambra de Granada.
Cal destacar especialment el saber #3.ESP.VM.E, reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat, que té com a objectiu que aquestes connexions es facin explícites per a l’alumnat i aquest esdevingui capaç de reconèixer-les.
Recursos
Molts dels recursos descrits per treballar diferents sabers del sentit espacial ofereixen oportunitats per fer connexions externes. Per exemple:
- Tots els recursos relacionats amb les creacions artístiques de frisos, com l’activitat Frisant pels frisos que es proposa per treballar el saber #3.ESP.MT.A, o de mosaics, com Tessel·lem? o Mosaics dibuixant (tots dos recursos proposats per treballar els sabers #3.ESP.MT.B i #3.ESP.MT.C) incideixen especialment en el desenvolupament de la competència específica CE 6.
- També connecta fortament amb l’entorn la cerca de simetries, girs i translacions en els logotips comercials que es proposa al recurs Els logotips i els moviments en el pla (sabers #3.ESP.MT.A i #3.ESP.MT.C).
Comprensió i estudi del concepte de translació, gir, simetria. Estudi dels elements que defineixen cadascun dels moviments.
Estudi de recobriments en el pla.
Ús de materials manipulatius i de programes de geometria dinàmica per generar transformacions geomètriques.
Interpretació d’una multiplicació com l’àrea d’un rectangle: ús del model de caixa per resoldre equacions de segon grau, per factoritzar expressions algebraiques i visualitzar les identitats notables.
Visualització de solucions d’equacions o de sistemes d’equacions en representacions gràfiques en eixos cartesians.
Visualització geomètrica dels nombres triangulars, altres nombres figurats i altres patrons senzills.
Visualització d’una funció quadràtica i d’una funció de proporcionalitat inversa com una paràbola o una hipèrbola respectivament amb unes característiques concretes.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l'alumnat.
Comunicació i representació (CE 7)
El bloc Moviments i transformacions requereix una manera de comunicar i representar les diferents possibilitats de recobriments del pla en funció dels moviments que les deixen invariants. Per altra banda, tots els sabers del bloc Visualització i modelització són pròpiament maneres de representar de manera geomètrica objectes i propietats matemàtiques.
Sabers
A tall d’exemple, hi ha alguns sabers d’aquest sentit que, entre altres, poden ajudar a reforçar la comunicació i la representació:
- El saber #ESP.MT.A consisteix a estudiar els girs, les translacions i les simetries. Per dur-lo a terme d’una manera exhaustiva i completa, caldrà representar els diferents tipus de moviments de manera gràfica o cercar una manera de codificar-los per descriure les característiques de cadascun.
- El saber #ESP.MT.B, l’estudi dels recobriments del pla, requereix també una forma de representació que pot ser gràfica o analítica, en funció del nivell i de les eines de les quals disposi l’alumnat.
En tots dos casos, la comunicació de les idees matemàtiques que hi ha darrere dels conceptes requereix un vocabulari específic i acurat.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar sabers del sentit espacial a 3r d’ESO fan referència al procés de comunicació i representació. Per exemple:
- La representació visual de la unitat, la incògnita d’una equació de segon grau i el seu quadrat que podem trobar a la proposta Models rectangulars i àlgebra (saber #3.ESP.VM.A).
- La representació gràfica d’objectes algebraics com ara els sistemes d’equacions i les seves solucions que es descriuen a l’activitat Sistemes 2 x 2 o les rectes de Perduts a Matelàndia del saber #3.ESP.VM.B, o les representacions de les funcions descrites als recursos Funció quadràtica, Funcions de primer i segon grau i Funcions de proporcionalitat inversa del saber #3.ESP.VM.D.
- Les representacions amb cubets encaixables de diferents propietats numèriques (Triangulars consecutius i altres) o bé l’Escala per sumar progressions que es descriuen dins del saber #ESP.VM.C.
Comprensió i estudi del concepte de translació, gir, simetria. Estudi dels elements que defineixen cadascun dels moviments.
Estudi de recobriments en el pla.
Ús de materials manipulatius i de programes de geometria dinàmica per generar transformacions geomètriques.
Interpretació d’una multiplicació com l’àrea d’un rectangle: ús del model de caixa per resoldre equacions de segon grau, per factoritzar expressions algebraiques i visualitzar les identitats notables.
Visualització de solucions d’equacions o de sistemes d’equacions en representacions gràfiques en eixos cartesians.
Visualització geomètrica dels nombres triangulars, altres nombres figurats i altres patrons senzills.
Visualització d’una funció quadràtica i d’una funció de proporcionalitat inversa com una paràbola o una hipèrbola respectivament amb unes característiques concretes.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l'alumnat.
Gestió socioemocional (CE 8 i CE 9)
Tot i que la introducció al llenguatge algebraic ha tingut lloc en els cursos anteriors, la complexitat del pas a l’abstracció requereix posar-hi especial atenció per fer-ho de manera gradual i molt acompanyada, de manera que l’alumnat adquireixi autoconfiança en les seves pròpies possibilitats i disposi d’eines emocionals per enfrontar-se a les noves situacions que se li plantegin. En aquest sentit, l’ús de models que ajudin l’alumne a visualitzar i donar sentit als objectes matemàtics més abstractes i les seves relacions i propietats és una gran eina per treballar la gestió socioemocional.
La gestió socioemocional està vinculada a dues competències específiques:
- CE 8, relacionada amb el desenvolupament d’habilitats personals com les creences, les actituds i les emocions envers les matemàtiques.
- CE 9, centrada en el desenvolupament d’habilitats socials com el treball en equip i la presa de decisions.
A continuació s’indiquen alguns aspectes que, treballats des del sentit espacial, poden contribuir al desenvolupament de les competències CE 8 i CE 9.
Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 8
- Si el plantejament de les activitats proposades s’acompanya d’un ambient de repte, és molt probable que desperti la curiositat i l’interès de l’alumnat i que, per tant, contribueixi a augmentar la perseverança i la resiliència a l’hora de resoldre-les. Això és possible fer-ho en totes les activitats, tant d’aquest sentit com dels altres.
- Les diferents representacions dels objectes i dels processos matemàtics que apareixen al bloc Visualització i modelització ( #ESP.VM) són una bona eina per ajudar l’alumnat a valorar la importància de les representacions i el llenguatge matemàtic, alhora que ajuden a interpretar i entendre millor el que volen representar.
Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 9
Al llarg de tot el sentit espacial, es proporcionen múltiples oportunitats per treballar en equip, promoure actituds positives, implicació en la presa de decisions i respecte per les aportacions dels altres, i superar qualsevol idea limitant sobre les habilitats pròpies o alienes en matemàtiques. A continuació, es destaquen algunes activitats concretes en aquest àmbit:
- Les activitats que proposen una anàlisi d’objectes per estudiar-ne certes característiques, com ara Els logotips i els moviments en el pla o Tessel·lem?, del bloc #ESP.MT, són bones propostes per treballar en petits grups, així com altres propostes de creació de mosaics gegants que es poden fer en el marc de celebracions matemàtiques, que no només promouen les competències socioemocionals de treball en grup sinó que, a més, fomenten un sentiment de pertinença i d’unió en el grup.
- Una altra activitat adequada per treballar en grup és Mosaics de Penrose amb peces magnètiques, descrita al saber #3.ESP.MT.B.
- Totes les activitats relacionades amb la manipulació, com ara la factorització de polinomis de segon grau utilitzant rajoles algebraiques (saber #3.ESP.VM.A) o la manipulació amb eines digitals com GeoGebra (Sistemes 2 x 2 del saber #3.ESP.VM.B, l’estudi de les propietats de les funcions quadràtiques del saber #3.ESP.VM.D, etc.) afavoreixen les destreses socioemocionals si es treballen en grup.
Comprensió i estudi del concepte de translació, gir, simetria. Estudi dels elements que defineixen cadascun dels moviments.
Estudi de recobriments en el pla.
Ús de materials manipulatius i de programes de geometria dinàmica per generar transformacions geomètriques.
Interpretació d’una multiplicació com l’àrea d’un rectangle: ús del model de caixa per resoldre equacions de segon grau, per factoritzar expressions algebraiques i visualitzar les identitats notables.
Visualització de solucions d’equacions o de sistemes d’equacions en representacions gràfiques en eixos cartesians.
Visualització geomètrica dels nombres triangulars, altres nombres figurats i altres patrons senzills.
Visualització d’una funció quadràtica i d’una funció de proporcionalitat inversa com una paràbola o una hipèrbola respectivament amb unes característiques concretes.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l'alumnat.