Els sabers sobre el raonament proporcional a 3r d’ESO són fonamentals per comprendre les relacions entre diferents magnituds. És important que l’alumnat identifiqui correctament les situacions de proporcionalitat directa i les sàpiga diferenciar tant de la proporcionalitat inversa com de les situacions no proporcionals.
En aquest curs, es consoliden els conceptes treballats en cursos anteriors, centrats en la proporcionalitat directa, i s’introdueix amb més detall la proporcionalitat inversa i els repartiments proporcionals, sense deixar de banda la proporcionalitat directa.
Saber resoldre problemes de proporcionalitat directa, inversa i repartiments proporcionals permet a l’alumnat aplicar conceptes matemàtics en situacions diverses. A més, comprendre la proporcionalitat inversa i la seva representació gràfica facilita la visualització d’aquestes relacions i en millora la comprensió.
El saber #3.NUM.RP.B connecta amb el sentit de mesura, ja que implica comprendre i aplicar la comparació d’unitats de longitud, superfície, volum i capacitat. L’ús de taules de proporcionalitat o factors de conversió permet resoldre situacions en què aparegui la comparació d’unitats de volum i capacitat.
La relació entre una situació de proporcionalitat inversa i la funció que la representa vincula directament el saber #3.NUM.RP.C amb el sentit algebraic.
Els sabers #3.NUM.RP.A i #3.NUM.RP.B es consideren essencials, ja que es comencen a treballar a 1r i 2n d’ESO i és necessari consolidar-los definitivament. Aquests sabers són essencials per comprendre el llenguatge matemàtic i aplicar-lo en diversos contextos. A més, contribueixen al desenvolupament d’habilitats transversals com el raonament lògic, la capacitat d’argumentació i la resolució de problemes.
La relació entre la proporcionalitat inversa i la seva funció, saber #3.NUM.RP.C, és important per comprendre com varien dues magnituds de manera inversament proporcional. La representació gràfica facilita la interpretació d’aquesta relació i permet a l’alumnat visualitzar com es comporten les magnituds en diferents situacions reals.
Identificació de situacions directament proporcionals, inversament proporcionals i no proporcionals.
Resolució de problemes de proporcionalitat directa, inversa i repartiments proporcionals en diferents situacions i contextos.
Relació de la proporcionalitat inversa amb la seva funció.
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
A partir de diferents situacions que poden ser directament proporcionals, inversament proporcionals o no proporcionals, es treballa el saber #3.NUM.RP.A. Algunes propostes de contextos actuals per plantejar problemes són:
Simulacions digitals amb Desmos (Real Life- Graphs, Tables, Proportions, Equations i Direct & Inverse Variation) o amb GeoGebra Proporcionalidad:
Activitat de rol: Gestors de recursos:
Per treballar la proporcionalitat inversa del saber #3.NUM.RP.B es pot utilitzar l’activitat Oh for the mathematics of yesteryear, de NRICH. Aquesta activitat planteja un problema de proporcionalitat inversa en el context d’un exèrcit que ha de gestionar les seves provisions de pa en una situació de setge. Inicialment, 600 soldats tenen prou pa per sobreviure 35 dies amb una ració diària fixa. Amb l’arribada de nous soldats (fins a un total de 4.800), la quantitat de pa diària que pot rebre cada soldat ha de disminuir per garantir que les provisions durin 45 dies.
Aquest problema es pot ampliar demanant a l’alumnat que facin una taula amb diferents quantitats de soldats i que calculin la quantitat de pa, en unces (1 unça\(\approx\) 27 grams), que correspon a cadascú per aguantar 45 dies.
A partir de la taula, també poden fer el gràfic:
La segona part de l’activitat proposa una extensió del problema inicial. Planteja un problema de proporcionalitat en el context de transport de pa per a una guarnició militar, amb costos en lliures (£), xílings (s) i penics (d) segons el sistema monetari i de pes britànic antic, però que podem adaptar al nostre. El problema demana calcular el pes de pa que es pot transportar a una certa distància per un cost donat, basant-se en la relació proporcionada entre pes, distància i cost inicial.
En l’activitat Do unto Caesar de NRICH es treballa el concepte de repartiment proporcional, saber #3.NUM.RP.B . El context d’aquesta proposta és una partida de pòquer, cosa que potser no és la més adequada per a l’alumnat d’aquestes edats. No obstant això, l’activitat es pot adaptar fàcilment a altres contextos més apropiats, com ara:
En un club d’inversió, tres socis —Anna, Bruno i Carla— decideixen repartir els beneficis obtinguts al final de l’any segons la seva participació inicial. Al començament, les seves inversions estaven en una proporció de 7:6:5, però després d’un any han passat a una nova proporció de 6:5:4.
El repte és esbrinar quina quantitat havia invertit cadascú al principi, sabent que un d’ells ha obtingut un benefici addicional de 1.200 euros.
Per resoldre el problema, cal tenir en compte que el capital total del club no canvia, només es redistribueix entre els socis. Així, és important calcular quina fracció del total correspon a cada soci tant al començament com al final de l’any. No tots han obtingut beneficis extres, de manera que només un d’ells ha vist augmentar la seva inversió en 1.200 euros.
L’activitat Quina és l’alçada d’aquest jugador? de PuntMat planteja un repte de raonament lògic i matemàtic que utilitza les proporcions per calcular l’alçada del jugador de bàsquet Anthony Davis. Aquesta proposta és interessant, ja que combina l’observació amb conceptes de proporció i estimació, saber #3.NUM.RP.B.
L’activitat comença amb una imatge del jugador i pregunta quina és la seva alçada.
A partir de l’observació visual i coneixent el concepte de proporcions, es fa referència als cànons de «L’home de Vitruvi», segons els quals l’alçada d’una persona és aproximadament igual a la seva envergadura (distància entre les puntes dels dits amb els braços estirats). Així, podem estimar l’alçada d’Anthony Davis basant-nos en la seva envergadura.
Per tant, el càlcul de l’alçada es redueix a calcular el diàmetre d’una pilota.
L’alumnat pot comparar el resultat de la seva estimació amb l’alçada real d’Anthony Davis, que és de 2,03 m, per analitzar la precisió de la seva mesura i calcular l’error comès en el procés.
L’activitat, publicada a l’ARC, Rectangles equivalents i la funció de proporcionalitat inversa, permet treballar la relació de la proporcionalitat inversa amb la seva funció del saber #3.NUM.RP.C. S’ha de fer dibuixar a l’alumnat un rectangle que tingui una àrea determinada, per exemple 36 cm2, un nombre amb força divisors. Un cop cada alumne hagi retallat el seu rectangle en cartolina (si pot ser de colors variats), demanarem que es col·loquin els rectangles de la manera que indica la figura, tots amb un vèrtex a l’origen i dos costats sobre els eixos de coordenades:
L’alumnat farà rectangles «estranys» (amb dimensions no enteres, llargs i prims, el mateix quadrat...). Això és bo, ja que hi haurà més varietat. Si anomenem
\(x\) la base d’un d’aquests rectangles i \(y\) la seva altura, tindrem que, en tots els casos, \(x\cdot y= 36\). Així deduïm que existeix una relació de proporcionalitat inversa entre \(x\) i \(y\). Unint els vèrtexs lliures dels diferents rectangles obtindrem la corba corresponent al gràfic d’una funció de proporcionalitat inversa:
Llicenciat sota la Llicència Creative Commons Reconeixement CompartirIgual 4.0