Per treballar el saber #1.NUM.QU.A, us proposem una activitat que trobareu al web del Calaix+ie, Fes de Champollion, en què s᾽utilitzen bases diferents: 10, 20 o 60.

A partir d᾽uns documents escrits en doble numeració (antiga i actual) s᾽ha de deduir el funcionament del sistema de numeració antic. Així es va passant d᾽un sistema a un altre (egípcia, assíria, maia, grega…).

Una possible dinàmica d᾽aula consisteix a organitzar l᾽alumnat en grups de tres, on cada grup treballa amb una numeració diferent. Un cop n᾽hagin deduït el funcionament, cada grup el presenta i explica a la resta de companys.

A partir de la història dels nombres, es poden explicar alguns dels algoritmes clàssics que s᾽han utilitzat al llarg del temps per fer operacions. Conèixer mètodes diferents dels que fem servir actualment ens ajuda a entendre que la matemàtica no és una ciència inamovible; és a dir, els càlculs no sempre s᾽han fet de la mateixa manera. Aquest coneixement permet comprendre millor el sistema de numeració actual i els avantatges que ofereix en comparació amb els emprats en l᾽antiguitat.

Al blog del Calaix +ie podem trobar quins eren els algoritmes de La multiplicació egípcia i el de La divisió egípcia. Són algoritmes que es poden dur a l᾽aula, ja que són comprensibles; en tot moment es té clar el que s᾽està fent i per què.

Es pot trobar informació sobre la història del desenvolupament de les numeracions orals i escrites en el web Calculus de Joan Jareño.

A l᾽article de Cultura Científica El origen de la escritura de los números, de Raúl Ibáñez, es pot aprofundir en la història dels nombres.

Es pot treballar a l᾽aula el saber #1.NUM.QU.B a partir de les aportacions de l᾽alumnat. Una bona proposta és elaborar un llistat de situacions en què s᾽utilitzen nombres negatius i reflexionar sobre la necessitat de distingir-los dels nombres positius. Alhora, és interessant que el professorat posi èmfasi en els conjunts de nombres i les seves denominacions, explicant com, a partir dels nombres naturals, afegint els negatius i el zero, s᾽obté el conjunt dels nombres enters.

A l᾽ARC es pot trobar el mòdul Els nombres negatius i el zero: Xina, Grècia, Índia, Món àrab, Europa (250- 1567). En el document adreçat a l᾽alumnat hi ha una explicació de la història dels nombres negatius a través del temps i mostra com els tractaven els matemàtics de diferents cultures. Pot ser interessant la lectura o la consulta d᾽una determinada civilització per portar-la a l᾽aula. Si en una altra matèria, per exemple a ciències socials, estan estudiant alguna civilització en concret i en tenim la història, és interessant fer-ne referència i, si és possible, fer alguna de les activitats proposades en el document.

Una proposta per treballar de manera vivencial el saber #1.NUM.QU.C és la següent:

Es pot organitzar un joc de rol en què es dibuixi o es marqui a terra una gran recta numèrica. L᾽alumnat representa els nombres que el professorat va dient, i es col·loca en el punt corresponent de la recta. A partir d᾽aquesta posició, es poden comparar els nombres segons es trobin més a la dreta o més a l᾽esquerra.

La utilització de diagrames per treballar el saber #1.NUM.QU.D permet a l᾽alumnat una millor comprensió de la informació.

A tall d᾽exemple:

Si sabem que a la classe hi ha 24 alumnes i d᾽aquests 6 són rossos, quina fracció hi ha de rossos?

El diagrama següent resumeix la informació.

L᾽alumnat pot resoldre el problema amb material manipulatiu, amb dibuixos o com li sigui més còmode.

Els 18 alumnes que no són rossos els repartim en grups de 6, com els rossos, i així obtenim que \(\frac 14\) part són rossos i \(\frac 34\) parts no ho són.

Què passaria en una classe de 25 alumnes, en la qual 10 fossin rossos?

L᾽alumnat ha d᾽agrupar els rossos i els no rossos amb el mateix nombre d᾽individus, és a dir, mitjançant el màxim comú divisor.

El material manipulatiu emprat per resoldre l᾽activitat facilita a l᾽alumnat l᾽accés a una solució amb sentit. Posteriorment, cal ajudar-lo a establir les connexions necessàries per relacionar-ho amb el màxim comú divisor (mcd).

En aquest tipus d᾽exercici el professorat pot demanar als alumnes que comprovin amb la calculadora que la fracció obtinguda, per exemple \( \frac 14\), és una fracció equivalent a \(\frac 6{24}\), o per exemple que \(\frac{10}{25}\) és equivalent a \(\frac 25\).

En aquestes activitats s᾽ha de treballar també la fracció expressada en percentatges o decimals, utilitzant la calculadora, si és necessari.

També es pot aprofitar aquest tipus de diagrames per calcular freqüències relatives o calcular probabilitats.

És convenient que els contextos de les activitats siguin tan variats com sigui possible.

Treballar el saber #1.NUM.QU.F amb material manipulatiu permet que tot l᾽alumnat entengui millor els conceptes.

L᾽activitat següent està inspirada en el vídeo del Creamat Fracció d᾽un nombre:

Es proposa a l᾽alumnat una activitat contextualitzada en què sigui necessari, per exemple, calcular \(\frac 35\) parts de 30. Per resoldre el problema l᾽alumnat pot utilitzar material manipulatiu.

Els passos a seguir per resoldre el problema són els següents:

• En un rectangle partit en 5 parts, reparteix 30 taps en parts iguals sota cadascun dels rectangles.

• Com que l᾽enunciat demana \(\frac 35\), s᾽han de quedar només amb els taps que hi ha en 3 de les 5 parts. Així saben quants taps corresponen a la fracció del nombre corresponent, en aquest cas, 18.

• Per finalitzar, han d᾽escriure formalment en una taula els passos seguits i la solució. El professorat ha d᾽anar guiant l᾽alumnat per tal de fer-lo reflexionar sobre quina operació fa en cada pas del procés, per tal que després ho pugui escriure.

Un cop s᾽ha treballat la fracció d᾽un nombre, es pot fer l᾽activitat a l᾽inrevés. Es dona un context per tal que l᾽alumnat hagi de trobar quin és el nombre que d᾽una determinada fracció n᾽és la quantitat donada.

Per exemple quin és el nombre els \(\frac 27\) del qual és 15?

• L᾽alumnat ha de repartir 15 taps en 3 de les 7 parts dibuixades en un rectangle

• S᾽observa que en cada part hi ha 5 taps. Quina operació s᾽ha fet? Què representa el fet de repartir els taps en 3 parts?
• Com que totes les parts tenen la mateixa quantitat, ja es pot trobar la solució emplenant totes les parts del rectangle. El nombre és el 35.

• Per finalitzar l᾽activitat, l᾽alumnat ha d᾽omplir formalment el quadre amb les operacions que ha hagut de fer durant el procés.

Si aquesta activitat es treballa en grup, permet donar-los diferents reptes i així cada grup avança al seu ritme. Un cop finalitzats els reptes proposats, es demana que cada membre del grup plantegi un problema similar als anteriors que hauran de resoldre els seus companys.

Per al saber #1.NUM.QU.J és interessant l᾽activitat de l᾽ARC Cartes de fraccions impròpies:

Partim d᾽un joc de 48 cartes que estan numerades amb fraccions impròpies (majors que 1) i cada puntuació està representada amb quatre colls (sectors circulars, parts d᾽un segment, fraccions impròpies i nombre mixt), com es mostra en l᾽exemple de la imatge.

Aquesta baralla la pot portar feta el professorat o es pot fer amb l᾽alumnat; en la construcció de les cartes ja s᾽està treballant l᾽aprenentatge. És convenient tenir un joc de cartes per a cada 6 alumnes aproximadament; per tant, si cada alumne construeix 2 fraccions amb les 4 representacions corresponents als colls diferents, aleshores es tindran cartes perquè tots puguin jugar.

Descrivim dos possibles jocs, per jugar en grups de 4 o 6 persones:

• Fer parelles: Es reparteixen tres cartes a cada alumne i es col·loquen al centre de la taula quatre cartes vistes. En cada torn l᾽alumne intenta tirar una carta que tingui la mateixa fracció que una de les de la taula i poder formar una parella per recollir. Si no té cap possibilitat de formar parella, tirarà una carta que quedarà vista a la taula. Un cop s᾽hagin tirat les tres cartes de cada alumne es repartiran tres cartes més (o 2 o 1, si en queden poques) i es farà una nova ronda. Finalment, se sumaran els punts fraccionaris que cadascú hagi recollit. Guanyarà qui en sumi més.
• Fer famílies: Es reparteixen 7 cartes per alumne i es deixa la pila amb les cartes restants al centre de la taula. Entenem per família les quatre cartes corresponents a la mateixa fracció. L᾽alumne a qui li toqui demanarà a un company una carta concreta que li pugui ser útil per anar completant famílies: «el cinc terços en forma mixta», «el set mitjos amb sectors»... Si l᾽alumne al·ludit té aquesta carta, li dona i qui ha preguntat pot continuar preguntant. Si no la té, qui ha preguntat agafa una carta de la pila central (mentre en quedin) i el torn passa al següent alumne. Guanyarà qui hagi aconseguit fer més famílies. El jugador que tingui una carta i no la tiri rebrà una penalització.

Tot i que sigui un joc de cartes, el professorat ha de vetllar per tal que l᾽alumnat sigui curós i formal a l᾽hora de demanar les cartes.

Aquesta activitat es pot ampliar o modificar incorporant el percentatge i el nombre decimal corresponent, per facilitar així la comprensió de les relacions entre fraccions, decimals i percentatges. A partir d᾽aquesta proposta, es pot introduir i aprofundir en els diferents tipus de nombres decimals.

Per al saber #1.NUM.QU.L, referent a les potències, presentem una sèrie de recursos que podem utilitzar a l᾽aula.

En el document Més enllà de les potències es mostra com a l᾽Institut Baix a Mar introdueixen i treballen el concepte de potència amb una reflexió important que contribueix a la construcció de coneixement d᾽una manera progressiva i motivadora. Algunes d᾽aquestes activitats, i d᾽altres de similars, les podem trobar també al blog del PuntMat a Les primeres potències. Una activitat explicada en el blog és la següent:

Les primeres potències de base 2:

L᾽objectiu és investigar el potencial de les potències de dos per generar nombres parells. Donades les targetes:

Organitzeu-vos per repartir-vos tots els nombres parells fins al 120 i intenteu obtenir cada un d᾽aquests nombres a partir de les targetes.

A la proposta inicial, s᾽afegeixen després algunes preguntes: l᾽obtenció de cada nombre parell com a suma de potències de 2 és única?, quina targeta s᾽hauria d᾽afegir per obtenir tots els nombres fins a 120?, quin és el primer nombre que no es pot obtenir sumant aquestes targetes?

Hi ha una descripció pràctica del desenvolupament de l᾽activitat que es va dur a terme a l᾽Institut Baix a Mar en l᾽enllaç.

Les primeres potències de base 3:

Així com tot nombre es pot escriure sumant potències de base 2, també es pot fer amb potències de base 3 si permetem que cada potència participi dos cops en cada suma.

Tenim el tauler i les quatre fitxes següents:

Quan posem les fitxes al tauler, si no són dintre del quadrat o del cercle, perden el seu valor, i si són dintre de la figura que té la mateixa forma que la fitxa, el valor es duplica.

Si després de col·locar les quatre fitxes al tauler en sumem els valors, podem obtenir tots els resultats entre 0 i 80 segons la seva posició en relació amb el quadrat o el cercle. Es demana a l᾽alumnat que ho faci.

Aquestes activitats poden ser el punt de partida per introduir el sistema binari o de la base 3.

En el document d᾽orientacions per a la millora de la geometria a l᾽ESO, trobem el document Explorant els ordres de magnitud, en què es troben detallades 5 activitats per treballar el saber #1.NUM.QU.M. Tal com s᾽explica en la descripció del document, en aquestes activitats es proposen aproximacions de magnituds molt grans i molt petites mitjançant el seu ordre de magnitud donat per la potència de 10 més propera al seu valor. D᾽aquesta manera s᾽ajuda l᾽alumnat a perfilar una percepció més ajustada de la grandària del que ens envolta, a emprar de manera significativa les potències de 10 i a introduir el sistema internacional d᾽unitats, la notació científica i fins i tot l᾽escala logarítmica de manera intuïtiva.

En l᾽activitat 1 del document, es comença fent reflexionar l᾽alumnat sobre les magnituds que podem explorar i les unitats emprades en cada magnitud. Un cop establertes les magnituds a explorar i la unitat que s᾽utilitzarà, es poden fer equips i proposar que cada equip treballi sobre una magnitud i elabori un quadre amb ordres de magnitud (la recerca d᾽informació es pot fer per la xarxa).

Al final s᾽arriben a obtenir quadres similars a aquests:

Després, cada equip presentarà la seva recerca i el quadre resultant a la resta del grup. Pot ser interessant mantenir tapats els ordres de magnitud i convidar els companys a conjecturar. Fer-ho així no tan sols genera emoció a l᾽activitat i anima la conjectura i el contrast d᾽opinions sinó que contribueix a donar importància als exponents.

En l᾽activitat 3 hi ha diferents exemples de situacions en què apareixen nombres molt grans o molt petits. En el segon exemple trobem un vídeo El rei i el savi del programa Una mà de contes. En aquest vídeo trobem explicada, en forma de conte, la coneguda llegenda de l᾽inventor dels escacs que va demanar al rei (que li volia agrair les bones estones que aquest joc li oferia) 1 granet de blat pel primer quadre, 2 pel segon, 4 granets pel tercer, 8 pel quart quadre i així fins a l᾽últim dels 64 quadres del taulell. Una petició tan humil havia de ser atesa pel sobirà! Però quan van començar a comptar, va resultar que els graners del regne no varen poder fer front a la demanda.

Es pot convidar els alumnes a calcular el nombre total de grans de blat que està demanant (podem fer servir un full de càlcul o bé utilitzar el web WolframAlha). El resultat serà de 18446744073709551615 grans de blat, aproximadament (emprant notació científica) 1,8447· 10¹⁹, uns 18 trilions de grans de blat. Una vegada trobat el resultat, es planteja una nova pregunta: Són molt 18 trilions de grans de blat? (es pot visualitzar en el vídeo Chess board with rice: exponential growth).

Es pot visualitzar també Quants granets de blat caben?, de la col·lecció permanent del VídeoMAT, fet per l᾽alumnat de l᾽escola de Lladurs (ZER El Solsonès) que s᾽ho varen preguntar i varen respondre-ho.