Goniòmetres per a treballs de camp

Aquesta activitat, del professor Anton Aubanell, i que podem trobar a l’ARC, és una bona proposta per treballar el saber #3.MES.ME.A. La construcció artesana de goniòmetres i clinòmetres aportarà al nostre alumnat coneixement matemàtic, i servirà com a recurs per a l’obtenció de mesures directes. Cal tenir en compte els problemes de precisió que poden donar aquests aparells; i és per això que per tal de minimitzar els errors de les dades obtingudes caldrà fer-ne moltes observacions, i treballar amb la mitjana d’aquestes, per exemple. També serà interessant proposar diferents experiències amb situacions on calgui prendre mesures angulars: angles d’elevació i depressió, mesures fetes respecte de l’horitzontal, angles diedres, etc.

Un repte seria mesurar els angles que formen dues cares qualssevol d’un políedre.

Arquimedes a través d’una taronja

L’àrea d’una esfera és 4𝜋r² on r és el seu radi. La següent activitat d’experimentació, que podem trobar a l’ARC, pretén que l’alumnat dedueixi aquesta relació a partir d’una taronja i la quantitat de pela que té.

S’agafen taronges força esfèriques i es dona una a cada grup de tres alumnes. Es talla la taronja per la meitat, assegurant que el tall fet pel ganivet és el cercle més gran, és a dir, que divideix la taronja en dos hemisferis aproximadament iguals. Es col·loca una de les meitats, costat humit cap per avall, sobre un full de paper DIN-A3 i prement s’estampa el cercle diverses vegades (almenys 5).

Tot seguit, cal fer una estimació. Es demana a l’alumnat que si pelen la taronja sencera, quants dels cercles estampats podran omplir amb la pela de la seva taronja.

Tenint en compte que cada cercle estampat té per àrea \(\pi r^2\) on r és el seu radi, l’àrea de l’esfera ha ocupat quatre cercles d’aquests. Per tant, l’activitat ha provocat la descoberta!

Volums amb aigua

Dins de la campanya de Laboratori de matemàtiques del CREAMAT, trobem l’apartat dels Volums amb aigua. Hi trobarem diferents activitats d’experimentació perquè l’alumnat pugui treballar el saber #3.MES.ME.B. Algunes de les propostes, les quatre primeres, s’han pogut veure en cursos anteriors. En cas contrari, es poden fer també a 3r d’ESO.

Quantes vegades hi cabrà la piràmide dins del prisma amb igual base i altura? La resposta a aquesta pregunta no és fàcil si utilitzem el llenguatge algebraic per respondre-la. Hem de tenir present que no tot el nostre alumnat té el mateix nivell de maduresa ni d’abstracció perquè el llenguatge algebraic li sigui amable. Amb tot, l’experimentació a partir del transvasament de líquids d’un objecte a l’altre permetrà trobar relacions entre els seus volums.

És important que no ens avancem a les descobertes. Deixar que l’alumnat manipuli els objectes i observi les relacions que apareixen ajuda al seu procés de deducció i raonament. Per tal de refermar les propietats trobades poden utilitzar les aplicacions fetes en GeoGebra que s’adjunten en la mateixa pàgina del CREAMAT.

Tot seguit s’utilitza el mateix procediment per trobar relacions entre els volums de l’esfera, el cilindre i el con. Els tres objectes de metacrilat tenen el mateix radi, i l’altura del con i el cilindre és igual al diàmetre de l’esfera.

L’alumnat deduirà que:

Volum de l’esfera + Volum del con = Volum del cilindre

3 Volum del con = Volum del cilindre

Volum d’una esfera = 2 Volum del con

A més a més, en cas que es vulgui anar més enllà es pot emprar el principi de Cavalieri per demostrar la igualtat entre els volums de l’esfera, el con i el cilindre. Els programes de geometria dinàmica ajuden en aquests casos a la visualització i comprensió del principi.

El professor Raül Fernández i la professora Paula López van enregistrar un vídeo per al CREAMAT en què es recullen diverses activitats relacionades amb aquest material.

Recomanem al professorat que el visualitzin per tal de tenir en compte alguns aspectes relacionats amb la preparació i la gestió de les activitats.

Un cilindre i un con

El problema següent, aparegut en el Calendari matemàtic de la SEMCV, els dies 11 i 12 de setembre de 2024, és un bon exemple per treballar el saber #3.MES.ME.B. L’objecte està format a partir d’un cilindre i un con, amb un volum d’aigua a dins. Sabent a l’altura que arriba l’aigua quan l’objecte està col·locat amb el vèrtex del con cap per avall, es vol conèixer a quina altura arriba el líquid quan es capgira l’objecte.

Els programes de geometria dinàmica permeten calcular el volum d’alguns cossos, entre els quals cons i cilindres. L’experimentació amb aquests programes poden ajudar l’alumnat a interpretar els problemes i cercar-ne possibles solucions. La imatge següent correspon a una construcció feta amb GeoGebra que simula les dades del problema inicial. Modificant l’altura a la qual arriba el líquid s’obté el volum.

Treballem amb DIN’s

La professora Clara García i els seus grups de 3r d’ESO de La Salle Bonanova es van preguntar quin DIN havien de construir perquè hi cabés tota la promoció. Arran d’aquesta activitat d’experimentació van concursar al vídeoMAT amb el següent vídeo:

La proposta amb una pregunta estretament lligada al sentit de la mesura té moltes connexions amb el sentit numèric (raonament proporcional, nombres irracionals, potències, operacions amb nombres decimals, percentatges) i amb el sentit espacial (semblança).

També es pot començar donant a cada grup de tres alumnes un DIN-A4 i un DIN-A3, i demanar que els observin i anotin totes les relacions que hi troben. Fàcilment deduiran que l’àrea del DIN-A3 és el doble que l’àrea del DIN-A4. Si comparen els seus costats, veuran que el costat llarg del DIN-A4 correspon al costat curt del DIN-A3, i que el costat llarg del DIN-A3 és justament el doble del costat curt del DIN-A4.

Si dobleguem el DIN-A4 per la diagonal d’un quadrat de costat el petit del DIN-A4, aquesta diagonal mesura exactament el mateix que el costat llarg del DIN-A4 i, per tant, és el costat curt del DIN-A3.

El treball permetrà l’alumnat observar que els perímetres creixen amb una raó de \(k=\sqrt{2}\) i, per tant, les àrees creixen amb una raó de \(k^2=2\).

Continuant amb la construcció s’arribarà a un DIN-A0, un rectangle de costats en raó \(\sqrt{2}\) que té per àrea un metre quadrat. Aquest és un moment brillant de l’activitat, ja que precisament en el DIN-A0 tenim la unitat de mesura d’àrea, el metre quadrat.

El procés de construcció a terra utilitzant cintes de colors per marcar els perímetres també aporta coneixement a l’alumnat. Vegem-ne algunes imatges que mostren aquest procés:

Font: Laboratori de matemàtiques de La Salle Bonanova

Autor: Manel Martínez

Tot seguit adjuntem la fitxa de l’activitat que va preparar el professor Manel Martínez per treballar amb els DINs.

Un cop feta l’activitat, podríem proposar al nostre alumnat la següent pregunta:

Us heu fixat mai en la pantalla de la fotocopiadora i la informació que posa en el seu menú per fer ampliacions o reduccions? Podeu explicar per què apareixen els percentatges 200 %, 141 % i 70 % ?

La semblança en una, dues i tres dimensions

Al MMACA podem trobar un seguit de mòduls sota el nom Longitud, àrea i volum.

En el primer mòdul se’ns planteja comparar la longitud de tres circumferències, de manera que el diàmetre d’una és la suma dels diàmetres de les altres dues, essent aquestes últimes iguals, tal com es veu a l’esquerra de la imatge.

Així doncs, què té més longitud: la circumferència gran o la suma de les dues petites?

És important permetre que l’alumnat faci les seves pròpies conjectures. Podrien pensar que recórrer el camí sinuós format pel perímetre de les dues circumferències petites és més llarg que seguir directament la circumferència gran.

Amb un cordill, però, podem comprovar que els recorreguts són exactament igual de llargs.

I si les dues circumferències petites no fossin iguals, però la suma dels seus diàmetres continués sent igual al diàmetre de la circumferència gran?

Cal fomentar en l’alumnat l’hàbit de fer-se preguntes, ja que aquestes són el punt de partida de nous reptes i problemes. L’ús de material manipulatiu, com ara el cordill, els permetrà visualitzar que la propietat es manté: el perímetre de la circumferència gran és igual a la suma dels perímetres de les dues petites.

En cas de no tenir material manipulatiu, el problema es pot atacar fàcilment amb GeoGebra. Recomanem que els alumnes facin la construcció de manera no guiada pel docent. En principi, si no tenen gaire experiència amb el programa es pot fer que treballin en parelles. La mateixa construcció mobilitzarà certes competències específiques i formarà part de la resolució del problema en si. Fins i tot, en una mateixa construcció poden mostrar-se juntes les dues propostes anteriors.

En l’aplicació enllaçada podem modificar la mida de les circumferències petites movent el punt de tangència.

Ara bé, quines altres preguntes ens podríem fer a partir d’aquest problema? Deixem que l’alumnat mostri la seva creativitat.

Passaria el mateix si en lloc de dues, fossin tres circumferències petites? O quatre?…

Podem optar per veure si els grups poden demostrar aquesta propietat. Hem de tenir en compte que segurament no tothom arribarà a la demostració, però això no ha de ser un impediment perquè suposi un bon repte per als qui realment estiguin preparats.

En el mòdul següent, es presenten tres tubs. Un amb un diàmetre gran, i dos de petits iguals, de manera que la suma dels seus diàmetres dona el diàmetre del gran. És a dir, una situació similar a la del primer cas. Ara la pregunta és per on creiem que passarà més aire, si pel tub gran o pels dos petits.

Si s’ha fet l’experiència anterior, la tendència és dir que passarà la mateixa quantitat d’aire. Però es poden introduir els dos petits dins del gran i es veu que encara queda espai entremig.

La manipulació del material permet que sigui el mateix alumnat qui faci aquests raonaments. Cal ser curosos i no avançar-nos a l’hora de fer observacions. És preferible que siguin els alumnes que arribin a fer les descobertes.

Ara bé, quantes vegades la secció del tub gran és més gran que la del petit?

Posant les seccions dels tubs de la manera que s’observa en la imatge anterior, queden quatre zones limitades. Utilitzant cigrons, l’alumnat s’adonarà que les quatre zones tenen la mateixa àrea, i per tant podrà concloure que l’àrea de la secció de tub gran és quatre vegades l’àrea de la secció del tub petit.

La raó entre els diàmetres del tub gran i el petit és 2, mentre que la raó entre les seves superfícies és 4.

El darrer mòdul té una balança i uns cilindres de fusta, tots de la mateixa altura. Un d’ells té per diàmetre el doble que els altres. Quants cilindres petits necessitem per equilibrar el pes del cilindre gran? Amb aquesta pregunta es pot validar si s’ha assolit la descoberta feta en el mòdul anterior, ja que, naturalment, en caldran quatre.

Ara bé, què succeirà si en lloc de cilindres tenim esferes massisses, una d’elles amb el radi el doble de gran que les altres? Quantes en necessitarem de les petites per equilibrar el pes de la gran?

De la mateixa manera que amb els casos anteriors, cal deixar que l’alumnat faci les seves conjectures. La manipulació els portarà a concloure que en calen 8.

La raó entre els diàmetres d’una esfera gran i una de petita és 2, mentre que la raó entre els seus volums és 8.

Amb aquestes activitats es treballa amb profunditat el saber #3.MES.ME.C i des de l’experimentació s’arriba a la descoberta, i posteriorment formalització, que si la raó de semblança o escala entre dues figures és 1:K, llavors la raó entre tots els elements longitudinals és també 1:K. La raó entre les superfícies és 1:K² i la raó entre els volums és 1:K³.

En la pàgina web del MMACA trobem tota l’activitat detallada i, a més a més, enllacem l’article Longitud, àrea i volum (Aubanell, 2017c, pàg. 111-115) que el professor Anton Aubanell va publicar a la revista NouBiaix.

Tres quarts de llum

La fotografia matemàtica és un magnífic recurs per poder representar idees, conceptes i propietats matemàtiques. En el cas que es presenta, l’alumne Augusto Castelló va fotografiar un problema. Quina fracció de llum queda representada? La solució a aquest problema acabarà donant nom a la fotografia. La imatge ens proporciona un context per fer-nos preguntes. L’ús de fotografies matemàtiques a l’aula i la realització per part de l’alumnat educarà la seva mirada matemàtica, i alhora serà motor de nous problemes.

Deduir com l’Augusto va arribar a la conclusió que hi havia tres quarts de llum està relacionat amb treballar el saber #3.MES.ME.C. Tenim l’opció de presentar la imatge sense dir el títol, fer que l’alumnat es plantegi preguntes i, en cas que no surti res, plantejar nosaltres quina part del total el cercle gran queda il·luminat. O també podem presentar la fotografia amb el títol i demanar la raó justificada de per què es diu així.

Sovint la fotografia matemàtica pot esdevenir un recurs complementari amb el GeoGebra. En aquest cas es pot suggerir una activitat de comprovació que permeti validar el títol de la mateixa fotografia. La determinació dels centres de les circumferències i les construccions d’aquestes són un bon recurs per establir connexions amb el sentit espacial. A més a més, facilita al nostre alumnat una eina per poder validar les seves pròpies conjectures.

Qüestions relatives al volum de cilindres

El professor Don Steward, a la seva pàgina web, proposa un conjunt d’activitats relacionades amb el volum dels cilindres. Aquestes activitats tenen una entrada accessible, ja que comencen recordant quines dimensions intervenen en el seu càlcul i després les apliquen a situacions reals.

D’entre totes les activitats, en volem destacar dues de relacionades amb el saber que tractem aquí:

Estudiar com es comporta el volum dels cilindres quan doblem les seves dimensions (tant el diàmetre com l’altura).

I quina és la raó entre els volums quan dupliquem el diàmetre, però reduïm a la meitat l’altura? Les propostes les podem trobar en forma de presentació en la mateixa web o en la següent versió traduïda.

El plàtan d’en pere fi

Les històries i representacions creatives ofereixen una eina poderosa per explorar conceptes matemàtics d’una manera atractiva i significativa. El recurs El plàtan d’en Pere Fi, ideat per Josep Lluís Cañadilla, aprofita aquesta estratègia per plantejar un problema fascinant que combina narrativa i matemàtiques. Aquesta petita història permet a l’alumnat investigar com les relacions entre les longituds de figures semblants afecten magnituds com el volum i, en aquest cas, la massa de la fruita gegant que es descriu a la història.

L’activitat se centra en el saber #3.MES.ME.C, essencial en el desenvolupament del pensament geomètric. Així, s’evidencia que si la longitud d’un objecte es multiplica per un factor determinat, la superfície augmenta amb el quadrat d’aquest factor i el volum amb el cub. Aquesta connexió és fonamental per entendre també la relació amb altres propietats físiques, com la massa, que depèn directament del volum i de la densitat.

A més, aquesta proposta s’emmarca en un context lúdic que fomenta la curiositat i el pensament crític, fent servir una història que connecta amb l’imaginari col·lectiu dels contes i narracions, com les aventures de Gulliver o personatges de pel·lícules amb proporcions desmesurades. Aquest tipus de recursos no només desperten l’interès sinó que també permeten fer connexions transversals entre les matemàtiques i altres disciplines, com les ciències naturals, les quals ajuden l’alumnat a construir un coneixement més integrat.

Una proposta interessant per intentar anar més enllà en el recurs proposat és analitzar altres històries de ciència-ficció (dibuixos animats, pel·lícules, contes…) i cercar altres relacions entre magnituds similars a les proposades en el text inicial.

Una tessel·lació amb triangles

La proposta didàctica Una tessel·lació amb triangles es basa en l’aplicació GeoGebra Tes Triangles de Manel Martínez.

És recomanable que l’alumnat treballi en grups de 2 o 3 persones per fomentar el diàleg matemàtic i enriquir les observacions. L’activitat es desenvolupa al voltant del mètode Notice and Wonder (Què observes i quines preguntes et venen al cap?), que convida els alumnes a explorar lliurement el recurs abans d’obrir un espai per compartir idees. Molt probablement, es podran donar les següents observacions (agrupades per nivells):

Observacions inicials

L’alumnat identificarà primer aspectes més evidents:

• És una tessel·lació del pla amb triangles.
• Els punts vermells modifiquen la forma dels triangles.
• El lliscant «escala de longitud» canvia la mida del triangle blau.

Aquestes primeres observacions són la base per avançar en l’anàlisi.

Nivells d’aprofundiment

Un segon nivell d’observacions pot incloure:

• La suma dels angles d’un triangle és sempre 180°.
• Tot triangle pot tessel·lar el pla.
• A mesura que es modifica l’escala de longitud, el nombre total de petits triangles segueix una relació quadràtica amb aquest factor.

Observacions avançades

Els alumnes més atents poden descobrir patrons més complexos, com ara:

• Els triangles orientats en una direcció segueixen la suma \(1 + 2 + ⋯ + k\).
• Els triangles orientats en la direcció oposada segueixen \(1 + 2 + ⋯ + (k−1)\).
  Aquests dos patrons reflecteixen la suma de nombres naturals consecutius.

Finalment, el recompte total per files mostra una seqüència de nombres imparells: \(1, 3, 5,\ldots…, 2k−1\). Aquesta relació ens porta a una connexió visual entre la suma de nombres imparells i el quadrat del factor d’escala: \(k^2\).

Connexions i reflexió

L’activitat permet treballar el saber essencial sobre l’ús de la relació entre longituds, superfícies i volums per resoldre problemes, alhora que connecta el sentit espacial, numèric i el de la mesura. La seva base visual i manipulativa facilita que l’alumnat construeixi significat mentre aprofundeix en conceptes geomètrics i algebraics d’una manera integrada i significativa.

Tibant la corda

La següent situació és interessant perquè trenca amb la intuïció, la qual cosa aporta un component de motivació i sorpresa que facilita l’interès per l’estudi i la conceptuació. L’activitat es presenta a l’inici de l’entrada que el professor Joan Jareño fa en el seu espai web, el blog del Calaix +ie.

Imaginem que lliguem una corda a dos dels banderins de córner d’un camp de futbol. Els que estan oposats, a camps diferents, dins d’una mateixa banda. És a dir, al costat llarg del camp. El camp té 100 m de llarg i la corda (sense tenir en compte la que cal per fer els nusos) és un metre més llarga: 101 m.

Volem estirar la corda, verticalment cap a dalt, per obtenir l’altura màxima possible. I, abans de fer-ho, ens demanem quin animal podrà passar per sota sense tocar la corda: un ratolí, un gat, un gos, un humà, un cavall, un elefant, una girafa…?

És important deixar que l’alumnat faci les seves estimacions. S’aconseguirà la mateixa altura si s’estira per qualsevol punt de la corda?

Com a bastida es pot canviar la unitat de mesura i donar una corda de 101 cm. Es fixen els seus extrems separats una distància d’un metre, i d’aquesta manera poden observar què succeeix a mesura que tiben la corda verticalment en punts diferents. L’experimentació els permet veure que l’alçada màxima s’assoleix quan es tiba des del punt mitjà de la corda, i aquesta és considerable! Una mica més de 7 cm. En el cas del problema inicial serà poc més de 7 m, cosa que permetria fer passar perfectament una girafa.

El teorema de Pitàgores serà l’eina que ajudarà a trobar la solució.

En cas que ho veiem oportú pot ser interessant estirar l’activitat i investigar quina corba determina el conjunt de punts que donen l’altura quan es tiba la corda, a mesura que es va canviant de punt. D’aquesta manera es farà una connexió amb el sentit espacial i, si ho considera el docent, es podrà introduir el concepte de lloc geomètric, en particular, el de l’el·lipse.

Puzles geomètrics

Els puzles geomètrics tenen unes característiques que els fa idonis per treballar la resolució de problemes, el raonament, les connexions internes i la comunicació i representació. Per començar tenen una presentació gràfica minimalista on s’incorporen només aquelles dades necessàries per atacar el problema, i alhora s’explicita clarament la pregunta. Això fa que la comprensió sigui fàcil per a tothom, i alhora no condiciona el tipus de raonament que cal emprar per solucionar-lo. Acostumen a poder-se resoldre de diferents maneres; per tant, es promou la creativitat i la diversitat en l’expressió. I finalment, tots tenen un component de repte que els fan atractius i motivadors. Alguns d’aquests puzles són autèntics escenaris on poder aplicar els teoremes de Tales i de Pitàgores per solucionar-los. En podem trobar alguns en les publicacions Geometry Snacks (Southall & Pantaloni, 2017) i More Geometry Snacks (Southall & Pantaloni, 2018).

En aquesta mateixa línia, són interessants les propostes dissenyades per Catriona Shearer, @Cshearer41. Tot seguit en veiem un puzle on es demana la superfície del quadrat recolzat sobre quatre quadrats d’àrea coneguda.

Quant ocupa una imatge?

Treballar amb les dimensions d’una imatge digital i la mida del fitxer permet abordar el saber essencial #3.MES.ME.D a través d’un context pràctic i proper per a l’alumnat. Imaginem que es vol reduir la mida d’una imatge per enviar-la per correu electrònic. Quan es modifiquen les dimensions d’una imatge mantenint la proporció, el teorema de Tales és clau per calcular les noves dimensions de manera proporcional.

La següent fotografia mostra el sostre de la nau central de la Sagrada Família:

L’arxiu seleccionat ocupa 3,95 MB i té una resolució de 1555 x 889 píxels. Per evitar les variacions associades a la compressió de formats com el JPG, s’ha transformat a format BMP, que preserva les dimensions originals sense alteracions. Suposem que volem modificar-ne les dimensions per tal de reduir-ne l’espai de memòria que ocupa, aplicant un factor d’escala d’1:3. La resolució de la imatge modificada serà de 518 x 296 píxels, però com es veurà afectada la mida de l’arxiu? Quant ocuparà?

Com que el factor d’escala és 1:3, cada dimensió de la imatge es redueix a un terç. Això significa que l’àrea total es redueix a \(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}\), ja que l’àrea és proporcional al producte de les dimensions. Per tant, la imatge modificada ocuparà, aproximadament, una novena part de la mida original, és a dir, uns 0,44 MB.

Aquest exercici mostra que la mida del fitxer no disminueix de manera directa amb les dimensions, sinó de forma quadràtica, ja que depèn del nombre total de píxels. Això convida l’alumnat a explorar com les proporcions geomètriques impacten en magnituds derivades, i ofereix una visió transversal que vincula les matemàtiques amb la tecnologia. A més, fomenta discussions sobre conceptes pràctics com la compressió d’imatges, la qualitat i l’optimització en la gestió d’arxius digitals, relacionant el treball amb el teorema de Tales en contextos propers a la quotidianitat dels estudiants.

Corones circulars

Quina de les dues corones circulars té més superfície?

Aquesta pregunta serveix com a punt de partida per explorar conceptes com el teorema de Pitàgores i el valor de \(\)\pi\), alhora que promou el raonament crític de l’alumnat.

Recordem que l’àrea d’una corona circular s’obté com la diferència entre les àrees de les circumferències que la defineixen:

Jordi Font.  \(\text{Àrea}=\pi\, R^2-\pi\, r^2=\pi\cdot\left(R^2-r^2\right)\)

Ara, observem el triangle rectangle format pels segments \(m\) i \(r\) com a catets, i \(R\) com a hipotenusa. El teorema de Pitàgores ens dona la relació següent:

\(m^2=R^2-r^2\)

Substituint aquesta relació en la fórmula de l’àrea, obtenim:

\(\text{Àrea}=\pi\, m^2\)

Aquest resultat mostra que l’àrea d’una corona circular depèn únicament del segment \(m\), independentment del radi \(r\). Així, les dues corones circulars proposades tenen exactament la mateixa superfície, encara que les seves dimensions puguin semblar diferents a primera vista.

Aquest recurs visual i sorprenent permet a l’alumnat descobrir resultats no intuïtius i entendre com les matemàtiques ofereixen eines rigoroses per analitzar situacions complexes. A més, l’activitat fomenta una comprensió integrada de la geometria i l’àlgebra mitjançant la representació gràfica i la formulació d’equacions.

Aquest problema forma part de la Pi-Xerrada del 2021, una iniciativa del MMACA per commemorar el Dia Internacional de les Matemàtiques. La conferència, que combina exemples pràctics i teòrics, aprofundeix en el paper central del número \(\pi\) a la matemàtica i les seves aplicacions en contextos diversos.

Mesurem una torre circular

Què tenen en comú el castell de Peralada, el castell del Montgrí i el far de Sant Cristòfol de Vilanova i la Geltrú? La resposta gira entorn que totes tres construccions incorporen una torre cilíndrica en la seva arquitectura. Si volem determinar el radi d’una d’aquestes torres, no podem fer servir directament la relació entre el perímetre de la base i el radi amb el nombre \(\pi\), ja que aquesta informació sovint no està disponible.

Font: Institut Cartogràfic i Geològic de Catalunya

Per calcular el radi, necessitem prendre dues mesures específiques. Primer, fixem un punt d’observació (Observador) i mesurem la distància \)d\) des d’aquest punt fins al centre suposat de la base de la torre (el punt més proper a l’observador). Des del mateix punt, també mesurem la distància \)D\) fins a un dels dos punts de tangència de la visual respecte a la base circular.

El triangle format pel radi r, la primera visual \(d+r\), i la visual tangent \(D\) és rectangle. Utilitzant el teorema de Pitàgores, podem deduir r mitjançant el desenvolupament següent:

\(\left(d+r\right)^2=r^2+D^2\)

\(d^2+2d\,r+r^2=r^2+D^2\)

\(2d\,r=D^2-d^2\)

\(r=\dfrac{D^2-d^2}{2d}\)

Aquest treball de camp permet connectar de manera efectiva el sentit geomètric amb l’algebraic, destacant el desenvolupament d’un producte notable en els càlculs inicials. A més, és recomanable que els grups de treball repeteixin la recollida de dades diverses vegades. Això permet construir una taula de valors amb els resultats dels diferents grups i fer-ne un estudi estadístic. Encara que cap resultat coincidirà exactament amb un altre, la majoria estaran dins d’un interval centrat en el radi real de la torre.

Aquest procés posa en pràctica el mètode científic i permet a l’alumnat determinar una mesura aproximada i avaluar l’error comès si, finalment, es pot obtenir la magnitud real. Aquesta reflexió final ofereix una valuosa oportunitat per entendre com les matemàtiques es poden aplicar a la resolució de problemes pràctics i connectar-les amb el món real.

Templatemaker

La pàgina Templatemaker ens ofereix un espai perquè l’alumnat pugui crear plantilles de capses i formes 3D introduint unes determinades mesures. Es generen, gratuïtament, arxius en format PDF, SVG i DXF del desenvolupament pla dels objectes que es vulguin dissenyar. La manipulació d’aquesta web amb la corresponent creació de plantilles permet crear activitats per al càlcul de superfícies, el muntatge de les figures tridimensionals i l’estimació del volum que poden contenir.

Un recipient de 100 ml

Es vol dissenyar un recipient amb una capacitat de 100 ml de colònia. L’objecte ha de tenir forma de piràmide amb base un polígon regular de fins a dotze costats. L’objectiu és aconseguir la figura que donarà l’àrea mínima. En aquesta situació, la modelització amb GeoGebra és una bona eina per a l’experimentació. Recollint els aprenentatges de cursos anteriors, es demana a l’alumnat la construcció de la base a partir d’una circumferència de radi variable, i una quantitat de costats del polígon que pren valors entre 3 i 12, per exemple. La base està inscrita en aquesta circumferència i el seu radi és la distància entre el centre del polígon i un vèrtex qualsevol. A partir d’aquí, l’altura de la piràmide queda determinada per la capacitat, 100 ml, i l’àrea de la base que la dona GeoGebra.

Tal com es pot observar, la construcció amb GeoGebra permet que l’alumnat treballi molts aspectes relacionats amb el sentit algebraic i amb l’espacial. El mateix programa mostra el desplegament de les piràmides i el valor de les àrees de totes les seves cares. Això facilita que, si s’ha modelitzat bé la situació, es pugui estimar amb quin dels recipients s’assoleix la menor superfície.

L’activitat es pot seguir pas a pas en el document de GeoGebra l’Ampolla de 100 ml, creat per Manel Martínez. Es recomana fer-la en parelles per fomentar la conversa matemàtica entre iguals, tant durant la modelització amb el programa de geometria dinàmica com en la discussió del problema en si.

Paperines de la mateixa àrea

Amb aquesta activitat es treballen conjuntament els conceptes de volum i superfície en cons.

Es pot veure com a partir d’una àrea fixada es poden dissenyar diferents paperines que acabaran donant cons de volum diferent.

A mesura que avancen els cursos de la secundària obligatòria el sentit algebraic té més presència en el planejament de resolució de problemes i en la comunicació de l’alumnat quan els resol. Les relacions entre diferents magnituds s’acaben expressant en igualtats entre variables que permeten estudiar el comportament d’una en funció de les altres.

En el desenvolupament pla de la paperina trobem tres magnituds, tal com es pot veure en la figura:

Aquesta figura plana és un sector circular d’angle \(\alpha\), radi \(g\) (la generatriu del con) i arc \(2\pi\,r\) (on \(r\) és el radi de la base del con). L’alumnat pot trobar la relació entre aquestes tres variables seguint un raonament de proporcionalitat entre l’angle interior i la longitud de l’arc que abraça.

\(\dfrac{360^{\circ}}{2\pi g}=\dfrac{\alpha}{2\pi r}\Rightarrow \dfrac{360^{\circ}}{ g}=\dfrac{\alpha}{r}\Rightarrow \alpha = \dfrac{r}{g}\ 360^{\circ}\)

Tot seguit es pot demanar que trobin la relació entre la superfície (S), la generatriu i el radi. El raonament de proporcionalitat és similar a l’anterior, comparant l’angle interior amb la superfície del sector circular.

\(\dfrac{360^{\circ}}{\pi g^2}=\dfrac{\alpha}{S}\Rightarrow S=\dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \ \pi g^2 =\dfrac{r\ \cancel{360^{\circ}}}{\cancel{g}\; \cancel{360^{\circ}}} \ \pi g^{\cancel{2}} \Rightarrow S = \pi r g\)

D’aquesta manera, coneguda la superfície, S, i el radi de la base, queda determinada la generatriu, i també l’altura del con, ja que per Pitàgores:

\(h=\sqrt{g^2-r^2}=\sqrt{\dfrac{S^2}{\pi^2 r^2}-r^2}=\dfrac{1}{\pi r}\sqrt{S^2-\pi^2 r^4}\)

I per tant, el volum del con es pot expressar en funció de la superfície, \(S\), i el radi de la base, \(r\).

\(\text{volum}=\dfrac13\; \pi r^2 \cdot h=\dfrac{r}{3}\sqrt{S^2-\pi^2 r^4}\)

Arribat a aquest punt es pot experimentar amb un full de càlcul per tal de trobar quines mesures ha de tenir un con amb una àrea fixada, perquè assoleixi un volum màxim.

També es pot treballar a partir del full de GeoGebra Paperines de la mateixa àrea de Manel Martínez, o demanant als mateixos alumnes que utilitzin el programa per fer la construcció i arribar a les conclusions pertinents.

La volta al món en… 8 edificis

Aquesta és una proposta molt interessant de l’Equip ICE de Matemàtiques de la UdL format per Germán Arbiol Oliver, Ramon Miquel Bergadà Marimon, Rosa Castillo Cervelló, M. Montserrat Córdoba Marsà, Andreu Grau Bernadó, Palmira Ortiz Escoda i Montserrat Siscart Alberich. Es tracta d’un itinerari format per nou unitats didàctiques i que podem trobar catalogat a l’ARC. Cada unitat, a excepció de l’última, té com a protagonista un cos geomètric i un edifici del món que el representa. És ideal per treballar com a projecte amb moltes connexions externes amb la geografia econòmica, política, la cultura, etc. Les activitats de les unitats són molt diverses i estan contextualitzades en el seu entorn. N’hi ha de resolució de problemes, de modelització, manipulables, de geometria dinàmica… La darrera unitat està pensada com a síntesi de tot l’itinerari. Pel que fa al saber #3.MES.ME.E, l’alumnat el pot assolir treballant qualsevol unitat de l’itinerari, però volem destacar especialment les unitats 5 i 7 que fan referència a la piràmide i l’Hotel Luxor, i al con i el Melbourne Central. La quantitat d’hores que s’ha d’emprar és gran si el vol fer tot. És important, per això, dissenyar com es vol dur a l’aula, tenint en compte la importància que tot l’alumnat pugui treballar tots els cossos geomètrics entre 2n i 3r d’ESO. En aquest sentit recomanem no repartir les unitats per grups de manera que un grup només treballi una part del contingut, encara que al final hi hagi una exposició de totes les investigacions i feines fetes. Les diferents propostes són prou riques perquè l’alumnat pugui mobilitzar totes i cadascuna de les competències específiques.

En l’exemple que mostrem aquí proposem fer un treball de les unitats 1 i 2 a 1r d’ESO, de les 3, 4 i 6 a 2n d’ESO, i de les 5, 7, 8 i 9 a 3r d’ESO.

En la mateixa pàgina de l’ARC hi ha un document amb una descripció detallada de l’itinerari, amb observacions didàctiques i metodològiques.

Una formiga en un tetraedre

Un bon problema de matemàtiques és aquell que disposa l’alumnat davant d’un repte. Cal que sigui fàcil d’entendre i alhora permeti fer unes primeres exploracions i conjectures, però en cap cas ha de ser evident. El professor Ricard Peiró en té un bon recull en la seva pàgina web, especialment per treballar el sentit de la mesura i l’espacial. Col·labora en la creació del Calendari matemàtic de la SEMCV, en què ens proposa el següent problema per als dies 20 i 21 de novembre de 2024:

Una primera exploració amb GeoGebra pot ajudar a resoldre’l. És important acostumar l’alumnat a fer ús de les tecnologies i, en aquest cas, de les aplicacions de Geometria Dinàmica per tal d’interpretar alguns problemes. La mateixa construcció ja porta implícit un aprenentatge matemàtic.

El desplegament del tetraedre és una estratègia fonamental per abordar el problema, ja que permet observar que la distància més curta correspon a la longitud del segment AB en el tetraedre desplegat. Per obtenir aquesta longitud, es poden aplicar diferents raonaments, com l’ús del teorema de Tales. Ara bé, aquesta estratègia pot no ser immediata per a l’alumnat, per la qual cosa, si s’escau, el docent haurà de proporcionar pistes o bastides per guiar-los en la seva descoberta.

Es poden trobar més propostes, fins a 90, en el llibre Reptes de Geometria (Peiró i Estruch, 2024).

El millor con

Quan despleguem la superfície lateral d’un con, obtenim un sector circular amb un angle i una obertura determinats per les magnituds del con inicial. En aquest problema es planteja el procés invers:

D’un cercle de radi 10 cm s’extreu un sector circular, amb el qual es construeix un con. Quin con tindrà el volum màxim? Aquesta activitat està extreta del volum 2 de la col·lecció de problemes Points of Departure.

(Hardy & Haworth, 1986) 

Aquest problema és un repte excel·lent per treballar l’optimització a 2n de batxillerat. Tot i això, sense la necessitat d’arribar a una solució exacta, podem aproximar-nos a la resposta buscada de manera experimental.

Una possible seqüència didàctica podria ser començar la classe repartint als alumnes un full de paper amb un cercle de radi 10 cm imprès, incloent-hi el centre. Cada alumne fixa un angle del sector circular, assegurant que les obertures dels sectors siguin variades dintre del grup classe. A continuació, es retalla el sector i es construeix el con. Amb les dades inicials (radi i obertura del sector), es determinen les dimensions del con: quina és la seva alçada? Quin és el perímetre de la base?

Aquest procés permet observar que cada angle genera un con amb un volum diferent. Quins angles generen un volum nul? Dels cons construïts a classe, quin és el que té el volum més gran? Podria haver-hi un volum més gran que els obtinguts pel grup? De què depèn exactament el volum del con?

Finalment, es pot plantejar l’ús d’un full de càlcul per provar diverses obertures del sector circular i comparar resultats amb els cons construïts manualment, cercant el volum màxim de manera més precisa.