Els sabers d’aquest bloc contribueixen a desenvolupar una comprensió pràctica i aplicable de la proporcionalitat i els percentatges, habilitats fonamentals tant en la vida quotidiana com en l’àmbit acadèmic. A través de càlculs percentuals, la relació amb funcions lineals i la resolució de problemes contextualitzats, l’alumnat aprèn a abordar situacions de manera flexible i crítica. Això es tradueix en l’ús de diverses estratègies, com la reducció a la unitat, les raons, les taules de proporcionalitat o la representació gràfica, que faciliten no només la comprensió de conceptes matemàtics abstractes, sinó també la seva aplicació en la presa de decisions informades i en la interpretació de dades en diversos contextos.
El concepte de proporcionalitat directa és fonamental per a la comprensió de la funció lineal, #ALG.RF, una eina matemàtica que representa situacions de canvi constant entre dues quantitats. Aquest tipus de relacions també són fonamentals en la conversió d’unitats, #MES.MA, en què, sovint, en altres matèries s’utilitzen factors de conversió per traduir mesures d’un sistema a un altre (com ara convertir quilòmetres en milles o grams en quilograms).
En contextos geomètrics, la proporcionalitat s’aplica a través del teorema de Tales, que permet establir relacions proporcionals en figures semblants, #ESP.FG, cosa que resulta útil en problemes en els quals es comparen magnituds. Així mateix, en el camp de la probabilitat, #EST.PI, s’utilitzen raons per expressar i calcular la probabilitat d’esdeveniments.
El saber #2.NUM.RP.A es considera essencial, ja que implica que l’alumnat desenvolupi estratègies variades per calcular percentatges i aplicar la proporcionalitat directa. Això l’ajuda a entendre conceptes com els descomptes, increments i altres situacions reals en què s’utilitzen percentatges, per tal de fomentar una flexibilitat en els mètodes de resolució.
Els sabers #2.NUM.RP.B i #2.NUM.RP.C se centren a comprendre com la proporcionalitat directa s’utilitza per resoldre problemes pràctics, fer repartiments equitatius en situacions variades i com es relaciona amb la funció lineal. Reconèixer que una funció lineal és la representació gràfica de la proporcionalitat directa permet una comprensió més profunda de la linealitat i dels patrons constants.
Càlcul de percentatges i de proporcions utilitzant diferents estratègies.
Relació de la proporcionalitat directa amb la funció lineal.
Resolució de problemes de proporcionalitat directa i repartiments proporcionals directes en diferents situacions i contextos .
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
Una activitat per treballar el saber #2.NUM.RP.A és Som una agència de viatges, que es troba a l’ARC. Es tracta d’una activitat cooperativa que permet treballar la proporcionalitat directa i els percentatges. Es proposa a l’alumnat que simulin que són una agència de viatges i treballin en equip per calcular el cost total d’un viatge a París. Per fer-ho, han de determinar el preu de la benzina, de l’allotjament i de les entrades a la Torre Eiffel, tenint en compte els diferents clients que volen adquirir aquest paquet de viatge.
El problema de l’ARC Anem a fer llimonada, creat per Lluís Mora, proporciona un context clar per investigar fraccions, raons i proporcions, relacionat amb el saber #2.NUM.RP.A.
A l’aula es mostra una imatge amb una barreja d’aigua (blau) i llimona (groc), en què cada quadrat representa 100 ml. Es planteja a l’alumnat la pregunta: «quina de les dues barreges té més gust de llimona? Com ho saps?».
Després de treballar aquest cas inicial, l’alumnat, en parelles, haurà de decidir, dins d’un grup de llimonades de les quals se’n coneix la proporció, quina té més gust de llimona. Utilitzant diferents tipus de nombres —fraccions, decimals i percentatges— podran justificar quina és la més intensa. Com a extensió de l’activitat, es poden introduir els preus de les llimonades per fer-ne una anàlisi més completa.
El problema Mixing Lemonade de NRICH és una activitat similar que inclou un applet interactiu que permet comparar diferents barreges perquè l’alumnat decideixi quina té més concentració de llimona. Aquesta interactivitat facilita el desenvolupament d’estratègies per comparar fraccions, percentatges o proporcions, cosa que permet a l’alumnat pensar quines són les més útils segons cada cas.
Per continuar amb el problema, es pot explorar què passa quan es barregen dos gots de llimonada amb diferents concentracions. La barreja resultant és més suau que la més forta, però més intensa que la més suau? Si es prova amb altres combinacions, la intensitat de la barreja combinada queda sempre entre les intensitats de les originals? Podeu justificar-ho?
Per treballar el saber #2.NUM.RP.B es poden fer mesures de diferents longituds i relacionar-les amb una constant de proporcionalitat. Per exemple, es pot mesurar la longitud de les ombres en funció de l’alçada de l’objecte i comprovar que la relació és directa. Això genera un valor constant de proporcionalitat. L’alumnat pot dibuixar el gràfic d’aquestes dades i observar que la seva representació és una línia recta.
Es poden plantejar diferents situacions perquè l’alumnat treballi amb dues magnituds directament proporcionals. Per exemple:
A continuació es presenten dos reptes per treballar el saber #2.NUM.RP.C. Els reptes formen part de l’activitat que es presenta a continuació:
Mesures de l’univers
Com sabem, l’Univers és immensament gran (o nosaltres molt petits). Dins l’Univers, nosaltres ens trobem en el sistema solar.
Repte 1: Podeu encongir tot el sistema solar de manera que hi càpiga en el nostre pati?
Cal que representeu proporcionalment les distàncies del sistema solar al pati del centre. Els vostres companys seran els planetes.
· Indicacions:
1r: Mesureu la distància de l’espai de què disposeu per tal de representar el sistema solar. Aquesta distància us donarà la relació de referència: serà la distància del Sol fins a Neptú, que és l’astre més llunyà.
2n: Feu els càlculs corresponents per saber on aniran situats la resta de planetes (podeu utilitzar les graelles del final de l’activitat).
3r: Situeu una persona al lloc on aniria cadascun dels planetes.
Repte 2: Jo us dono la Terra; ara, busqueu planetes del sistema solar!
Us donarem una pilota que representarà la Terra. Haureu de trobar, entre les altres pilotes, dues que puguin representar planetes del sistema solar: un més petit que la Terra i un altre de més gran.
· Indicacions:
1r: Mesureu el perímetre de la vostra Terra. Aquesta serà la relació de referència per poder calcular la resta de perímetres.
2n: Feu els càlculs corresponents per saber quin hauria de ser el perímetre de la resta de planetes del sistema solar coneixent el de la Terra.
3r: D’entre les pilotes disponibles, trobeu les que més s’ajustin a dues de les mesures calculades (una de més gran i una altra de més petita).
Font: Elaboració pròpia
Graella amb les dades:
| Astre | Distància al Sol (km) | Distància prop | Perímetre (km) | Perímetre prop |
| Mercuri | 58.000.000 | 15.394 | ||
| Venus | 108.000.000 | 37.699 | ||
| Terra | 150.000.000 | 39.898 | ||
| Mart | 228.000.000 | 21.363 | ||
| Júpiter | 778.000.000 | 449.249 | ||
| Saturn | 1.430.000.000 | 380.134 | ||
| Urà | 2.870.000.000 | 160.222 | ||
| Neptú | 4.500.000.000 | 153.938 |
Referent al saber #2.NUM.RP.C, al blog del Calaix +ie es mostra com treballar El problema dels pastors i els pans, plantejat en el llibre L’home que calculava de Malba Tahan (Tahan, M., 1949).
L’enunciat és el següent:
Un pastor té 5 pans i un altre en té 3. Al migdia es troben amb un caçador que no porta menjar i, entre els tres, es reparteixen els pans a parts iguals. Al moment d’acomiadar-se, el caçador els dona 8 monedes. Com se les han de repartir?
A l’aula recomanaria, abans de posar-se a resoldre el problema, iniciar una discussió. Fins i tot fer alguna votació sobre els possibles repartiments. Hi haurà alumnat que defensarà que se les reparteixin en parts iguals (que seria la “divisió perfecta” de Beremiz), altres diran que 5 i 3 amb correspondència als pans que es tenien (la “divisió senzilla” de Beremiz). Però solen sortir altres alternatives. Al cap i a la fi, si tots dos pastors es posen d’acord, qualsevol repartiment pot considerar-se correcte. És un bon moment per discutir sobre si el que és correcte és sempre del tot just. I sobre què vol dir just. Podem conduir el debat a investigar, si més no, què vol dir matemàticament just o proporcionalment just. I a parlar de repartiment proporcional que, com veurem i d’aquí la gràcia del problema, no és cap dels proposats fins ara. Ens falta la «divisió correcta» de Beremiz.
Una segona recomanació és fer investigar el problema amb material. Unes tires de paper de dos colors diferents (per separar visualment els pans de cada pastor), que es puguin tallar com els pans, i unes fitxes per representar les monedes poden ser suficients.
Font: Blog del Calaix +ie
Si repartim les 8 monedes:
Una altra manera d’arribar al mateix resultat és representant la situació en una taula:
La clau de la repartició és considerar que els pastors també mengen pa i que el repartiment de monedes depèn de la quantitat de pa que cadascun ha cedit al caçador.
Pot ser interessant representar la situació anterior mitjançant fraccions, ja que implica dividir els pans en trossos i calcular les proporcions relacionades amb els diners. Si es pregunta quina part de pa, en fraccions, ha menjat cadascun dels protagonistes, alguns alumnes poden respondre amb 8/24, utilitzant com a denominador la quantitat total de trossos, en lloc de 8/3, que fa servir com a denominador la mida de cada tros individual.
En el mateix Blog del Calaix +ie s’expliquen diferents maneres d’estirar el problema fins on interessi.
Una manera de treballar els repartiments proporcionals, segons el saber #2.NUM.RP.C, és mitjançant l’ús de diagrames, com es presenta en el Proyecto Newton. La utilització de diagrames facilita a l’alumnat una comprensió més clara de la informació.
Per exemple A la Paula i la Sara els toca la loteria:
La Paula i la Sara compren loteria conjuntament amb una despesa total de 80 €. La Paula hi aporta 32 €, i la Sara la resta. El dia del sorteig, obtenen un premi de 48.000 €, que es reparteixen proporcionalment als diners que van posar. Quina quantitat de diners s’emporta cadascuna?
Les dades es resumeixen en un diagrama per ajudar en el càlcul, en què les fraccions que cal col·locar són les irreductibles.
A més, la Paula decideix repartir una part del seu premi: a la família els dona dues sisenes parts, als amics una cinquena part i la resta se la queda per a ella. La Sara també reparteix el seu premi: a la família els dona tres desenes parts, als amics una quarta part i la resta se la queda.
A partir d’aquest enunciat, l’alumnat pot crear els diagrames corresponents:
I respondre diferents preguntes, com ara:
Aquestes preguntes permeten treballar la proporcionalitat i les fraccions aplicades en contextos reals, i així promoure una comprensió profunda del repartiment proporcional.
Per treballar el repartiment proporcional en contextos reals, saber #2.NUM.RP.C, es poden utilitzar les múltiples eleccions que es fan al país. Aquestes són una bona oportunitat per analitzar el repartiment d’escons, tenint en compte que les persones no es poden fraccionar i que les solucions han de ser nombres enters. A més, es poden abordar altres qüestions relacionades, com el cost d’un escó segons les diferents demarcacions electorals.
Una altra activitat per treballar percentatges i canvis de divises, dins del saber #2.NUM.RP.C, és l’activitat de Lluís Mora anomenada Monedes. Explora les monedes i bitllets d’euro en circulació i el seu valor, relacionant-ho amb els nombres decimals i els percentatges. L’activitat es complementa amb l’intercanvi d’euros per altres monedes, com la lliura esterlina.
Llicenciat sota la Llicència Creative Commons Reconeixement CompartirIgual 4.0