Disseny d’investigacions i enquestes per donar resposta a una pregunta, repte científic o situació quotidiana.
Concreció de les variables estadístiques quantitatives i qualitatives discretes a estudiar.
[ESS]
#ALG.VA
Elecció de mostres significatives d’una població a fi de realitzar un estudi estadístic.
Formulació de preguntes senzilles no esbiaixades que puguin donar resposta a les qüestions plantejades.
[ESS]
Recollida, depuració i organització de dades rellevants.
[ESS]
#EST.DI
Interpretació i anàlisi de les dades de l’estudi estadístic plantejat per obtenir conclusions o recomanacions.
Elaboració d’un informe en què s’expliqui la metodologia emprada en l’estudi estadístic planteja, amb els resultats i conclusions.
Descripció i orientacions
Reflexions generals
La inferència estadística permet obtenir conclusions sobre una població a partir de l᾽estudi d᾽una mostra. A 2n d᾽ESO, els alumnes haurien de comprendre que les dades recollides no només serveixen per descriure fenòmens, sinó també per fer prediccions i establir hipòtesis sobre una població més gran.
A 1r d᾽ESO ja hem posat èmfasi en el fet que l᾽alumnat aprengui a plantejar una pregunta d᾽investigació; a 2n, en canvi, considerem essencial dissenyar un estudi estadístic mitjançant enquestes o experiments senzills. És positiu que els alumnes defineixin per grups una pregunta d᾽investigació i siguin capaços d᾽identificar clarament lapoblació que s᾽ha d᾽estudiar i les variables d᾽interès, conceptes marcats com essencials a 1r.
Pel que fa a les tècniques d᾽elecció de mostres, cal posar èmfasi en laimportància d᾽una mostra aleatòria. És interessant simular diferents tipus de mostreig (aleatori simple, estratificat, etc.) fent servir cartes o nombres atzarosos per ajudar-los a visualitzar aquests conceptes.
Recomanem treballar miniaplicacions interactives o bé programar algun simulador, com es mostra en el curs d᾽Snap! a l᾽aula de matemàtiques, per desenvolupar el concepte de mostratge i veure els efectes de diferents mostres sobre la validesa de les conclusions; els fulls de càlcul són pràctics per recollir, organitzar i analitzar dades de manera sistemàtica i utilitzar els materials manipulatius com daus, cartes o monedes per explicar l᾽atzar i les tècniques de mostreig.
Comentaris sobre les connexions
La connexió entre l᾽estadística i l᾽àlgebra es pot observar en diversos aspectes, especialment quan es treballa amb variables estadístiques quantitatives i qualitatives. Per tant, hi ha una connexió del saber #2.EST.IN.B amb el saber#1.ALG.VA.C. De fet, les variables, tenen un caràcter molt conceptual i adquireixen tot el significat quan es posen en pràctica en el treball amb funcions, a les equacions i als estudis estadístics.
Comentaris sobre els sabers essencials i d’ampliació
Es consideren saber essencials a 2n d᾽ESO el disseny d᾽investigacions i enquestes per donar resposta a una pregunta, repte científic o situació quotidiana, saber #2.EST.IN.A, i l᾽elecció de mostres significatives d᾽una població per dur a terme un estudi estadístic, saber#2.EST.IN.C.
Recursos i activitats
Recursos i activitats generals per al bloc de sabers
Un dels recursos que cal tenir en compte per treballar estadística a l’aula és sens dubte el blog del grup Vilatzara, L’estadística, més enllà dels paràmetres, que fa una proposta per treballar l’estadística per a cadascun dels nivells, ordenats seqüencialment; a més, en cadascun dels nivells trobareu una proposta per desenvolupar un projecte.
Recursos i activitats per treballar sabers concrets
A continuació, es presenten algunes idees sobre recursos i activitats d’aprenentatge que poden contribuir a l’adquisició dels sabers d’aquest bloc.
A. Disseny d᾽investigacions i enquestes per donar resposta a una pregunta, repte científic o situació quotidiana. [ESS]
Portes massa pes en la motxilla?
Una bona activitat per treballar el disseny d᾽investigacions, saber #2.EST.IN.A, és la que proposa el grup Vilatzara Portes massa pes en la motxilla?, si bé el grup Vilatzara proposa aquesta activitat/projecte per a 1r d᾽ESO, considerem que també pot ser adequada per a 2n, ja que es tracta d᾽una proposta prou oberta, en què l᾽alumnat ha de resoldre les tasques amb poques pautes i desenvolupar un cert grau d᾽autonomia. L᾽alumnat haurà de buscar la resposta mitjançant l᾽experimentació basada en el mètode científic: plantejar-se com resoldre l᾽enigma, redactar-ne la conjectura, preparar un experiment que pugui confirmar-la, modificar-la o rebutjar-la, i establir les conclusions finals. Tot això obliga a preparar un pla de treball i portar-lo a la pràctica, partint d᾽una reflexió inicial i individual, un treball posterior en petit grup per acordar l᾽estratègia de treball, recollir les dades, consensuar les conclusions i fer la presentació a la resta del grup.
Estudis estadístics (ARC)
Per altra banda, dins de l᾽ARC podeu trobar moltes idees per realitzar estudis estadístics basades en la col·lecció Aprenestadística, com El problema dels residus de Xavier Gelada Serrat.
A l᾽ARC podeu trobar també l᾽activitat d᾽Autors anònims de Victòria Oliu Subiranes, en què l᾽alumnat disposa d᾽un conjunt de textos i, mitjançant un estudi estadístic, ha de determinar l᾽autoria del text.
Cal tenir en compte que dissenyar investigacions en l᾽ensenyament secundari basades en situacions experimentals d᾽atzar pot ser una manera molt efectiva d᾽ensenyar conceptes d᾽estadística i també de probabilitat. Als sabers corresponents al bloc de predictibilitat i incertesa en teniu bons exemples.
L'atzar de Joan Brossa
Una activitat que, tot i partir d᾽un context diferent, incorpora el disseny d᾽investigacions és L᾽atzar de Joan Brossa d᾽Anna Ausina. Aquesta seqüència didàctica fomenta la reflexió matemàtica i impulsa l᾽alumnat a generar preguntes investigables en relació amb l᾽obra artística de Joan Brossa. Mitjançant el disseny dels seus propis experiments, l᾽anàlisi de probabilitats i l᾽argumentació matemàtica, els estudiants descobreixen la presència de les matemàtiques en l᾽obra de Brossa.
La poesia de Brossa serà l᾽excusa per identificar les matemàtiques que hi ha al darrere dels daus, les cartes, les monedes i dur a terme un estudi probabilístic de les situacions proposades per treballar la probabilitat de manera experimental, tenint com a la llei dels grans nombres i, posteriorment, fer la demostració teòrica dels resultats obtinguts.
Una proposta per treballar el disseny d᾽investigacions, saber#2.EST.IN.A, amb connexions en el saber #ALG.PC és la que es proposa a Environment data logger. L᾽activitat consisteix a recollir i analitzar dades ambientals d᾽una aula durant un temps determinat com una setmana, quinze dies… mitjançant una Micro:bit, equipada amb sensors de temperatura, humitat, lluminositat i nivell sonor, així com mitjançant un ordinador amb accés a MakeCode per programar el dispositiu.
Un cop preparada la Micro:bit, que s᾽ha de posar en un lloc estratègic dins l᾽aula per assegurar-se que capta correctament les dades, es pot treballar la interpretació dels resultats i establir relacions amb la rutina diària de l᾽aula. Es poden detectar situacions com l᾽augment del soroll durant els moments d᾽esbarjo o la variació de la lluminositat en funció de l᾽hora del dia. A més, podem animar el nostre alumnat a plantejar possibles millores per optimitzar les condicions ambientals dins l᾽aula.
B. Concreció de les variables estadístiques quantitatives i qualitatives discretes a estudiar. #ALG.VA
Per poder treballar la concreció de variables, el saber #2.EST.IN.B, podem proposar una activitat en la qual els alumnes treballin per parelles o grups per identificar variables en diferents situacions reals i que classifiquin si són quantitatives discretes o continues, o qualitatives nominals o ordinals. Per exemple:
En una enquesta sobre l᾽activitat física, podríem estudiar variables com el nombre d᾽hores d᾽exercici per setmana (quantitativa contínua), tipus d᾽activitat preferida (qualitativa nominal), etc. Podeu veure un exemple d᾽enquesta sobre l᾽activitat esportiva en aquest enllaç.
En un estudi sobre els hàbits alimentaris dels alumnes, poden tractar variables com el nombre d᾽àpats per dia (quantitativa discreta), tipus de menjar preferit (qualitativa nominal), satisfacció amb la dieta (qualitativa ordinal), etc.
En la pregunta sobre els factors que influeixen en la tria de mitjans de transport per venir a l᾽escola, les variables podrien ser el tipus de transport (autobús, cotxe, bicicleta) (qualitativa nominal), el temps de viatge (quantitativa contínua), la distància recorreguda (quantitativa contínua), la freqüència d᾽ús del transport (quantitativa discreta), etc.
En la pregunta d᾽investigació sobre la relació entre els hàbits de lectura i les notes de llengua, les variables podrien ser el temps dedicat a la lectura per setmana (quantitativa contínua), gènere literari preferit (qualitativa nominal), puntuació de les notes en llengua en assoliments (quantitativa discreta).
En l᾽estudi de les hores d᾽ús de pantalles, també podem trobar diferents tipus de variables, variables qualitatives com el tipus de dispositiu utilitzat (ordinador, mòbil, tauleta, televisió) o el motiu principal d᾽ús(feina, estudi, oci, comunicació) o variables quantitatives, el nombre d᾽hores diàries d᾽ús de pantalles. També podem incloure el nombre de dispositius diferents usats, que és una variable discreta, o la freqüència de pauses durant l᾽ús de pantalles. Un exemple podria ser el proposat per Raül Fernández Quina és la teva relació amb les pantalles?
A l᾽hora de fer qualsevol estudi estadístic, experiment aleatori o enquesta cal fomentar el debat sobre la rellevància de les variables, plantejant discussions a l᾽aula sobre quines variables són rellevants o no per respondre una pregunta d᾽investigació. El professorat ha d᾽ajudar a entendre que és important centrar-se en variables que tinguin un efecte directe en la resposta a la pregunta i evitar variables irrellevants.
C. Elecció de mostres significatives d᾽una població a fi de realitzar un estudi estadístic. [ESS]
Per tal de treballar l᾽elecció de la mostra significativa a 2n d᾽ESO i desenvolupar el saber #2.EST.IN.C, es proposa anar més enllà del que hem fet a 1r d᾽ESO, on ens hem centrat que l᾽alumnat entengui que és suficient treballar amb una part de la població d᾽estudi que representi el complet. En aquest curs, cal treballar activitats en espais o contextos diferents o fins i tot en situacions en les quals el mostreig ha d᾽anar més enllà de les tècniques tradicionals per captar característiques més profundes o no trivials d᾽una població o sistema. Es proposen dues activitats, una de mostreig en un espai tridimensional simple com un cilindre i un mostreig en l᾽espai, molt utilitzat en ecologia, perquè es pot mostrejar vegetació o fauna en diferents punts geogràfics per analitzar la distribució dins d᾽un hàbitat.
How Many Jellybeans?
Per treballar el saber#2.EST.IN.C es proposa a Mathematics Assessment Project que, com ja hem comentat, són un conjunt de materials que es van generar el 2015 en col·laboració amb la Universitat de Califòrnia, Berkeley i l᾽equip del Shell Center de la Universitat de Nottingham. Com totes les lliçons proposades, hi podem trobar els materials per a l᾽alumnat, així com les indicacions i els suports per al professorat en el moment de fer l᾽activitat a l᾽aula. Totes les tasques s᾽inicien amb una activitat prèvia que l᾽alumnat ha de fer individualment a casa. A l᾽inici de la lliçó, es revisen els resultats per detectar la comprensió de la situació i les possibles dificultats. A continuació, se segueix un esquema de treball individual, debats en petits grups i posada en comú a tota la classe. Al final de la lliçó es proposa una petita avaluació o una activitat reflexiva per tal que l᾽alumnat sigui conscient del que ha après.
L᾽activitat indicada porta per títol How Many Jellybeans?i s᾽inicia amb una referència als grans concursos: «Coneixeu aquells concursos en què s᾽ha d᾽endevinar el nombre de caramels d᾽un pot per guanyar el premi? Quants dolços creieu que hi ha al pot? Quants de negres?». A la tasca proposada es planteja donar la fitxa amb les mesures del pot en una imatge, si és possible en color. Amb tot, pot ser més engrescador portar a l᾽aula el pot de vidre amb els dolços i que qui faci la millor estimació matemàtica guanyi els dolços de dins, un motiu més que suficient per posar-se a fer matemàtiques i treballar d᾽aquesta manera els volums i el mostreig.
L᾽altra activitat també del Mathshell és Counting trees i comença com és habitual amb un treball individual: en aquest cas es demana el recompte d᾽una plantació d᾽arbres plantats en filera en una imatge on apareixen arbres vells representats amb la icona del cercle i arbres joves representats amb la icona del triangle. Després es fomenta el treball cooperatiu en grups de treball demanant que cada grup unifiqui les diverses estratègies que ha fet servir per fer el recompte i que presenti el resultat a altres companys. La feina es pot intercanviar entre els diferents grups i, finalment, amb el grup classe es poden tractar les fortaleses i les mancances dels diferents procediments de recompte.
Un cop feta l᾽activitat, els resultats que obtindrem a la classe poden ser molt diversos, però haurien de descriure una tècnica de mostreig adequada que tingui en compte les diferents proporcions d᾽arbres vells i de joves, a més de permetre els buits entremig i que es comprovin les estimacions en almenys dues àrees de mostra. Si hi ha una gran variació en el nombre d᾽arbres en dues àrees, cal insistir perquè es compti el nombre d᾽arbres d᾽una tercera àrea de mostra. Cada mostra, de la mateixa mida, hauria de cobrir una àrea clarament diferent de la granja d᾽arbres (és a dir, dues àrees de mostra no haurien d᾽estar l᾽una al costat de l᾽altra). Veiem alguns resultats del procediment fet per l᾽alumnat:
D. Formulació de les preguntes adequades per poder conèixer les característiques d᾽una població.
Donat que a 2n d᾽ESO hem introduït la utilització d᾽eines TIC per a la realització de gràfics, pensem que aquest curs és el moment adequat per treballar l᾽ús de formularis de Google i practicar amb aquest recurs el saber#2.EST.IN.D. A classe podem estudiar com es crea un formulari, com s᾽afegeixen preguntes i com s᾽envia per recollir respostes, i també quines opcions de preguntes permet, com ara tries d᾽elecció múltiple, desplegables, respostes breus, escales de valoració i altres formats útils per recollir dades.
L᾽alumnat en petits grups pot escollir un tema per investigar dins de l᾽escola o la comunitat i pensar com dissenyar preguntes clares i que generin dades fàcils d᾽analitzar. Cada grup pot dissenyar el seu formulari per recollir dades.
Un cop creats els formularis, es poden enviar als companys de classe o a altres grups de l᾽escola. Google Forms permet recollir les respostes automàticament en un full de càlcul de Google garantint-ne l᾽anonimat. Les respostes es poden visualitzar en gràfics automàtics que genera el formulari. Posteriorment, cal aprofundir en l᾽estudi i calcular mesures com la mitjana, la mediana i la moda i, si cal, crear gràfics personalitzats. Els diferents grups de treball poden comparar els seus resultats per veure com varien les dades segons la pregunta o el grup de persones enquestades.
Finalment, l᾽alumnat pot preparar una presentació breu sobre els resultats obtinguts, les conclusions i els gràfics que ha creat i organitzar un debat sobre les diferències en els resultats obtinguts, les possibles causes d᾽aquestes diferències i la validesa de les conclusions.
Una altra activitat pot ser analitzar el tipus de preguntes d᾽un formulari com el de l᾽ús del temps (realitzat per l᾽Institut d᾽Estadística de Catalunya).
E. Recollida, depuració i organització de dades rellevants. #EST.DI
Una bona activitat amb connexions de probabilitat i sentit numèric per estudiar l᾽organització de dades, i, per tant, treballar el saber #2.EST.IN.E, és El bingo Mathgo proposat per AIMSSEC (African Institute for Mathematical Sciences Scholls Enrichment Centre), que és un programa educatiu que forma part de l᾽African Institute for Mathematical Sciences (AIMS). Aquest institut té com a objectiu principal la promoció de l᾽educació matemàtica i les ciències a l᾽Àfrica, especialment en aquelles zones amb menys recursos.
El programa AIMSSEC se centra a proporcionar formació, materials i suport als mestres de matemàtiques de secundària. L᾽objectiu és millorar l᾽ensenyament i l᾽aprenentatge de les matemàtiques a les escoles mitjançant el desenvolupament professional dels docents. Ofereixen cursos en línia, materials didàctics i tallers per ajudar els professors a actualitzar els seus coneixements matemàtics i metodològics per tal de millorar l᾽alfabetització matemàtica de l᾽alumnat a l᾽Àfrica.
En el bingo proposat, a la primera part del joc cada jugador ha de crear la seva targeta lliurement escollint 25 números entre el 0 i el 100, sense repetir-ne cap i sense poder canviar-los a posteriori. En cada ronda una persona encarregada traurà dos nombres aleatoris de l᾽1 al 10 (podeu fer servir els daus següents) i a través d᾽una suma, resta, multiplicació o divisió, els jugadors han de buscar un d᾽aquests resultats a la seva targeta i marcar-los. Posteriorment, es fa la reposició (o es tornen a llançar els daus) i s᾽extreuen dos números més entre l᾽1 i el 10 i així successivament. Guanya el primer jugador que completi una línia, sigui fila, columna o diagonal, de 5 nombres.
És convenient que els alumnes registrin els nombres que han sortit i les possibilitats que surten per fer les comprovacions un cop cantat el bingo.
Acabada la partida, en què també s᾽ha treballat el sentit numèric, ens preguntem quins números tenen més probabilitats de sortir en el nostre bingo, quins números no sortiran i com podem col·locar els nombres a la targeta per augmentar les possibilitats de guanyar. Cal fer, per tant, una anàlisi de freqüències i, per tant, fer una recollida de dades sistemàtica per construir tots els casos possibles d᾽obtenir un dels números de la targeta, tenint en compte que l᾽ordre compta. Podeu veure l᾽anàlisi de les diferents opcions a la imatge següent:
Recompte de números i reconeixement de patrons dels casos possibles de la suma, resta, multiplicació i divisió de 2 daus de 10 fet per un alumne de l᾽Institut El Joncar.
Després es pot fer el recompte del cadascun dels números, elaborant la taula de freqüències corresponent:
I, finalment, podem analitzar en quina posició cal col·locar els números més probables, tenint en compte que el quadrat ombrejat en blau té 4 línies de 5 per poder cantar bingo, els quadrats ombrejats en verd en tenen 3 i els quadrats ombrejats en groc només tenen 2 línies de 5. Per tenir les millors possibilitats de guanyar els jugadors hauran de posar el total 1 o 2 (que ocorre amb les freqüències més altes) al quadrat blau; entre 1 i 9 als quadrats verds; i, als quadrats grocs, el 0, 10 a 18, 20, 24, 30, 36, 40 i un altre número amb una freqüència de 2.
F. Interpretació i anàlisi de dades de l᾽estudi estadístic plantejat per obtenir conclusions o recomanacions.
Testing a new product
A fi de treballar la interpretació de les dades estadístiques i extreure᾽n conclusions, saber#2.EST.IN.F, es recomana l᾽activitat Testing a new product, en la qual es proporciona a l᾽alumnat el resultat d᾽una enquesta a 40 persones sobre 4 desodorants i es vol esbrinar com influeixen en les persones la fragància i l᾽envàs. Hi ha dues fragàncies i dues maneres diferents d᾽envasar el producte.
L᾽alumnat primer de tot, a la vista dels resultats en forma de targeta, ha de deduir quines són les preguntes que han portat a fer una recollida de dades com la que s᾽ha fet, treballant d᾽aquesta manera també el saber #2.EST.IN.D:
Quins envasos prefereixen els homes / dones / persones?
Quina fragància prefereixen els homes / dones / persones?
Els homes / dones / persones estan més influenciats per la fragància o per l᾽envàs?
L᾽anàlisi de les possibles preguntes de l᾽enquesta dirigeix l᾽objectiu de l᾽estudi i marca la presa de decisions a l᾽hora d᾽organitzar i representar les dades que tenen tres variables: gènere, fragància i embalatge. Alguns alumnes poden decidir distingir entre opcions masculines i femenines, mentre que d᾽altres poden agrupar les dades: l᾽important és que siguin conscients de les seves decisions i les justifiquin.
Finalment, l᾽alumnat ha de posar en comú els seus estudis per fer una recomanació per al fabricant de desodorants i decidir quin nou producte s᾽aventura a llançar o concentrar-se tan sols en un dels mercats, el femení o el masculí, vistos i analitzats els resultats.
Tractament amb un nou fàrmac
Una altra activitat per treballar la interpretació de dades és la de l᾽article Levels of Reasoning of Middle School Students about Data Dispersion in Risk Contexts (Sánchez & Orta, 2015) publicada a la revista The Mathematics Enthusiastde la Universitat de Montana, una activitat en què cal llegir més enllà de les dades per prendre decisions en contextos propers i reals de l᾽alumnat, que treballa en aquest cas la dispersió en les anàlisis mèdiques.
L᾽activitat és la següent: «Considereu que heu d᾽assessorar una persona que pateix una malaltia greu, incurable i mortal, que es pot tractar amb un fàrmac que pot allargar la vida del pacient uns quants anys. És possible escollir entre tres tractaments diferents. Els pacients mostren diferents efectes sobre la medicació; mentre que en alguns casos els fàrmacs tenen els resultats desitjats, en d᾽altres els efectes poden ser més favorables o més adversos. Les llistes següents mostren el nombre d᾽anys que han viscut els pacients després de ser tractats amb una de les diferents opcions; cada nombre de la llista correspon al temps en anys que un pacient va sobreviure amb el tractament corresponent. Els gràfics corresponents als tractaments es mostren a continuació:
a) Quin tipus de tractament preferiries (1, 2 o 3)? Per què?
b) En quin dels tractaments hi ha més variabilitat? Explica la resposta».
A l᾽aula podem donar simplement les taules i que l᾽alumnat hi faci les representacions que consideri oportunes i generar el debat en diferents grups de treball i donar importància i valor a aquelles propostes en què la presa de decisions tingui en compte tant el centre com la dispersió de les dades.
Per treballar la interpretació de dades en què la dispersió té el seu paper, tenim al mateix article de Sánchez i Orta el problema següent: «En una fira, els assistents estan convidats a participar en un dels dos jocs, però no en els dos. Per saber a quin joc jugar, en John observa, pren nota i ordena els resultats de 10 persones jugant cada joc. Les pèrdues (-) o premis en metàl·lic (+) obtinguts per les 20 persones es mostren a les llistes següents:
Si tens la possibilitat de jugar només un dels dos jocs, quin triaries? Per què?
En quin dels dos jocs les dades tenen més variabilitat? Per què?
Igual que en el problema del bàsquet proposat per al saber#2.EST.DI.I, la mitjana dels dos jocs és la mateixa i, per tant, la discussió és molt rica perquè entren en joc els paràmetres de dispersió. El que fa interessant l᾽article és veure les respostes de l᾽alumnat tant en aquest problema com en el del tractament mèdic i el nivell de profunditat que ens donarà una idea de les dificultats que poden sortir a classe quan es fa aquest tipus de problemes.
G. Elaboració d’un informe en què s’expliqui la metodologia emprada en l’estudi estadístic plantejat i amb els resultats i les conclusions.
Per treballar l᾽elaboració d᾽un informe estadístic, saber #2.EST.IN.G, es recomana l᾽activitat del grup Vilatzara Una gran epidèmia, una activitat que es presenta en el seu context històric. Es vol fer deduir que el nombre de morts està relacionat amb la presència d᾽una font d᾽aigua contaminada i ho fem a partir de la descripció i la interpretació del mapa del metge britànic John Snow (s. xix).
L᾽activitat es pot presentar donant la informació sobre qui era John Snow i com va aturar l᾽epidèmia de còlera i presentar el vídeo on s᾽explica la història del metge, o deixar que l᾽alumnat ho descobreixi.
El recurs té com a objectiu treballar la distribució de morts i la densitat de mortalitat als carrers del Soho de Londres i fer servir la representació i la interpretació de dades per escriure finalment una carta a l᾽alcalde de Londres que justifiqui precintar un dels pous.
A Cuaderno de Cultura Científica també es pot trobar l᾽article El mapa del cólera de John Snow, que parla de l᾽ús dels diagrames de Voronoi per trobar la font que va generar el brot.
