Mesurar comporta, de manera implícita, tenir presents els conceptes de precisió i d’error. El control d’aquest error i la seva acceptació proporcionarà fiabilitat als resultats obtinguts. Abans, però, caldrà establir criteris de validació associats a l’error relatiu, que és independent de la unitat de mesura establerta.
El coneixement de diferents instruments de mesura per a una mateixa magnitud i la seva precisió permetrà fer una bona elecció, en funció del context i de la tolerància permesa, a l’hora d’obtenir els mesuraments. És important que l’alumnat entengui que l’error es trobarà ja des del primer moment que es prenguin mesures i que, per tant, caldrà ser molt curosos i precisos a l’hora d’emprar els aparells per obtenir els mesuraments i no incrementar aquest error. L’anàlisi de les dades obtingudes a l’hora de mesurar, i el tractament de les seves diferències de forma consensuada per un grup gran, és una bona oportunitat perquè l’alumnat segueixi donant significat als valors, i no els vegi simplement com un conjunt de nombres. Per prendre una mesura podem repetir el procés de mesurament diverses vegades, fet per individus diferents. Llavors, si les dades són diferents, quina prenem com a vàlida?, o com obtenim la mesura correcta a partir dels valors obtinguts? Una bona gestió d’aquesta situació pot acabar parlant de mesures de centralització i dispersió.
Fer bones estimacions és important per tal de donar sentit i confirmar les mesures obtingudes a posteriori. Per això cal treballar l’adquisició mental d’unitats patró que permetin a l’alumnat fer comparacions i bones apreciacions de mesura abans de fer cap mesurament.
És a partir de tenir moltes activitats d’experimentació relacionades amb la mesura que es millorarà a l’hora de fer estimacions, i ajudarà a fer que l’alumne pugui fer les seves conjectures i prediccions en el casos d’esdeveniments aleatoris.
Recomanem que en tota situació de mesura es comenci amb una estimació o predicció, que pot venir donada per un interval o cota. La posada en comú dels diferents intervals que sorgeixin en el grup classe poden afinar l’estimació, reduint-los. Aquest treball, de forma gradual, ha de comportar que l’elecció final de l’interval estigui fonamentada en un raonament. D’aquesta manera provocarem que hi hagi hagut una comparació, ja sigui amb una imatge mental, amb un objecte físic del qual se’n coneix la mesura o amb experiències passades. Finalment, és important contrastar i analitzar l’estimació amb el mesurament, un cop realitzat.
Per tal de reflexionar sobre la importància de l’estimació i com cal potenciar-la en les nostres classes de matemàtiques, proposem la lectura de l’entrada Estimating – Making sense of things que fa el professor Mark Chubb en el seu blog Thinking Mathematically, en què analitza quatre tipus d’estimacions que es poden treballar. Destaquem els sis punts amb els quals tanca l’article, en el qual es recullen algunes recomanacions didàctiques dirigides als docents per analitzar el treball de l’estimació a l’aula.
El tractament numèric de l’error, ja sigui el relatiu com l’absolut, per convenir i adequar la precisió dels resultats en situacions de mesura està connectat amb el sentit numèric, especialment amb els sabers de quantitat. L’ús d’expressions decimals en el càlcul de mesures dependrà de la unitat escollida, dels múltiples i submúltiples. A la vegada, trobarem que aquestes situacions són idònies per parlar de xifres significatives, i cal que ho relacionem amb la precisió i la tolerància en els valors obtinguts. Cal tenir present també la conveniència d’emprar la calculadora o el full de càlcul per fer algunes operacions mecàniques, i centrar les activitats en les competències matemàtiques. Això no ha d’evitar que l’alumnat tingui un bon maneig del càlcul amb nombres decimals o amb quantitats expressades en notació científica. Creiem que és en la proposta de bones activitats i en la gestió d’aquestes, fent preguntes adients, com es pot assolir un bon aprenentatge de les matemàtiques, i en particular, d’aquest saber.
Proposar activitats en les quals l’alumnat pugui conjecturar sobre la probabilitat que ocorri un esdeveniment aleatori basant-se en l’estimació i l’experimentació provoca que es treballi la connexió amb el sentit estocàstic i els seus sabers relacionats amb la predictibilitat i incertesa. Les freqüències amb les quals es donen certs esdeveniments simples a mesura que es fan experiments donen a l’alumnat una idea de mesura que li permet fer conjectures. Les freqüències relatives són l’eina per excel·lència per estimar la probabilitat. Per tant, cal provocar que l’alumnat vegi que com més experiments es duguin a terme, més fina serà aquesta estimació. La unió de tots els experiments fets pel grup classe ajudarà a obtenir un millor resultat. Per tant, recomanem presentar aquest tipus d’activitats des de la resolució de problemes i amb un fort component d’experimentació, ja que és interessant veure com les conjectures inicials poden veure’s afectades pels resultats d’uns quants experiments.
De la mateixa manera que s’ha comentat en altres apartats, volen significar les connexions externes que tenen tots aquests sabers, principalment amb les àrees de les ciències experimentals i la tecnologia.
És essencial treballar perquè l’alumnat a final de 1r d’ESO tingui adquirides unes unitats patró que li permetin fer estimacions acceptables, i alhora pugui identificar errades importants en el mesurament o en l’obtenció de càlculs per la seva incoherència.
Amb aquesta idea també veiem essencial que l’alumnat sàpiga interpretar la informació que donen els càlculs de l’error relatiu i l’absolut, per tal d’establir les xifres significatives en una mesura i la precisió amb la qual cal fer els mesuraments. Aquest saber l’utilitzarà també en la resolució de problemes i en la presa de decisions relatives a altres camps de coneixement en què es treballa amb dades: l’estadística, la física, la química, l’esport, la cuina, la biologia…
Amb l’activitat Mesures antropomètriques, del professor Alberto Herrero, es treballen els sabers #1.MES.ER.A i #1.MES.ER.B. La proposta, en forma de concurs, està dividida en tres parts:
En la primera cada alumne escollirà una unitat de mesura del propi cos per estimar 1 metre, i una altra per estimar 10 metres. Podríem fer-ho en grups de tres, i que per consens es fes l’elecció de la unitat patró.
En la segona part es va al pati i cada grup representa al terra les longituds d’1 i 10 metres a partir de la unitat escollida. Es fa el mesurament i es calcula l’error. El grup que hagi aconseguit una major precisió guanya el concurs.
En la tercera part hi ha una proposta d’ampliació per fer una estimació a partir de passes, de la distància entre l’institut i la casa de cadascun dels estudiants.
A part de tot el procés que comporta l’activitat és molt important el tractament que es dona a l’error de mesura, i en quins moments apareix: en l’elecció de la unitat i la seva precisió, en el moment del mesurament (l’acció de repetir la unitat de mesura tantes vegades fins a obtenir la longitud desitjada) o en les operacions de càlcul en mesures parcials.
També es poden treballar aquests dos sabers mitjançant el joc de taula. N’hi ha dos de comercials, Fauna i Estimator, que es basen en l’estimació de determinades magnituds. Són fàcilment adaptables i reconstruïbles.
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
Per treballar el saber #1.MES.ER.A tenim el portal Estimation 180 del professor Andrew Stadel. En paraules del seu creador trobarem un espai amb tasques d’estimació que fan que el raonament matemàtic sigui accessible i agradable per als alumnes. En la mateixa pàgina hi ha accés a una guia docent, vídeos explicatius sobre la gestió d’activitats, recursos i fitxes de treball gratuïts. La majoria del material s’aconsegueix sol·licitant-lo en la mateixa pàgina i es rep per correu electrònic.
Entre diferents propostes destaquem per a aquest saber l’estimació a partir de fotografies dia a dia. Per exemple:
| DIA 1 | DIA 2 |
 |
 |
| Quina és l’alçada del senyor Stadel? | Quina és l’alçada de la senyora Stadel? |
Andrew Stadel. Estimation 180.
En la fotografia l’alumnat veurà alguns elements que li poden servir de referència per fer les seves estimacions. Les fitxes per a l’alumnat promouen l’anàlisi de les imatges i la discussió matemàtica per tal de poder establir primerament un interval d’estimació, i finalment un valor estimat. Un cop realitzat, es pot saber la mesura real i treballar l’error.
Fer estimacions a bell ull és un concurs d’estimacions elaborat per Anton Aubanell per al Dissabte Transfronterer de les Matemàtiques a l’Alt Empordà, l’any 2015. Es demana fer-ho per parelles. Hi ha un seguit d’imatges on es faran estimacions per comparació de dos objectes. La precisió dels resultats estimats atorgarà els punts necessaris per guanyar. Totes les instruccions es troben en el mateix document.
Hi ha moltes aplicacions a les xarxes per poder treballar l’estimació de mesures. A la pàgina Math Playground tenim Alien Angles, en què caldrà estimar angles amb una precisió de 5 graus. Volem destacar la importància de fer estimacions angulars, ja que implica anar fent subdivisions mentals de l’angle recte, i operacions de sumes i diferències d’angles a partir de l’angle nul, el recte i el pla. Si anteriorment s’han treballat prou els angles amb figures geomètriques de forma manipulativa, ja sigui amb tangrams, pattern blocks, etc., les referències que tindrà l’alumnat seran més grans per fer estimacions: el triangle equilàter, 60°, l’hexàgon regular, 120°, etc.
Moltes de les activitats de mesurament i d’estimació són òptimes per treballar el saber #1.MES.ER.B. El coneixement de l’error absolut, entès com la distància existent entre el mesurament o l’estimació i el valor real, ha d’anar lligat amb un interval de tolerància i una cota d’error perquè es pugui donar per correcte. Aquesta tolerància també la podem trobar en els aparells de mesura. Alhora cal que l’alumnat visqui situacions on pugui veure que una errada d’un metre en la mesura pot ser acceptable o no. En quines situacions pot passar una cosa o una altra? L’errada d’un metre en el càlcul de l’alçada d’una persona no té la mateixa importància que en la distància entre dos pobles. És important que siguin els mateixos alumnes els que reflexionin sobre aquests escenaris. En el fons estem donant importància a l’error relatiu, que pot ser expressat en tant per 1 o tant per 100. En aquest tipus d’activitats s’acostuma a treballar amb expressions decimals, i és el moment per treballar l’arrodoniment.
Per tal de treballar el saber #1.MES.ER.C cal que l’alumnat conegui diferents instruments de mesura en context de mesurament. A l’activitat del Centre de Documentació i Experimentació en Ciències (CDEC) Cuinats amb mesura es parteix d’una recepta de cuina per tal d’identificar quins instruments de mesura seran adients per seguir-la. S’estudien diferents tipus de balances i la precisió que es pot obtenir amb cadascuna, així com la quantitat màxima que pot mesurar. Es reflexiona sobre les diferències a l’hora de fer mesuraments i els marges d’error propis dels instruments. És una proposta amb una connexió clara amb les àrees de ciències experimentals.
En situacions sobre probabilitats d’esdeveniments en experiments aleatoris sempre és recomanable iniciar-los fent que cada alumne faci una predicció, i a més a més, donar la possibilitat de canviar-la en funció de com es van succeint les primers experimentacions. Un exemple d’activitat per treballar el saber #1.MES.ER.D és la que ens proposen des de NRICH amb el nom In the bag. S’han introduït 10 bales de 4 colors en una bossa. No se sap la quantitat de bales de cada color. El primer repte serà deduir-ho. Es fa una primera predicció i, a partir d’aquí s’extreu una bala, s’anota el color i es torna a introduir a la bossa. Es repeteix el procés d’extracció unes quantes vegades, i es torna a demanar una predicció. L’activitat també es pot presentar com un joc. Es parteix de 500 punts i cada vegada que es demana fer 10 extraccions d’una en una i amb reposició, costa 10 punts. Es fan prediccions successives i la quantitat de bales de cada color encertades dona una puntuació o una altra. L’objectiu és arribar als 1.000 punts. Pots desenvolupar una estratègia eficaç per arribar a aquests 1.000 punts? Pots desenvolupar una estratègia eficaç per assolir els 1.000 punts en el mínim nombre de rondes? A la pàgina de l’activitat hi ha una aplicació per fer les apostes i seguir el joc. Adjuntem també la fitxa traduïda de l’activitat. Recomanem fer l’activitat en parelles per tal que es puguin compartir les conjectures que facin i, alhora, els raonaments que implicaran una presa de decisions conjunta. D’aquesta manera, i a partir d’anar incrementant el nombre d’experiments, es milloraran les estimacions.
Cal recordar que els sabers #1.MES.ER.A i #1.MES.ER.B són essencials, però que els recursos que s’acaben de descriure són només una proposta.
Llicenciat sota la Llicència Creative Commons Reconeixement CompartirIgual 4.0