Seguint en la línia començada a 3r d’ESO, el gruix de sabers de 4t d’ESO es troba en el sentit algebraic, per aquest motiu el bloc Visualització i modelització geomètrica torna a connectar de forma directa amb aquest sentit. El bloc de visualització és una crossa que ha d’ajudar els alumnes a entrar a l’abstracció que requereixen els sabers de funcions i inequacions des de la comprensió dels conceptes i no des de l’aplicació de receptes.
En aquest bloc de sabers hi apareix la visualització d’algunes idees, però és important tenir en compte que passar per la geometria pot ajudar a entendre altres conceptes i propietats matemàtiques que no han quedat reflectides en aquest bloc. En aquest sentit, es considera molt important intentar geometritzar qualsevol concepte, sigui del sentit que sigui, sempre que sigui possible.
A mesura que van avançant els cursos, aquest bloc perd connexió amb el sentit numèric i la visualització de propietats concretes i en guanya amb el sentit algebraic ( #ALG.ID i #ALG.RF) per contribuir a la comprensió d’idees més abstractes.
L’únic saber que no està vinculat directament al sentit algebraic és el saber #4.ESP.VM.D, ja que, de forma explícita, proposa connectar la geometria amb tots els sentits.
Com a saber essencial, només s’ha destacat el #4.ESP.VM.D, perquè és un saber molt genèric que inclou tots els altres. Els tres primers sabers no s’han destacat perquè, malgrat que el que es treballa en cadascun es considera molt important, el saber propi del bloc simplement és l’eina per treballar-ho d’una forma més rica i que ajudi més l’alumnat. Així doncs, el que es considera més important i, per tant essencial, és aprofitar totes les oportunitats que es donin en el treball de la resta de sabers per poder-los abordar també des del punt de vista de la geometria i ajudar, així, a la comprensió i a la consolidació de conceptes.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat.
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
Al web de l’NRICH podem trobar molts recursos per visualitzar les funcions constant, lineal, afí, quadràtica, de proporcionalitat inversa, exponencial, etc., com a rectes, paràboles, hipèrboles i altres tipus de corbes amb unes característiques concretes, és a dir, per treballar el saber #4.ESP.VM.A. Vegem-ne alguns tot seguit.
Per treballar la visualització de funcions lineals i afins, tenim el recurs «Parallel lines». Aquest recurs permet a l’alumnat explorar la connexió entre una recta de forma gràfica i l’equació que la representa o la defineix, equacions de la forma y = mx + n. S’anima l’alumnat a fer conjectures i a comprovar-les.
En primer lloc, es mostra la imatge següent i es demana que moguin els punts i observin com canvien el gràfic i l’equació:
Tot seguit, es mostra la imatge següent i es demana a l’alumnat que experimenti movent els punts, que busqui diferents rectes paral·leles i que observi. A continuació, es pregunta a l’alumnat què observa sobre les equacions de les rectes paral·leles:
Similar a aquest recurs que s’acaba de descriure, però per treballar la perpendicularitat de rectes, hi ha l’activitat «Perpendicular lines». A partir d’un gràfic amb dues rectes, es demana a l’alumnat que mogui els punts per situar-les de forma que siguin perpendiculars. A continuació, se’ls demana que observin com són les equacions d’aquestes dues rectes i que conjecturin quina relació hi ha entre elles.
Seguint amb les rectes, també trobem l’activitat «Translating lines», que proposa investigar què passa amb les equacions de diverses rectes quan fem translacions verticals i horitzontals. Després d’experimentar amb l’applet proposat, es demana a l’alumnat que conjecturi i expliqui les seves troballes. Finalment, es proposa un joc de fer parelles, en què s’han d’aparellar equacions amb translacions.
I ja per acabar amb les rectes, també comentarem l’activitat «Reflecting lines», en què es treballen rectes i les seves reflexions tant sobre l’eix d’abscisses com sobre l’eix d’ordenades.
Respecte a la funció de segon grau i la paràbola, també podem trobar-hi nombrosos recursos. Un exemple és «Parabolic patterns». En aquest gràfic es mostren 15 paràboles:
Dues d’aquestes paràboles corresponen a les funcions de segon grau y = x2 i y = − (x − 4)2. Es tracta de trobar la resta d’equacions de les 15 paràboles.
L’alumnat es pot ajudar de programes de geometria dinàmica per experimentar i comprovar les seves conjectures.
Tot seguit, es demana trobar les equacions de les paràboles següents:
El fet de donar les gràfiques i demanar a l’alumnat que trobi les equacions l’anima a experimentar canviant les equacions sistemàticament per descobrir l’efecte en els gràfics i començar a fer generalitzacions.
Hi ha una altra activitat similar, amb un nivell de dificultat una mica més elevat, anomenada «Parabolas again». Es tracta de trobar les equacions de 14 paràboles donades tres equacions:
Font: «Parabolas again», d’NRICH.
I ja per acabar amb les paràboles, comentarem l’activitat «Paired parabolas». En primer lloc, es demana a l’alumnat què tenen d’igual i què tenen de diferent aquestes parelles d’equacions:
Tot seguit, es demana trobar l’equació de la parella de la funció del gràfic següent:
Font: «Paired parabolas», d’NRICH.
I, finalment, el mateix per a la funció del gràfic següent:
Font: «Paired parabolas», d’NRICH.
Aquesta activitat treballa la visualització de parelles de funcions quadràtiques. L’alumnat té l’oportunitat de desenvolupar la seva comprensió de les propietats de simetria de les paràboles i com això es pot relacionar amb la diferència de dos quadrats.
Per treballar també altres tipus de funcions i la seva visualització, tenim el recurs fet amb GeoGebra «Famílies de funcions», de Josep Lluís Cañadilla. L’activitat proposa crear els punts lliscants necessaris per estudiar com són les famílies de funcions que s’han de treballar i observar-ne els punts de tall amb els eixos, el creixement i decreixement, extrems relatius, domini, recorregut, etc. Les funcions que es proposa treballar són la potencial, l’exponencial, la logarítmica i la de proporcionalitat inversa, entre d’altres.
Per treballar el saber #4.ESP.VM.B, els programes de geometria dinàmica són molt útils. Donada una família de funcions, es pot demanar que s’observin els punts de tall amb l’eix d’abscisses i que se cerqui quina relació hi ha entre aquest punt i l’equació que defineix la funció.
Fet amb GeoGebra, hi ha el recurs «Signes i tall amb els eixos», de Ricard Agudo i Javier Cayetano Rodríguez, que genera diferents activitats per a l’alumnat en què, a partir d’un gràfic, es demanen els punts de tall amb els eixos i els intervals en què la funció és positiva i és negativa.
Per treballar el saber #4.ESP.VM.C, hi ha l’activitat a l’ARC «Inequacions amb dues incògnites». Es tracta d’un joc de rol en què cada estudiant s’identifica amb un punt del pla i va comprovant si les seves coordenades compleixen o no determinades condicions algebraiques. L’alumnat es va aixecant i es van formant semiplans on els punts són els mateixos alumnes.
L’alumnat se situa a la seva taula habitual, formant una quadrícula. Caldrà emplenar els passadissos desplaçant algunes cadires. Tot l’alumnat haurà d’estar assegut. La primera fila serà l’eix d’abscisses i la primera columna serà l’eix d’ordenades. L’estudiant que segui a l’extrem esquerre de la primera fila serà l’origen i, a partir d’aquí, anirem assignant la primera i la segona coordenada a cada alumne. Serà important que tothom recordi les seves coordenades (si cal, se les poden apuntar). Llavors demanem que es posin dretes les persones que tinguin unes coordenades que compleixin una determinada condició:
Per simplificar i concretar els missatges, arribem a l’acord d’indicar la condició a través de notació algebraica, de manera que x és la primera coordenada i y, la segona. Així, començarem a donar condicions del tipus:
y ≥ 2x −1 y = 2x −1 y > 2x −1 y < 2x −1
S’anirà descobrint que els punts que compleixen les desigualtats formen semiplans i que els que compleixen la igualtat formen precisament la recta frontera dels semiplans. Es proposaran diversos blocs d’exemples insistint en desigualtats estrictes o no estrictes i en igualtats. Quan les idees es vagin consolidant, ho representarem també a la pissarra.
Es pot consultar un article sobre aquesta activitat i altres de similars, «Construint matemàtiques. Nosaltres com a recurs: role-plays a classe de matemàtiques (2)» (Aubanell, 2017), de la revista Noubiaix núm. 40 (p. 73-76). També es pot veure un vídeo d’aquesta activitat duta a terme pel Grup Cúbic a la Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME) de la UPC en la 20a Jornada d’ABEAM.
Tal com es recorda també als documents dels cursos anteriors, per treballar el saber #4.ESP.VM.D, reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat, el professorat ha de plantejar situacions i activitats en què aquest reconeixement sigui possible. A través del coneixement espacial es pot descriure i interpretar el món on vivim, fet que ens pot servir per contextualitzar moltes situacions que podem plantejar a l’aula.
El treball del sentit espacial a 4t d’ESO ens obre les portes per poder connectar les matemàtiques amb altres matèries i disciplines de maneres molt diverses. L’estudi de les homotècies ens pot ser molt útil per relacionar les matemàtiques amb l’art, el disseny, la tecnologia, etc. D’altra banda, el treball algebraic que es fa a quart (tota mena de funcions elementals, les seves característiques, equacions, inequacions i sistemes) ens proporciona contextos en els quals podem establir connexions interessants amb el sentit algebraic. Tal com es mostra als recursos anteriors, podem geometritzar l’àlgebra i, així, donar sentit geomètric als zeros de les funcions o a les solucions d’equacions i inequacions.
La connexió amb el sentit de la mesura continua sent forta, igual que en els cursos anteriors. Podem generar activitats interessants sobre càlculs de superfícies, de perímetres o de volums quan fem activitats sobre el primer bloc de continguts, així com formes geomètriques de dues i tres dimensions. I amb el treball de les homotècies, podem fer un bon repàs del treball sobre semblança fet a 3r d’ESO.
Llicenciat sota la Llicència Creative Commons Reconeixement CompartirIgual 4.0