Per començar a treballar amb probabilitat, saber #1.EST.PI.A, resulta cabdal reflexionar com el món de l’atzar es troba en el nostre entorn i analitzar-ne la presència en el llenguatge i la realitat.

Per valorar el nivell d’intuïció de l’alumnat sobre situacions d’incertesa, us proposem una activitat basada en el 1r capítol del llibre Azar y probabilidad (Díaz Godino et al., 1988). Començarem la classe motivant l’alumnat perquè acabi les frases següents: per miracle, de rebot, per xamba, per potra, sense voler, per sort, sense intenció, sense cap pla. Totes aquestes frases contenen la mateixa idea intuïtiva d’atzar que es desenvoluparà posteriorment.

L’ús de materials i situacions de la vida quotidiana ens poden ajudar a reconèixer de forma fàcil els esdeveniments elementals i l’espai mostral d’experiments aleatoris per tal de treballar el saber #1.EST.PI.B. Així podem tirar diferents tipus de daus, ruletes, cartes, etc., i anar canviant l’experiment aleatori que es duu a terme. Aquests elements els anomenem generadors aleatoris.

Per exemple, si tirem un dau cúbic amb les cares numerades de l’1 al 6 i observem el valor que apareix a la cara superior, els esdeveniments elementals serien cadascun dels valors possibles i l’espai mostral seria E={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

En canvi, si llancem un dau amb 3 cares vermelles, 2 de grogues i 1 de blava, i l’experiment aleatori consisteix a observar el color de la cara superior: els esdeveniments elementals seran cadascun dels colors, i l’espai mostral estarà format per E={vermell, groc, blau}. Podem trobar experiments aleatoris diferents amb els mateixos esdeveniments elementals i mateix espai mostral, com ara si juguem amb una de les ruletes següents:

Podem observar com el dau amb les cares de colors i la segona ruleta són generadors aleatoris equivalents. Per exemple, podem preguntar com hauria de ser un dau per ser un generador aleatori equivalent a la primera ruleta mostrada. També es pot aprofitar la situació per introduir el concepte d’equiprobabilitat.

Per altra banda, si l’experiment aleatori consisteix a llançar dos daus i sumar els resultats de les dues cares superiors, els esdeveniments elementals seran cadascun dels possibles resultats d’aquesta suma i l’espai mostral estarà format pels valors E={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. A partir d’aquí, podríem afegir-hi petites variants de la mateixa situació, utilitzant diferents tipus de daus o canviant l’operació; per exemple, si en comptes de sumar els valors, observem el valor absolut de la diferència entre els dos daus, l’espai mostral de l’experiment aleatori estarà format per E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Per treballar el saber #1.EST.PI.C, a l’ARC podem trobar l’activitat Memory Improbable de Sergio Gracia, també de l’itinerari Un passeig per l’estadística, on es proposa a l’alumnat ordenacions de diferents expressions que podem utilitzar a la nostra vida quotidiana associades a l’assignació de graus qualitatius d’esdeveniments aleatoris.

En la segona part de l’activitat, es proposa un memory de 24 cartes on s’associen grups de 3 cartes compostos per l’esdeveniment, el grau qualitatiu i una primera aproximació numèrica. També es demana a l’alumnat que generi el seu propi memory probabilístic.

Una altra proposta interessant per reflexionar sobre la certesa d’afirmacions relacionades amb la probabilitat és l’activitat Evaluating Statements About Probability que forma part del Mathematics Assessment Project. Aquest projecte va ser desenvolupat el 2015 en col·laboració entre la Universitat de Califòrnia, Berkeley i l’equip del Shell Center de la Universitat de Nottingham amb l’objectiu d’ajudar el professorat i l’alumnat. Hi podem trobar una col·lecció de 100 lliçons d’avaluació formativa organitzades per nivells educatius i sentits. En cada lliçó hi trobem els materials per a l’alumnat, així com les indicacions i els suports per al professorat per presentar l’activitat a l’aula. Totes les lliçons s’inicien amb una pretasca que l’alumnat ha de fer individualment a casa. A l’inici de la lliçó es revisen els resultats per detectar la comprensió de la situació i les possibles dificultats. A continuació, se segueix un esquema de treball individual, debats en petits grups i la posada en comú de tota la classe. Al final de la lliçó, es proposa una petita avaluació o una activitat reflexiva per tal que l’alumnat sigui conscient del que ha après.

L’exemple de la tasca introductòria de l’activitat Evaluating Statements About Probability:

Després de l’assignació qualitativa dels graus de probabilitat a esdeveniments aleatoris, sembla natural el pas a l’assignació quantitativa d’aquestes probabilitats en casos senzills, tal com hem vist en l’activitat anterior. Una proposta possible per treballar el saber #1.EST.PI.D podria ser immergir aquest càlcul dintre d’un joc, com ara la «Cursa de probabilitats» de La Caixa de Varga.

La Caixa de Varga és un laboratori portàtil que conté tota mena de material manipulatiu i un catàleg d’activitats per aprendre estadística, probabilitat i combinatòria. Va ser editada originalment en alemany per l’editorial Klett Verlag de Stuttgart als anys setanta. Un dels seus creadors principals va ser Tamás Varga (1919-1987), matemàtic i professor hongarès reconegut internacionalment pel seu treball, especialment en els àmbits de l’ensenyament de la lògica, la combinatòria i la probabilitat. A la caixa s’hi pot trobar tot el material necessari per dur a terme les diferents activitats proposades.

Una de les propostes que conté és la «Cursa de probabilitats». Un joc en què dos, tres o quatre equips competeixen en una cursa; al llarg del recorregut van trobant alternatives i han de triar entre dos «obstacles» consistents en experiments aleatoris. Els obstacles s’indiquen en targetes, a cadascuna de les quals es representa l’experiment aleatori que s’ha de fer i el succés que s’ha de verificar per considerar l’obstacle superat. Així, un equip només pot superar un obstacle si, en fer l’experiment corresponent, es verifica el succés que s’hi indica. Aquestes targetes es col·loquen sobre els requadres del tauler següent:

Aquest tauler porta associades diferents col·leccions de targetes que permeten configurar de maneres diferents la cursa d’obstacles de probabilitats. Recordem que, a la part superior de cada targeta, s’indica icònicament l’experiment que cal fer, mentre que a la part inferior, el resultat que cal verificar per superar l’obstacle.

A cada pas es presenten dues alternatives i els equips han d’avaluar la probabilitat que tenen de passar per una alternativa o altra, i triar en conseqüència. Després s’ha de fer realment l’experiment aleatori… i la «sort» té la darrera paraula. Es tracta d’un recurs molt interessant per mostrar, a les etapes inicials, la necessitat de quantificar la probabilitat o per aplicar, en etapes avançades, coneixements probabilístics ja treballats a classe.

A continuació, podem veure algunes de les targetes més senzilles de la col·lecció, que l’alumnat ha d’avaluar per poder avançar en la cursa.

Tamás Varga. La Caixa de Varga 

Una vegada fetes les primeres curses, es pot demanar a l’alumnat que creï les seves pròpies targetes per ampliar la col·lecció original i generar els seus propis panells per dur a terme la cursa.

Al web La Caixa de Varga de l’Institut El Joncar de Barcelona, es poden trobar traduïts al català el manual i les diferents activitats del projecte. També es poden descarregar del web els taulers i les targetes de la Cursa de probabilitats. Aquest web és el resultat d’un treball de recerca de batxillerat dut a terme per dos alumnes del centre, Roger Canals i Mario Delfa. Per ampliar la informació anterior, podeu consultar també la proposta Cursa de probabilitat del PuntMat.

Hi ha moltes situacions a l’aula que ens permeten associar el concepte de proporcionalitat a la probabilitat, saber #1.EST.PI.E. Així podem fer diferents preguntes senzilles per fer-ho palès, on el nostre espai mostral és l’alumnat de classe.

1. Quina és la probabilitat que, en triar un alumne a l’atzar, porti ulleres?
2. Quina és la probabilitat que porti vambes?
3. Quina és la probabilitat que el seu cognom comenci amb la lletra F? I amb la W?

També podríem parlar de la probabilitat que ens toqui la grossa de la loteria o la grossa de Nadal. El professor José Luís Muñoz de Madrid ho va fer visualitzar amb grans d’arròs, comparació que es correspondria amb 1 gra d’arròs pintat d’entre 100.000 grans blancs, aproximadament 2,7 kg d’arròs- Podeu veure el seu treball a “la probabilidad que toque El Gordo: como sacar un grano de arroz entre 100.000”.

Podríem aprofitar aquesta situació per fer diferents preguntes: Quina és la probabilitat que ens toqui la Grossa de Nadal? Tenim la mateixa probabilitat que ens toqui la Grossa independentment d’on comprem el dècim? Llavors, com és que hi ha administracions de loteria que tenen cues tan llargues cada any?

També podem fer servir altres materials com daus, ruletes, cartes, monedes, etc. i proposar-nos de calcular la probabilitat que surti un resultat concret.

La regla de Laplace, que es treballa amb el saber #1.EST.PI.F, ens diu que, en cas d’equiprobabilitat d’esdeveniments elementals, la probabilitat d’un esdeveniment A es pot calcular com a:

\( P(A) = \frac{casos \, favorables}{casos \, possibles} \).

Aquest resultat (aquesta regla) es pot aplicar a diverses situacions. Per exemple, si considerem un dècim de loteria, podem calcular la probabilitat que resulti guanyador. Podem agafar també cartes d’una baralla espanyola i calcular la probabilitat, per exemple, de treure’n figures, o bé oros, o bé figures d’oros. Es pot variar la situació canviant-la per la baralla francesa o de pòquer, que té 52 cartes en lloc de 48, o bé treballar amb una baralla on faltin algunes cartes.

Tanmateix, és important mostrar també situacions en què no podem aplicar la regla de Laplace. N’és un bon exemple l’experiment de llançar una xinxeta i calcular la probabilitat que quedi amb la punxa cap amunt. En aquest cas, el resultat dependrà de la forma i el pes de la xinxeta i no podem assumir equiprobabilitat entre els dos possibles resultats.

Un altre exemple possible seria la coneguda Cursa de cavalls, en aquest cas proposada pel Grup Matgi de Girona al seu taller Tema13: Estadística i probabilitat:

Tot i que inicialment ens trobem en un cas de no equiprobabilitat dels esdeveniments simples, on l’espai mostral és E={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, podem analitzar totes les possibles tirades amb dos daus, que són 36 i totes equiprobables. D’aquesta manera, ara sí que es pot aplicar la regla de Laplace.

Un altre exemple que es podria dur a classe seria els dels sortejos per lletra amb els mateixos noms o cognoms dels alumnes per triar un nombre concret d’alumnes. Tot i que inicialment les lletres de l’alfabet són equiprobables, en el sorteig no és així amb la probabilitat de sortir d’un cognom concret. Joan Jareño ho mostra d’una manera molt clara a l’activitat Experimentem els sorteigs “per lletra” del seu magnífic Blog del calaix+ie. En la mateixa proposta ens planteja alternatives, com treure del sorteig les lletres per les quals no comença cap cognom o amb dues lletres. Tot i això, queda reflectit que només en casos molt concrets d’una distribució de noms o cognoms el sorteig seria just.

La llei dels grans nombres, saber #1.EST.PI.G, en la seva versió més senzilla, ens diu que, si repetim un experiment aleatori un nombre molt gran de vegades, la freqüència relativa d’un esdeveniment convergeix a la probabilitat de l’esdeveniment.

Reprenent l’exemple de les xinxetes, Anton Aubanell ens proposa l’activitat Com cau una xinxeta?. En aquesta activitat, es demana a l’alumnat que, en petits grups, faci sèries de 50 o 100 tirades fins a completar un total de 1.000 tirades per grup. Paral·lelament, ha de representar la freqüència relativa acumulada de cadascun dels resultats per observar com aquestes es van estabilitzant al voltant d’un valor similar entre els diferents equips. Aquesta estabilització respon a l’anomenada llei dels grans nombres que, en el límit, ens permetrà donar una definició experimental de probabilitat, alternativa a la regla de Laplace.

Una activitat semblant podria ser la proposada per Enric Brasó amb una maquineta i que podem trobar a l’ARC amb el títol Podem fer servir de dau una maquineta?, on la maquineta fa de dau no equilibrat. A l’activitat podem trobar un applet que simula les tirades i representa un gràfic progressiu.

Per comprovar si un dau està equilibrat podríem fer moltes tirades i veure si la freqüència relativa s’aproxima a la probabilitat teòrica de cada cara. Manuel Sada en la seva pàgina web d’Estadística y Probabilidad, proposa diferents construccions amb GeoGebra que simulen aquestes situacions.