En aquest curs s’incorporen els nombres irracionals, amb els quals es completa el conjunt dels nombres reals. Aprendre a situar-los correctament sobre la recta numèrica és fonamental per fer-ne la comparació i ordenació.
Per altra banda, el triangle aritmètic, també anomenat triangle de Tartaglia o triangle de Pascal, ofereix una eina potent per resoldre problemes i explorar les propietats dels nombres combinatoris, i d’aquesta manera promoure la descoberta de patrons i relacions matemàtiques. Aquests sabers fomenten la connexió entre diferents àmbits de la matemàtica, com l’àlgebra, la probabilitat i la combinatòria, i desenvolupen un pensament matemàtic més profund i interdisciplinari.
Els sabers #4.NUM.RE.B i #4.NUM.RE.C se centren en l’estudi del triangle aritmètic i els nombres combinatoris, i ofereixen una comprensió més profunda de la combinatòria i les seves aplicacions. Aquest enfocament permet establir connexions amb el bloc del sentit estocàstic de predictibilitat i incertesa.
El saber #4.NUM.RE.A es considera essencial perquè la representació de nombres sobre la recta numèrica és un procés progressiu que s’ha treballat al llarg de tots els cursos, començant pels nombres naturals i enters, seguint amb els racionals, i culminant a 4t d’ESO amb els irracionals. És clau considerar l’origen i la unitat triada per garantir la precisió en la col·locació dels valors. Conceptes com l’ordenació dels nombres, el comportament davant el canvi de signe, la intercalació entre racionals i irracionals, la densitat d’aquests i la representació d’intervals i semirectes, són fonamentals per desenvolupar una visió completa de la continuïtat i l’estructura de la recta numèrica.
El saber #4.NUM.RE.C es considera d’ampliació, especialment en l’apartat que estableix la connexió entre els nombres del triangle aritmètic i els nombres combinatoris. Les propietats del triangle, però, es poden treballar de manera independent, ja que ofereixen una activitat rica i significativa fins i tot sense necessitar una relació directa amb els nombres combinatoris.
L’ús del triangle aritmètic, referent al saber #4.NUM.RE.B, és necessari perquè facilita la resolució de problemes relacionats amb els nombres combinatoris i altres aplicacions matemàtiques com la probabilitat. A més, ajuda a identificar patrons numèrics i simetries, cosa que fa més accessible la comprensió d’estructures matemàtiques i promou el raonament lògic i la connexió entre conceptes.
Comparació i ordenació de nombres reals a partir de la seva representació exacta o aproximada sobre la recta numèrica.
Ús del triangle aritmètic per resoldre problemes.
Utilització del triangle aritmètic per estudiar les propietats dels nombres combinatoris.
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
L’activitat Recompte de camins mínims entre dos punts d’una quadrícula, proposada en el document Orientacions per a la millora de la geometria (Aubanell, 2015, p. 63) convida l’alumnat a calcular el nombre de camins de longitud mínima en una quadrícula que connecten dos punts específics, des del vèrtex A fins al vèrtex B. Aquesta tasca requereix aplicar conceptes combinatoris per determinar totes les possibles rutes que compleixen amb les condicions donades, saber #4.NUM.RE.B.
L’activitat estableix una connexió entre la combinatòria, la probabilitat i la geometria, i destaca que el nombre de camins mínims que arriben a cada punt de la quadrícula des del punt inicial coincideix amb els nombres del triangle aritmètic.
Font: Quaderns d’Avaluació núm. 31
Aquesta activitat és similar a la proposta que es va fer a la primera fase del concurs Fem Matemàtiques de l’any 2022, Aneu on l’atzar us porti, a 1r i 2n d’ESO. Pot servir de guia per aplicar les propietats del triangle en la resolució del problema plantejat.
Per treballar les propietats del triangle aritmètic, relacionades amb el saber #4.NUM.RE.C, es poden utilitzar dues opcions complementàries. D’una banda, l’activitat interactiva de Mathigon, Seqüència de Mathigon per descobrir patrons, permet descobrir patrons i explorar visualment aquesta estructura matemàtica. D’altra banda, l’activitat Triangle de Pascal explicada al blog Matemàtiques a l’INS Baix a Mar ofereix una aproximació més manual.
Ambdues activitats proporcionen una exploració detallada del triangle aritmètic. Es focalitzen en la construcció del triangle, mostrant com cada fila es genera a partir de la suma dels nombres superiors, que corresponen als coeficients binomials. A més, permeten identificar patrons numèrics rellevants, com els nombres naturals, els nombres triangulars i altres seqüències conegudes.
També fomenten el descobriment de propietats, com la simetria del triangle, per tal d’enriquir la comprensió de l’alumnat a través d’enfocaments interactius i visuals. Aquestes propietats observades en el triangle es relacionen progressivament amb els nombres combinatoris, utilitzant el següent triangle com a punt de partida:
Una activitat complementària a l’anterior és Harmonic Triangle, del portal NRICH, que proposa construir un triangle harmònic, una estructura numèrica en què cada entrada és una fracció unitària. La característica principal d’aquest triangle és que cada fracció és igual a la suma de les dues fraccions situades directament a sota.
Font: Harmonic Triangle
L’objectiu de l’activitat és identificar patrons de les diagonals del triangle i trobar una expressió general per a la fracció que apareix en una posició determinada de la fila n. S’arriba a la solució que es mostra a continuació:
Font: Harmonic Triangle
Llicenciat sota la Llicència Creative Commons Reconeixement CompartirIgual 4.0