El full de càlcul ens ofereix diferents opcions per treballar l᾽aleatorietat i per representar fàcilment les distribucions de dades, per treballar així el saber #2.EST.PI.B. Per exemple la funció =RANDBETWEEN(inferior;superior) ens torna un nombre aleatori entre aquests dos valors.

Les calculadores Casio de gamma mitjana i avançada, com les ClassWiz (fx-991EX, fx-570EX) i altres models programables, permeten fer simulacions de llançaments de daus mitjançant la funció de generació de nombres aleatoris. Podeu veure un tutorial en aquest enllaç. Aquesta funcionalitat és molt útil per a estudis de probabilitat i estadística sense necessitat de programari especialitzat.

Per altra banda, donada una distribució de nombres, el full de càlcul ens permet inserir gràfics de diferents tipus (barres, columnes, histogrames, sectors, lineals, radials, etc.). És molt interessant descarregar el full de càlcul que ens generen els formularis en línia per poder utilitzar el tipus de gràfic que més s᾽ajusti a les nostres necessitats.

La programació de petites aplicacions també ens poden permetre simular diferents generadors aleatoris i el consegüent càlcul de probabilitats.

Treballem amb la micro:bit

La proposta que es presenta prové del projecte Pensament Computacional (programació i robòtica educatives) del Departament d᾽Educació i Formació Professional i es titula Treballem la probabilitat amb la micro:bit.

En l᾽activitat, i a partir de la placa micro:bit, es proposa primer dissenyar un dau numèric de manera que en sacsejar la placa micro:bit es mostri un nombre aleatori de l᾽1 al 6 a la pantalla de leds i representar-lo després en format gràfic.

A l᾽activitat hi podeu trobar la descripció, els passos que heu de seguir i els arxius per descarregar.

A partir d᾽aquesta base es poden proposar diferents variants generant daus amb altres valors, com per exemple nombres primers, nombres parells, múltiples de 5, potències de 2, símbols d᾽operacions...

Programem matemàtiques amb Snap!

Alternativament, també podem generar el dau amb altres eines de programació visual com Scratch o Snap! als materials del curs de formació Programem matemàtiques amb Snap!.

El curs dona recursos i orientacions per animar a portar la programació a l᾽aula de matemàtiques, donar a conèixer aquesta eina i reforçar alhora el pensament computacional i algorítmic, tan útil per a l᾽ensenyament i l᾽aprenentatge d᾽aquesta disciplina.

Un dels mòduls està dedicat a la Probabilitat i les simulacions i hi podem trobar tres pràctiques:

1. Dues monedes
2. Joc del dau
3. Cursa de camells

Les pràctiques venen acompanyades de vídeos explicatius, dels diferents passos per anar avançant en la programació, així com de propostes d᾽ampliació. Cal tenir en compte que abans de fer la programació de les activitats, és recomanable fer les simulacions en material manipulatiu.

La proporcionalitat també té un paper molt rellevant en el cas del càlcul de probabilitat d᾽esdeveniments compostos, i el treball del saber #2.EST.PI.C

A la jornada de l᾽APMCM titulada L᾽atzar dona molt de joc, Daniel Ruiz, a la conferència El joc, inspiració per a fer matemàtiques, va proposar l᾽experiment següent: agafem una urna i hi posem 8 boles blanques i una bola negra. Les anem extraient d᾽una en una sense reposició. En quina posició creieu que és més probable que surti la bola negra?

• Entre les tres primeres (extracció 1, 2 o 3)?
• En les extraccions del mig (extracció 4, 5 o 6)?
• Entre les tres últimes (extracció 7, 8 o 9)?
• Totes les posicions tenen la mateixa probabilitat?

Després d᾽una primera conjectura podem fer una petita experimentació a classe en petits grups i després fer una posada en comú.

Tal com detalla Joan Jareño al seu blog, veurem que totes les posicions tenen la mateixa probabilitat:

En aquest mateix article del blog, Joan Jareño analitza la mateixa activitat però en el cas de 8 boles blanques i 2 boles negres. En aquest cas, es calcula la probabilitat que la primera bola negra surti en una de les 9 primeres posicions.

I si es vol programar un simulador amb Snap!, tenim aquest exemple de Raül Fernández.

Per treballar a l᾽aula el saber #2.EST.PI.D i el saber #2.EST.PI.E, cal tenir en compte que moltes vegades els jocs d᾽atzar ens donen un context magnífic per treballar la probabilitat. A la Caixa de Varga podem trobar diferents taulers on es juga a partir de daus i en aquest exemple triarem el Joc de l᾽escala (Tauler 5), en el qual és interessant analitzar la probabilitat de guanyar o perdre utilitzant un diagrama d᾽arbre.

Tal com s᾽indica a la pàgina 9 del Manual de la Caixa de Varga, per jugar-hi necessitem un dau amb 3 cares verdes i 3 cares blanques (si no disposem d᾽aquest dau, podem fer servir generadors aleatoris alternatius equivalents), tants peons com jugadors i 80 fitxes de colors.

El tauler per jugar al Joc de l᾽escala és el següent:

Al començament del joc, cada jugador rep 10 fitxes. Les fitxes restants van al banc. Cada jugador col·loca el seu peó al camp d᾽Inici i tira el dau per torns.

Si el punt verd apareix a la part superior del dau, el jugador pot avançar 2 espais, en el cas contrari (espai blanc a la part superior), només 1 espai.

El jugador que arriba a la casella 11 (Arribada) rep 3 fitxes del banc. Al final d᾽una ronda de joc (quan tots els jugadors són a l᾽arribada o a la presó), tots tornen a la casella d᾽Inici i cada jugador que està a la presó ha de «comprar» la seva llibertat per 1 fitxa.

Comença una nova ronda de joc. Al principi del joc, els jugadors es posen d᾽acord en quantes rondes s᾽han de jugar en total. Guanya qui té més fitxes al final de les rondes acordades. Qualsevol jugador pot saltar-se una ronda si ho desitja.

Pot ser útil començar amb unes quantes rondes per familiaritzar-nos amb el funcionament del joc. Observem que hi ha caselles especials, com la 3 i la 6, que ens fan avançar diverses posicions, mentre que altres, com la 5, la 9 i la 12, ens condueixen directament a la presó. A més, és interessant notar que mai passarem per la casella 7.

A partir d᾽aquest moment podem començar a fer preguntes que ens ajudaran a l᾽anàlisi posterior:

a) Quines seqüències de tirades ens porten directament a l᾽arribada? Quina és la més ràpida? I la més lenta?

b) Quines seqüències de tirades ens porten directament a la presó? Quina és la més curta? I la més llarga?

c) Què és més probable, acabar a l᾽arribada o a la presó? Quina creus que és la probabilitat d᾽acabar a l᾽arribada? I a la presó?

d) Quina és l᾽esperança de guanys del joc?

Per respondre les tres primeres preguntes es pot construir, conjuntament amb l᾽alumnat, un diagrama d᾽arbre que en permeti analitzar totes les possibles jugades i la probabilitat de cadascuna.

Com podem comprovar, només 5 de les 15 possibilitats ens porten a l᾽arribada, però no són equiprobables, perquè unes necessiten més tirades de dau que d᾽altres. Per calcular la probabilitat d᾽acabar a la casella d᾽arribada s᾽han de sumar les probabilitats dels diferents camins que ens hi porten.

\( P(arribada)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2} =\)

\(= \dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{32}=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}\)

\(P(presó)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)

Aquí podem introduir el concepte d᾽esperança matemàtica, que es defineix com el valor esperat com a resultat d᾽un experiment aleatori que es repeteix un nombre elevat de vegades, i es calcula, en el cas d᾽una variable discreta, sumant els productes de tots els valors de la variable aleatòria per la seva probabilitat corresponent.

Així, si acabem a l᾽arribada, rebem 3 fitxes i, si acabem a la presó, n᾽hem de donar una per sortir:

\( E(guanys)=3\cdot\dfrac{1}{4}-1\cdot\dfrac{3}{4}=0\)

A partir d᾽aquí es pot demanar a l᾽alumnat què passaria si fem petites modificacions del joc, sigui canviant el tipus de dau o bé el premi i la penalització per acabar a l᾽arribada o a la presó.

Hi ha un recurs més per treballar aquest saber en l'anterior apartat #2.EST.PI.D.

Una part important de l᾽aprenentatge de les matemàtiques és conèixer quina ha estat l᾽evolució històrica d᾽un tema concret, buscant informació sobre les diferents activitats que han fet avançar en el seu desenvolupament, és a dir tractar el saber #2.EST.PI.G.

Una de les opcions per visualitzar aquesta evolució dels coneixements de la probabilitat seria treballar a classe algun dels problemes històrics, com per exemple:

Problema del Cavaller de Méré

Tal com expliquen Jesús Basulto Santos i José Antonio Camúñez Ruiz a l᾽article El problema de los dados del caballero de Méré: soluciones publicadas en el siglo XVII de la revista Suma 56 (Basulto & Camuñez, 2007), el problema de cavaller de Méré es troba en una carta que Pascal va enviar a Fermat el 1654 on es posa de manifest que la pregunta li havia estat proposada per Antoine Gombaud, amic seu i jugador professional conegut com el Cavaller de Méré. Gràcies a la seva experiència, al joc Gombaud afirmava que si, per aconseguir almenys un 6 en tirar un dau, apostava quatre vegades, tenia un avantatge de 671 contra 625 de guanyar.

Tot i que Gerolamo Cardano ja treballa aquest problema en el capítol 11 del seu llibre Liber de Ludo Alae (Llibre de jocs d᾽atzar, 1564) no acaba de trobar el resultat. Serà més endavant Christiaan Huygens, que el 1655 s᾽assabenta de la correspondència entre Pascal i Fermat i acaba publicant el 1657 el tractat De Ratiociniis in Ludo Aleae (Calculant en jocs d᾽atzar).

Una vegada estudiada la situació, s᾽obté una relació recurrent \(e_{n+1}=\dfrac{5}{6}\, e_n+\dfrac{1}{6}\) és a dir \(e_n=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n\) , expressió equivalent a \(e_n=\dfrac{6^n-5^n}{6^n}\) la qual ens dona la probabilitat de treure almenys un 6 després de \(n\) tirades. Així només ens cal buscar per quina \(n\) ens dona un valor superior a 0,5.

Huygens genera 3 funcions per poder veure en quin moment es produeix el canvi i confirmar les prediccions del cavaller de Méré:

Alternatives favorables al jugador que llança després de \(n\) tirades: \(f(n)=6^n-5^n\)

Alternatives desfavorables al jugador que llança després de \(n\) tirades: \(h(n)=5^n\)

Alternatives totals: \(g(n)=6^n\)

Si fem una taula resum per a diferents valors per n:

Es pot comprovar que, en el cas de 4 llançaments, el nombre de casos en què com a mínim apareix un 6 ja supera el que no n᾽aparegui cap i que confirma l᾽afirmació del cavaller de Méré.

Per tant, \(e_4=1-(\dfrac{5}{6})^4=\dfrac{671}{1296}\approx 0,5177\)

i, doncs, la probabilitat de guanyar és superior a la de perdre.

A classe es podria presentar el problema, experimentar amb el llançament consecutiu de daus fins que surti un 6, compartir el càlcul teòric i comprovar que la solució la podem treure ràpidament com la probabilitat complementària de no treure cap 6 després de 4 tirades.

Manuel Sada fa una proposta per resoldre aquesta qüestió amb el suport de GeoGebra Un seis tras cuatro lanzamientos. També hi ha una segona part que es pot treballar en cursos posteriors en què el cavaller de Méré afirma que, en canvi, la probabilitat de treure un doble 6 en llançar dos daus és desfavorable després de 24 tirades. Manuel Sada també fa una proposta per resoldre aquesta qüestió amb el suport de GeoGebra titulada Seis doble tras 24 intentos.

• Galileu i el problema del Gran Duc de la Toscana

  «El duc de la Toscana va preguntar a Galileu: Per què quan es llancen tres daus s᾽obté més vegades la suma 10 que la suma 9 encara que totes dues es poden obtenir de 6 maneres diferents?».

  Tot i que al seu llibre Liber de Ludo Alae (Llibre de jocs d᾽atzar - 1564), Gerolamo Cardano ja aborda les diferents maneres en què es poden obtenir les sumes de dos i tres daus, aquest llibre no es va publicar fins al 1663, quasi 100 anys després. I és Galileu qui, 50 anys després del plantejament del problema i sense conèixer l᾽obra de Cardano, aborda el problema que li planteja el Gran Duc de la Toscana. Galileu publica la solució al seu assaig breu tractat Sopra le scoperte dei dadi (Sobre els descobriments dels daus, escrit entre 1612 i 1623), tot i que el 1718, en una recopilació de les obres de Galileu, va ser publicat com a Consideratione sopra il Giuco dei Dadi.

  La resposta queda aclarida quan es tenen en compte les reordenacions de les diferents maneres en què es pot obtenir la mateixa suma. Tot i que el 9 i el 10 es poden obtenir tots dos amb 6 combinacions de daus, aquestes combinacions no són equiprobables i, si tenim en compte les reordenacions dels daus, el 9 es pot aconseguir de 25 maneres diferents i, en canvi, el 10 de 27 maneres diferents.

  Suma dels tres daus	3	4	5	6	7	8	9	10
  Maneres diferents d᾽obtenir la suma	1	3	6	10	15	21	25	27
  Suma dels tres daus	18	17	16	15	14	13	12	11

  En la taula següent, es pot comprovar com el 9 es pot obtenir de 25 maneres diferents i, en canvi, el 10, de 27 maneres diferents:

  Suma 9	Reordenacions dels daus	Suma 10	Reordenacions dels daus
  1 + 2 + 6	6	1 + 3 + 6	6
  1 + 3 + 5	6	1 + 4 + 5	6
  1 + 4+ 4	3	2 + 2 + 6	3
  2 + 2 + 5	3	2 + 3 + 5	6
  2 + 3 + 4	6	2 + 4 + 4	3
  3 + 3 + 3	1	3 + 3 + 4	3
  Total	25	Total	27

  Així a classe es pot plantejar el problema, fer experimentació amb els 3 daus, analitzar quins grups de daus diferents ens donen suma de 9 o 10 i després analitzar quantes reordenacions podem fer de cadascun dels grups de daus per arribar a la resposta final.

  Manuel Sada fa una proposta per resoldre aquesta qüestió amb el suport de GeoGebra titulada Galileo y los tres dados.