El conjunt de sabers que constitueixen el sentit espacial, com tots els altres sentits, s’ha de relacionar amb el conjunt de competències del currículum. Sense un coneixement dels sabers difícilment es poden desenvolupar els processos per avançar en l’assoliment de les competències i, d’altra banda, la manera com s’introdueixen, es construeixen i s’utilitzen els sabers és clau per dur a terme un treball competencial.
Així doncs, tots els sabers poden contribuir a desenvolupar qualsevol competència si es treballen en activitats adequades. Igualment, un saber pot contribuir a desenvolupar diverses competències.
Es presenta la relació entre els sentits i les competències específiques a través dels processos següents: resolució de problemes (competències específiques CE 1 i CE 2); raonament i prova (competències específiques CE 3 i CE 4); connexions, en què distingim les internes (competència específica CE 5) i les externes (competència específica CE 6); comunicació i representació (competència específica CE 7), i gestió socioemocional (competències específiques CE 8 i CE 9).
Aquesta relació, pel que fa al sentit espacial, es concreta, en el marc d’aquest exemple, de la manera que es descriu en els apartats següents, tot i que hi pot haver altres anàlisis igualment vàlides.
Resolució de problemes (CE 1 i CE 2)
El treball dels sabers del sentit espacial a 4t d’ESO posa sobre la taula de forma explícita l’oportunitat de treballar diferents continguts a través de la resolució de problemes, cosa que permet aplicar els conceptes treballats a diferents contextos.
Sabers
A tall d’exemple, entre els sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar la resolució de problemes trobem, entre altres, que:
- El saber #4.ESP.FG.A pretén que es plantegin problemes que requereixin l’ús de propietats geomètriques per ser resolts, i contribueix, d’aquesta manera, a la CE 1 i a la CE 2.
- De manera anàloga, el saber #4.ESP.LS.C i el saber #4.ESP.LS.G proposen que es plantegin problemes i situacions que requereixin l’ús de vectors i rectes per ser resoltes, cosa que afavoreix el desenvolupament de la CE 1 i la CE 2.
Recursos
Molts dels recursos que s’han esmentat per treballar diferents sabers fan referència directa al procés de resolució de problemes. Per exemple:
- L’activitat «Crea el teu envàs», en què es treballa el saber #4.ESP.FG.A, proposa la construcció d’un envàs sota unes condicions concretes. Un bon context per treballar la CE 1 i la CE 2.
- Als problemes de la prova Cangur hi trobem múltiples propostes per treballar el saber #4.ESP.FG.A, de manera que es promou el desenvolupament de la CE 1 i la CE 2.
- En l’activitat «Serpentine lake», que permet treballar el saber #4.ESP.FG.A, s’ha de comprovar que un llac concret té una superfície de 40 hectàrees. Aquesta investigació fomenta el treball de la CE 1.
- L’activitat «Situacions vectorials» és un recull d’activitats per treballar els sabers #4.ESP.LS.A, #4.ESP.LS.B i #4.ESP.LS.C, en què es poden trobar diferents contextos que poden contribuir al desenvolupament de les competències CE 1 i CE 2.
- A les activitats «Lots of vector lines!» i «Lots of lines!» (sabers #4.ESP.LS.D, #4.ESP.LS.E i #4.ESP.LS.F) es proposa trobar parelles de rectes sota unes condicions concretes. Resolent problemes d’aquest estil s’afavoreix l’assoliment de la CE1.
Aplicació de les propietats geomètriques de figures planes i de tres dimensions en la resolució de problemes. Ús de la geometria dinàmica per a la recerca de la solució, si s’escau.
Comprensió del concepte i característiques (mòdul, direcció i sentit) dels vectors com a desplaçament entre dos punts.
Càlcul de les components d’un vector. Determinació del mòdul d’un vector a partir de les components.
Ús dels vectors, les seves propietats i les operacions entre ells per resoldre problemes geomètrics senzills.
Estudi de les diferents equacions d’una recta.
Determinació dels elements determinants d’una recta (punts, vector director, pendent, angle respecte a l’eix d’abscisses…) donada la seva equació.
Estudi de la posició relativa de dues rectes i determinació del paral·lelisme, la perpendicularitat i el punt de tall, si escau.
Selecció de l’equació de la recta més adequada en funció de la situació a resoldre.
Estudi de les característiques principals de les homotècies: centre i raó.
Visualització de les funcions com a rectes, paràboles, hipèrboles i altres tipus de corbes amb unes característiques concretes.
Visualització dels zeros d’una funció o arrels d’un polinomi com a punts de tall amb l’eix d’abscisses.
Visualització de la regió solució en inequacions i sistemes d’inequacions lineals.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat.
Raonament i prova (CE 3 i CE 4)
El raonament matemàtic es pot treballar amb profunditat en contextos geomètrics. L’estudi de diferents objectes i conceptes permet la construcció de coneixement, la formulació de conjectures i la construcció d’arguments matemàtics que poden ser útils a l’hora de fer servir i aplicar aquest coneixement. Per altra banda, l’ús de programari de geometria dinàmica o altres contribueixen a l’assoliment de la CE 4.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit que poden ajudar a reforçar el raonament són, entre altres:
- Els sabers #4.ESP.LS.A, #4.ESP.LS.D i #4.ESP.MT.A, que col·laboren al desenvolupament de les competències CE 3 i CE 4 a partir de l’estudi d’objectes matemàtics i la construcció de coneixement.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers fan referència directa al procés de raonament i prova. Per exemple:
- L’activitat «Quadrat de Puig Adam» (saber #4.ESP.FG.A) promou el raonament preguntant sobre el nombre i el tipus de peces que formen el quadrat, cosa que afavoreix la CE 3.
- Les activitats «Eixample de Barcelona» i «Situacions vectorials» (sabers #4.ESP.LS.A, #4.ESP.LS.B i #4.ESP.LS.C) promouen la construcció de coneixement partint d’un context, i contribueixen així a la CE 3.
- L’activitat «Investiguem l’equació de la recta» (saber #4.ESP.LS.D) fomenta la construcció de coneixement a través d’una investigació, fet que afavoreix el desenvolupament de la CE 3.
- El conjunt d’activitats d’NRICH per treballar el saber #4.ESP.VM.A («Parallel lines», «Perpendicular lines», «Translating lines», «Reflecting lines», «Parabolic patterns», «Parabolas again» i «Paired parabolas») contribueixen al desenvolupament de la CE 3 a través la construcció de coneixement mitjançant l’observació de la gràfica i l’expressió de diferents funcions.
- La CE 4 és present en molts dels recursos proposats per treballar els sabers d’aquest sentit perquè s’utilitzen programes de geometria dinàmica. Aquestes activitats són: «Vectors en el pla» (saber #4.ESP.LS.B), «Investiguem l’equació de la recta» (saber #4.ESP.LS.D), «Punts, rectes i vectors» (sabers #4.ESP.LS.D, #4.ESP.LS.E i #4.ESP.LS.F), «Posició relativa de dues rectes» (saber #4.ESP.LS.F), «Rectes i punts notables» (sabers #4.ESP.LS.F i #4.ESP.LS.G), «Homotècia amb GeoGebra» (saber #4.ESP.MT.A) i «Relació entre àrees de figures homotètiques» (saber #4.ESP.MT.A).
Aplicació de les propietats geomètriques de figures planes i de tres dimensions en la resolució de problemes. Ús de la geometria dinàmica per a la recerca de la solució, si s’escau.
Comprensió del concepte i característiques (mòdul, direcció i sentit) dels vectors com a desplaçament entre dos punts.
Càlcul de les components d’un vector. Determinació del mòdul d’un vector a partir de les components.
Ús dels vectors, les seves propietats i les operacions entre ells per resoldre problemes geomètrics senzills.
Estudi de les diferents equacions d’una recta.
Determinació dels elements determinants d’una recta (punts, vector director, pendent, angle respecte a l’eix d’abscisses…) donada la seva equació.
Estudi de la posició relativa de dues rectes i determinació del paral·lelisme, la perpendicularitat i el punt de tall, si escau.
Selecció de l’equació de la recta més adequada en funció de la situació a resoldre.
Estudi de les característiques principals de les homotècies: centre i raó.
Visualització de les funcions com a rectes, paràboles, hipèrboles i altres tipus de corbes amb unes característiques concretes.
Visualització dels zeros d’una funció o arrels d’un polinomi com a punts de tall amb l’eix d’abscisses.
Visualització de la regió solució en inequacions i sistemes d’inequacions lineals.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat.
Connexions amb altres parts de la matemàtica (CE 5)
El treball de geometria analítica entorn de les rectes connecta directament amb el sentit algebraic, tant en el seu llenguatge com amb la seva relació amb les funcions lineals i afins. A més, el bloc Visualització i modelització geomètrica serveix de crossa a l’estudi de funcions, per tant, tot aquest bloc connecta directament amb el sentit algebraic tant pel que fa a sabers com a recursos i activitats.
Sabers
A tall d’exemple, alguns sabers d’aquest sentit poden ajudar a reforçar les connexions internes. Així, trobem, entre altres, que:
- Els sabers #4.ESP.LS.A i #4.ESP.LS.F connecten de forma directa amb el sentit algebraic i poden contribuir a desenvolupar la CE 5.
- El bloc Visualització i modelització geomètrica (sabers #4.ESP.VM.A, #4.ESP.VM.B i #4.ESP.VM.C) ajuda a l’estudi i l’aprenentatge dels diferents tipus de funcions i, per tant, en treballar-lo s’afavoreix l’assoliment de la CE 5.
Recursos
Molts dels recursos esmentats per treballar diferents sabers aporten o utilitzen connexions internes. Per exemple:
- En les activitats «Crea el teu envàs» i «Serpentine lake» (saber #4.ESP.FG.A) es treballa el càlcul de volums d’àrees, respectivament. Connecten així amb el sentit de la mesura i, per tant, afavoreixen el desenvolupament de la CE 5.
- Les activitats «Nombres irracionals i materials manipulatius» i «Quadrat de Puig Adam» (saber #4.ESP.FG.A) connecten directament amb el sentit numèric, i contribueixen així al desenvolupament de la CE 5.
- L’activitat «Investiguem l’equació de la recta» (saber #4.ESP.LS.D) connecta amb el sentit algebraic i, per tant, ajuda al desenvolupament de la CE 5.
- L’activitat «Rectes i punts notables» (sabers #4.ESP.LS.F i #4.ESP.LS.G) connecta amb altres sabers del sentit espacial diferents dels propis del bloc i del curs, i treballa així la CE 5.
- Els recursos proposats dins el bloc Visualització i modelització geomètrica ajuden al desenvolupament de la CE 5 perquè connecten directament amb el sentit algebraic.
Aplicació de les propietats geomètriques de figures planes i de tres dimensions en la resolució de problemes. Ús de la geometria dinàmica per a la recerca de la solució, si s’escau.
Comprensió del concepte i característiques (mòdul, direcció i sentit) dels vectors com a desplaçament entre dos punts.
Càlcul de les components d’un vector. Determinació del mòdul d’un vector a partir de les components.
Ús dels vectors, les seves propietats i les operacions entre ells per resoldre problemes geomètrics senzills.
Estudi de les diferents equacions d’una recta.
Determinació dels elements determinants d’una recta (punts, vector director, pendent, angle respecte a l’eix d’abscisses…) donada la seva equació.
Estudi de la posició relativa de dues rectes i determinació del paral·lelisme, la perpendicularitat i el punt de tall, si escau.
Selecció de l’equació de la recta més adequada en funció de la situació a resoldre.
Estudi de les característiques principals de les homotècies: centre i raó.
Visualització de les funcions com a rectes, paràboles, hipèrboles i altres tipus de corbes amb unes característiques concretes.
Visualització dels zeros d’una funció o arrels d’un polinomi com a punts de tall amb l’eix d’abscisses.
Visualització de la regió solució en inequacions i sistemes d’inequacions lineals.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat.
Connexions amb altres matèries i amb l’entorn (CE 6)
El treball entorn del sentit espacial de 4t d’ESO pot donar l’oportunitat de treballar les connexions externes i de vincular la geometria amb les altres branques de les matemàtiques i amb l’entorn dels alumnes. Per exemple, les homotècies es poden relacionar amb les fotocòpies, les fotografies, els cartells, les il·lusions òptiques o les obres d’art.
Sabers
A tall d’exemple, esmentem alguns sabers d’aquest sentit que, entre altres, poden ajudar a reforçar les connexions externes:
- El saber #4.ESP.LS.A pot ser un bon context per cultivar la mirada matemàtica de l’alumnat i, d’aquesta manera, contribuir al desenvolupament de la CE 6.
- El saber #4.ESP.VM.D promou la geometrització de qualsevol àrea del coneixement i, per tant, el desenvolupament de la CE 6.
Recursos
Alguns dels recursos descrits per treballar diferents sabers del sentit espacial ofereixen oportunitats per fer connexions externes. Per exemple:
- L’activitat «Serpentine lake» (saber #4.ESP.FG.A) ofereix l’oportunitat de treballar matemàtiques en un context quotidià que es pot canviar per un entorn proper a l’alumnat i treballar així el desenvolupament de la CE 6.
- De la mateixa manera, l’activitat «Eixample de Barcelona» (sabers #4.ESP.LS.A, #4.ESP.LS.B i #4.ESP.LS.C) també pretén treballar matemàtiques en el context d’un entorn proper a l’alumnat, i potenciar així el desenvolupament de la CE 6.
- El conjunt d’activitats «Situacions vectorials» (sabers #4.ESP.LS.A, #4.ESP.LS.B i #4.ESP.LS.C) ofereix diferents contextos no matemàtics en què intervenen les matemàtiques. Es col·labora, així, al treball de la CE 6.
Aplicació de les propietats geomètriques de figures planes i de tres dimensions en la resolució de problemes. Ús de la geometria dinàmica per a la recerca de la solució, si s’escau.
Comprensió del concepte i característiques (mòdul, direcció i sentit) dels vectors com a desplaçament entre dos punts.
Càlcul de les components d’un vector. Determinació del mòdul d’un vector a partir de les components.
Ús dels vectors, les seves propietats i les operacions entre ells per resoldre problemes geomètrics senzills.
Estudi de les diferents equacions d’una recta.
Determinació dels elements determinants d’una recta (punts, vector director, pendent, angle respecte a l’eix d’abscisses…) donada la seva equació.
Estudi de la posició relativa de dues rectes i determinació del paral·lelisme, la perpendicularitat i el punt de tall, si escau.
Selecció de l’equació de la recta més adequada en funció de la situació a resoldre.
Estudi de les característiques principals de les homotècies: centre i raó.
Visualització de les funcions com a rectes, paràboles, hipèrboles i altres tipus de corbes amb unes característiques concretes.
Visualització dels zeros d’una funció o arrels d’un polinomi com a punts de tall amb l’eix d’abscisses.
Visualització de la regió solució en inequacions i sistemes d’inequacions lineals.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat.
Comunicació i representació (CE 7)
La manera com es comuniquen i es representen els conceptes i les idees matemàtiques forma part del saber fer matemàtic. El professorat ha de procurar donar l’oportunitat que l’alumnat expliqui, amb les paraules adequades i en el format correcte, els seus arguments a l’hora de resoldre problemes i treure conclusions.
Sabers
A tall d’exemple, hi ha alguns sabers d’aquest sentit que, entre altres, poden ajudar a reforçar la comunicació i la representació:
- El saber #4.ESP.LS.D pretén que es comuniqui una mateixa idea matemàtica de diferents maneres. Col·labora així al desenvolupament de la CE 7.
- El saber #4.ESP.LS.G promou l’ús de la forma més adient en cada situació i, per tant, afavoreix l’assoliment de la CE 7.
Recursos
Alguns dels recursos esmentats per treballar diferents sabers del sentit espacial fan referència al procés de comunicació i representació. Per exemple:
- Les activitats de resolució de problemes promouen la comunicació d’arguments i afavoreixen el desenvolupament de la CE 7. Alguns exemples d’aquesta mena són l’activitat «Nombres irracionals i materials manipulatius» (saber #4.ESP.FG.A) i el recull «Situacions vectorials» (sabers #4.ESP.LS.A, #4.ESP.LS.B i #4.ESP.LS.C).
- L’activitat «Investiguem l’equació de la recta» (saber #4.ESP.LS.D) promou l’estudi de les diferents equacions de la recta i, per tant, l’aprenentatge de les diferents formes d’escriure un mateix concepte. Treballa, doncs, la CE 7.
- A les activitats «Lots of vector lines!» i «Lots of lines!» (sabers #4.ESP.LS.D, #4.ESP.LS.E i #4.ESP.LS.F) cal justificar de forma adequada i amb el llenguatge matemàtic correcte els motius pels quals dues expressions són parelles. En funció de com es faci, pot ser una bona activitat per desenvolupar la CE 7. En la mateixa línia, les activitats d’NRICH proposades per treballar el saber #4.ESP.VM.A també són bons contextos per a la comunicació matemàtica.
- Amb referència a la representació de conceptes, una activitat que serveix per treballar la CE 7 és «Inequacions amb dues incògnites» (saber #4.ESP.VM.C), en què es representen de manera col·lectiva diverses inequacions.
Aplicació de les propietats geomètriques de figures planes i de tres dimensions en la resolució de problemes. Ús de la geometria dinàmica per a la recerca de la solució, si s’escau.
Comprensió del concepte i característiques (mòdul, direcció i sentit) dels vectors com a desplaçament entre dos punts.
Càlcul de les components d’un vector. Determinació del mòdul d’un vector a partir de les components.
Ús dels vectors, les seves propietats i les operacions entre ells per resoldre problemes geomètrics senzills.
Estudi de les diferents equacions d’una recta.
Determinació dels elements determinants d’una recta (punts, vector director, pendent, angle respecte a l’eix d’abscisses…) donada la seva equació.
Estudi de la posició relativa de dues rectes i determinació del paral·lelisme, la perpendicularitat i el punt de tall, si escau.
Selecció de l’equació de la recta més adequada en funció de la situació a resoldre.
Estudi de les característiques principals de les homotècies: centre i raó.
Visualització de les funcions com a rectes, paràboles, hipèrboles i altres tipus de corbes amb unes característiques concretes.
Visualització dels zeros d’una funció o arrels d’un polinomi com a punts de tall amb l’eix d’abscisses.
Visualització de la regió solució en inequacions i sistemes d’inequacions lineals.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat.
Gestió socioemocional (CE 8 i CE 9)
A l’últim curs d’ESO, el llenguatge algebraic ja s’ha convertit en habitual, però malgrat que ja s’ha estat més d’un any treballant-hi no es pot oblidar que és un llenguatge abstracte i que molts alumnes encara estan assimilant aquest procés d’abstracció. Per tant, és molt important ser conscients d’aquest camí que alguns alumnes encara estan recorrent per poder acompanyar-los correctament: allunyant-los de les pors que els pugui generar, dotant-los de prou confiança per seguir avançant i acostant-los a una bona relació amb les matemàtiques.
La gestió socioemocional està vinculada a dues competències específiques:
- CE 8, relacionada amb el desenvolupament d’habilitats personals com les creences, les actituds i les emocions envers les matemàtiques.
- CE 9, centrada en el desenvolupament d’habilitats socials com el treball en equip i la presa de decisions.
A continuació s’indiquen alguns aspectes que, treballats des del sentit espacial, poden contribuir al desenvolupament de les competències CE 8 i CE 9.
Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 8
- La cerca de matemàtiques en el nostre entorn i l’èxit de les troballes poden trencar barreres entre l’alumnat i les matemàtiques, i afavorir el sentiment que tothom és capaç de fer interpretacions des del punt de vista matemàtic. Un bon context per aconseguir aquest objectiu és en el moment de treballar les homotècies (saber #4.ESP.MT.A) i les transformacions.
- Les representacions dels objectes i dels processos matemàtics que apareixen al bloc Visualització i modelització geomètrica (#4.ESP.VM) són una bona eina per ajudar l’alumnat a interpretar i entendre millor el que estan treballant amb llenguatge algebraic i han d’esdevenir una bona eina per vèncer les pors que puguin aparèixer en l’alumnat.
- L’activitat «Quadrat de Puig Adam» (saber #4.ESP.FG.A) pot ser una oportunitat per perseverar i gaudir fent investigacions matemàtiques per a aquell alumnat que vulgui anar més enllà.
Alguns aspectes que poden contribuir al desenvolupament de la competència CE 9
- Les activitats que promouen el treball en equip són un bon context per fomentar les actituds positives, la implicació en la presa de decisions, el respecte per les aportacions dels altres i la superació de qualsevol idea limitant sobre les habilitats pròpies o alienes en matemàtiques. Una activitat que proposa aquest tipus de treball és «Crea el teu envàs» (saber #4.ESP.FG.A).
- Un altre tipus d’activitats que afavoreixen la construcció de coneixement de manera col·lectiva i permeten valorar les aportacions dels altres són les que faciliten la comunicació d’argumentació, normalment emmarcades dins d’una situació de resolució de problemes. Dues de les activitats proposades que poden ajudar en aquesta línia són «Lots of vector lines!» i «Lots of lines!» (sabers #4.ESP.LS.D, #4.ESP.LS.E i #4.ESP.LS.F).
- Una altra proposta que requereix el col·lectiu per poder construir coneixement és l’activitat «Inequacions amb dues incògnites» (saber #4.ESP.VM.C), en què és necessària la col·laboració de tota la classe per poder visualitzar la representació d’inequacions en un pla. A més, en funció de com es condueixi l’activitat, poden ser els mateixos alumnes que visualitzin i es corregeixin les errades que es generin entre ells mateixos.
Aplicació de les propietats geomètriques de figures planes i de tres dimensions en la resolució de problemes. Ús de la geometria dinàmica per a la recerca de la solució, si s’escau.
Comprensió del concepte i característiques (mòdul, direcció i sentit) dels vectors com a desplaçament entre dos punts.
Càlcul de les components d’un vector. Determinació del mòdul d’un vector a partir de les components.
Ús dels vectors, les seves propietats i les operacions entre ells per resoldre problemes geomètrics senzills.
Estudi de les diferents equacions d’una recta.
Determinació dels elements determinants d’una recta (punts, vector director, pendent, angle respecte a l’eix d’abscisses…) donada la seva equació.
Estudi de la posició relativa de dues rectes i determinació del paral·lelisme, la perpendicularitat i el punt de tall, si escau.
Selecció de l’equació de la recta més adequada en funció de la situació a resoldre.
Estudi de les característiques principals de les homotècies: centre i raó.
Visualització de les funcions com a rectes, paràboles, hipèrboles i altres tipus de corbes amb unes característiques concretes.
Visualització dels zeros d’una funció o arrels d’un polinomi com a punts de tall amb l’eix d’abscisses.
Visualització de la regió solució en inequacions i sistemes d’inequacions lineals.
Reconeixement de connexions entre el sentit espacial, la resta de sentits i altres àrees de coneixement properes a l’alumnat.