Interpretació d’una multiplicació com l’àrea d’un rectangle: ús del model de caixa per resoldre equacions de segon grau, per factoritzar expressions algebraiques i visualitzar les identitats notables.
#ALG.ID
Visualització de solucions d’equacions o de sistemes d’equacions en representacions gràfiques en eixos cartesians.
#ALG.ID
Visualització geomètrica dels nombres triangulars, altres nombres figurats i altres patrons senzills.
#ALG.PA
Visualització d’una funció quadràtica i d’una funció de proporcionalitat inversa com una paràbola o una hipèrbola respectivament amb unes característiques concretes.
#ALG.RF
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l'alumnat.
El bloc Visualització i modelització geomètrica té una rellevància molt important a l’hora d’abordar conceptes des de diferents punts de vista i ajuda els alumnes a acostar-se a idees més abstractes. En aquest aspecte, aquest bloc pren un sentit especial a 3r d’ESO, perquè es treballen molts conceptes algebraics, que acostumen a ser complicats d’assumir per a alguns alumnes. La visualització serà un suport essencial per a aquest alumnat amb menys facilitat per a l’abstracció, ja que reduirà la por i l’ansietat que es pugui generar i, a més, ajudarà a consolidar les idees de fons d’allò que es treballa algebraicament. La visualització de determinats conceptes ajuda a treballar amb l’essència del concepte i a allunyar-se d’aquells tipus de procediments que són receptes que funcionen, segons el punt de vista dels alumnes, màgicament. Entendre bé els conceptes de fons farà que els alumnes trobin lògics els passos que es van seguint i guanyin confiança en la seva capacitat matemàtica.
En aquest bloc es troba la visualització d’alguns conceptes determinats, però cal recordar que passar per la geometria pot ajudar a entendre molts conceptes i propietats matemàtiques. Per tant, és una bona inversió geometritzar qualsevol concepte sempre que es pugui.
Les connexions d’aquest bloc amb la resta de blocs i sabers són inherents. En el 3r curs d’ESO, en què l’àlgebra comença a emergir amb força, es pot veure que gairebé tots els sabers d’aquest bloc estan connectats a algun dels blocs del sentit algebraic (#ALG.PA, #ALG.ID i #ALG.RF).
L’únic saber que no està vinculat explícitament al sentit algebraic és el #3.ESP.VM.E, que precisament proposa el reconeixement de connexions entre la geometria i tots els sentits.
L’únic saber que s’ha destacat com a essencial en aquest bloc és el #3.ESP.VM.E, que és molt genèric i que, per tant, inclou els altres quatre sabers. Hauria sigut molt difícil destacar qualsevol dels altres quatre per sobre de la resta, perquè el que es considera més important és que el professorat sigui conscient que visualitzar i modelar geomètricament allò que s’està treballant ajuda a l’aprenentatge de l’alumnat, i es recomana que, sempre que sigui possible, més enllà dels quatre sabers concrets d’aquest bloc, s’aprofiti aquesta oportunitat.
Comprensió i estudi del concepte de translació, gir, simetria. Estudi dels elements que defineixen cadascun dels moviments.
Estudi de recobriments en el pla.
Ús de materials manipulatius i de programes de geometria dinàmica per generar transformacions geomètriques.
Interpretació d’una multiplicació com l’àrea d’un rectangle: ús del model de caixa per resoldre equacions de segon grau, per factoritzar expressions algebraiques i visualitzar les identitats notables.
Visualització de solucions d’equacions o de sistemes d’equacions en representacions gràfiques en eixos cartesians.
Visualització geomètrica dels nombres triangulars, altres nombres figurats i altres patrons senzills.
Visualització d’una funció quadràtica i d’una funció de proporcionalitat inversa com una paràbola o una hipèrbola respectivament amb unes característiques concretes.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l'alumnat.
A. Interpretació d’una multiplicació com l’àrea d’un rectangle: ús del model de caixa per resoldre equacions de segon grau, per factoritzar expressions algebraiques i visualitzar les identitats notables. #ALG.ID
Per treballar el saber #3.ESP.VM.A, a l’ARC hi ha el recurs Model geomètric per al desenvolupament del quadrat de la suma, d’Anton Aubanell. Es tracta d’un model geomètric que serveix per fer una demostració visual de la identitat notable en qüestió: el quadrat de la suma de dos nombres.
Font: Elaboració pròpia
Si observem la figura en conjunt, deduirem fàcilment que el costat del quadrat gran és a + b i, per tant, la seva àrea serà (a + b)2. Separant les peces, observarem que les àrees respectives són: a2, b2, a · b i b · a. Així doncs, atesa la conservació de l’àrea, tindrem que (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2.
Aquest recurs pot incorporar-se al treball de classe entorn del desenvolupament d’(a + b)2,de manera que el professorat l’utilitzi com un element més de demostració. Si disposem d’una pissarra amb fons metàl·lic i les peces fetes amb material magnètic, podrem fer la demostració sobre la pissarra i resultarà molt més visual. Un exercici també interessant, però que requereix més temps, consisteix a fer que cada estudiant es construeixi el seu model amb cartró.
A l’ARC hi trobem, així mateix, el Model geomètric per al desenvolupament d’(a + b) · (a − b), també d’Anton Aubanell. De forma similar al recurs descrit anteriorment, es tracta d’un model geomètric que serveix per fer una demostració visual de la identitat notable en qüestió: (a + b) · (a − b).
En primer lloc, superposarem les dues figures i veurem que coincideixen i, per tant, que tenen la mateixa àrea.
Font: Elaboració pròpia
Després farem dues lectures d’aquesta àrea:
- L’àrea de la figura de la dreta de la fotografia, naturalment, és l’àrea del quadrat gran menys la del quadrat petit: a2 − b2.
- Pel que fa a la figura de l’esquerra, podem reordenar-ne les peces fent coincidir els costats a − b dels dos rectangles. Quedarà un rectangle els costats del qual valdran a − b i a + b. Per tant, la seva àrea serà (a + b) · (a − b).
Font: Elaboració pròpia
Font: elaboració pròpia.
La coincidència de les dues àrees demostra la identitat.
Els programes de geometria dinàmica també poden ser de gran ajuda per visualitzar identitats com les anteriors o d’altres. Tot seguit, podem veure una animació de Manel Martínez feta amb GeoGebra en què es visualitza el Cub d’un binomi. Sobren les paraules:
Per treballar també el saber #3.ESP.VM.A, hi ha l’activitat Models rectangulars i àlgebra, on es veu com factoritzar expressions algebraiques de segon grau a partir de representacions rectangulars del producte. Ho farem, per exemple, amb el Polypad de Mathigon.
En primer lloc, acordem com representar les expressions algebraiques a partir de rectangles i quadrats base:
Font: Elaboració pròpia
Així, l’expressió 3x2 + 7x + 4 estarà formada per tres peces quadrades grans (blaves), set peces rectangulars (verdes) i quatre peces quadrades d’una unitat (taronges):
Font: Elaboració pròpia
Ara, es tracta de disposar totes les peces en forma de rectangle i veure quant val la base i l’altura d’aquest rectangle, que seran els factors buscats:
Font: Elaboració pròpia
Tot seguit, se’n pot veure un altre exemple:
Font: Elaboració pròpia
Amb la mateixa idea, podem treballar el producte de binomis. Imaginem que volem fer el producte (x + 3) (x − 1). Disposem les peces de la manera següent, la idea és formar el rectangle:
<
Font: Elaboració pròpia
Ara toca omplir el rectangle:
Font: Elaboració pròpia
Finalment, comptem quantes peces de cada ens queden i ja tenim el resultat:
Font: Elaboració pròpia
Tot seguit, podem veure’n un altre exemple:
<
Font: Elaboració pròpia
Al blog Banc de recursos del Fem Matemàtiques hi ha una entrada molt interessant en què es desenvolupa la idea de puzle multiplicatiu des de primària fins al pas a l’ESO. S’hi argumenta que el model de representació basat en àrees ens serveix per a la comprensió geomètrica de la multiplicació de binomis a secundària i se’ns donen múltiples formes de treballar-ho a classe. Es tracta d’una lectura altament recomanable.
A part del Mathigon, hi ha altres miniaplicacions que funcionen amb la mateixa idea, per exemple les d’aquest enllaç, o materials físics com ara l’Algemat que, a més, permet treballar amb termes cúbics.
Treballant el saber #3.ESP.VM.B s’estableixen fortes connexions entre el sentit algebraic i l’espacial. Tallar significarà igualar, i les representacions gràfiques en eixos cartesians ajudaran a donar significat a molts càlculs algebraics. Podem trobar nombroses construccions fetes amb programes de geometria dinàmica molt útils per treballar aquests sabers. Per exemple, tenim el recurs fet amb GeoGebra Sistemes lineals 2 x 2 de Ramon Nolla.
Es presenten sistemes d’equacions lineals 2 x 2, amb la solució numèrica i gràfica. L’alumnat pot canviar els coeficients de les equacions i visualitzar o amagar les taules de valors de cada equació.
La proposta que es planteja per a l’alumnat és:
Desactiveu les caselles de control «taules» i «solució».
Proposeu un sistema mitjançant la introducció de coeficients que vulgueu.
Resoleu el sistema en un full de treball a part, algèbricament i gràficament.
Comproveu la solució obtinguda activant les caselles que heu desactivat al principi.
Una possibilitat per ampliar aquest recurs seria treballar els diferents tipus de sistemes i la seva interpretació geomètrica. Es podria fer, per exemple, plantejant les qüestions següents:
Escull els coeficients i terme independent que tu vulguis per a l’equació 1. A l’equació 2, posa com a coeficients i terme independent el doble dels de l’equació 1. Què hi observes? Si en lloc del doble, agafes el triple, què hi observes? I si agafes la meitat, què hi observes?
Escull els coeficients i terme independent que tu vulguis per a l’equació 1. A l’equació 2, posa com a coeficients el doble dels de l’equació 1, i com a terme independent algun nombre que no sigui el doble. Què hi observes? En lloc del doble, prova-ho amb el triple i la meitat. Què hi observes?
Escull els coeficients de forma que els de l’equació 1 i els de l’equació 2 no siguin proporcionals. Canvia els valors un parell de vegades. Què hi observes?
A quines conclusions pots arribar?
Perduts a Matelàndia
Per treballar el saber #3.ESP.VM.B, també podem plantejar l’activitat «Perduts a Matelàndia». Aquesta activitat també es pot consultar als materials del sentit algebraic, quan es treballa el saber #3.ALG.MM.B. Es tracta d’una adaptació de l’activitat de l’NCTM «Lost in Mathland». La versió «Perduts a Matelàndia» és més senzilla que l’original, i només engloba el treball de sistemes d’equacions lineals amb dues incògnites (l’original treballa equacions de primer, segon i tercer grau i està destinada a l’alumnat de 4t d’ESO i batxillerat).
Font: Elaboració pròpia
L’activitat planteja la següent situació. Matelàndia és un poble situat sobre un pla de coordenades cartesianes els carrers i carreteres del qual són els gràfics d’equacions lineals. Tres amics, la Carme, el Francesc i la Núria, van a Matelàndia a passar el dia, però s’acaben perdent i separant tots tres. Al cap d’una estona de caminar i veure que no es troben, s’escriuen pel grup de mòbil i aquesta és la conversa que tenen:
Carme: Mireu el nom del carrer on sou. Jo soc al carrer x + y = 1.
Francesc: D’acord, jo em trobo al carrer 2x + y = 2.
Núria: I jo al carrer –x + 4y = 3.
Carme: D’acord, com que em conec molt bé el poble, crec que ja sé com trobar-nos. Núria, tu no et moguis del lloc on ets. Francesc, tu i jo hem de caminar pel carrer on som ara mateix direcció la plaça Major (és a l’origen de coordenades) fins que ens trobem. Si arribes abans que jo a l’encreuament dels nostres carrers, espera’m. Un cop ens hàgim trobat, només haurem d’agafar el carrer –x + 2y = –1 i trobarem la Núria.
I, seguint les instruccions de la Carme, els tres amics es van poder trobar.
L’alumnat, un cop ha llegit bé la situació plantejada, ha de respondre aquestes preguntes:
En quines coordenades es troben la Carme i el Francesc?
En quines coordenades ha estat esperant els seus amics, la Núria?
Obre el programa de geometria dinàmica, fes un esquema de la situació i indica’n la solució.
És important demanar a l’alumnat que justifiqui i raoni tot el procediment i els passos que fa per trobar les respostes.
Tot seguit, tenim un possible exemple de resolució gràfica:
Font: Elaboració pròpia
Com a ampliació, o si es vol passar l’activitat a 4t d’ESO, es pot incloure algun apartat en què sigui l’alumnat qui trobi l’equació d’una recta, donades les coordenades de dos punts, o inclús l’equació d’una paràbola donats tres punts.
Per treballar el saber #3.ESP.VM.C,el material manipulable ens pot ser de molta ajuda. Per exemple, amb cubets encaixables és fàcil veure que la suma de dos nombres triangulars consecutius és un nombre quadrat, tal com es pot veure al vídeo següent del CREAMAT.
També podem observar que, si multipliquem per 8 un nombre triangular i sumem 1, obtenim sempre un nombre quadrat. En el vídeo següent es pot veure aquesta propietat quan el nombre triangular és el 3.
Per treballar el saber #3.ESP.VM.C, també tenim el recurs a l’ARC de Pepe Ródenas que porta per títol Escala per sumar progressions. El recurs ofereix una demostració visual de la fórmula de la suma dels n primers termes d’una progressió aritmètica.
La demostració es podria inserir en una seqüència com la següent. En primer lloc, s’explica l’anècdota de Gauss sumant els 100 primers nombres naturals (va adonar-se que hi havia cinquanta parelles que sumaven el mateix: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101…). Tot seguit, es proposen a l’alumnat alguns càlculs que hauran d’intentar fer adaptant-hi el mètode de Gauss: sumar els naturals de 41 a 80, sumar els 30 primers senars, calcular una despesa anual si cada mes gastem 10 € més que l’anterior, etc. I un cop fetes i corregides les darreres activitats, s’explica que demostrarem una fórmula general per resoldre aquest tipus de problemes, i es fa la demostració amb les escales de cartró.
Una possible seqüència per fer l’explicació a classe podria ser la següent:
Plantegem el problema de sumar els n primers termes d’una progressió aritmètica de primer terme a1 i diferència d.
Formalment, a la pissarra queda escrita aquesta suma amb l’expressió Sn = a1 + a2 + ... + an.
Dibuixem, a sota de la darrera equació, un rectangle de base unitat i altura a1. Raonem que l’àrea d’aquest rectangle val també a1.
En dibuixem un altre al seu costat, de base unitat i altura a2 = a1 + d, és a dir: com si haguéssim pujat un esglaó la mida del qual fos d. Raonem que l’àrea del nou rectangle val a2.
Completem així una figura com la de la imatge següent, amb forma d’escala i n esglaons, i raonem que, com que l’àrea de cadascun dels rectangles que la forma es correspon amb un terme de la suma que volem fer, aleshores l’àrea total de la figura és, precisament, Sn.
Preguntem si algú sap calcular l’àrea d’aquesta figura i, arribats en aquest punt, podem recordar que això mateix és el que Gauss va fer per sumar els naturals.
Diem que la tècnica es basa a multiplicar i dividir per dos l’àrea de la figura, la qual cosa és «com no fer-hi res», però ens ajudarà a veure-ho tot més clar. En aquest moment agafem les dues escales de cartró, que estaven sobre la taula, i les mostrem als alumnes tot amagant la vermella darrere de la blava.
Portem a la paret les escales i, teatralment, fem relliscar la blava per sobre de la vermella, que apareix per primer cop a la vista, mentre diem: «Havíem dit que multiplicaríem per dos l’àrea, oi? D’acord: ja l’hem multiplicada per dos!».
Expliquem que ara ja estem en condicions de fer el truc que ens permetrà veure clarament com es calculen les àrees, i consisteix a «ficar-li per barret» l’escala vermella a l’escala blava.
Tornem a preguntar si algú sap calcular l’àrea de la figura resultant, que és un senzill rectangle: base per altura. És molt important que siguin ells els qui diguin per primer cop el valor de l’àrea del rectangle, n·(a1 + an).
Acabem recordant-los, però, que nosaltres havíem dit que la suma que necessitàvem calcular, Sn, només era igual a l’àrea d’una de les dues escales i, per tant, hem de dividir entre dos.
D. Visualització d’una funció quadràtica i d’una funció de proporcionalitat inversa com una paràbola o una hipèrbola, respectivament, amb unes característiques concretes. #ALG.RF
Amb la idea que les representacions gràfiques en eixos cartesians ajuden a donar significat als càlculs algebraics, per treballar el saber #3.ESP.VM.D trobem molts recursos al GeoGebra ja preparats per portar a classe. Per exemple, l’activitat Funció quadràtica que es pot consultar a l’enllaç següent.
- Varia el coeficient del terme quadràtic. Quines diferències observes en funció de si és positiu o és negatiu?
- Varia el coeficient del terme de primer grau i observa. Quins canvis es produeixen al gràfic?
- Varia el terme independent. Quins canvis observes al gràfic?
- Observa també la relació que hi ha entre el discriminant i el nombre de solucions de l’equació de segon grau associada a la funció. A quines conclusions arribes?
Funcions de 1r i 2n grau
<
Per treballar el saber #3.ESP.VM.D, en concret la paràbola, un altre recurs és Funcions de primer i segon grau, de Josep Lluís Cañadilla. L’activitat comença introduint com és una funció de primer grau, quina forma té l’equació i de quins paràmetres depèn. Després proposa que l’alumnat experimenti i, movent punts lliscants, esbrini com els paràmetres determinen la forma de la gràfica. També posa èmfasi en els punts de tall amb els eixos de coordenades i el creixement i decreixement de la funció.
De forma similar, s’aborda la funció de segon grau, posant èmfasi també en el vèrtex i l’obertura de la paràbola.
Per acabar, es donen unes quantes gràfiques i es demana trobar les equacions corresponents.
El que fa interessant aquesta proposta és que és l’alumnat qui va creant el full de treball des de zero, seguint les instruccions.
Per treballar el saber #3.ESP.VM.D,en concret la hipèrbola, hi ha moltes propostes amb GeoGebra, de forma similar a com passa amb la paràbola. Una d’aquestes propostes és Funcions de proporcionalitat inversa, de Núria Serra. L’activitat comença introduint com és una funció de proporcionalitat inversa, quina forma té l’equació i de quin paràmetre depèn. Després proposa que l’alumnat experimenti i, movent un punt lliscant, esbrini com el paràmetre determina la forma de la gràfica. També posa èmfasi en els punts de tall amb els eixos de coordenades, el creixement i decreixement de la funció i la simetria.
Per acabar, es donen unes quantes gràfiques i es demana trobar les equacions corresponents.
E. Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat. [ESS]
Per treballar el saber #3.ESP.VM.E, reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat, el professorat ha de plantejar situacions i activitats en què aquest reconeixement sigui possible. A través del coneixement espacial es pot descriure i interpretar el món on vivim.
El treball del sentit espacial a 3r d’ESO ens obre les portes per poder connectar les matemàtiques amb altres matèries i disciplines de formes molt diverses. L’estudi de moviments al pla ens pot ser molt útil per relacionar les matemàtiques amb l’art i per plantejar projectes en què la creativitat de l’alumnat sigui un pilar fonamental. Però no només trobem aplicacions al món del disseny i l’art: també són importants, per exemple, en robòtica, si s’han de programar recorreguts al pla. A la natura, la simetria també hi és molt present, cosa que permet establir fortes connexions amb el sentit espacial.
D’altra banda, el treball algebraic que es duu a terme a 3r (equacions de primer i segon grau, sistemes d’equacions, i funcions afins, de segon grau i de proporcionalitat inversa) ens proporciona contextos en què podem establir connexions interessants amb el sentit algebraic. Tal com es mostra als recursos anteriors, podem «geometritzar» l’àlgebra fent «demostracions» visuals de fórmules i donant sentit geomètric a càlculs algebraics o propietats numèriques.
La connexió amb el sentit de la mesura segueix sent forta, igual que en els cursos anteriors. Podem generar activitats interessants sobre càlculs de superfícies o de perímetres quan fem activitats sobre mosaics i recobriments.