El concepte de variable s’ha d’introduir de manera progressiva, per tal que permeti que la comprensió adquireixi significat de manera natural. A 4t d’ESO, s’aprofundeix en aquest concepte i es posa l’accent en els paràmetres i en l’ús de variables en diversos contextos. Les variables estadístiques també s’han anat introduint gradualment durant els tres primers cursos d’ESO (qualitatives nominals, qualitatives ordinals, quantitatives discretes i quantitatives contínues). Ara, a 4t, es va més enllà i es treballen les relacions entre variables en distribucions estadístiques bidimensionals. El saber #4.ALG.VA.D convida a fer una mirada històrica i a prendre consciència del valor del llenguatge simbòlic en el camp de la ciència, la qual cosa contribueix a completar el coneixement algebraic a l’ESO.
El fet de tractar expressions algebraiques de funcions fa que el saber #4.ALG.VA.A estigui connectat amb els blocs Igualtat i desigualtat i Relacions i funcions d’aquest mateix sentit. Així mateix, el saber #4.ALG.VA.C està naturalment connectat amb els blocs Distribució i Inferència del sentit estocàstic. Els sabers #4.ALG.VA.B i #4.ALG.VA.D presenten una connexió evident amb el sentit socioemocional, en particular amb el saber #SOE.CE.L: «Interès per establir connexions entre conceptes matemàtics, amb altres disciplines i per analitzar i comprendre el món amb una mirada matemàtica».
En aquest bloc no s’ha destacat cap saber essencial, però sí que se n’han destacat dos d’ampliació: els sabers #4.ALG.VA.A i #4.ALG.VA.D. Es pot donar la circumstància que el treball amb paràmetres en l’expressió algebraica de funcions es pugui deixar per a estudis posteriors. Pel que fa a l’evolució històrica del concepte de variable i de l’àlgebra simbòlica com a llenguatge de la ciència, seria desitjable que es pogués tractar, però, depenent del temps de què es disposi, es podrà fer amb més o menys profunditat.
Paràmetres en l'expressióAlgebraica de funcions.
Ús de variables en situacions contextualitzades.
Variables en distribucions estadístiques bidimensionals.
Evolució històrica del concepte de variable i de l'àlgebra simbòlica com a llenguatge de la ciència.
Un paràmetre és un símbol que pot prendre diferents valors, cadascun dels quals caracteritza un membre particular d’una família d’expressions algebraiques, funcions, corbes, etc. Per a aquest membre particular el valor del paràmetre serà constant, però serà diferent per a un altre membre de la família. Els paràmetres solen definir el context concret d’aplicació, ja que, fixat un d’ells, quedarà ben definit el context i la relació entre les variables. Si es canvia el valor del paràmetre, es tindrà un altre membre de la família d’expressions algebraiques, funcions, corbes, etc. Suposem que desitgem estudiar les característiques dels gràfics de la següent família de funcions:\(y=3\,x+1\), \(y=3\,x+2\), \(y=3\,x+5\), \(y=3\,x-3\), \(y=3\,x+3\),\(y=3\,x-2\), \(y=3\,x+6\), \(y=3\,x-4\,\ldots\). Es tracta de funcions afins, representades per rectes en el pla. Cadascuna és una funció que relaciona les variables \(x\) i \(y\), però la diferència entre elles és el terme independent. Cada valor \(t\) d’aquest terme independent definirà una funció concreta, una recta determinada. Tota la família podrà expressar-se com \(y=3\,x+t\) on \(t\) és un paràmetre cadascun dels valors del qual dona una funció concreta de la família anterior que relaciona les variables \(x\) i \(y\). A 4t d’ESO, l’ús de paràmetres se circumscriurà pràcticament a l’àmbit dels gràfics de famílies de funcions, però és important que l’alumnat entengui bé que un canvi en un paràmetre en modifica la funció i el gràfic donant una altra funció de la mateixa família, que comprengui que un paràmetre actua com una variable quan es tracta de distingir casos dins d’una família (per exemple, d’una família de funcions) i actua com una constant quan s’estudia un d’aquests casos concrets.
L’aplicació de la matemàtica en diferents contextos, molt vinculada a les connexions externes, sovint se centra en la construcció de models matemàtics que permeten descriure, analitzar i preveure situacions o fenòmens de l’entorn científic, tecnològic, mèdic i econòmic, entre d’altres. Aquests models quasi sempre inclouen variables que descriuen situacions de canvi. Això ajuda l’alumnat a donar un significat concret a les variables, a captar-ne la importància per descriure contextos en evolució i a descobrir aplicacions de les matemàtiques. Per aquest motiu, aquest saber està clarament connectat amb el saber #SOE.CE.L del sentit socioemocional, com ja s’ha indicat.
Al llarg dels tres primers cursos d’ESO, s’han introduït variables estadístiques qualitatives (nominals i ordinals) i quantitatives (discretes i contínues) en el context de distribucions unidimensionals, que tracten una sola variable. A 4t d’ESO, s’introdueixen les distribucions bidimensionals, on es treballen dues variables conjuntament per estudiar-ne la relació. En el cas de les variables qualitatives, aquesta relació es pot analitzar amb taules de contingència, mentre que, per a les variables quantitatives, s’empren representacions amb núvols de punts i l’estudi de la correlació i la regressió, que permet fer prediccions.
Aquest saber incorpora a la formació de l’alumnat un context històric relacionat amb la gènesi del llenguatge algebraic en matemàtiques, un aspecte fonamental de l’estructura interna de la matemàtica i una eina essencial per a altres ciències. Sense una notació matemàtica precisa i consistent, les afirmacions matemàtiques, i científiques en general, expressades amb paraules estarien sotmeses a inexactituds, ambigüitats i errors d’interpretació. Les expressions matemàtiques constitueixen un llenguatge que permet codificar informació de manera exacta i que resulta útil per expressar regularitats i patrons en el comportament de fenòmens en física, química i altres ciències.
La filosofia està escrita en aquest grandíssim llibre que contínuament tenim obert davant dels ulls (em refereixo a l’univers), però no es pot entendre si primer no s’aprèn a comprendre la llengua i a conèixer els caràcters amb què està escrit. Està escrit en llengua matemàtica, i els caràcters són triangles, cercles i altres figures geomètriques, sense els quals és humanament impossible entendre’n cap paraula; sense aquests, és com vagar inútilment per un obscur laberint.
Galileo Galilei deia (Galilei, 1623)
Al llarg de molts segles, els problemes matemàtics s’abordaven des del raonament geomètric. Un exemple d’això són les construccions geomètriques d’al-Khwarazmí (o al-Khuwarizmí) per justificar els algorismes de resolució d’equacions de segon grau. Precisament, el mot «àlgebra» prové d’una obra d’al-Khwarazmí: Al-Kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala (Compendi de càlcul per reintegració i comparació).
L’ús del llenguatge simbòlic és força recent. Iolanda Guevara, en la seva tesi doctoral, L’ús de contextos històrics a l’aula de matemàtiques de secundària: El cas concret de la visualització en la connexió geometria-àlgebra, afirma (Guevara, 2015):
En la història de l’àlgebra, la formulació dels problemes en forma de llenguatge simbòlic ha estat una qüestió relativament tardana –al segle xvi, amb François Viète i altres autors– (...), però, en canvi, el raonament geomètric és el que s’ha utilitzat durant segles per justificar els procediments matemàtics emprats en la resolució de problemes que avui dia, en l’àmbit escolar, es resolen mitjançant el llenguatge algebraic.
El matemàtic francès François Viète va fer el primer pas cap al concepte actual de variable en començar a utilitzar lletres per representar magnituds desconegudes i constants, establint així les bases de l’àlgebra simbòlica. L’obra La Géométrie (1637) de René Descartes va ser crucial per difondre l’ús de lletres per representar variables, emprant les lletres \(x\), \(y\), \(z\) per a variables desconegudes i \(a\), \(b\), \(c\) per a constants conegudes. Amb el desenvolupament del càlcul diferencial i integral per part d’Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz, el concepte de variable va evolucionar, i va passar a entendre’s com una entitat que pot canviar de valor de manera contínua. El 1749, Leonhard Euler va definir una funció com una quantitat variable que depèn d’una altra quantitat.
Potser mereix un interès especial la introducció del signe igual, protagonista destacat en moltes expressions algebraiques. El signe igual (=) va ser inventat per Robert Recorde l’any 1557, en la seva obra The Whetstone of Witte. Va utilitzar dues línies paral·leles perquè, segons ell, «no hi ha dues coses que puguin ser més iguals». A més, va argumentar que emprava aquesta abreviatura per evitar la tediosa repetició de les paraules «és igual a». La imatge següent, extreta del llibre Mathematics: from the birth of numbers (Gullberg, 1997), mostra el text on Recorde introdueix el signe igual:
Al text que apareix immediatament abans dels dos exemples finals, s’inclou la frase ja citada «no hi ha dues coses que puguin ser més iguals». Els exemples corresponen respectivament a les equacions: \(14\,x+15=71\) i \(20\,x-18=102\).
Naturalment, els apunts anteriors no pretenen ser un escrit sobre la història de les matemàtiques (això excediria els objectius d’aquest document), sinó unes notes per destacar aspectes que seria desitjable transmetre a l’alumnat de secundària perquè valori l’origen i la importància del llenguatge simbòlic, que actualment és, de fet, el llenguatge de la ciència.
Com s’ha indicat, aquest saber està connectat amb el sentit socioemocional i, en concret, amb el saber #SOE.CE.L, atès que el llenguatge formal i les eines de càlcul i manipulació simbòlica són dos dels grans instruments que les matemàtiques ofereixen a altres àrees del coneixement.
Interès per establir connexions entre conceptes matemàtics amb altres disciplines i per analitzar i comprendre el món amb una mirada matemàtica.
En general, el treball entorn dels sabers d’aquest bloc s’ha de dur a terme mentre es posa en joc la idea de variables en models matemàtics, en igualtats i desigualtats algebraiques, en funcions, en estadística, etc. Així, un recurs comú a tots els sabers del bloc és intentar destacar, sempre que hi hagi l’oportunitat, quines són les variables que es posen en joc, què signifiquen i el sentit de la seva relació.
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
Tal com s’indica a l’apartat de descripció i orientacions, a 4t d’ESO, l’ús de paràmetres es limitarà essencialment a l’àmbit dels gràfics de famílies de funcions. En aquest camp es poden esmentar dos recursos molt interessants:
Un bon recurs per destacar l’ús de variables en situacions contextualitzades consisteix a portar algunes d’aquestes situacions a classe, fent observar la presència de les variables i el sentit de la relació que s’estableix entre elles. Una dinàmica possible és que sigui el mateix alumnat qui les explori per equips en diferents contextos i, després en faci una petita exposició a classe, per posar en relleu connexions amb altres àrees del coneixement. A continuació, a tall d’exemple, es presenten, molt resumidament, quatre d’aquestes situacions.
La relació que expressa el canvi de graus Celsius a graus Fahrenheit, \(f = 1,8\,c + 32\), és un bon exemple de relació afí entre dues variables: \(c\) representa la temperatura en graus Celsius i \(f\), la temperatura en graus Fahrenheit. Es pot convidar l’alumnat a fer-ne una representació gràfica i a calcular algunes imatges i antiimatges significatives (com punts de fusió i d’ebullició, per exemple).
En cinemàtica, aquesta relació descriu com canvia la posició (\(x\)) d’un objecte en funció del temps (\(t\)) tant en el moviment uniforme (velocitat constant) com en el moviment uniformement accelerat (acceleració constant). En el cas del moviment uniforme, es complirà la relació \(x=x_0+v\cdot t\) on \(x_0\) és la posició inicial i \(v\) és la velocitat. En el cas del moviment uniformement accelerat, l’expressió algebraica és \(x=x_0+v_0\cdot t+ \dfrac{1}{2}\,a\cdot t^2\) on \(x_0\) és la posició inicial, \(v_0\) és la velocitat inicial i \(a\) és l’acceleració. En el primer cas, es té un model afí i, en el segon cas, un model quadràtic. Es poden fer representacions gràfiques (rectes i paràboles respectivament) i estudiar-ne les característiques.
La llei de Boyle-Mariotte estableix la relació entre la pressió (\(P\)) i el volum (\(V\)) d’un gas ideal a temperatura constant. Aquesta llei afirma que \(P\cdot V= k\) (on \(k\) representa una constant), és a dir, que, si \(P_1\) i \(V_1\) són la pressió i el volum respectivament d’un gas en un moment i \(P_2\) i \(V_2\) són la pressió i el volum en un altre moment, llavors \(P_1\cdot V_1=P_2\cdot V_2\). Observem que, en aquest cas, les variables són \(P\) i \(V\) i que la seva relació, \(P=\dfrac{k}{V}\), és una funció de proporcionalitat inversa.
Aquest és un model matemàtic molt simplificat (actualment superat), però que és molt il·lustratiu. Durant el primer quart del segle passat es van portar a terme recerques estadístiques als mercats de peix de Venècia, Trieste i Fiume, per on passaven pràcticament totes les captures del nord de l’Adriàtic. Es van observar fluctuacions notables en les espècies pescades. Durant els anys de la Primera Guerra Mundial, en què es va reduir la pesca, va augmentar la proporció de captures de peixos depredadors (taurons, rajades, etc.) que mengen peixos més petits. Aquest augment de depredadors va fer disminuir el nombre de peixos presa, una disminució que, al seu torn, va reduir els depredadors per manca d’aliment, amb la qual cosa van tornar a augmentar els peixos petits… Cap al 1925, el matemàtic italià Vito Volterra es va proposar trobar una explicació d’aquestes oscil·lacions mitjançant mètodes matemàtics. Si bé les condicions que va deduir Volterra tenen a veure amb el camp de les equacions diferencials, molt lluny dels sabers de l’ESO, la idea intuïtiva de la dinàmica que es produeix és més elemental i es pot representar gràficament en el pla. Si en un moment \(t\), \(p(t)\) representa la població de preses en un ecosistema i \(d(t)\) la població de depredadors, el parell \(P(t)=\left(p(t), d(t)\right)\) és un punt del pla que, amb el pas del temps, descriu una corba tancada com la de la figura següent:
En aquest model s’observen dues variables: el nombre de preses i el nombre de depredadors. Es tracta d’un model excessivament simplificat amb moltes febleses. Herbert Amann, a Els models matemàtics són insubornables (Amann, 1994) escriu:
El sistema depredadors-preses és un model matemàtic molt senzill, i dràsticament simplificat, que avui només té valor històric i com a il·lustració. Malgrat que algunes suposicions que conté no resisteixen una crítica seriosa, és precisament a causa de la seva simplicitat i accessibilitat que pot servir per perfilar una part del paper que les matemàtiques juguen en la descripció de fenòmens complexos.
Herbert Amann
L’article Diseñando un simulador de ecosistemas. Una experiencia STEM de enseñanza de dinámica de los ecosistemas, funciones matemáticas y programación de Jordi Domènech Casal (Domènech-Casal, 2020) descriu i analitza una activitat molt potent que, entre d’altres, inclou tasques al voltant del model presa-depredador que s’acaba d’esmentar. En aquesta carpeta, hi ha un material excel·lent elaborat per en Jordi Domènech Casal per aplicar aquesta activitat a l’aula, en particular el model presa-depredador.
Un recurs potent en diversos sentits, i en particular per entendre la idea de relació entre dues variables estadístiques, és el Gapminder. De segur que aquest recurs és citat en altres llocs d’aquesta proposta, però aquí no es podia deixar de referenciar. A continuació, s’inclou una captura de pantalla de Gapminder en què es mostra un diagrama de dispersió (en forma de gràfic de bombolles) en què es relaciona el producte interior brut per càpita (eix d’abscisses) de diferents països del món amb la seva esperança de vida (eix d’ordenades). Cada país es representa per un cercle el radi del qual és proporcional a la seva població i en el qual el color depèn del continent.
Un dels aspectes més atractius de Gapminder és que permet estudiar dinàmicament l’evolució de la relació entre variables al llarg del temps. Resulta espectacular veure els canvis de manera contínua i és una invitació a interpretar determinats «canvis sobtats» des d’una perspectiva històrica (per exemple, els efectes de guerres). Això estableix una connexió rellevant amb ciències socials. Hi ha un ampli ventall de variables associades als països que es poden emparellar per estudiar-ne la correlació: mortalitat infantil, emissions de CO2 per càpita, relació entre el nombre de noies i el de nois a les escoles de primària i secundària, despesa pública per a cada estudiant de secundària com a percentatge del PIB per càpita, nombre de telèfons mòbils per cada 100 habitants, nombre d’ordinadors per cada 100 habitants, densitat de població, edat mitjana de la població, taxes d’atur per franges d’edat i gènere, vehicles de motor de 4 rodes per cada 1.000 habitants, mortalitat per accidents de trànsit per cada 100.000 habitants, i moltes més. L’estudi de la definició i el significat de cada variable és molt rellevant en si mateix (l’aplicació ho descriu molt bé), i la visualització de la relació entre dues variables qualssevol i l’evolució al llarg del temps resulta tant interessant com atractiva. L’anàlisi de la relació entre determinades parelles de variables estadístiques i la visualització permeten contribuir a l’assoliment dels Objectius de Desenvolupament Sostenible (ODS). És molt recomanable l’apartat de materials per a l’ensenyament de la pàgina de Gapminder.
Una bona activitat per treballar aquest saber és convidar l’alumnat a buscar fórmules expressades en llenguatge matemàtic del camp de la física, la química, la biologia, etc. que relacionin dues variables, tot prenent consciència del seu significat i del sentit de la relació que l’expressió algebraica estableix entre elles. Això enllaça molt bé amb els recursos que s’han exposat per al saber #4.ALG.VA.B. Tanmateix, allà es posava l’accent en la idea de variable, mentre que aquí es posa l’accent en els aspectes històrics i en la constatació de la importància que té el llenguatge simbòlic en la ciència.
Ús de variables en situacions contextualitzades.
Llicenciat sota la Llicència Creative Commons Reconeixement CompartirIgual 4.0