El conjunt de sabers que constitueixen el sentit algebraic, com tots els altres sentits, s’han de relacionar amb el conjunt de competències del currículum. Sense un coneixement dels sabers, difícilment es poden desenvolupar els processos per avançar en l’assoliment de les competències i, d’altra banda, la manera com s’introdueixen, es construeixen i s’utilitzen els sabers és clau per poder fer un treball competencial.
Així doncs, tots els sabers poden contribuir a desenvolupar qualsevol competència si es treballen en activitats adequades. Així mateix, un saber pot contribuir a desenvolupar diverses competències.
Es presenta la relació entre els sentits i les competències específiques a través dels processos: Resolució de problemes (competències específiques CE 1 i CE 2), Raonament i prova (competències específiques CE 3 i CE 4), Connexions, en què distingim les internes (competència específica CE 5) i les externes (competència específica CE 6), Comunicació i representació (competència específica CE 7), i Gestió socioemocional (competències específiques CE 8 i CE 9).
Aquesta relació, pel que fa al sentit algebraic, es concreta, en el marc d’aquest exemple, de la manera que es descriu en els apartats següents, tot i que hi pot haver altres anàlisis igualment vàlides.
Resolució de problemes (CE 1 i CE 2)
El treball del sentit algebraic, que inclou el desenvolupament del llenguatge algebraic, introduït ja a 1r d’ESO i més àmpliament a 2n, continua en aquest curs (3r d’ESO) per tal d’oferir a l’alumnat l’oportunitat d’abordar problemes matemàtics amb la potència de les eines algebraiques. En la resolució de molts problemes, el primer pas és comprendre bé l’enunciat, el segon consisteix a traduir aquest enunciat a una representació simbòlica que sovint és una equació, un sistema d’equacions o també una inequació. Mitjançant tècniques algebraiques es pot resoldre aquesta equació (sistema o inequació) i interpretar-ne el resultat dins del context del problema. El sentit algebraic proporciona, doncs, moltes possibilitats per treballar la resolució de problemes, especialment en la comprensió dels enunciats i la traducció al llenguatge matemàtic, en aquest cas, algebraic (CE 1). També pel que fa a la interpretació dels resultats, la validesa dels quals pot estar condicionada pel context del problema (CE 2). La majoria de blocs de sabers incideixen en el treball sobre resolució de problemes, però pel que fa al treball d’aquest sentit a 3r d’ESO, tenen una incidència especial els blocs Model matemàtic, Igualtats i desigualtats i Pensament Computacional.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar la resolució de problemes són, entre d’altres:
- El saber #3.ALG.MM.E: anàlisi de les solucions d’un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si escau.
- El saber #3.ALG.ID.E: resolució de problemes senzills d’equacions quadràtiques contextualitzats.
- El saber #3.ALG.ID.F: problemes en context per introduir sistemes d’equacions lineals. Significat d’un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i de la seva solució.
- El saber #3.ALG.ID.H: resolució de problemes contextualitzats mitjançant sistemes de dues equacions lineals amb dues incògnites.
- El bloc Pensament computacional (#3.ALG.PC), gairebé per definició, està estretament relacionat amb la resolució de problemes. En concret, destaca el saber #3.ALG.PC.B, que se centra en la creació d’algorismes per resoldre problemes aritmètics o estocàstics.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers fan referència directa al procés de resolució de problemes, tant a la CE 1 com a la CE 2. Alguns exemples són:
- La idea de Model matemàtic està directament lligada amb la resolució de problemes, ja que, sovint, la finalitat per establir un model matemàtic és resoldre un problema contextualitzat. En concret, la seqüència d’activitats Barbie Bungee, proposada per treballar el saber #3.ALG.MM.C, el saber #3.ALG.MM.D i el saber #3.ALG.MM.E, és un exemple del tipus de qüestions que sorgeixen en intentar resoldre un problema en context a partir de l’experimentació, la realització de conjectures i la presa de decisions.
- Uns altres sabers directament relacionats amb la resolució de problemes són la majoria dels sabers del bloc Igualtats i desigualtats. Sovint la pràctica productiva permet treballar les competències associades a la resolució de problemes, com per exemple les del recurs Pràctica productiva: equacions de segon grau del PuntMat.
- Pel que fa al saber #3.ALG.ID.F, podeu trobar una seqüència d’activitats per introduir la resolució de sistemes d’equacions lineals (dues equacions amb dues incògnites) mitjançant la resolució de problemes. A l’article de de la Fuente, A. (2022), «Aprender a usar el álgebra en secundaria mediante la resolución de problemas», SUMA, núm. 99, p. 49-60, trobareu aquesta activitat.
- D’altra banda, les propostes de recurs relacionades amb el saber #3.ALG.PC.B són una oportunitat per veure la potència de la programació visual per generar tirades aleatòries i comprovar la llei dels grans nombres, l’experimentació que es relaciona amb la resolució de problemes, la realització de conjectures i la validació de lleis, que és l’essència del quefer matemàtic.
Estudi de diferents tipus de successions, com per exemple, les aritmètiques, les geomètriques o la de Fibonacci. Càlcul del terme general.
Observació de regularitats en diferents contextos matemàtics que permetin extreure conclusions o descobrir propietats.
Ús de les equacions de segon grau com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús dels sistemes d’equacions com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús de les funcions com a models matemàtics.
Ús de recursos digitals o interactius per buscar la funció que modelitzi millor un context.
Anàlisi de les solucions d'un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si s'escau.
Variables que intervenen en la definició del terme general d'una successió.
Variables estadístiques discretes i continues.
Distinció entre identitats i equacions. Identitats notables i factorització d'expressions algebraiques.
Equacions quadràtiques senzilles i incompletes. Resolució d'equacions de segon grau per mètodes geomètrics.
Equacions quadràtiques completes.
Nombre de solucions reals d’una equació de segon grau segons el discriminant.
Resolució de problemes senzills d'equacions quadràtiques contextualitzats.
Problemes en context per introduir sistemes d'equacions lineals. Significat d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i de la seva solució.
Resolució i significat geomètric d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites.
Resolució de problemes contextualitzats a través de sistemes de dues equacions lineals amb dues incògnites.
Expressió de les solucions d'inequacions senzilles amb una incògnita a través d'intervals i semirectes.
Igualtats per expressar funcions senzilles (constants, lineals, afins, quadràtiques i de proporcionalitat inversa) en situacions contextualitzades.
Relació entre les solucions d'equacions (de primer i segon grau) i els zeros de les funcions (lineals, afins i quadràtiques) corresponents, utilitzant tecnologia.
Identificació d'una funció com a relació entre dues variables i estudi de la relació de dependència entre elles.
Relació entre les diferents maneres de representar una funció (verbal, taula, gràfic i expressióAlgebraica).
Estudi i aplicació en contextos de la funció de proporcionalitat inversa: representació i característiques, i comparació amb les funcions estudiades anteriorment.
Estudi i aplicació en contextos de la funció quadràtica i les seves característiques: representació, efecte del coeficient del terme quadràtic en la forma de la paràbola, incidència del terme independent en el gràfic, relació entre els punts de tall i les solucions de l'equació de 2n grau i estudi de la simetria i del vèrtex.
Anàlisi de les propietats de diferents tipus de funcions a partir de la seva gràfica: creixement i decreixement, màxims i mínims, domini i recorregut, simetries…
Ús de recursos digitals i interactius per representar taules i gràfics.
Extracció d'informació d'una funció donada gràficament, mitjançant una taula, una expressióAlgebraica i verbalment.
Abstracció a fi d'identificar els aspectes més rellevants d'una situació matemàtica i avançar cap a la seva modelització.
Creació d'algorismes que utilitzin grups iteratius niats per resoldre problemes aritmètics o estocàstics.
Selecció, determinació i ús reflexiu i eficient de les eines computacionals adequades per analitzar i resoldre problemes.
Ús adequat de programes de geometria dinàmica per treballar els moviments i les transformacions geomètriques.
Processos de testatge, depuració d'errors i de millora successiva d'algorismes, considerant, de manera sistemàtica, tots els casos possibles.
Autoconfiança, persistència, adaptabilitat, flexibilitat, creativitat, col·laboració i gestió constructiva de l’error.
Raonament i prova (CE 3 i CE 4)
En tot l’aprenentatge de l’àlgebra, la comprensió del significat dels símbols és un punt clau, que cal tenir en compte per poder fer raonaments de tot tipus. La manipulació de símbols algebraics, així com de dibuixos i gràfics, ens permet descobrir noves relacions, buscar equivalències entre expressions aparentment diferents i trobar justificacions generals. A l’hora d’emprar les eines algebraiques en situacions contextualitzades, hem de procurar que l’aplicació mecànica de regles no substitueixi els processos de raonament ni amagui els significats dels símbols i expressions derivades del context (CE 3). Tot el bloc Pensament computacional està profundament lligat al raonament i associat a la competència CE 4.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar el raonament són, entre d’altres:
- El treball del saber #3.ALG.PA.A i del saber #3.ALG.PA.B del bloc Patrons comporta la realització de conjectures i generalitzacions pròpies de la competència 3 que se centra en el raonament matemàtic.
- El treball al voltant del saber #3.ALG.ID.A comporta desenvolupar raonaments que portin a argumentar sobre les diferències entre una identitat i una equació, així com justificar la validesa de les identitats notables.
- El saber #3.ALG.PC.F, del bloc Pensament computacional, té una relació directa amb el raonament matemàtic.
Recursos
Alguns dels recursos proposats per treballar diferents sabers del sentit algebraic fan referència al procés de raonament i prova i, concretament, amb la competència CE 3, tant pel que fa a la realització de conjectures com de proves. Per exemple:
- Tots els recursos relacionats amb el bloc Patrons, saber #3.ALG.PA.A i saber #3.ALG.PA.B, comporten la realització de conjectures i generalitzacions (i no tant de proves) pròpies de la competència 3 que se centra en aquestes accions.
- Alguns recursos del bloc Igualtats i desigualtats, com l’anàlisi de la igualtat $a + b = a\cdot b$, i la discussió sobre si es tracta d’una identitat o una equació implica efectuar raonaments relacionats amb la competència CE 3.
- En relació amb el pensament computacional, les tasques «Bebras», vinculades al saber #3.ALG.PC.F, són un recurs ideal per potenciar el desenvolupament d’habilitats de pensament computacional. Per mitjà d’activitats que promouen la creativitat i la resolució de problemes, aquestes tasques s’alineen plenament amb el procés de raonament matemàtic i les competències específiques CE 3 i CE 4 del currículum de secundària.
Estudi de diferents tipus de successions, com per exemple, les aritmètiques, les geomètriques o la de Fibonacci. Càlcul del terme general.
Observació de regularitats en diferents contextos matemàtics que permetin extreure conclusions o descobrir propietats.
Ús de les equacions de segon grau com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús dels sistemes d’equacions com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús de les funcions com a models matemàtics.
Ús de recursos digitals o interactius per buscar la funció que modelitzi millor un context.
Anàlisi de les solucions d'un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si s'escau.
Variables que intervenen en la definició del terme general d'una successió.
Variables estadístiques discretes i continues.
Distinció entre identitats i equacions. Identitats notables i factorització d'expressions algebraiques.
Equacions quadràtiques senzilles i incompletes. Resolució d'equacions de segon grau per mètodes geomètrics.
Equacions quadràtiques completes.
Nombre de solucions reals d’una equació de segon grau segons el discriminant.
Resolució de problemes senzills d'equacions quadràtiques contextualitzats.
Problemes en context per introduir sistemes d'equacions lineals. Significat d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i de la seva solució.
Resolució i significat geomètric d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites.
Resolució de problemes contextualitzats a través de sistemes de dues equacions lineals amb dues incògnites.
Expressió de les solucions d'inequacions senzilles amb una incògnita a través d'intervals i semirectes.
Igualtats per expressar funcions senzilles (constants, lineals, afins, quadràtiques i de proporcionalitat inversa) en situacions contextualitzades.
Relació entre les solucions d'equacions (de primer i segon grau) i els zeros de les funcions (lineals, afins i quadràtiques) corresponents, utilitzant tecnologia.
Identificació d'una funció com a relació entre dues variables i estudi de la relació de dependència entre elles.
Relació entre les diferents maneres de representar una funció (verbal, taula, gràfic i expressióAlgebraica).
Estudi i aplicació en contextos de la funció de proporcionalitat inversa: representació i característiques, i comparació amb les funcions estudiades anteriorment.
Estudi i aplicació en contextos de la funció quadràtica i les seves característiques: representació, efecte del coeficient del terme quadràtic en la forma de la paràbola, incidència del terme independent en el gràfic, relació entre els punts de tall i les solucions de l'equació de 2n grau i estudi de la simetria i del vèrtex.
Anàlisi de les propietats de diferents tipus de funcions a partir de la seva gràfica: creixement i decreixement, màxims i mínims, domini i recorregut, simetries…
Ús de recursos digitals i interactius per representar taules i gràfics.
Extracció d'informació d'una funció donada gràficament, mitjançant una taula, una expressióAlgebraica i verbalment.
Abstracció a fi d'identificar els aspectes més rellevants d'una situació matemàtica i avançar cap a la seva modelització.
Creació d'algorismes que utilitzin grups iteratius niats per resoldre problemes aritmètics o estocàstics.
Selecció, determinació i ús reflexiu i eficient de les eines computacionals adequades per analitzar i resoldre problemes.
Ús adequat de programes de geometria dinàmica per treballar els moviments i les transformacions geomètriques.
Processos de testatge, depuració d'errors i de millora successiva d'algorismes, considerant, de manera sistemàtica, tots els casos possibles.
Autoconfiança, persistència, adaptabilitat, flexibilitat, creativitat, col·laboració i gestió constructiva de l’error.
Connexions amb altres parts de la matemàtica (CE 5)
L’àlgebra es relaciona amb la majoria dels sentits, però segurament és amb el sentit numèric i l’espacial, juntament amb el de la mesura, on trobem un nombre més gran de connexions internes. Aquestes connexions són fonamentals per construir el llenguatge algebraic i donar sentit a les representacions sense les quals esdevindrien totalment abstractes. El bloc de sabers de Pensament computacional també presenta riques connexions amb sabers d’altres blocs i sentits.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar les connexions internes són, entre d’altres:
- el saber #3.ALG.PA.B es connecta tant amb el sentit numèric com amb l’espacial.
- el saber #3.ALG.MM.A es connecta amb el bloc #3.ALG.ID.
- el saber #3.ALG.MM.C es connecta amb els blocs #3.ALG.RF i #3.ALG.PC.
- el saber #3.ALG.VA.A es connecta amb els blocs #3.ALG.PA i #3.ALG.RF.
- el saber #3.ALG.VA.B es connecta amb el sentit estocàstic.
- el saber #3.ALG.ID.B es connecta amb el bloc #3.ESP.VM del sentit espacial.
- el saber #3.ALG.ID.F es connecta amb el bloc #3.ALG.RF.
- el saber #3.ALG.ID.J es connecta tant amb el bloc #3.ALG.MM com amb el bloc #3.ALG.RF, tots dos del mateix sentit algebraic.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers aporten o fan servir connexions internes. D’acord amb els sabers ressenyats anteriorment, alguns dels recursos adequats per establir connexions internes són:
- l’activitat Patrons en estructures que podem trobar a les Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria (Aubanell, 2015) citat a propòsit del saber #3.ALG.PA.A.
- les activitats de la pàgina web Visual Patterns permeten treballar connexions amb el bloc Patrons #3.ALG.PA, però també amb el de Relacions i funcions #3.ALG.RF a partir de l’obtenció de termes generals de successions.
- l’activitat del saber #3.ALG.ID.B sobre resolució geomètrica d’equacions de segon grau d’acord amb el mètode d’Al-Khwârizmî (813), de la professora Iolanda Guevara, que es pot trobar aquí, treballa connexions internes amb el sentit espacial.
Estudi de diferents tipus de successions, com per exemple, les aritmètiques, les geomètriques o la de Fibonacci. Càlcul del terme general.
Observació de regularitats en diferents contextos matemàtics que permetin extreure conclusions o descobrir propietats.
Ús de les equacions de segon grau com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús dels sistemes d’equacions com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús de les funcions com a models matemàtics.
Ús de recursos digitals o interactius per buscar la funció que modelitzi millor un context.
Anàlisi de les solucions d'un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si s'escau.
Variables que intervenen en la definició del terme general d'una successió.
Variables estadístiques discretes i continues.
Distinció entre identitats i equacions. Identitats notables i factorització d'expressions algebraiques.
Equacions quadràtiques senzilles i incompletes. Resolució d'equacions de segon grau per mètodes geomètrics.
Equacions quadràtiques completes.
Nombre de solucions reals d’una equació de segon grau segons el discriminant.
Resolució de problemes senzills d'equacions quadràtiques contextualitzats.
Problemes en context per introduir sistemes d'equacions lineals. Significat d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i de la seva solució.
Resolució i significat geomètric d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites.
Resolució de problemes contextualitzats a través de sistemes de dues equacions lineals amb dues incògnites.
Expressió de les solucions d'inequacions senzilles amb una incògnita a través d'intervals i semirectes.
Igualtats per expressar funcions senzilles (constants, lineals, afins, quadràtiques i de proporcionalitat inversa) en situacions contextualitzades.
Relació entre les solucions d'equacions (de primer i segon grau) i els zeros de les funcions (lineals, afins i quadràtiques) corresponents, utilitzant tecnologia.
Identificació d'una funció com a relació entre dues variables i estudi de la relació de dependència entre elles.
Relació entre les diferents maneres de representar una funció (verbal, taula, gràfic i expressióAlgebraica).
Estudi i aplicació en contextos de la funció de proporcionalitat inversa: representació i característiques, i comparació amb les funcions estudiades anteriorment.
Estudi i aplicació en contextos de la funció quadràtica i les seves característiques: representació, efecte del coeficient del terme quadràtic en la forma de la paràbola, incidència del terme independent en el gràfic, relació entre els punts de tall i les solucions de l'equació de 2n grau i estudi de la simetria i del vèrtex.
Anàlisi de les propietats de diferents tipus de funcions a partir de la seva gràfica: creixement i decreixement, màxims i mínims, domini i recorregut, simetries…
Ús de recursos digitals i interactius per representar taules i gràfics.
Extracció d'informació d'una funció donada gràficament, mitjançant una taula, una expressióAlgebraica i verbalment.
Abstracció a fi d'identificar els aspectes més rellevants d'una situació matemàtica i avançar cap a la seva modelització.
Creació d'algorismes que utilitzin grups iteratius niats per resoldre problemes aritmètics o estocàstics.
Selecció, determinació i ús reflexiu i eficient de les eines computacionals adequades per analitzar i resoldre problemes.
Ús adequat de programes de geometria dinàmica per treballar els moviments i les transformacions geomètriques.
Processos de testatge, depuració d'errors i de millora successiva d'algorismes, considerant, de manera sistemàtica, tots els casos possibles.
Autoconfiança, persistència, adaptabilitat, flexibilitat, creativitat, col·laboració i gestió constructiva de l’error.
Connexions amb altres matèries i amb l’entorn (CE 6)
L’àlgebra com a eina per resoldre problemes, tant de les mateixes matemàtiques com en altres contextos, es connecta amb moltes disciplines, especialment les de l’àmbit científic. I dins del sentit algebraic, els blocs Model matemàtic i relacions i funcions són especialment rics per les connexions que tenen amb les lleis científiques. El pensament computacional, en particular el desenvolupament de programes informàtics, també permet establir connexions amb camps molt diversos de fora de les matemàtiques. Sempre que en un saber s’esmenti la relació amb situacions contextualitzades, trobarem una possibilitat per establir connexions entre les matemàtiques, la resta de disciplines, l’entorn i, en general, amb el món.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar les connexions externes són, entre d’altres:
- el saber #3.ALG.MM.A i el saber #3.ALG.MM.B, que relacionen els models matemàtics amb situacions en context.
- el saber #3.ALG.ID.E, el saber #3.ALG.ID.F i el saber #3.ALG.ID.H, que relacionen les equacions de segon grau i els sistemes d’equacions lineals amb les situacions contextualitzades.
- el saber #3.ALG.RF.C i el saber #3.ALG.RF.D, que relacionen els models de funcions elementals amb les situacions contextualitzades.
Recursos
Molts dels recursos descrits per treballar diferents sabers del sentit algebraic ofereixen oportunitats per fer connexions externes. Per exemple:
- l’activitat Clepsidra, relacionada amb el saber #3.ALG.MM.A. Trobem dos exemples de com portar a terme aquest projecte amb tots els materials necessaris al blog del professor Sergi del Moral i a la pàgina del professor Carlos Morales.
- una activitat per treballar el saber #3.ALG.MM.B es troba a l’ARC i s’anomena Quant val?, de la professora Jessica Tomàs. Es tracta d’una seqüència d’activitats per treballar els sistemes d’equacions lineals amb dues incògnites. Es treballa la resolució de problemes en un entorn de la vida quotidiana, a partir de tiquets de la compra i s’introdueix la representació i resolució gràfica amb programes de geometria dinàmica.
- per treballar el saber #3.ALG.RF.B, el saber #3.ALG.RF.D i el saber #3.ALG.RF.F, tenim la seqüència d’activitats Taules d’aniversari, patrons i funcions, de la professora Núria Serra. Es tracta d’una adaptació de l’activitat «Pattern and functions» de l’NCTM. La situació de partida és el muntatge de les taules per organitzar una festa d’aniversari.
Totes aquestes activitats contribueixen al desenvolupament de la competència CE 6.
Estudi de diferents tipus de successions, com per exemple, les aritmètiques, les geomètriques o la de Fibonacci. Càlcul del terme general.
Observació de regularitats en diferents contextos matemàtics que permetin extreure conclusions o descobrir propietats.
Ús de les equacions de segon grau com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús dels sistemes d’equacions com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús de les funcions com a models matemàtics.
Ús de recursos digitals o interactius per buscar la funció que modelitzi millor un context.
Anàlisi de les solucions d'un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si s'escau.
Variables que intervenen en la definició del terme general d'una successió.
Variables estadístiques discretes i continues.
Distinció entre identitats i equacions. Identitats notables i factorització d'expressions algebraiques.
Equacions quadràtiques senzilles i incompletes. Resolució d'equacions de segon grau per mètodes geomètrics.
Equacions quadràtiques completes.
Nombre de solucions reals d’una equació de segon grau segons el discriminant.
Resolució de problemes senzills d'equacions quadràtiques contextualitzats.
Problemes en context per introduir sistemes d'equacions lineals. Significat d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i de la seva solució.
Resolució i significat geomètric d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites.
Resolució de problemes contextualitzats a través de sistemes de dues equacions lineals amb dues incògnites.
Expressió de les solucions d'inequacions senzilles amb una incògnita a través d'intervals i semirectes.
Igualtats per expressar funcions senzilles (constants, lineals, afins, quadràtiques i de proporcionalitat inversa) en situacions contextualitzades.
Relació entre les solucions d'equacions (de primer i segon grau) i els zeros de les funcions (lineals, afins i quadràtiques) corresponents, utilitzant tecnologia.
Identificació d'una funció com a relació entre dues variables i estudi de la relació de dependència entre elles.
Relació entre les diferents maneres de representar una funció (verbal, taula, gràfic i expressióAlgebraica).
Estudi i aplicació en contextos de la funció de proporcionalitat inversa: representació i característiques, i comparació amb les funcions estudiades anteriorment.
Estudi i aplicació en contextos de la funció quadràtica i les seves característiques: representació, efecte del coeficient del terme quadràtic en la forma de la paràbola, incidència del terme independent en el gràfic, relació entre els punts de tall i les solucions de l'equació de 2n grau i estudi de la simetria i del vèrtex.
Anàlisi de les propietats de diferents tipus de funcions a partir de la seva gràfica: creixement i decreixement, màxims i mínims, domini i recorregut, simetries…
Ús de recursos digitals i interactius per representar taules i gràfics.
Extracció d'informació d'una funció donada gràficament, mitjançant una taula, una expressióAlgebraica i verbalment.
Abstracció a fi d'identificar els aspectes més rellevants d'una situació matemàtica i avançar cap a la seva modelització.
Creació d'algorismes que utilitzin grups iteratius niats per resoldre problemes aritmètics o estocàstics.
Selecció, determinació i ús reflexiu i eficient de les eines computacionals adequades per analitzar i resoldre problemes.
Ús adequat de programes de geometria dinàmica per treballar els moviments i les transformacions geomètriques.
Processos de testatge, depuració d'errors i de millora successiva d'algorismes, considerant, de manera sistemàtica, tots els casos possibles.
Autoconfiança, persistència, adaptabilitat, flexibilitat, creativitat, col·laboració i gestió constructiva de l’error.
Comunicació i representació (CE 7)
L’àlgebra és un llenguatge que permet expressar de manera general i interpretar sintèticament propietats i relacions numèriques o relacions entre variables per mitjà de fórmules de diferents tipus. Des d’una perspectiva més àmplia és interessant projectar la idea que el llenguatge i les tècniques algebraiques són emprades en tots els àmbits científics i tecnològics.
Si ens centrem en la competència comunicativa (CE 7) és clar que el fet que l’àlgebra esdevingui en si mateix un llenguatge fa que el seu desenvolupament estigui estretament vinculat a aquesta competència. Saber llegir i interpretar expressions algebraiques, models expressats per mitjà de fórmules, igualtats i desigualtats, i funcions elementals, i saber-los utilitzar per expressar situacions i per resoldre problemes lligats a aquestes situacions forma una part essencial de la competència comunicativa entesa com una competència específica de les matemàtiques. Interpretar i emprar el llenguatge algebraic són accions que permeten relacionar el sentit algebraic i la competència comunicativa; però relacionar el llenguatge algebraic amb altres formes de representació també és una idea clau que apareix tant en la idea de model matemàtic com, especialment, en el concepte de funció.
Sabers
Pel caràcter de l’àlgebra com a llenguatge i pel fet que molts dels conceptes que apareixen en el sentit algebraic admeten diferents representacions de manera que una acció clau és la connexió entre aquestes representacions, aquest sentit pot contribuir al desenvolupament de la competència CE 7.
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar la comunicació i la representació són, entre d’altres:
- Tant el saber #3.ALG.PA.A com el saber #3.ALG.PA.B del bloc Patrons ofereixen oportunitats per relacionar representacions diferents, principalment numèriques, geomètriques i algebraiques.
- Els treballs al voltant del saber #3.ALG.MM.A i el saber #3.ALG.MM.B així com el saber #3.ALG.MM.D, proporcionen oportunitats per relacionar diferents representacions d’un model matemàtic determinat (en aquest cas, funcions de segon grau i sistemes de funcions lineals).
- El saber #3.ALG.ID.B, el saber #3.ALG.ID.F i el saber #3.ALG.ID.I, del bloc ’Igualtats i desigualtats, permeten connectar representacions verbals, icòniques, gràfiques i algebraiques.
- La majoria dels sabers del bloc Relacions i funcions contribueixen al desenvolupament de la competència C 7; en particular, el saber #3.ALG.RF.A, el saber #3.ALG.RF.F i el saber #3.ALG.RF.G.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers del sentit algebraic fan referència al procés de comunicació i representació. Per exemple:
- Un recurs per treballar el saber #3.ALG.PA.A és l’activitat Patrons en estructures que podem trobar a les Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria (Aubanell, 2015). El treball d’aquesta activitat porta a connectar diferents representacions: numèrica, geomètrica i algebraica, per tal de descobrir un patró i arribar a expressar-lo algebraicament sense oblidar el significat geomètric i el numèric.
- Per treballar el saber #3.ALG.MM.B, podem plantejar una activitat amb context geomètric com la que es presenta tot seguit. Es tracta d’una adaptació de l’activitat de l’NCTM «Lost in Mathland». La versió Perduts a Matelàndia és més senzilla que l’original i només engloba el treball de sistemes d’equacions lineals amb dues incògnites.
- Pel que fa al recurs associat al saber #3.ALG.ID.F, a l’article de de la Fuente, A. (2022), «Aprender a usar el álgebra en secundaria mediante la resolución de problemas», SUMA, núm. 99, p. 49-60, hi ha una seqüència d’activitats per introduir la resolució de sistemes d’equacions lineals (dues equacions amb dues incògnites). L’inici d’aquesta seqüència consisteix a proposar un problema l’enunciat del qual s’expressa icònicament, de manera que l’alumnat pot intentar resoldre el problema sense conèixer les tècniques per resoldre sistemes, connectant representacions.
- El recurs Petits relats associats a gràfiques de funcions, d’Àlex Sayós, que es troba a l’ARC per treballar tant el saber #3.ALG.RF.A, com el saber #3.ALG.RF.F i el saber #3.ALG.RF.G, proposa fer un seguit d’activitats a partir de quatre relats donats i vuit gràfiques de funcions. L’objectiu principal és relacionar relats quotidians (representacions verbals) amb gràfiques de funcions. Aquesta és una de les diverses activitats d’aquest tipus que condueixen a la connexió entre diverses representacions.
Estudi de diferents tipus de successions, com per exemple, les aritmètiques, les geomètriques o la de Fibonacci. Càlcul del terme general.
Observació de regularitats en diferents contextos matemàtics que permetin extreure conclusions o descobrir propietats.
Ús de les equacions de segon grau com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús dels sistemes d’equacions com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús de les funcions com a models matemàtics.
Ús de recursos digitals o interactius per buscar la funció que modelitzi millor un context.
Anàlisi de les solucions d'un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si s'escau.
Variables que intervenen en la definició del terme general d'una successió.
Variables estadístiques discretes i continues.
Distinció entre identitats i equacions. Identitats notables i factorització d'expressions algebraiques.
Equacions quadràtiques senzilles i incompletes. Resolució d'equacions de segon grau per mètodes geomètrics.
Equacions quadràtiques completes.
Nombre de solucions reals d’una equació de segon grau segons el discriminant.
Resolució de problemes senzills d'equacions quadràtiques contextualitzats.
Problemes en context per introduir sistemes d'equacions lineals. Significat d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i de la seva solució.
Resolució i significat geomètric d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites.
Resolució de problemes contextualitzats a través de sistemes de dues equacions lineals amb dues incògnites.
Expressió de les solucions d'inequacions senzilles amb una incògnita a través d'intervals i semirectes.
Igualtats per expressar funcions senzilles (constants, lineals, afins, quadràtiques i de proporcionalitat inversa) en situacions contextualitzades.
Relació entre les solucions d'equacions (de primer i segon grau) i els zeros de les funcions (lineals, afins i quadràtiques) corresponents, utilitzant tecnologia.
Identificació d'una funció com a relació entre dues variables i estudi de la relació de dependència entre elles.
Relació entre les diferents maneres de representar una funció (verbal, taula, gràfic i expressióAlgebraica).
Estudi i aplicació en contextos de la funció de proporcionalitat inversa: representació i característiques, i comparació amb les funcions estudiades anteriorment.
Estudi i aplicació en contextos de la funció quadràtica i les seves característiques: representació, efecte del coeficient del terme quadràtic en la forma de la paràbola, incidència del terme independent en el gràfic, relació entre els punts de tall i les solucions de l'equació de 2n grau i estudi de la simetria i del vèrtex.
Anàlisi de les propietats de diferents tipus de funcions a partir de la seva gràfica: creixement i decreixement, màxims i mínims, domini i recorregut, simetries…
Ús de recursos digitals i interactius per representar taules i gràfics.
Extracció d'informació d'una funció donada gràficament, mitjançant una taula, una expressióAlgebraica i verbalment.
Abstracció a fi d'identificar els aspectes més rellevants d'una situació matemàtica i avançar cap a la seva modelització.
Creació d'algorismes que utilitzin grups iteratius niats per resoldre problemes aritmètics o estocàstics.
Selecció, determinació i ús reflexiu i eficient de les eines computacionals adequades per analitzar i resoldre problemes.
Ús adequat de programes de geometria dinàmica per treballar els moviments i les transformacions geomètriques.
Processos de testatge, depuració d'errors i de millora successiva d'algorismes, considerant, de manera sistemàtica, tots els casos possibles.
Autoconfiança, persistència, adaptabilitat, flexibilitat, creativitat, col·laboració i gestió constructiva de l’error.
Gestió socioemocional (CE 8 i CE 9)
Tot i que tant a 1r com a 2n d’ESO s’han començat a treballar aspectes rellevants del llenguatge algebraic, com els patrons, els models matemàtics i les equacions, a 3r d’ESO l’àlgebra ja es treballa com un llenguatge propi, tot i mantenir sempre les connexions amb el sentit numèric i el geomètric per tal d’anar dotant de significat tot allò que es fa. Com ja dèiem en els cursos anteriors, és fonamental reconèixer i atendre les dificultats que aquest salt cap a l’abstracció suposa per a part de l’alumnat. Si aquest pas es fa de manera gradual i acollidora, augmentarà l’autoconfiança dels ’alumnes en les seves capacitats matemàtiques, ja que se’ls proporcionaran eines per afrontar la resolució de problemes amb més seguretat i perseverança. Alhora es facilitarà la col·laboració en grup, discutint estratègies matemàtiques i interaccionant de manera positiva amb altres persones.
La descoberta d’un nou llenguatge, la comprensió de les seves aplicacions en situacions reals i la sensació de dominar millor les matemàtiques incrementen la motivació i contribueixen a desenvolupar la identitat matemàtica de l’alumnat. Ara bé, si l’alumnat no comprèn la relació entre aquest llenguatge abstracte i els contextos en què es desenvolupa es pot crear una sensació d’inseguretat que el porti a focalitzar-se en la sintaxi (les regles per a la transformació d’expressions algebraiques) perdent de vista el veritable significat dels conceptes algebraics involucrats (en particular, el concepte de funció i la relació amb l’expressió algebraica corresponent).
La gestió socioemocional està vinculada a dues competències específiques:
- CE 8, relacionada amb el desenvolupament d’habilitats personals com les creences, les actituds i les emocions envers les matemàtiques.
- CE 9, centrada en el desenvolupament d’habilitats socials com el treball en equip i la presa de decisions.
A continuació, s’indiquen alguns aspectes que, treballats des del sentit algebraic, poden contribuir al desenvolupament de les competències CE 8 i CE 9.
Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 8
- Com ja dèiem, tant a 1r d’ESO com a 2n’, l’aprenentatge d’un nou llenguatge és complex i per això és crucial dedicar-hi temps perquè aquest aprenentatge sigui significatiu i sòlid, anant més enllà de la simple utilització dels procediments i les tècniques de transformació d’expressions algebraiques. Aquest procés s’ha de cuidar per evitar que cap alumne quedi enrere o perdi la confiança en les seves habilitats matemàtiques.
- És bo que l’alumnat prengui consciència dels avenços que va fent en l’aprenentatge algebraic i de com aquest coneixement en potencia la capacitat per resoldre problemes i per millorar l’ús del llenguatge matemàtic. Això contribueix al fet que l’alumnat pugui apreciar tant la bellesa com la utilitat de les matemàtiques.
- El saber #3.ALG.PC.F, que aborda aspectes com l’autoconfiança, la persistència, l’adaptabilitat, la flexibilitat, la creativitat, la col·laboració i la gestió constructiva de l’error, està íntimament connectat amb la gestió socioemocional. Es fa un èmfasi especial en els valors relacionats amb la gestió dels errors, una idea que s’aplica transversalment a tot el sentit algebraic i transcendeix l’àmbit específic del pensament computacional.
Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 9
L’àlgebra, com la resta de sentits i les matemàtiques en general, ofereix oportunitats per treballar en equip, ja que promou actituds positives, implicació en la presa de decisions i respecte per les aportacions dels altres, i contribueix a superar qualsevol idea limitant sobre les habilitats pròpies o alienes en matemàtiques.
Diverses activitats del conjunt de recursos exposats en els sabers del sentit algebraic són especialment adequades per ser treballades en petit grup i, fins i tot, amb tot el grup. D’acord amb l’activitat, el professorat podrà decidir una gestió que possibiliti l’alternança entre el treball individual, en parelles, en petit i en gran grup, en què el contrast d’idees, les discussions i els acords siguin un punt clau que guiï l’aprenentatge. A continuació, es destaquen algunes activitats concretes en aquest àmbit:
- Les activitats amb ús de materials, com per exemple l’activitat Fractals que es proposa per treballar el saber #3.ALG.PA.A, són una bona oportunitat per fer un treball en grup col·laboratiu.
- L’activitat Arribar a 200 del professor Don Steward, amb tota una exploració de resultats al web del CREAMAT, porta molt fàcilment a fer participar la classe, amb oportunitats per a tothom, ja que els resultats es van compartint a la pissarra a mesura que van apareixent i cadascú, al seu ritme, aconsegueix trobar el seu patró particular o encert puntual.
- Com en el cas dels cursos anteriors, un recurs exposat pel saber #3.ALG.PC.A correspon a les tasques Bebras. Aquests problemes es poden fer individualment o en petit grup, però convé posar en comú les estratègies de solució i compartir una reflexió sobre les habilitats de pensament computacional.
Estudi de diferents tipus de successions, com per exemple, les aritmètiques, les geomètriques o la de Fibonacci. Càlcul del terme general.
Observació de regularitats en diferents contextos matemàtics que permetin extreure conclusions o descobrir propietats.
Ús de les equacions de segon grau com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús dels sistemes d’equacions com a models matemàtics de situacions contextualitzades.
Ús de les funcions com a models matemàtics.
Ús de recursos digitals o interactius per buscar la funció que modelitzi millor un context.
Anàlisi de les solucions d'un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si s'escau.
Variables que intervenen en la definició del terme general d'una successió.
Variables estadístiques discretes i continues.
Distinció entre identitats i equacions. Identitats notables i factorització d'expressions algebraiques.
Equacions quadràtiques senzilles i incompletes. Resolució d'equacions de segon grau per mètodes geomètrics.
Equacions quadràtiques completes.
Nombre de solucions reals d’una equació de segon grau segons el discriminant.
Resolució de problemes senzills d'equacions quadràtiques contextualitzats.
Problemes en context per introduir sistemes d'equacions lineals. Significat d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i de la seva solució.
Resolució i significat geomètric d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites.
Resolució de problemes contextualitzats a través de sistemes de dues equacions lineals amb dues incògnites.
Expressió de les solucions d'inequacions senzilles amb una incògnita a través d'intervals i semirectes.
Igualtats per expressar funcions senzilles (constants, lineals, afins, quadràtiques i de proporcionalitat inversa) en situacions contextualitzades.
Relació entre les solucions d'equacions (de primer i segon grau) i els zeros de les funcions (lineals, afins i quadràtiques) corresponents, utilitzant tecnologia.
Identificació d'una funció com a relació entre dues variables i estudi de la relació de dependència entre elles.
Relació entre les diferents maneres de representar una funció (verbal, taula, gràfic i expressióAlgebraica).
Estudi i aplicació en contextos de la funció de proporcionalitat inversa: representació i característiques, i comparació amb les funcions estudiades anteriorment.
Estudi i aplicació en contextos de la funció quadràtica i les seves característiques: representació, efecte del coeficient del terme quadràtic en la forma de la paràbola, incidència del terme independent en el gràfic, relació entre els punts de tall i les solucions de l'equació de 2n grau i estudi de la simetria i del vèrtex.
Anàlisi de les propietats de diferents tipus de funcions a partir de la seva gràfica: creixement i decreixement, màxims i mínims, domini i recorregut, simetries…
Ús de recursos digitals i interactius per representar taules i gràfics.
Extracció d'informació d'una funció donada gràficament, mitjançant una taula, una expressióAlgebraica i verbalment.
Abstracció a fi d'identificar els aspectes més rellevants d'una situació matemàtica i avançar cap a la seva modelització.
Creació d'algorismes que utilitzin grups iteratius niats per resoldre problemes aritmètics o estocàstics.
Selecció, determinació i ús reflexiu i eficient de les eines computacionals adequades per analitzar i resoldre problemes.
Ús adequat de programes de geometria dinàmica per treballar els moviments i les transformacions geomètriques.
Processos de testatge, depuració d'errors i de millora successiva d'algorismes, considerant, de manera sistemàtica, tots els casos possibles.
Autoconfiança, persistència, adaptabilitat, flexibilitat, creativitat, col·laboració i gestió constructiva de l’error.