Sabers
Pel que fa al saber #1.ALG.ID.A, convé posar atenció en el camí que segueix l’alumnat per anar familiaritzant-se amb les expressions algebraiques, que contenen quantitats indeterminades. En l’aprenentatge de qualsevol llenguatge, allò que per a la persona habituada és senzill pot ser molt complicat per a la persona que s’hi està iniciant. Passa el mateix en l’aproximació al llenguatge algebraic: allò que pot semblar un pas trivial pot ser un salt difícil per a l’alumnat no habituat. Convé dedicar-hi temps per tal que l’aprenentatge resulti significatiu i sòlid, més enllà de simples mecàniques. Tenir cura d’aquests primers passos en l’àlgebra evitarà bloquejos i facilitarà aprenentatges posteriors, per exemple, en la traducció d’enunciats de problemes. Serà interessant fer la traducció de petites frases a expressions simbòliques i també a l‘inrevés: donada una expressió simbòlica senzilla, inventar una petita «història» que correspongui a l’expressió. El càlcul del valor numèric d’aquestes expressions per a uns valors concrets de les indeterminades va més enllà d’un simple exercici de substitució, ja que transmet la idea que una expressió algebraica és un patró, si es vol un petit model matemàtic, que correspon a infinites expressions aritmètiques.
El saber #1.ALG.ID.B es refereix a transformacions elementals com sumar i restar termes semblants o desfer parèntesis aplicant la propietat distributiva en casos senzills. Serà útil basar-se en els procediments de transformació d’expressions numèriques ( #1.NUM.SO.A) i cercar el suport de petites situacions contextualitzades que donin sentit a les expressions simbòliques i permetin il·lustrar el significat de les transformacions que s’hi fan.
El saber #1.ALG.ID.C fa un pas més tot referint-se a expressions (amb paraules o amb símbols) que incorporen una condició d’igualtat i que proposen cercar el valor que ha de tenir la quantitat desconeguda per tal que es compleixi aquesta condició. Representa l’inici de la idea d’equació que queda formalitzada en el saber #1.ALG.ID.D. En aquest context la indeterminada ja representa una quantitat que es vol calcular i que anomenem «incògnita» ( #1.ALG.VA.B).
El treball entorn del saber #1.ALG.ID.E s’hauria de fer amb equacions molt senzilles (ax=b, ax+b=c…), emprant diversos símbols per a la incògnita, no necessàriament sempre la x. El mot «tempteig» és una invitació a l’exploració que, portada a terme per l’alumnat a partir de l’ús amb sentit de les operacions aritmètiques ( #1.NUM.SO.B), a poc a poc anirà fent possible la descoberta de regularitats que es posaran en comú. Així s’establiran, amb sentit, peces conceptuals bàsiques en la resolució d’equacions que després s’aplicaran per tal de treballar el saber #1.ALG.ID.F, un treball que convé fer amb calma, mesurant curosament els salts de dificultat, des de la idea que s’estan posant els fonaments d’una eina algebraica potentíssima que ha de tenir significat i que no s’ha de convertir prematurament en un conjunt de regles de manipulació formal. La comprovació de solucions, el saber #1.ALG.ID.G, és un pas natural per concloure els processos de resolució tant pel fet de subratllar l’objectiu de tot el procés com perquè, per a l’alumnat, és un mecanisme d’autoregulació.
El saber #1.ALG.ID.H és un saber essencial perquè dona joc als sabers anteriors i els posa al servei de l’exploració de situacions contextualitzades a través de la resolució de petits problemes que caldrà que l’alumnat pugui treballar amb calma, comentant-ne els passos, compartint idees, valorant estratègies… S’haurà d’atendre la interpretació de l’enunciat, la seva traducció a una expressió algebraica de la condició que aquest exposa (una expressió que actua com a model matemàtic de la situació plantejada), la mateixa resolució de l’equació, la comprovació del resultat i la valoració de la plausibilitat d’aquest resultat en el context del problema. Per a aquest treball seria bo proposar problemes amb enunciats que posin en marxa l’interès; que permetin abordatges diversos i, per tant, convidin al diàleg; que en la resolució de l’equació no s’oblidi el sentit dels símbols; que fugin de l’aplicació de receptes, i que no perdin de vista el context.
En relació amb el saber #1.ALG.ID.H, cal tenir en compte el tema dels contextos. Puig Adam, en el seu decàleg (1960), diu: No oblidar l’origen concret de les matemàtiques i els processos històrics de la seva evolució. Uns anys abans, Lobachevski (1792-1856) havia afirmat: No hi ha cap branca de les matemàtiques, per abstracta que sigui, que no es pugui aplicar algun dia a l’estudi dels fenòmens del món real. Totes dues cites, des de punts de vista ben diferents, apel·len a la relació entre les matemàtiques i els diferents contextos.
Rellevància i tipologia dels contextos
En l’ensenyament de les matemàtiques, les característiques de les activitats d’aprenentatge són un punt clau. Si aquestes activitats tenen com a objectiu la construcció de sabers matemàtics de naturalesa abstracta, cal partir de concrecions d’aquests sabers. D’altra banda, si el que es vol és mostrar les diferents utilitats de les matemàtiques i aplicar-les per resoldre problemes diversos, també cal concretar aquells contextos en què és possible i té sentit aplicar les matemàtiques del currículum. És precisament en l’aplicació de sabers a contextos diferents on es manifesta una part important de la competència matemàtica.
Per tant, en el procés d’aprenentatge matemàtic hi ha almenys dos moments en què els contextos són rellevants:
- En l’inici del procés, d’una banda per interessar a l’alumnat, creant reptes que vulgui intentar resoldre, i, de l’altra, per proporcionar-li un suport concret i significatiu per construir nou coneixement.
- En la part final del procés, per mostrar que les matemàtiques són útils per analitzar i resoldre situacions d’àmbits molt diversos i, al mateix temps, per consolidar i aplicar els aprenentatges duts a terme.
Per tal d’aportar orientacions sobre quins contextos poden ser els més adequats per introduir a les classes de matemàtiques, pensem que cal anar més enllà de les classificacions generals com els anomenats contextos quotidians o contextos reals, expressions que semblen incloure tot allò que no és directament matemàtic, ja que, si no precisem una mica, podria semblar que tot context no matemàtic pot ser adequat. Presentem, sense ànim d’exhaustivitat, una tipologia de contextos:
- Context proper a l’alumne. Interessos, vivències i necessitats dels alumnes. Són aquelles situacions que interessen a l’alumnat perquè els afecten directament. S’inclouen aquí les situacions en què es reclama a l’alumne una participació directa i vivencial (teatralitzacions, jocs de rol...) i també les experimentacions a partir de materials manipulatius. Aquest context se situa, majoritàriament, en la part introductòria del procés d’aprenentatge.
- Context quotidià. Entorn social, local, laboral i cultural proper a l’alumnat. Són situacions que es poden comprendre per la proximitat i, per aquest motiu, és important analitzar-les i conèixer-les emprant les matemàtiques. Són especialment adequades aquelles que, a més de socialment rellevants, s’han produït en un moment proper al del treball a classe (eleccions, fenòmens apareguts en mitjans de comunicació, actes culturals, esportius...).
- Context històric. Molts dels sabers del currículum de l‘ESO es van crear fa molts segles per resoldre problemes que tenen sentit quan s’emmarquen en l’època en què es van desenvolupar. Utilitzar aquests problemes i les solucions originals pot servir per donar sentit als sabers involucrats, veure’n l’origen i també conèixer altres maneres de fer matemàtiques d’acord amb els coneixements del seu temps.
- Context lúdic. Les recreacions matemàtiques, els reptes i els jocs són un context molt extens que es pot relacionar amb la majoria de sabers matemàtics. Tot i que podria entrar dins del context quotidià (jugar és una activitat humana rellevant i adequada per a l’adolescència), és molt ampli i permet dissenyar activitats de durada molt diversa. La idea de repte i l’interès intrínsec de moltes recreacions i jocs és un dels punts clau de la rellevància d’aquest context.
- Context científic i tecnològic. Les relacions entre les diferents ciències experimentals, ciències de la salut i la tecnologia amb les matemàtiques són moltes i, per tant, els contextos científics poden ser apropiats tant per construir conceptes matemàtics i comparar-los amb els seus equivalents en altres ciències, com també per aplicar sabers matemàtics ja construïts. Cal tenir en compte que tant aquest context com els dos següents tenen relació amb altres matèries del currículum, per la qual cosa és adequat introduir-los d’acord amb el treball realitzat en les matèries relacionades.
- Context social. Moltes problemàtiques de les ciències socials (geografia, història, economia...) i del món d’avui dia (desigualtats, guerres, pandèmies, canvi climàtic...) necessiten les matemàtiques per ser analitzades i, al mateix temps, ajuden a donar sentit a molts sabers, especialment el sentit estocàstic.
- Context humanístic. L’art, la fotografia, la música, la literatura i la resta de disciplines dites humanístiques comparteixen totes elles relaci
